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Dialektische Erörterung (Pro- und Kontra-Erörterung) | sofatutor.com

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Lerne Dialektische Erörterung (Pro- und Kontra-Erörterung) verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!

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Was war nochmal ein EXPONENT? Wo genau finde ich diese BASIS? Warum ist zwei hoch null jetzt nochmal EINS? Und was zum Teufel ergibt drei hoch MINUS vier? Wenn es um POTENZEN geht, kann man schnell mal den Überblick verlieren. Um da wieder voll durchzublicken, klären wir die „Definition von Potenzen" nochmal ganz in Ruhe. Fangen wir vorne an: Potenzen sind nichts Anderes als eine verkürzte Schreibweise für die WIEDERHOLTE Multiplikation einer Zahl mit sich selbst. So ist zum Beispiel „vier hoch drei" die Kurzschreibweise für „vier mal vier mal vier". Die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, hier die vier, ist unsere BASIS. Der EXPONENT, manchmal auch Hochzahl genannt, gibt an, WIE OFT die Basis mit sich selbst multipliziert wird. In unserem Beispiel ist es also die drei. Basis und Exponent zusammengenommen nennen wir POTENZ. Wenn wir unsere Potenz ausrechnen, erhalten wir vierundsechzig. Das Ergebnis nennen wir POTENZWERT. Allgemein können wir das Ganze so formulieren: Die Potenz „a hoch n", mit der Basis a und dem Exponenten n, ist gleich der Zahl a „n-mal" mit sich selbst multipliziert. Setzen wir zum Beispiel für a fünf und für n zwölf ein, wird die fünf zwölf mal mit sich selbst multipliziert. Keine Sorge, das rechnen wir jetzt nicht aus. Soweit zu den Grundlagen. Doch wenn der Exponent angibt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Was ist dann, wenn eine NULL, oder sogar eine NEGATIVE Zahl im Exponenten steht? Auch in diesen Fällen lassen sich die Potenzen problemlos berechnen. Wie wir vorgehen müssen, wird schnell klar, wenn wir uns folgendes Beispiel anschauen: Drei hoch EINS ist einfach drei, drei hoch ZWEI ergibt neun, drei hoch DREI ist gleich siebenundzwanzig und so weiter. Immer wenn wir den Exponenten um EINS erhöhen, müssen wir ein weiteres mal mit der Basis drei multiplizieren. Wir können aber auch ANDERSHERUM vorgehen: Verringern wir den Exponenten um eins, müssen wir die Umkehroperation zur Multiplikation anwenden. Also einmal durch die Basis DIVIDIEREN. Wenn wir auf der einen Seite den Exponenten von „drei hoch vier" auf „drei hoch drei" verringern, dann teilen wir auf der anderen Seite dementsprechend durch drei und erhalten siebenundzwanzig. Nach einem weiteren Schritt landen wir bei neun und schließlich bei drei. Diese Vorgehensweise können wir nun weiter fortsetzen und den Exponenten erneut um eins verringern. Wir dividieren einfach ein weiteres Mal durch drei. Drei hoch null ist also EINS. Als Regel notieren wir: Eine Basis a, die mit null potenziert wird, ist IMMER gleich eins. a selbst darf dabei NICHT gleich null sein. Zurück zu unserem Beispiel, wir können tatsächlich noch weitergehen. Verringern wir den Exponenten erneut um eins, wird dieser negativ, wir erhalten drei hoch MINUS eins. Um den Potenzwert zu berechnen, müssen wir nur ein weiteres mal durch drei teilen. Das Ergebnis ist also ein Drittel! Diesen Schritt können wir beliebig oft wiederholen: Wenn wir einen Bruch durch drei DIVIDIEREN wollen, machen wir das, indem wir den Nenner mit drei MULTIPLIZIEREN. Drei hoch minus zwei ist dementsprechend ein Neuntel, drei hoch minus drei ist ein Siebenundzwanzigstel, drei hoch minus vier ein Einundachtzigstel und so weiter. Schauen wir nochmal auf die Nenner: Diese können wir mit Hilfe der Potenzschreibweise auch wieder umschreiben. Und auch hier erkennen wir eine allgemeine Regel: a hoch minus n ist gleich „eins durch a hoch n". a darf hierbei nicht den Wert Null annehmen und n muss eine natürliche Zahl sein. Na, das ist doch eigentlich ganz easy. Schauen wir uns die wichtigsten Begriffe und Definitionen zu Potenzen noch einmal auf einen Blick an: Eine Potenz besteht aus Basis und Exponent. Der EXPONENT gibt an, wie oft die BASIS mit sich selbst multipliziert wird. Steht eine NULL im Exponenten, so ist der Potenzwert immer gleich eins. Für den Fall, dass der Exponent NEGATIV ist, können wir die Potenz als Bruch umschreiben. Im Zähler steht dann immer eine eins, im Nenner die Potenz selbst, allerdings ohne das Minus im Exponenten. Mit Hilfe der Bruchschreibweise können wir auch bei Potenzen mit negativem Exponenten den Potenzwert leicht berechnen. Und das reicht auch schon als Überblick. Dann sollte in Zukunft ja POTENZIELL nichts mehr schief gehen.

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Was war nochmal ein EXPONENT? Wo genau finde ich diese BASIS? Warum ist zwei hoch null jetzt nochmal EINS? Und was zum Teufel ergibt drei hoch MINUS vier? Wenn es um POTENZEN geht, kann man schnell mal den Überblick verlieren. Um da wieder voll durchzublicken, klären wir die „Definition von Potenzen" nochmal ganz in Ruhe.

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Was sind Brüche? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Brüche? kannst du es wiederholen und üben.

Teilt Wasabi die Sushirolle in sechs gleiche Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{6}$ der gesamten Rolle.

Fasst Wasabi zwei gleiche Teile zusammen, so erhält er einen Bruch mit dem Zähler $2$.

Diesem Anteil entspricht der Bruch $\frac{4}{5}$.

Wasabi teilt seine Sushirolle in fünf gleiche Stücke. Jedes Stück ist daher ein Fünftel der ganzen Rolle. Man schreibt diesen Anteil als $\frac{1}{5}$.

Fasst Wasabi mehrere solcher Stücke zusammen, so erhält er einen Anteil, der wieder als Bruch mit dem Nenner $5$ geschrieben werden kann. Die Art der Teile, die der Nenner benennt, ist nämlich dieselbe geblieben: Fünftel. Der Zähler des Bruches zählt die Stücke des Anteils. Er entspricht daher der Anzahl von Stücken, die Wasabi jeweils zusammenfasst.

Bei einem echten Bruch entspricht dem Anteil weniger als das Ganze, d. h. hier weniger als eine ganze Sushirolle. Die Anzahl der zusammengefassten Stücke kann auch größer sein als die Anzahl der Teile einer ganzen Rolle. In diesem Fall ist der Zähler größer als der Nenner.

So findet Wasabi die Anteile, wie sie hier im Bild zu sehen sind.

Ein Bruch wird Stammbruch genannt, wenn er genau einen Anteil eines Ganzen beschreibt.

Teilt Wasabei die Sushirolle in sieben gleich große Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{7}$ der ganzen Sushirolle.

Fasst Wasabi vier der sieben gleich großen Teile der Sushirolle zusammen, erhält er $\frac{4}{7}$ der gesamten Rolle.

Wasabi teilt seine Sushirollen stets in gleich große Stücke auf. Die Stücke kann er durch Brüche beschreiben. Ein Bruch beschreibt nämlich immer einen Anteil eines Ganzen. Teilt Wasabi eine Sushirolle in fünf gleiche Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{5}$ der gesamten Sushirolle.

Andere Anteile als $\frac{1}{5}$ erhält Wasabi, wenn er einzelne Stücke zusammenfasst. Fasst er drei der fünf Teile einer Sushirolle zusammen, beträgt der Anteil $\frac{3}{5}$. Von den fünf Teilen der Rolle sind danach noch zwei Teile übrig. Sie entsprechen einem Anteil von $\frac{2}{5}$. Die Zahl unter dem Bruchstrich entspricht hier immer der Gesamtzahl der Teile, in die Wasabi die Rolle geteilt hat. Die Zahl über dem Bruchstrich entspricht der Anzahl der Teile, die er zusammengefasst hat.

