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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO - La verifica sulle equazioni di secondo grado si avvicina e la matematica non è davvero il tuo forte? Non temere: noi di Studenti.it siamo qui per aiutarti! Ecco per te un approfondimento per prepararti al meglio sulle equazioni di secondo grado in vista del compito in classe! Guarda anche la seconda parte della spiegazione.

Da non perdere: Approfondimenti, lezioni ed esercizi svolti di matematica

Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo:

ax ²+ bx + c=0
con a 0 (altrimenti sarebbe di primo grado...).

Questa è anche detta forma normale di un'equazione di secondo grado.
Dal punto di vista grafico ( geometria analitica), risolvere un'equazione di secondo grado significa trovare le intersezioni, se esistono, della parabola di equazione
y= a x ² + bx+ c con l'asse x (y=0), ovvero risolvere il sistema:

La formula risolutiva delle equazioni di secondo grado è data dalla seguente:

con cui è possibile determinare le radici dell'equazione, ovvero i valori che, sostituiti al posto della variabile x nell'equazione data, la rendono un'identità (0=0).
Come si vede, nella formula compaiono solamente i coefficienti dell'equazione in forma normale: noti questi, si calcolano immediatamente le radici dell'equazione.

Esiste anche una formula più semplice, detta formula ridotta, che vale solamente nel caso in cui il coefficiente del termine di primo grado, b, sia pari:

Quest'ultima formula si semplifica ulteriormente, qualora risultasse a=1.

L'espressione che compare sotto radice quadrata nella formula risolutiva:
viene chiamato discriminante (tra poco vedremo cosa "discrimina") ed è generalmente indicato con la lettera greca (delta maiuscolo).
Per cui, d'ora in poi avremo: = .

IMPORTANTE
La formula risolutiva può essere applicata a qualsiasi equazione di secondo grado.
Risulta, però, più semplice risolvere le equazioni incomplete (quelle in cui b e/o c sono uguali a zero) ricorrendo alle regole note di scomposizione dei polinomi.
Tra poco daremo una classificazione delle equazioni incomplete.
Negli esempi vedremo in dettaglio come comportarsi in questi casi particolari, per evitare di ricorrere alla formula risolutiva che, ripetiamolo, porterebbe comunque al risultato (anche se in modo più macchinoso).
Le soluzioni di un'equazione di secondo grado dipendono dal valore del discriminante (il delta).
In particolare il segno del delta ci informa se le soluzioni sono reali o complesse e, nel primo caso, se sono distinte o coincidenti.

Per l'esattezza, ecco lo schema di riferimento:

>0: l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte date dalla formula risolutiva vista sopra.
=0: l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti della forma (basta porre b 2 - 4ac = 0 nella formula risolutiva):

<0: l'equazione non ammette soluzioni reali, ma ammette due soluzioni complesse coniugate.
Quest'ultimo caso, per adesso non ci interessa. Ci tornerà utile quando vedremo le disequazioni di secondo grado.

Intanto notiamo che quando 0, abbiamo soluzioni reali: distinte se è strettamente positivo, coincidenti se è nullo.
Per risolvere un'equazione di secondo grado, è, quindi, opportuno calcolare prima il discriminante, per verificare se l'equazione ammette o no soluzioni reali.
Notiamo anche che un'equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni (reali o complesse).

Nota (per i più interessati)
Il legame tra il grado di un'equazione e il numero di soluzioni (nel nostro caso: secondo grado, due soluzioni) è espresso dal teorema fondamentale dell'algebra, che vale in generale per equazioni di grado qualsiasi con coefficienti complessi: questo teorema dice proprio che un'equazione di grado n a coefficienti complessi ammette n soluzioni complesse, ciascuna contata con la propria molteplicità. continua>>

Argomenti trattati:
- Spiegazione Teoria

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Equazioni di Secondo Grado (parte 1) | Studenti.it

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EQUAZIONI DI SECONDO GRADO - La verifica sulle equazioni di secondo grado si avvicina e la matematica non è davvero il tuo forte? Non temere: noi di Studenti.it siamo qui per aiutarti! Ecco per te un approfondimento per prepararti al meglio sulle equazioni di secondo grado in vista del compito in classe!

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come si risolve un'EQUAZIONE DI SECONDO GRADO pura (metodo veloce e metodo del delta)

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Ripetizioni di matematica - Equazioni di II grado - videolezione 29elode

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3 A cosa servono le equazioni di secondo grado - Schooltoon

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2 Esercitazione sulle equazioni di secondo grado - Schooltoon

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1 Le Equazioni di secondo grado - Schooltoon

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Video lungo ma riassuntivo di tutti i tipi i equazioni di II grado

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Un'equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioe' c'e' un termine con x

equazioni di secondo grado

A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in Per affrontare correttamente l'argomento occorre aver prima studiato i radicali

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Un'equazione si dice di secondo grado quando la x vi compare a potenza 2, cioe' c'e' un termine con x equazioni di secondo grado A seconda dei termini presenti, oltre a quello di secondo grado, le equazioni possono essere suddivise in Per affrontare correttamente l'argomento occorre aver prima studiato i radicali

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Le equazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 2, sono equazioni in cui l'incognita compare con esponente di grado 2 ed eventualmente con esponenti di grado inferiore.

Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado passiamo in modo del tutto naturale alla successiva tipologia di equazioni intere, ossia definite mediante polinomi. In questa lezione ci occupiamo delle equazioni di secondo grado, dandone la definizione e studiando tutti i principali metodi di risoluzione.

Come vedremo nel seguito, disponendo della forma normale è possibile ricorrere a una formula risolutiva per le equazioni di secondo grado, nota anche come formula del delta (o formula del discriminante). Essa è utilizzabile in ogni caso, ciononostante vedremo come sia possibile introdurre una classificazione che ci permetterà di ricorrere a metodi risolutivi più immediati in alcuni casi particolari.

Nota: chi fosse interessato alle disequazioni di secondo grado può leggere la lezione dell'omonimo link. ;)

Come sono fatte le equazioni di secondo grado?

Possiamo dare una semplice e intuitiva definizione per le equazioni di secondo grado: diciamo che un'equazione ha grado 2 se uno dei due membri è un polinomio di grado 2 e l'altro membro è un polinomio di grado al più 2.

In modo analogo, possiamo dire che un'equazione di secondo grado è un'equazione polinomiale in cui l'incognita compare almeno una volta con esponente di grado 2 e tale che l'incognita compaia con grado massimo pari a 2. Sono esempi di equazioni di secondo grado:

In base a ciò che abbiamo imparato nello studio delle equazioni di primo grado, sappiamo che un'equazione può assumere diverse forme equivalenti tra loro. Piuttosto che perdersi nelle molteplici forme che un'equazione di secondo grado può assumere, è molto più utile definire la forma normale delle equazioni di secondo grado:

dove:

è detto coefficiente del termine di grado 2;

è detto coefficiente del termine di grado 1;

è detto coefficiente del termine di grado 0, o termine noto;

La forma normale individua un'equazione di secondo grado a patto che risulti

in caso contrario avremmo a che fare con un'equazione di primo grado se , o con un' equazione senza incognita se .

Lo studio delle equazioni di secondo grado ha lo scopo di riuscire a risolvere qualsiasi equazione di secondo grado in forma normale o, eventualmente, qualsiasi equazione che sia stata ricondotta alla precedente forma normale. Con questo intendiamo che potrebbe capitarci un'equazione come

che non è di secondo grado (è di grado 3), ma che si riconduce facilmente a un'equazione di grado 2

Numero di soluzioni di un'equazione di secondo grado in forma normale

Vi ricordate lo schema per le equazioni di primo grado? In quel contesto abbiamo trattato tutti i possibili casi sul numero delle soluzioni, ivi compresi quelli che scaturivano dalle possibili riduzioni a equazioni senza incognite: equazioni impossibili ed equazioni indeterminate.

Qui usiamo un approccio un po' più formale: tralasciamo i possibili casi di riduzione a gradi inferiori, dovuti a eventuali cancellazioni dei termini contenenti l'incognita, e ci limitiamo ad analizzare il numero di soluzioni delle equazioni di secondo grado in forma normale.

Consideriamo quindi la forma normale delle equazioni di secondo grado

Ci domandiamo quante possono essere le soluzioni dell'equazione considerando come insieme di esistenza delle soluzioni l'insieme dei numeri reali . In altri termini, e le possibili soluzioni sono da ricercarsi in .

1) Due soluzioni. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette due soluzioni reali.

2) Una soluzione. L'equazione di secondo grado è determinata e ammette una soluzione reale. Più precisamente si dice che l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti, o anche che ammette una soluzione reale con molteplicità algebrica 2.

3) Nessuna soluzione. L'equazione di secondo grado è impossibile e non ammette alcuna soluzione reale.

Metodi di risoluzione e classificazione delle equazioni di secondo grado

Come vi abbiamo anticipato, esistono sostanzialmente un metodo generale che permette di risolvere qualsiasi equazione di secondo grado e una serie di metodi più immediati, applicabili però solamente in alcuni casi particolari. Vediamo quindi una panoramica completa sulla classificazione delle equazioni di secondo grado proponendo di volta in volta i metodi risolutivi ed esempi svolti per ciascun caso.