Nimmt Wasabi zu einer in fünf gleich große Stücke geteilten Sushirolle ein weiteres Stück derselben Größe hinzu, so hat er sechs Stücke, die jeweils ein Fünftel einer ursprünglichen gesamten Rolle ausmachen. Der Anteil entspricht daher dem Bruch $\frac{6}{5}$.

Schreibst du Anteile mit zwei Zahlen und einem Strich dazwischen, nennt man diese Schreibweise einen Bruch. Die Zahl über dem Bruchstrich heißt Zähler des Bruches, denn sie zählt die Teile, die zusammengefasst werden. Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt Nenner, da sie die Art der Anteile benennt. Hat Wasabi die Rolle in fünf gleich große Stücke zerschnitten, so ist Fünftel die Art dieser Teile. Der Nenner dieser Aufteilung ist daher hier immer $5$.

Der Bruchstrich entspricht einem Geteiltzeichen. Denn wenn Wasabi eine ganze Rolle in fünf Teile teilt, entspricht das der Teilung $1:5$ oder dem Bruch $\frac{1}{5}$. Fasst er zwei solcher Teile zu $\frac{2}{5}$ zusammen, bekommt er den gleichen Anteil wie bei einer Teilung von zwei ganzen Rollen in fünf gleiche Anteile, also $2:5$.

Ein Bruch mit dem Zähler $1$ heißt Stammbruch. Zwei Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamige Brüche, denn sie gehören zu der gleichen Art von Teilen, die der Nenner benennt. Ein Bruch, bei dem der Nenner größer ist als der Zähler, heißt echter Bruch. Einen echten Bruch kann man nicht als ganze Zahl und auch nicht als gemischten Bruch schreiben.

Ergänze die Lebensmittel jeweils zu einem Ganzen und zähle dessen Teile. Die Gesamtzahl der Teile ist der Nenner des gesuchten Bruches.

Der Zähler des gesuchten Bruches ist die Anzahl der noch vorhandenen Stücke.

In diesem Eierkarton haben $10$ Eier Platz, es sind aber nur $7$ Eier darin. Der noch vorhandene Anteil beträgt daher $\frac{7}{10}$.

Teilst du ein Ganzes in gleich große Teile, so bestimmt die Gesamtzahl der Teile die Art dieser Teile, die der Nenner benennt. Der Nenner ist also die Gesamtzahl gleicher Teile eines Ganzen. Der Zähler zählt die Stücke, die zu diesem Anteil zusammengefasst sind.

In der Aufgabe sind verschiedene Lebensmittel aufgeteilt dargestellt. Um die Nenner der Brüche herauszufinden, musst du zuerst die jeweilige Gesamtzahl der Teile bestimmen: Bevor jemand davon genascht hat, hatte die Torte mal $12$ Stücke und der Kuchen mit dem Gittermuster $5$ Stücke. In dem Messbecher sind $7$ gleiche Anteile zu sehen und der Inhalt der Pralinenschachtel bestand ursprünglich aus $8$ gleichen Teilen.

Um die noch vorhandenen Anteile zu bestimmen, kannst du entweder die vorhandenen Stücke zählen oder die Lücken der fehlenden Stücke zählen und von der ursprünglichen Gesamtzahl abziehen. Du kommst so auf folgende fehlende Anteile:

Torte: Hier sind noch $8$ von $12$ Stücken vorhanden, der Bruch beträgt also $\frac{8}{12}$.

Pralinenschachtel: Es fehlen bereits $7$ Pralinen, von der ganzen Pralinenschachtel ist also ein Achtel noch vorhanden. Der gesuchte Anteil beträgt demnach $\frac{1}{8}$.

Gitterkuchen: Die vorhandenen Stücke lassen sich zu einem ganzen Kuchen ergänzen. Dieser ganze Kuchen ist dann in $5$ gleich große Stücke eingeteilt, von denen hier bereits $2$ fehlen. Der noch vorhandene Anteil beträgt darum $\frac{3}{5}$.

Der Messbecher hat $7$ Teilstriche. Er ist aber nur bis zum zweiten Strich gefüllt. Daherist der gesuchte Anteil $\frac{2}{7}$.

Jedes Stück der Sushirolle ist $\frac{1}{5}$ der gesamten Rolle.

Bei den Bruchteilen von der Sushirolle und dem Rote-Bete-Strudel sollen die Zähler gleich sein.

Wasabi teilt jedes seiner Gerichte in jeweils gleich große Stücke. Die Anzahl der Stücke, die er aus einem Ganzen erhält, bestimmt die Art der Stücke. Die Sushirollen teilt er in Fünftel, die Polentataschen in Viertel. Den Rote-Bete-Strudel teilt Wasabi in Zwölftel und das Heidelbeertörtchen in Sechstel.

Der anspruchsvolle Gast verlangt ein Stück Polentatasche, d. h. $\frac{1}{4}$ der gesamten Polentatasche. Du darfst also den Bruch $\frac{1}{4}$ gelb markieren.

Der Gast möchte außerdem zwei Stücke von dem Heidelbeertörtchen. Den Anteil kannst du als Bruch schreiben: Der Nenner ist $6$, da Wasabi das Heidelbeertörtchen sechstelt. Der Zähler zählt die Anzahl der Teile, die der Gast auswählt, also $2$. Du kannst demnach den Bruch $\frac{2}{6}$ blau markieren.

Der Gast möchte viermal nacheinander ein Stück der Sushirolle. Bei Wasabi ist jedes Stück der Sushirolle genau $\frac{1}{5}$. Vier Stücke der Sushirolle entsprechen dem Anteil $\frac{4}{5}$ der ganzen Rolle.

Der Gast will zudem genau so viele Stücke vom Rote-Bete-Strudel wie von der Sushirolle, also $4$ Stücke. Daher hat der Bruch für den Anteil am Rote-Bete-Strudel denselben Zähler wie für den Anteil am Sushi. Der Nenner ist aber jetzt $12$, denn Wasabi teilt den Rote-Bete-Strudel stets in $12$ gleiche Teile. Du kannst also den Anteil $\frac{4}{12}$ violett markieren.

Der Bruchstrich besagt, dass die über ihm stehende Zahl durch die unter ihm stehende Zahl dividiert wird.

$\frac{1}{5}$ ist ein Stammbruch, $\frac{2}{5}$ aber nicht.

Die Zahl unter dem Bruchstrich benennt die Größe eines Anteils.

Wasabi denkt über das Aufteilen der Sushirolle nach: Er teilt immer so, dass jedes Stück dieselbe Größe hat. Die Art dieser Anteile benennt er nach der Gesamtzahl, die ein Ganzes ausmachen: Drittel, Viertel, Fünftel usw. Diese Benennung der Art macht den Nenner des Bruches aus. Um den Anteil an einer ganzen Rolle zu bestimmen, muss Wasabi zählen, wie viele Stücke er jeweils zusammengefasst hat. Diese Anzahl ist der Zähler des Bruches. Der Bruch selbst entspricht dem Teilen des Zählers durch den Nenner. Der Bruchstrich steht daher für ein Geteiltzeichen. Ein echter Bruch beschreibt einen Anteil, der wirklich weniger ist als das Ganze, das heißt, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner. So findet Wasabi die folgenden Definitionen:

Der Zähler ist die Zahl über dem Bruchstrich.

Der Nenner ist die Zahl unter dem Bruchstrich.

Der Bruchstrich entspricht einem Geteiltzeichen.

Ein Stammbruch ist ein Bruch mit dem Zähler $1$.

Ein echter Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner.

Gleichnamige Brüche kannst du addieren oder subtrahieren, indem du die Zähler addierst oder subtrahierst und die Nenner beibehältst.

Sind Zähler und Nenner eines Bruches gleich, so entspricht der Bruch der Zahl $1$.

Beispiele:

Bei der Rechnung mit Brüchen kommt es oft vor, dass du Brüche addieren oder subtrahieren willst. Das geht dann am einfachsten, wenn die Brüche in der Summe oder Differenz gleichnamig sind. Das heißt, alle haben denselben Nenner. Andere Summen oder Differenzen kommen in dieser Aufgabe nicht vor.

Gleichnamige Brüche kannst du addieren und subtrahieren, indem du die Zähler addierst bzw. subtrahierst und den Nenner beibehältst.

Folgende Gleichungen sind richtig:

$\frac{1}{5} + \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

Denn ein Stück der Sushirolle und drei Stücke ergeben zusammen vier Stücke, also $\frac{4}{5}$ der ganzen Rolle.

$\frac{7}{8} - \frac{8}{8} + \frac{9}{8} = 1$.

Das Addieren der Zähler ergibt $7-8+9 = 8$, daher ist $\frac{7}{8} - \frac{8}{8} + \frac{9}{8} = \frac{8}{8}$. Und $8$ Stücke einer in $8$ gleiche Teile geteilten Sushirolle sind wieder die ganze Rolle, also $\frac{8}{8}=1$.

$2\frac{3}{7} = \frac{17}{7}$.

Der Bruch $2\frac{3}{7}$ lässt sich zu dem Bruch $\frac{17}{4}$ umformen, denn $2 = 1+1 = \frac{7}{7}+ \frac{7}{7}$, also $2\frac{3}{7} = \frac{14}{7} + \frac{3}{7} = \frac{17}{7}$.
Folgende Gleichungen sind falsch:

$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} \neq \frac{3}{10}$

Ein Stück und zwei Stücke der in fünf Teile geteilten Sushirolle ergeben zusammen drei Stücke derselben Rolle, also $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \neq \frac{3}{10}$.

$\frac{6}{5} - \frac{4}{5} \neq \frac{5}{4}$

Die Summe oder Differenz gleichnamiger Brüche ergibt wieder einen gleichnamigen Bruch. Hier ist $\frac{6}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \neq \frac{5}{4}$.

$\frac{7}{6} \neq \frac{8}{6} -1$

Um die $1$ auf der rechten Seite subtrahieren zu können, musst du sie in einen zu den anderen gleichnamigen Bruch umwandeln, also zu $\frac{6}{6}$. Dann ist $\frac{8}{6}-1=\frac{8}{6}-\frac{6}{6}=\frac{2}{6}\neq\frac{7}{6}$.

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Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Brüche? kannst du es wiederholen und üben. Teilt Wasabi die Sushirolle in sechs gleiche Teile, so ist jeder Teil $\frac{1}{6}$ der gesamten Rolle. Fasst Wasabi zwei gleiche Teile zusammen, so erhält er einen Bruch mit dem Zähler $2$.

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Brüche und Anteile – Einführung | sofatutor.com

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Lerne Brüche und Anteile – Einführung verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!

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Brüche verstehen - Brüche als Teile eines Ganzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche verstehen - Brüche als Teile eines Ganzen kannst du es wiederholen und üben.

Brüche werden verwendet, um Zahlen darzustellen, die kleiner als $1$ sind. Dabei wird die $1$ auch als „ein Ganzes" bezeichnet.

Einen Bruch kannst du auch als Division betrachten: Die Zahl über dem Bruchstrich wird dabei durch die Zahl unter dem Bruchstrich geteilt.

Bei dieser Pizza ist $\frac13$ blau markiert und $\frac23$ sind bleiben übrig.

Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

„Brüche sind die mathematische Schreibweise, die du verwendest, wenn du Anteile eines Ganzen beschreiben willst."

Diese Schreibweise erlaubt uns nun, nicht mehr nur in ganzen Zahlen, sondern auch in kleineren Einheiten zu zählen.

„Die Zahl unter dem Bruchstrich gibt an, in wie viele Anteile du das Ganze teilst. Sie wird als Nenner bezeichnet."

Der Nenner „benennt" die Anzahl der insgesamt vorhandenen Anteile.

„Die Zahl über dem Bruchstrich ist der Zähler. Er beschreibt, wie viele dieser Anteile du betrachtest."

Der Zähler „zählt", wie viele Anteile wir betrachten.

„Bei der oben abgebildeten Pizza ist $\frac14$ blau markiert und $\frac34$ bleiben übrig."

Wir haben die Pizza in vier Stücke zerschnitten, daher steht im Nenner eine Vier. Wir zählen nur ein blau markiertes Teil und erhalten so $\frac14$. Wir finden jedoch drei weitere Viertel, sodass $\frac34$ übrig bleiben.

Der Nenner, also die Zahl unter dem Bruchstrich, gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wird.

Der Zähler, also die Zahl über dem Bruchstrich, gibt an, wie viele dieser Teile betrachtet werden.

Es kann vorkommen, dass zwei Brüche, die auf den ersten Blick verschieden aussehen, in Wirklichkeit gleich groß sind. Das bedeutet, dass sie denselben Anteil eines Ganzen beschreiben.

Um die Teilstücke der Pizzen den richtigen Brüchen zuzuordnen, kannst du in der Regel immer den gleichen Schritten folgen:

Untersuche, in wie viele Teile die Pizza (also das Ganze) geteilt ist. Diese Zahl ist dann der Nenner des zugehörigen Bruches.

Sieh dir dann an, wie viele dieser Teile hervorgehoben sind. Da du diese Teile nun gewissermaßen zählst, ist das auch die Zahl, die im Zähler des Bruches steht.

Die einzige Ausnahme ist hierbei die Pizza, bei der wir zwei Viertel betrachten: Zwar könnten wir dieser Pizza, ohne einen Fehler zu machen, den Bruch $\frac{2}{4}$ zuordnen, doch dieser steht hier nicht zur Auswahl. Wir sehen aber auch, dass die betrachteten Stücke zusammengenommen genau die Hälfte der Pizza ergeben. Deshalb können wir dieser Pizza genauso gut den Bruch $\frac{1}{2}$ zuordnen. Man sagt, die Brüche $\frac{2}{4}$ und $\frac{1}{2}$ haben denselben Wert.

Die Zahl, die angibt, in wie viele Stücke das Ganze geteilt wird, ist der Nenner. Die Zahl, die zählt, wie viele dieser Stücke wir betrachten, ist der Zähler.

Eine Stunde können wir zwar nicht mit dem Messer, dafür aber im Kopf teilen.

Stell dir eine Flasche Cola vor, die zu einem Drittel gefüllt ist. Obwohl das Ganze eigentlich gar nicht (mehr) vorhanden ist, können wir die übrige Menge als Anteil daran darstellen.

Bild 1 (Pizza):
Zuerst rufen wir uns noch einmal die Vorgehensweise in Erinnerung, mit der wir einen Anteil als Bruch aufschreiben. Das wichtigste ist zunächst, festzustellen, was überhaupt das Ganze ist, von dem wir einen Anteil betrachten. Das ist hier wieder eine Pizza.

Nun überprüfen wir, in wie viele Teile dieses Ganze geteilt ist; in diesem Fall sind das $8$. Diese Zahl schreiben wir immer in den Nenner des Bruches, also unter den Bruchstrich, denn sie bedeutet, dass die Pizza in Achtel geteilt wurde.

Als letztes zählen wir, wie viele dieser Teile wir nun untersuchen. Hier sind drei Teile markiert, also schreiben wir die Zahl $3$ in den Zähler des Bruches. Damit kennen wir schon das Ergebnis: Wir betrachten drei Achtel der ganzen Pizza oder $\frac{3}{8}$.
Bild 2 (Kuchen):
Hier gehen wir auf genau dieselbe Art und Weise vor. Der Kuchen (das Ganze) wurde in $5$ Stücke geteilt, von denen wir $2$ betrachten; der gesuchte Bruch ist also $\frac{2}{5}$.
Bild 3 (Uhr):
In diesem Bild ist es nicht direkt die Uhr, die geteilt wird, sondern eine Stunde. Diese ist hier also das Ganze. Da eine Stunde etwas Abstraktes ist, das wir nicht mit dem Messer schneiden können, können wir auch die Anteile nicht sehen; wir behelfen uns aber mit der Darstellung als Uhr, die wir hier in Gedanken in $4$ Stücke teilen. Der Minutenzeiger hat hier eines dieser Stücke, also ein Viertel einer Stunde überstrichen - deshalb sagt man auch „Viertelstunde". Als Bruch schreiben wir das als $\frac{1}{4}$. Alternativ können wir die Uhr auch in die $12$ Segmente teilen, die durch die Stundenzahlen gebildet werden - in diesem Fall hat der Zeiger $3$ dieser Segmente überstrichen, also $\frac{3}{12}$. Diese Brüche sind beide richtig, haben also den gleichen Wert: $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. Da hier aber nur der Bruch $\frac{1}{4}$ zur Auswahl steht, wählen wir diesen aus.
Bild 4 (Messbecher):
Hier müssen wir noch ein Stück weiter denken, da das Ganze in diesem Bild gar nicht wirklich zu sehen ist. Das wäre hier nämlich der volle Messbecher.