Il punto di partenza è sempre la forma normale delle equazioni di secondo grado:

Equazioni di secondo grado complete e formula del delta

Diciamo equazione di secondo grado completa un'equazione di secondo grado in forma normale in cui tutti i coefficienti sono diversi da zero

Il principale metodo per risolvere le equazioni di grado 2 complete, detto formula risolutiva delle equazioni di secondo grado o formula del delta, è piuttosto semplice. Esso prevede di considerare una quantità che è caratteristica delle equazioni di secondo grado, il cosiddetto discriminante

che viene detto anche delta dell'equazione e che viene indicato con la lettera greca maiuscola .

Il discriminante ci permette di scrivere la formula risolutiva:

o, esplicitamente

Il simbolo ± va letto come più o meno ed è una scrittura sintetica per indicare che bisogna considerare due possibilità ugualmente valide: la prima si ottiene usando il segno + in luogo di ±, la seconda sostituendo ± con il segno -.

La formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete ha due aspetti estremamente interessanti:

A) può essere utilizzata sempre e comunque, anche per le equazioni di secondo grado non complete;

B) ci permette di capire qual è il numero delle soluzioni ancor prima di applicarla. Guardiamo con attenzione il secondo termine del numeratore:

Se analizziamo il segno del delta (positivo, negativo o nullo) possiamo capire velocemente che:

Delta positivo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali distinte

Delta nullo → Equazione di secondo grado determinata con due soluzioni reali coincidenti

3) Se il discriminante è negativo allora la formula risolutiva perde di significato e l'equazione non ammette soluzioni reali, perché non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo nell'insieme dei numeri reali.

Delta negativo → Equazione di secondo grado impossibile, nessuna soluzione reale

Nelle lezioni successive spiegheremo nel dettaglio come ricavare la formula del discriminante e perché il segno del delta individua il numero di soluzioni nelle equazioni di secondo grado; vedremo inoltre che in alcuni casi è possibile semplificare la formula del delta usando una versione detta ridotta e una ridottissima ( delta quarti).

Esempi di equazioni di secondo grado complete

Calcoliamo il delta:

Poiché il discriminante è positivo ci aspettiamo due soluzioni reali e distinte per l'equazione

In conclusione le soluzioni sono .

Partiamo dal discriminante:

Avremo quindi due soluzioni reali e coincidenti:

e l'unica soluzione reale (con molteplicità algebrica 2) è .

Calcoliamo il delta dell'equazione

Poiché il delta è negativo, l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali.

Equazioni di secondo grado monomie

Il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado monomie è immediato e non richiede calcoli: esse infatti ammettono sempre due soluzioni reali e coincidenti, entrambe nulle, quale che sia il valore di :

Se non ci fidiamo, nulla ci vieta di applicare la formula risolutiva per le equazioni complete:

Esempio di equazione di secondo grado monomia

L'unica soluzione reale ha molteplicità algebrica 2 ed è ovviamente .

Per approfondire: equazioni monomie.

Equazioni di secondo grado pure

Risolvere un'equazione in questa forma è semplice, infatti possiamo procedere al calcolo diretto delle eventuali soluzioni.

e sono date due possibilità:

- se sono concordi, allora è negativo e l'equazione non ammette soluzioni reali (impossibile);

- se sono discordi, allora è positivo e l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte (determinata), date da

A voi il compito di verificare che, applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado complete nel caso delle monomie, otteniamo esattamente le soluzioni appena scritte.

come richiesto dall'equazione monomia di secondo grado. Occhio a non trascurare questo piccolo, subdolo dettaglio, e a non fare confusione: un conto è estrarre la radice quadrata di un numero, intesa come operazione

un altro conto è risolvere un'equazione: in questo caso cerchiamo tutti i possibili valori che, sostituiti a , rendono vera l'uguaglianza!

Esempi di equazioni pure

Applicando il procedimento, otteniamo

Il secondo membro è positivo, quindi l'equazione ammette due soluzioni distinte date da .

Si ha

dove è negativo, dunque l'equazione non ammette soluzioni reali.

Nel caso vogliate consultare altri esempi svolti, vi rimandiamo al nostro approfondimento sulle equazioni pure.

Equazioni di secondo grado spurie

Anche in questo caso la risoluzione è immediata e ci permette di evitare la formula del discriminante. Possiamo infatti ricavare le soluzioni applicando la legge di annullamento del prodotto, secondo cui il prodotto di due fattori è zero se almeno uno dei due fattori è nullo.