Wenn wir uns diesen vorstellen, können wir jetzt aber trotzdem die Bruchschreibweise verwenden, da der Messbecher nur teilweise gefüllt ist. Ein komplett gefüllter Messbecher wäre bis zum zehnten Strich gefüllt, in diesem hier steht das Wasser nur bis zum siebten. Der Messbecher ist damit zu sieben Zehnteln oder $\frac{7}{10}$, gefüllt.

Es kann dir helfen, dir die Brüche anhand etwas leicht teilbarem (zum Beispiel einer Pizza) vorzustellen oder aufzuzeichnen. Daran kannst du erkennen, welche Brüche den gleichen Anteil des Ganzen darstellen.

Betrachte einmal die Brüche $\frac{1}{4}$ und $\frac{2}{8}$. Dass sie den gleichen Wert haben, lässt sich daran erkennen, dass der Nenner bei beiden Brüchen viermal so groß ist wie der Zähler.

Wir betrachten zunächst als Beispiel die Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$. Wir sehen hier, dass der Nenner in beiden Fällen doppelt so groß ist wie der Zähler. Mit anderen Worten: Wir betrachten die Hälfte der Teile, in die wir das Ganze zuvor geteilt haben. Denn genauso wie $1$ die Hälfte von $2$ ist, ist $2$ wiederum die Hälfte von $4$.

Dieser Trick lässt sich auf alle Brüche anwenden. Wenn also das Verhältnis von Zähler zu Nenner bei zwei Brüchen gleich ist, dann haben auch die Brüche denselben Wert.

Wir suchen deshalb zunächst nach Brüchen, deren Zähler halb so groß ist wie ihr Nenner. Das sind, zusätzlich zu $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$, auch noch die Brüche $\frac{3}{6}$, $\frac{4}{8}$, $\frac{5}{10}$ und $\frac{6}{12}$.

Für den Bruch $\frac{1}{3}$ gilt dasselbe Prinzip, nur dass wir jetzt Brüche suchen, deren Nenner dreimal so groß ist wie ihr Zähler. Das sind hier $\frac{2}{6}$, $\frac{3}{9}$, $\frac{4}{12}$ und $\frac{5}{15}$.

Und auch für den Bruch $\frac{1}{4}$ finden wir beliebig viele weitere Darstellungen, solange deren Nenner viermal so groß ist wie ihr Zähler. Hier finden wir die Brüche $\frac{2}{8}$, $\frac{3}{12}$, $\frac{4}{16}$ und $\frac{5}{20}$, auf die das zutrifft.

Natürlich gibt es in allen drei Fällen noch unendlich viele weitere Brüche, die denselben Wert wie der Ausgangsbruch besitzen. Diese können wir erhalten, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren, da sich dann ihr Verhältnis nicht ändert; diesen Vorgang nennen wir Erweitern des Bruches. Beispielsweise haben wir $\frac{1}{2}$ mit $3$ erweitert, um den Bruch $\frac{3}{6}$ zu erhalten, der denselben Wert hat:

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{3\cdot1}{3\cdot2}=\dfrac{3}{6}$.

Der Bruch $\frac{3}{4}$ sagt aus, dass wir das Ganze in $4$ Teile geteilt haben und nun $3$ dieser Teile betrachten.

Obwohl sich Zeit nicht mit dem Messer schneiden lässt, kennst du sicherlich den Ausdruck „eine Viertelstunde".

Die folgenden Aussagen sind wahr:

„Der Nenner eines Bruches stellt dar, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde."

„Brüche können einen Wert zwischen $0$ und $1$ haben." Der Grund, warum wir Brüche überhaupt eingeführt haben, ist, dass wir Zahlen zwischen $0$ und $1$ darstellen können, denn genau das sind Anteile eines Ganzen. Allerdings können Brüche auch einen Wert haben, der größer als $1$ oder kleiner als $0$ (also negativ) ist. Größer als $1$ sind Brüche genau dann, wenn ihr Zähler größer als ihr Nenner ist (zum Beispiel $\frac{4}{3}$) - allerdings können wir sie uns dann nicht mehr ganz so gut als Anteile vorstellen.

„Der Zähler eines Bruches beschreibt, wie viele Teile eines Ganzen wir betrachten." Der Nenner gibt an, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und der Zähler beschreibt, wie viele dieser Teile für unser aktuelles Problem relevant sind.

Diese Aussagen sind dagegen falsch:

„Der Zähler eines Bruches stellt die Anzahl an Ganzen dar." Der Zähler stellt nicht die Anzahl an Ganzen dar, sondern die Anzahl an Anteilen eines Ganzen.

„Der Bruch $\frac{1}{3}$ bedeutet, dass wir drei Ganze betrachten." Wir betrachten hier nicht drei Ganze, sondern ein Drittel eines Ganzen. Die $3$ im Nenner ist nicht die Anzahl der Ganzen, sondern die Anzahl an Anteilen, in die das Ganze geteilt wird.

„Wir können nur Dinge als Brüche darstellen, die wir auch physisch in Stücke teilen können." Zwar kann man sich Brüche anhand einer Pizza leichter vorstellen, da wir sie mit dem Messer schneiden können. Wir können Brüche aber genauso gut auf abstraktere Konzepte anwenden. Ein Beispiel dafür ist die Zeit, ohne Brüche würden die Ausdrücke „eine Viertelstunde" oder „eine halbe Sekunde" wenig Sinn ergeben.

Die folgende Rechnung ist ein Beispiel für einen Anteil an einer Menge, die aus mehr als einem Ganzen besteht:

$\dfrac{1}{4}\cdot 28 = 7$

Den Lückentext kannst du folgendermaßen vervollständigen:

„Im Alltag können wir auch Anteile an Grundmengen, die aus mehr als einem Ganzen bestehen, beschreiben. Haben wir zum Beispiel zehn Stifte vor uns liegen und betrachten davon fünf, dann haben wir die ursprüngliche Menge in $2$ geteilt. Wir betrachten jetzt also die Hälfte von $10$."

Alternativ können wir nun die Grundmenge, also die $10$ Stifte, als „das Ganze" betrachten. In diesem Fall wollen wir wissen, wie die Hälfte dieses Ganzen aussieht.

„Mathematisch drücken wir diese Aussage durch eine Multiplikation des Bruches mit der Anzahl an Dingen in der Grundmenge aus. Die Grundmenge sind hier die $10$ Stifte, der Bruch, den wir betrachten, ist $\frac{1}{2}$. Also rechnen wir:
$\dfrac{1}{2}\cdot10=5$

Du kannst diese Rechnung lesen als „Die Hälfte von zehn ist fünf ".

Anteile an Mengen berechnen wir immer durch Multiplikation. Der Malpunkt hat dabei die Bedeutung des Wortes „von".

„Allgemein kannst du ein solches Produkt berechnen, indem du zuerst die Zahl neben dem Bruch mit dem Zähler des Bruches multiplizierst. Das Ergebnis dividierst du dann durch den Nenner des Bruches.

Wir teilen also zunächst die Grundmenge in so viele Teile, wie der Nenner des Bruches vorgibt. Das ist nichts anderes als eine gewöhnliche Division, hier: $10:2=5$. Danach „zählen" wir so viele dieser Teile zusammen, wie es uns der Zähler vorschreibt; in diesem Fall betrachten wir nur eine Hälfte und das Ergebnis bleibt nach einer Multiplikation mit $1$ unverändert.

Betrachten wir noch ein anderes Zahlenbeispiel:
$\dfrac{2}{3}\cdot 12 =\underbrace{\overbrace{(2\cdot12)}^{\text{Multiplikation}}:3}_{\text{Division}} =24:3 = 8$

Wir sagen: „Zwei Drittel von zwölf sind acht".

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Brüche verstehen - Brüche als Teile eines Ganzen | sofatutor.com

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Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche verstehen - Brüche als Teile eines Ganzen kannst du es wiederholen und üben. Brüche werden verwendet, um Zahlen darzustellen, die kleiner als $1$ sind. Dabei wird die $1$ auch als „ein Ganzes" bezeichnet.

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Inhalt

Satzzeichen bei der wörtlichen Rede - für die Grundschule erklärt

Wenn du eine Geschichte, eine Postkarte oder eine E-Mail schreibst, brauchst du manchmal die wörtliche Rede.

Mit der wörtlichen Rede kannst du aufschreiben, was eine Person sagt. Auch einen Dialog, also ein Gespräch zwischen zwei Menschen, kannst du auf diese Weise notieren. Geschichten können durch den Einsatz von wörtlicher Rede noch interessanter und spannender werden. Denn die wörtliche Rede macht eine Erzählung lebendiger.

Hier siehst du einen Beispielsatz. Entdeckst du die wörtliche Rede?
„Geschichten schreiben macht Spaß", sagt Merle.
Vielleicht hast du schon gesehen, dass die wörtliche Rede besonders markiert ist und man sie an bestimmten Satzzeichen immer gut erkennen kann. Außerdem besteht jede wörtliche Rede aus verschiedenen Teilen, die aber unterschiedlich angeordnet werden können.

Der Redebegleitsatz zeigt an, wer etwas sagt.

Die wörtliche Rede ist das, was gesagt wird.

Die Anführungszeichen oder Redezeichen zeigen den Beginn und das Ende der wörtlichen Rede an.

Satzzeichen bei der wörtlichen Rede sind ein wichtiges Thema im Deutschunterricht. Denn bei der wörtlichen Rede ist die Zeichensetzung nicht immer gleich. Hast du in der Grundschule zu dem Thema Wörtliche Rede und Satzzeichen schon Arbeitsblätter bearbeitet?

Es gibt einige Regeln für die Satzzeichen in der wörtlichen Rede. Je nachdem ob du einen vorangestellten Begleitsatz, einen eingeschobenen Begleitsatz oder einen nachgestellten Begleitsatz in der wörtlichen Rede verwendest, ändern sich die Satzzeichen.

Drei Arten des Begleitsatzes der wörtlichen Rede - Satzzeichen einfach erklärt

Bei der wörtlichen Rede wird häufig der vorangestellte oder der nachgeschobene Begleitsatz verwendet.
Der vorangestellte Begleitsatz Robin fragt: „Kannst du Satzzeichen in der wörtlichen Rede richtig setzen?"

Hinter dem vorangestellten Begleitsatz steht immer ein Doppelpunkt.

Danach folgen die Anführungszeichen unten und die wörtliche Rede beginnt.

Das erste Wort der wörtlichen Rede wird großgeschrieben.

Nach der wörtlichen Rede folgt das Satzzeichen, also ein Punkt, ein Fragezeichen oder ein Ausrufezeichen.

Als Letztes setzt du die Anführungszeichen oben.

Der nachgeschobene Begleitsatz „Jeder Begleitsatz hat andere Satzzeichen", sagt Robin.

Als Erstes setzt du die Anführungszeichen unten und die wörtliche Rede beginnt.

Das erste Wort der wörtlichen Rede wird großgeschrieben.

Nach der wörtlichen Rede folgt ein Satzzeichen: ein Fragezeichen, ein Ausrufezeichen oder ein Komma.

Bei einem Fragezeichen oder einem Ausrufezeichen stehen die Anführungszeichen oben hinter dem Satzzeichen.

Bei einem Komma stehen die Anführungszeichen oben vor dem Satzzeichen.

Dann folgen der Redebegleitsatz und ein Punkt.

Es gibt noch eine dritte Möglichkeit, den Begleitsatz in der wörtlichen Rede zu platzieren - den eingeschobenen Begleitsatz. Doch was ist der eingeschobene Begleitsatz und welche Satzzeichen werden in der wörtlichen Rede in diesem Fall verwendet?
Der eingeschobene Begleitsatz „Ich weiß Bescheid", sagt Robin, „ich kenne jetzt die drei verschiedenen Begleitsätze."

Du beginnst mit den Anführungszeichen unten und es folgt die wörtliche Rede.

Das erste Wort der wörtlichen Rede wird großgeschrieben.

Nach der wörtlichen Rede folgen die Anführungszeichen oben, ein Komma und der Redebegleitsatz.

Der zweite Teil der wörtlichen Rede wird am Anfang kleingeschrieben sowie am Anfang und am Ende mit Anführungszeichen versehen.

Auf dem Bild siehst du die verschiedenen Teile der wörtlichen Rede:

Satzzeichen bei der wörtlichen Rede - Zusammenfassung

In der folgenden Tabelle sind wichtige Regeln zur wörtlichen Rede aufgeführt.

Redebegleitsätze

Der Redebegleitsatz zeigt an, wer etwas sagt. Es gibt vorangestellte, eingeschobene und nachgeschobene Redebegleitsätze.

Wörtliche Rede

Die wörtliche Rede ist das, was gesagt wird.

Rechtschreibung

Innerhalb der wörtlichen Rede gelten die Rechtschreibregeln.

Doppelpunkt

Das erste Wort nach dem Doppelpunkt wird großgeschrieben.

Zeichensetzung

Die Zeichensetzung ändert sich. Je nachdem welchen Redebegleitsatz du in der wörtlichen Rede verwendest, musst du verschiedene Satzzeichen setzen.

Möchtest du noch mehr erfahren? Bei sofatutor gibt es zu dem Thema Wörtliche Rede und Satzzeichen weitere Übungen. Du kannst auch selbst Geschichten oder Dialoge schreiben und dir Beispiele für die verschiedenen Satzzeichen bei der wörtlichen Rede ausdenken.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Satzzeichen bei der wörtlichen Rede

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Satzzeichen bei der wörtlichen Rede | sofatutor.com

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Wenn du eine Geschichte, eine Postkarte oder eine E-Mail schreibst, brauchst du manchmal die wörtliche Rede. Mit der wörtlichen Rede kannst du aufschreiben, was eine Person sagt. Auch einen Dialog, also ein Gespräch zwischen zwei Menschen, kannst du auf diese Weise notieren. Geschichten können durch den Einsatz von wörtlicher Rede noch interessanter und spannender werden.

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Inhalt

Satzreihen und Satzgefüge

Kannst du dich an den Unterschied zwischen Satzgefüge und Satzreihe erinnern? Bei einer Reihe steht etwas nebeneinander (gleiche Ebene), bei einem Gefüge sind die Bestandteile unter- und übergeordnet (verschiedene Ebenen).

Stehen zwei oder mehrere Hauptsätze nebeneinander, nennt man dies Satzreihe.

Verbindet man einen Hauptsatz mit einem untergeordneten Nebensatz, wird dies als Satzgefüge bezeichnet.

Die Unterscheidung von Hauptsätzen und Nebensätzen ist einfach:

Bei Hauptsätzen steht das finite Verb (Personalform) in der Regel an zweiter Satzgliedstelle.
→Deri steht an Deck des Schiffs.

Bei Nebensätzen steht das finite Verb am Satzende. In der Regel werden Nebensätze mit einer unterordnenden Konjunktion eingeleitet und sie können nicht allein stehen. Die Nebensätze werden dem Hauptsatz untergeordnet.
→Smilla entdeckt, dass Deri an Deck des Schiffs steht.

Regeln zur Kommasetzung in Satzreihen und Satzgefügen

Nach dieser Wiederholung der wichtigsten Merkmale von Haupt- und Nebensätzen lernst du nun, die Kommas in Satzreihen und Satzgefügen richtig einzufügen. Wann und wie setzt man ein Komma in Satzgefügen ein? Werden Satzreihen immer durch ein Komma getrennt? Wie lauten die Regeln für die Zeichensetzung bei Satzreihen und Satzgefügen?

Die Regeln erläutern wir dir getrennt nach Satzreihe und nach Satzgefüge. Anhand von Beispielen in dieser Übersicht und in den Übungen sowie Arbeitsblättern im Anschluss an das Video kannst du die Regeln zur Kommasetzung in Satzgefügen und Satzreihen anwenden und dein Wissen vertiefen.

Das Komma in Satzreihen

Satzreihen bestehen aus mindestens zwei Hauptsätzen. Die Verbindung von zwei oder mehreren Hauptsätzen kannst du unterschiedlich vornehmen:

Hauptsätze können direkt nebeneinander stehen. Dann müssen sie mit einem Komma voneinander abgetrennt werden.
→Der Geist ist groß, er kann sogar fliegen.