Non dobbiamo fare altro che effettuare un raccoglimento a fattore comune

e applicare la legge di annullamento al prodotto su , ossia porre separatamente ognuno dei due fattori uguale a zero:

Otteniamo così due soluzioni distinte: .

Esempio di equazione di secondo grado spuria

Applicando il procedimento per le equazioni spurie, otteniamo

da cui le soluzioni

Per approfondire con ulteriori esempi svolti: equazione spuria.

Metodo alternativo - Risolvere le equazioni di secondo grado per scomposizione

Esiste un metodo alternativo all'utilizzo della formula del delta per le equazioni di secondo grado, che può essere utilizzato sia per le equazioni complete che per quelle non complete, ma che ha una limitazione pratica.

Consideriamo la forma normale delle equazioni di secondo grado

Se è possibile scomporre il polinomio di secondo grado come prodotto di due binomi di grado 1, e se siamo in grado di farlo con le tecniche di scomposizione che discendono dai prodotti notevoli, allora possiamo scomporre il polinomio nella seguente forma

A questo punto riscriviamo l'equazione nella forma equivalente

e applichiamo la legge di annullamento del prodotto per calcolare le soluzioni

Questo metodo potrà essere utilizzato ovviamente solo per le equazioni di secondo grado determinate, dunque con due soluzioni reali distinte o con due soluzioni reali coincidenti .

Per ottenere la scomposizione del polinomio di grado 2 possiamo usare qualsiasi tecnica atta allo scopo, e principalmente: differenza di quadrati, trinomio notevole con somma e prodotto, quadrato di binomio...

Questo metodo è utile per diversi motivi.

A) Talvolta ci capiterà di riconoscere al volo che il trinomio può essere scomposto facilmente, e quindi potremo risparmiarci i calcoli della formula del discriminante.

B) Permette di capire, dal punto di vista teorico, perché nelle equazioni di secondo grado con delta uguale a zero si parla di due soluzioni reali e coincidenti, o anche di una soluzione reale con molteplicità algebrica 2. Se consideriamo ad esempio l'equazione di secondo grado

vediamo subito che il primo membro è il quadrato di un binomio

che possiamo scrivere per esteso, nella forma

In questo senso è una duplice soluzione dell'equazione: è un singolo valore numerico che risolve l'equazione in due modi, annullando il primo fattore e annullando anche il secondo.

C) Il metodo può essere utilizzato al contrario per scomporre polinomi in cui i prodotti notevoli non ci sono d'aiuto. Se infatti immaginiamo di avere un polinomio di secondo grado

e di volerlo scomporre, possiamo considerare l'equazione di secondo grado associata

Se l'equazione risulta determinata, allora il polinomio a coefficienti reali può essere scomposto nel prodotto di due binomi:

- se l'equazione ammette un'unica soluzione con molteplicità algebrica 2. Detta essa , la scomposizione del polinomio è data da

- se l'equazione ammette due soluzioni reali distinte e la scomposizione del polinomio è data da

In entrambi ai casi, attenzione perché le scomposizioni richiedono di anteporre un segno meno alle soluzioni.

Per approfondire: scomposizione dei trinomi con le equazioni di secondo grado.

Ci fermiamo qui. Ci sarebbe molto altro da dire riguardo alle equazioni di secondo grado, ma non vogliamo bruciare le tappe. Vi anticipiamo solamente che, quando studieremo i numeri complessi, avremo modo di divertirci... ;) Ma per il momento avanziamo con ordine: le lezioni successive sono dedicate ad alcuni approfondimenti utili, dopodiché tratteremo le equazioni fratte di secondo grado e le equazioni parametriche di secondo grado.

Se volete fare un po' di allenamento potete servirvi delle schede correlate di esercizi svolti e di esercizi proposti, e nel caso non bastassero potete usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono tantissime risorse utili, tra cui ad esempio un comodo tool per risolvere le equazioni online, utile per controllare i risultati dei vostri esercizi. ;)

Orevwa, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

Beginner: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

Intermediate: SCHEDA 1 - SCHEDA 2

Tags: Equazioni di secondo grado ad un'incognita - come risolvere le equazioni di secondo grado - formula per le soluzioni delle equazioni di secondo grado.

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Le equazioni di secondo grado ad un'incognita, dette anche equazioni di grado 2, sono equazioni in cui l'incognita compare con esponente di grado 2 ed eventualmente con esponenti di grado inferiore. Dopo aver affrontato le equazioni di primo grado passiamo in modo del tutto naturale alla successiva tipologia di equazioni intere, ossia definite mediante polinomi.