Du kannst die Hauptsätze auch mit nebenordnenden Konjunktionen verbinden. Beispiele für nebenordnende Konjunktionen sind und, oder, aber, denn, doch, sondern.

Achte darauf, dass es bei nebenordnenden Konjunktionen zwischen Hauptsätzen zwei unterschiedliche Regeln zur Kommasetzung gibt.

$~$1. Das Komma braucht nicht gesetzt werden: Bei den beiden Konjunktionen , kannst du auswählen, ob du die Hauptsätze mit Komma abtrennst oder nicht.
→ Der Geist ist groß(,) und er kann sogar fliegen.
→ Sie sitzen an Deck(,) oder sie schlafen in ihren Kojen.

$~$2. Das Komma muss gesetzt werden: Die nebenordnenden Konjunktionen wie aber, denn, doch, sondern leiten meist zu einem Gegensatz oder einer Einschränkung über und müssen mit einem Komma abgetrennt werden.
→ Smilla ist eigentlich glücklich, aber sie macht sich Sorgen wegen Deri.

Vertiefe dein Wissen zu Konjunktionen und Kommas zwischen Hauptsätzen und Nebensätzen mithilfe des Videos und der daran anschließenden Übungen.

Das Komma in Satzgefügen

Satzgefüge bestehen aus einem Hauptsatz und mindestens einem Nebensatz. Anders als bei der Satzreihe wird bei Satzgefügen immer ein Komma eingesetzt.

Die Kommas in Satzgefügen stehen in der Regel vor der unterordnenden Konjunktion, die den Nebensatz einleitet. Unterordnende Konjunktionen gibt es zahlreiche, beispielsweise wenn, als, dass, damit, falls.
→Deri glaubt, dass es spukt.

Der Nebensatz kann jedoch an verschiedenen Stellen stehen. Steht er vor dem Hauptsatz, wird das Komma nicht vor der unterordnenden Konjunktion gesetzt (Satzanfang), sondern am Ende des Nebensatzes.
→Da er ständig Geräusche hört, hat Deri Angst.

Die Kommasetzung bei komplexen Satzgefügen, also beispielsweise bei einem eingeschobenen Nebensatz, ist etwas komplizierter. Dafür musst du Haupt- und Nebensätze bestimmen. Achte darauf, dass du vor und nach dem eingeschobenen Nebensatz ein Komma setzen musst.
→Der Geist, den Deri gesehen hat, muss aber echt sein.

Übersicht: nebenordnende und unterordnende Konjunktionen

nebenordnende Konjunktionen
für Satzreihen

unterordnende Konjunktionen
für Satzgefüge

und, oder, aber, denn, doch, sondern usw.

wenn, als, dass, damit, falls, bevor, indem usw.

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Kommasetzung bei Satzgefügen und Satzreihen | sofatutor.com

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Kannst du dich an den Unterschied zwischen Satzgefüge und Satzreihe erinnern? Bei einer Reihe steht etwas nebeneinander (gleiche Ebene), bei einem Gefüge sind die Bestandteile unter- und übergeordnet (verschiedene Ebenen). Stehen zwei oder mehrere Hauptsätze nebeneinander, nennt man dies Satzreihe. Verbindet man einen Hauptsatz mit einem untergeordneten Nebensatz, wird dies als Satzgefüge bezeichnet.

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Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen.

Für $15a+21b$ gilt zum Beispiel:

Wir können nun den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern, also:

$15a+21b=3\cdot(5a+7b)$

Bei den Potenzen ist es hilfreich, sie mit diesem Potenzgesetz zunächst sinnvoll umzuformen.

Zum Beispiel kannst du bei $x^3y+x^2z$ schreiben:

$x^3y+x^2z=x^{2+1}y+x^2z=x^2\cdot xy+x^2z$

Damit siehst du, dass du $x^2$ ausklammern kannst.

$x^3y+x^2z=x^2\cdot(xy+z)$

Die folgenden Terme müssen ausgeklammert werden:

Term 1: $~4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8$

Wir schauen uns zunächst für die Zahlen $4=2\cdot 2$ und $8=2\cdot 2\cdot 2$ und $32= 2^5$ die Primfaktorzerlegungen an, damit ist $2 \cdot 2 =4$ in jedem Summanden enthalten und wir können $4$ wie folgt ausklammern:

$4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = 4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)$

Für die Potenzen nutzen wir das folgende Gesetz: Wir suchen für Potenzen gleicher Basis jeweils die Potenz mit dem kleinsten Exponenten und zerlegen die jeweils andere Potenz entsprechend. Für die Basis $x$ ist die Potenz mit dem kleinsten Exponenten zum Beispiel $x^2$. Den zweiten Summanden können wir dann mit $x^3=x^{2+1}=x^2 \cdot x$ und den dritten mit $x^5=x^{2+3}=x^2 \cdot x^3$ umschreiben:

$4(x^2y + 2x^3y^2 + 16x^5 y^8)=4(x^2y + 2x^2xy^2 + 16x^2x^3 y^8)=4x^2(y + 2xy^2 + 16x^3 y^8)$

Auf die gleiche Weise sehen wir, dass $y$ in allen drei Summanden vorkommt und wir es daher ausklammern können. Es ergibt sich:
$4x^2y + 8x^3y^2 + 32x^5 y^8 = \color{#669900}{4x^2y} (1+2xy+8x^3y^7)$
Term 2: $~3x^5z^2y-7zy^6x^5$
Auch bei Differenzen können wir auf diese Art und Weise vorgehen:

$3x^5z^2y-7zy^6x^5= 3\color{#669900}{x^5yz}z-7\color{#669900}{x^5y}y^5\color{#669900}{z}=\color{#669900}{x^5yz}(3z-7y^5)$

Die folgenden Terme müssen ausmultipliziert werden:
Term 3: $~4x^2y^5(3x^3+6yz)$

Dazu wird jeder Summand in der Klammer einzeln mit dem Faktor multipliziert:

$4x^2y^5(3x^3+6yz)= 4x^2y^5\cdot 3x^3+6yz\cdot 3x^3 = 12x^5y^5+24x^2y^6z$
Term 4: $~(x-1)y^2z$
Das Gleiche gilt auch bei Differenzen innerhalb der Klammer. Also:

$(x-1)y^2z= x\cdot y^2z-1\cdot y^2z = xy^2z-y^2z$

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Ausklammern und Ausmultiplizieren mit Potenzen | sofatutor.com

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Bei den Zahlen ist es nützlich, sich die Primfaktorzerlegung anzuschauen. Für $15a+21b$ gilt zum Beispiel: Wir können nun den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern, also: $15a+21b=3\cdot(5a+7b)$ Bei den Potenzen ist es hilfreich, sie mit diesem Potenzgesetz zunächst sinnvoll umzuformen. Zum Beispiel kannst du bei $x^3y+x^2z$ schreiben: $x^3y+x^2z=x^{2+1}y+x^2z=x^2\cdot xy+x^2z$ Damit siehst du, dass du $x^2$ ausklammern kannst.

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Inhalt

Was ist eine Potenz in der Mathematik?

In der Mathematik musst du manchmal eine Zahl mehrmals mit sich selbst multiplizieren. Meistens kannst du die Rechnung einfach ausschreiben, weil du die Multiplikation nicht so häufig durchführen musst. Zum Beispiel, wenn du die Zwei dreimal als Faktor nutzt:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Es kommt aber vor, dass du eine Zahl häufiger mit sich selbst multiplizieren musst. Dann kann es sehr mühsam und lang werden, alle Faktoren einzeln zu schreiben. Deswegen gibt es die Potenzschreibweise, mit der man diese Rechnung viel einfacher aufschreiben kann. Aber was ist eine Potenzschreibweise?
Potenzschreibweise - Erklärung
In der Potenzschreibweise nennt man die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, die Basis. Die Anzahl der Faktoren heißt Exponent und steht rechts oben neben der Basis. Das Ergebnis der Rechnung ist dann der Potenzwert. Das können wir so aufschreiben:

$\text{Potenzwert} = \text{Basis}^{\text{Exponent}}$

Schauen wir uns an, wie man das Beispiel mit der Zwei in der Potenzschreibweise ausdrücken würde. Die Zahl, die hier mit sich selbst multipliziert wird, ist die Zwei. Sie ist also die Basis. In der Rechnung $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ taucht die Zwei dreimal als Faktor auf. Die Drei ist also der Exponent. Wir können diese Rechnung also auch so aufschreiben:

$2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8$
Potenzschreibweise - Beispiele
Schauen wir uns noch ein paar Beispiele an, bevor wir eine Definition aufschreiben.

Potenzen - Definition

Wir können jetzt eine Definition dafür aufschreiben, wie man eine Zahl als Potenz schreibt.

$ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot .... \cdot a}_{n-mal} = a^{n}$

So kannst du jede Multiplikation, in der eine Zahl beliebig oft mit sich selbst multipliziert wird, als Potenz schreiben.

Potenzen - Zusammenfassung

In diesem Video wird dir die Potenzschreibweise einfach erklärt. Du lernst, wie sich Potenzen zusammensetzen, und du lernst Beispiele kennen. Du findest auch zu diesem Video Übungen und ein Arbeitsblatt.

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In der Mathematik musst du manchmal eine Zahl mehrmals mit sich selbst multiplizieren. Meistens kannst du die Rechnung einfach ausschreiben, weil du die Multiplikation nicht so häufig durchführen musst. Zum Beispiel, wenn du die Zwei dreimal als Faktor nutzt: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Es kommt aber vor, dass du eine Zahl häufiger mit sich selbst multiplizieren musst.

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Lerne Die lineare Erörterung verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!

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Lerne Die lineare Erörterung verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!

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Oh, wie interessant, ein Interview mit dem Bildungsminister. Aber?! Nosferatu will die Werwölfe aus den Gruselschulen verbannen? Dracula ist entsetzt über die Position des Bildungsministers! Er beschließt, eine "Textgebundene Erörterung" zu schreiben. Wie der Name schon sagt, entsteht eine textgebundene Erörterung auf Grundlage eines Textes. In der Textvorlage, die z. B. ein Zeitungstext sein kann, wird eine strittige Frage behandelt oder ein Problem angesprochen und eventuell auch bewertet. Das Interview, über das sich Dracula so furchtbar aufregen musste, enthält z. B. die persönliche Position des Bildungsministers. Es geht um die strittige Frage, ob Werwölfe gemeinsam mit Vampiren, Zombies und anderen Gruselwesen EINE Schule besuchen sollten. Um in Bezug darauf eine textgebundene Erörterung zu verfassen, muss Dracula in zwei Schritten vorgehen: Zuerst verfasst er eine Textanalyse. Dann folgt eine kritische Stellungnahme. Du hast zwei unterschiedliche Möglichkeiten, um deine Erörterung zu gliedern. Option eins: Textanalyse und eigene Stellungnahme im Block. Hier schreibst du im Hauptteil zuerst die Textanalyse und gehst dabei die im Text dargelegten Thesen durch. Erst im Anschluss folgt DEINE Stellungnahme, bei der du dich auf die vorher genannten Thesen aus Teil eins beziehst. Du kannst den Argumenten aus dem Text zustimmen oder Gegenargumente anbringen. Option zwei: Textananalyse und eigene Stellungnahme im Wechsel. Bei diesem Aufbau erläuterst du zuerst eine These der Textvorlage und lieferst im Anschluss direkt deine eigene Position dazu. So wechseln sich Thesen aus dem Text mit deiner Stellungnahme ab. Beachte, dass die kritische Stellungnahme das Kernstück deines Aufsatzes sein soll.

Bevor du dich für eine Art des Aufbaus entscheidest, solltest du dich in einer Vorarbeit zunächst mit der Aufgabenstellung befassen. Meist bekommst du eine konkrete Aufgabenstellung. Diese sagt dir, unter welchen Gesichtspunkten du dich mit dem vorgegebenen Text auseinandersetzen solltest. Das könnte so lauten: „Erarbeite die Thesen aus dem Interview „Notstand an Gruselschulen: Interview mit Bildungsminister Nosferatu". Sind die Aussagen des Ministers begründet? Beziehe zu dieser Frage kritisch Stellung." Markiere Begriffe und Formulierungen, die Auskunft darüber geben, zu welchem Sachverhalt du Stellung beziehen musst. Nun kannst du dich näher mit der Textvorlage auseinandersetzen. Schaue dir dabei Inhalt und Argumentationsstruktur des Textes genauer an. Um welches Thema geht es? Welche Thesen sind aufgestellt? Welche Standpunkte vertreten? Wie ist die Argumentation aufgebaut? Ist sie überzeugend? Welche Beispiele wurden gewählt? Wird mit Vorurteilen gearbeitet? Werden Gegenargumente genannt? Zu welcher Schlussfolgerung führt die Argumentation? Welche Absicht verfolgt der Text? Untersuche außerdem die Sprache und die sprachlichen Mittel. Spricht der Text Gefühle an oder ist er nüchtern verfasst? Gibt es vielleicht ironische Passagen? Welche sprachlichen Mittel sind auffallend und was bewirken sie? Setze dich gut mit den Argumenten der Textvorlage auseinander. Du kannst Argumenten VÖLLIG zustimmen, ihnen TEILWEISE zustimmen, oder vollkommen WIDERSPRECHEN. Wenn du zustimmst, solltest du in deinem Aufsatz die Argumente der Autorin oder des Autors durch eigene Erkenntnisse stützen. Wenn du TEILWEISE zustimmst, ist es wichtig, weggelassene Aspekte anzusprechen. Grenze z. B. den Geltungsbereich ein, oder weise auf Konsequenzen hin, die vergessen wurden. Wenn du WIDERSPRICHST, solltest du Argumente auf Schlüssigkeit und Logik prüfen und durch Gegenargumente und -beispiele in Zweifel ziehen.

Jetzt kannst du mit dem Schreiben beginnen. In der Einleitung nennst du Titel des Textes, Autorin oder Autor und die Textsorte, sowie die Quelle und das Erscheinungsdatum falls vorhanden. Dann leitest du zum Thema über, indem du einen Bezug zum Problem herstellst. Im Hauptteil beginnst du dann z. B. mit der Textanalyse. Fasse den Text knapp zusammen und benenne die zentrale Problemstellung. Lege dann die Darstellung der zentralen Thesen und Argumente und die sprachlichen Mittel und ihre Wirkung dar. Vergiss nicht, deine Analyseergebnisse am Text zu belegen. Zitiere geeignete Textstellen (direkt oder indirekt) und belege die Zitate mit Seiten- und Zeilenangabe. In der darauffolgenden Stellungnahme konzentrierst du dich darauf, deine Meinung zu den vorgegebenen Argumenten herauszuarbeiten und sie überzeugend zu begründen. Wir haben das einmal beispielhaft formuliert: „Der Bildungsminister Nosferatu vertritt die These, dass Werwölfe zukünftigt vom Unterricht an den Gruselschulen ausgeschlossen werden sollten, da es vermehrt zu Unruhe zwischen ihnen und den Vampiren der Schule gekommen sei. Er verweist dabei auf den jahrhundertealten Konflikt zwischen Vampiren und Werwölfen, der unüberbrückbar sei." Hier fassen wir ein Argument aus dem Interview knapp zusammen. Gibst du die Aussagen der Autorin oder des Autors wieder, nutzt du den Konjunktiv.

Obwohl diese Argumentation in Bezug auf die historische Beziehung zwischen Werwolf und Vampir überzeugend erscheint, bleibt jedoch die zukunftsorientierte Auseinandersetzung mit dem Thema unberücksichtigt. Mit diesem Satz haben wir auf die Einschränkung der Gültigkeit des Arguments verwiesen. Gerade das gemeinsame Lernen im inklusiven Unterricht fördert die Freundschaft zwischen Vampiren und Werwölfen und ist zielführend für ein zukunftsfähiges und friedliches Miteinander. Jetzt haben wir ein Gegenargument angebracht.

Schließlich führen wir noch ein Gegenbeispiel an: Das zeigen bereits verschiedene Schulprojekte im Ausland. Dort werden Zombies, Geister, Vampire und Werwölfe gemeinsam unterrichtet. Indem sich alle gegenseitig unterstützen und auf die Bedürfnisse der Einzelnen eingegangen wird, entstehen Freundschaften zwischen Spezien, die sich noch vor wenigen Jahren feindlich gesonnen waren. So erörterst du die Textvorlage nun These für These. In einem Fazit fasst du das Ergebnis, das du nach der kritischen Auseinandersetzung mit dem Text erhalten hast, zusammen. Der Schluss deiner textgebundenen Erörterung kann unterschiedlich gestaltet werden. Sprich z. B. eine Empfehlung aus, oder bringe einen weiterführenden Gedanken zum Thema an etc. Dracula ist mit seinem Aufsatz fertig. Er überarbeitet ihn mithilfe seiner Checkliste: In der Einleitung hat er auf die Textvorlage verwiesen und gezielt zum Thema hingeführt. Im Hauptteil hat er den Text knapp zusammengefasst und die zentrale Problemstellung (also das Thema) benannt. Schließlich hat er die Ergebnisse der Textanalyse dargelegt. In einer kritischen Stellungnahme hat er eigene Argumente und Beispiele für oder gegen die Argumente im Text formuliert. Textverweise hat er durch Zitate mit Seiten- und Zeilenangabe belegt. Das Fazit am Ende seines Hauptteils enthält sein abschließendes Urteil. Im Schluss hat Dracula das Thema abgerundet, indem er z. B. eine Forderung formuliert. Außerdem hat er in Einleitung und Hauptteil sachlich und objektiv formuliert und nur im Schlussteil Subjektives geäußert. Sein Aufsatz ist im Präsens geschrieben. Seine Sätze sind sinnvoll mit Verbindungswörtern verknüpft. Er hat Rechtschreibung, Grammatik und Zeichensetzung überprüft.

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Lerne alles über die textgebundene Erörterung: Aufbau, Beispiele und wichtige Formulierungshilfen! ► Ideal für Klassen 9 und 10!

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„Bist du wirklich der Meinung, dass du mit deinen 15 Jahren schon allein mit Freunden in den Urlaub fahren kannst?"

Schon bist du mittendrin in der Diskussion. Auf ein solches Gespräch sollte jeder perfekt vorbereitet sein. Am besten wäre es, du könntest nicht nur deine eigene These mit Argumenten und Beispielen belegen, sondern auch die Behauptungen deines Gegenüber entkräften.

An dieser Stelle hat dein Deutschunterricht tatsächlich etwas zu bieten. Bist du schon mal über das Thema „Erörterung" gestolpert?

Dir könnten drei Formen der Erörterung begegnet sein. Aber nur eine davon hilft dir solch einem Gespräch wirklich weiter. In einer literarische Erörterung würdest du Themen aus dem Bereich Literatur und Sprache bearbeiten. Auch die textgebundene Erörterung ist an einen vorgegebenen Text und die darin aufgeworfene Problemstellung geknüpft.

Was du im Moment brauchst, ist die freie Erörterung. Dabei lernst du, die Positionen und Gegenpositionen zu einem Thema selbstständig und ohne Textvorgaben zu durchdenken und am Ende gut begründet eine eigene Meinung zu vertreten. Natürlich wird dir in der Schule das Thema vorgegeben. Aber wenn du einmal verstanden hast, wie es funktioniert, kannst du das Vorgehen auf jedes andere Thema anwenden. Sehen wir uns gemeinsam an, wie eine freie Erörterung aufgebaut ist. Zunächst einmal wird in einer Einleitung kurz das zu erörternde Problem umrissen. Für unser Beispiel könnte das so aussehen. „Ab einem bestimmten Alter entsteht bei vielen Jugendlichen der Wunsch, ihren Urlaub ohne die Eltern zu verbringen. Sie fühlen sich reif genug, schmieden Pläne und wollen endlich eigenständig werden. Doch ab welchem Alter ist es wirklich sinnvoll, auf eigene Faust loszuziehen? Können Jugendliche die Herausforderungen und Gefahren einer eigenständigen Reise schon überblicken?"

In der Einleitung stellst du dar, worum es geht und wirfst eventuell schon gezielt Fragen auf. Du machst deutlich, warum es sinnvoll ist, sich mit dem Thema auseinanderzusetzen.

Ist das Thema klar, kommst du zum Hauptteil. Dieser besteht aus These, Antithese und Synthese.

Eine These ist eine Behauptung, die im Folgenden bewiesen oder widerlegt werden muss. Das geschieht durch mehrere Argumente. Argumente sind Aussagen, die zur Begründung der These dienen. Damit ein Argument eine stärkere Wirkung entfaltet, wird es mit einem Beispiel untermalt.

Wie sieht das praktisch aus?

Zunächst wird die These aufgestellt: Die Befürworter eigenständiger Reisen von minderjährigen Personen, meist diese selbst, gehen davon aus, dass solche Reisen positiv zur Entwicklung beitragen und das Erwachsenwerden beschleunigen.

Dann folgt das erste Argument mit einem Beispiel Eine Reise erfordert es, dass man sich gezielt mit eigenen Vorstellungen und Wünschen auseinandersetzt. Die Heranwachsenden müssen beispielsweise darüber nachdenken, in welchem Rahmen sie sich am besten erholen oder Spaß haben können.

Ein zweites Argument und Beispiel folgen: Der verantwortungsbewusste Umgang mit Geld wird durch eine solche Reise stark gefördert. So muss vorher genau kalkuliert werden, wie viel Geld für Transport, Nahrung, Unterbringung und Freizeitgestaltung benötigt wird. Auch über die geschützte Aufbewahrung des Bargeldes sollten sich die Jugendlichen Gedanken machen.

Weitere Argumente könnten die Förderung der Kommunikationsfähigkeit und Kompromissfähigkeit sein. In einem Aufsatz solltest du ca. 3-5 Argumente aufführen. Es kann auch sein, dass du zu einem Argument mehrere Beispiele heranziehst.

Anschließend betrachtest du die Antithese. Sie ist die Gegenbehauptung und muss ebenso durch Argumente und Beispiele bewiesen werden.

So könnte das aussehen. Natürlich gibt es auch Menschen, die die eigenständigen Reisen Minderjähriger ablehnen. Sie sind der Ansicht, diese Reisen seien dem Entwicklungsstand nicht angemessen. (These) Die Jugendlichen haben schon in ihrem Alltag Schwierigkeiten, Grenzen zu erkennen und einzuhalten. Ohne Aufsicht birgt diese noch nicht ausreichend ausgeprägte Fähigkeit Gefahren. (Argument) So könnten beispielsweise die Entfernungen von Wanderstrecken oder die Witterung falsch eingeschätzt werden und zu gesundheitsschädigender Unterversorgung führen. (Beispiel)

Auch für die Antithese solltest du mehrere Argumente und Beispiele anführen.

Den Abschluss des Hauptteils bildet die Synthese. Sie ist die Zusammenfassung aus These und Antithese. Du beleuchtest noch einmal knapp beide Seiten positionierst dich selbst dazu. Dabei kannst eine Seite bevorzugen oder aber einen Kompromiss aus beiden aufzeigen. In unserem Beispiel wäre es eine Möglichkeit, Alternativen wie betreute Jugendreisen oder Fahrten in vertraute Umgebung zu nennen.

Im Schlussteil gibst du einen Ausblick auf zukünftige Entwicklung oder die andauernde Aktualität des Themas.

Ein möglicher Abschluss wäre: „Wie schwer es ist, in dieser Frage zu einer einheitlichen Meinung zu kommen, zeigt auch die offizielle Gesetzgebung. Diese erlaubt es Jugendlichen ab 14 Jahren, ohne Eltern, aber nicht ohne deren Erlaubnis, zu verreisen. So bleibt es jedem Teenager selbst überlassen, allen Mut und gewichtige Argumente zu sammeln, um die Eltern von seiner Reife zu überzeugen."

Überzeugen kannst du immer besser, je häufiger du geübt hast, Thesen und Antithesen mit Argumenten und Beispielen zu belegen. Das könnte nicht nur für den nächsten Deutschaufsatz, sondern in vielen Diskussionen hilfreich sein. Vielleicht hilft es dir sogar, eine neue Sichtweise zu bekommen, ehe dich jemand anders davon überzeugen muss.

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Freie Erörterung schreiben ✓ Argumente und Beispiele finden ✓ Aufbau - lineare und dialektische Formen ✓ Struktur und Tipps

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Lerne Literarische Erörterung verständlich per Video erklärt auf sofatutor.com!