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Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemáticas, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

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En la teoría de conjuntos tal y como la definió Cantor y la axiomatizaron Zermelo y Fraenkel, un objeto es miembro de un conjunto o no lo es. En la teoría de conjuntos difusos esta condición fue relajada por Lotfi A. Zadeh de modo que un objeto tiene un grado de pertenencia a un conjunto, un número entre 0 y 1. Por ejemplo, el grado de pertenencia de una persona al conjunto de "personas altas" es más flexible que una simple respuesta de sí o no y puede ser un número real como 0,75.

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La "teoría combinatoria de conjuntos" se refiere a las extensiones de la combinatoria finita a los conjuntos infinitos. Esto incluye el estudio de la aritmética cardinal y el estudio de extensiones del teorema de Ramsey como el teorema de Erdős-Rado.

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La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente ésta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.

Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemático. Algunos ejemplos conocidos son:

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley

Áreas de estudio

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Algunas cuestiones                                                       Artículo principal: Universo de von Neumann

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Algunas cuestiones                                                       Artículo principal: Universo de von Neumann

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Un conjunto es puro si todos sus miembros son conjuntos, todos los miembros de sus miembros son conjuntos, y así sucesivamente. Por ejemplo, el conjunto {{}} que contiene sólo el conjunto vacío es un conjunto puro no vacío. En la teoría de conjuntos moderna, es común restringir la atención al universo de von Neumann de los conjuntos puros, y muchos sistemas de teoría axiomática de conjuntos están diseñados para axiomatizar sólo los conjuntos puros.

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Ejemplo 1. En una escuela hay 150 alumnos, 60 juegan con una pelota en el recreo, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una cuerda? ¿Cuántos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuántas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo).

Ejemplo 2. Se les regalaron a 200 personas, discos de dos grupos de géneros distintos (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambos. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguno? (esto no es un ejemplo de un conjunto).

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Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

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La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.​

La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, etc; gracias a las herramientas de la lógica, permite estudiar los fundamentos. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no solo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas (puras) del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, bolovin bolovan y Abraham Fraenkel.

En una escuela hay 130 alumnos, 50 juegan con una pelota en el recreo, 25 juegan a la cuerda y solo 15 juegan ambas. ¿Cuántos alumnos juegan con una pelota o cuerda? ¿Cuantos alumnos no juegan con una pelota? ¿Cuántas personas no juegan ambas? (esto no es un ejemplo de un conjunto, es un problema de conteo).

Se les regalaron a 200 personas, discos de dos grupos de géneros distintos (rock y banda). Resulta que 30 quieren de rock, 45 de banda y 20 de ambos. ¿Cuantas personas quieren de rock o banda? ¿Cuantas personas no quieren de rock? ¿Cuantas personas no quieren ninguno? (esto no es un ejemplo de un conjunto).

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La obtención de un elemento a un conjunto se indica como .

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos de un conjunto dado es un subconjunto de , y se indica como ( está incluido en ). También se puede expresar esto escribiendo (que se lee contiene a o incluye a ).[2] ​

El espacio tridimensional es un conjunto de objetos elementales denominados puntos . Las rectas y planos son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de , y .

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

Los conjuntos y las operaciones con conjuntos se pueden representar visualmente empleando los diagramas de Venn.​

La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente ésta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.

Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemático. Algunos ejemplos conocidos son:

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La teoría de conjuntos es una rama de la lógica matemática que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas.

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TEORIA DE CONJUNTOS - DETERMINACIÓN DE CONJUTOS (FACILITO)

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Los temas matemáticos suelen surgir y evolucionar a través de las interacciones entre muchos investigadores. Sin embargo, la Teoría de Conjuntos fue fundada por un solo artículo en 1874 por Georg Cantor: Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales.[1][2]

Desde el siglo V a.C., comenzando por el matemático griego Zenón de Elea en Occidente y los primeros matemáticos indios en Oriente, los matemáticos habían luchado con el concepto de infinito. Especialmente notable es el trabajo de Bernard Bolzano en la primera mitad del siglo XIX.[3] La comprensión moderna del infinito comenzó en 1870-1874, y fue motivada por el trabajo de Cantor en análisis real. [4] Un encuentro en 1872 entre Cantor y Richard Dedekind influyó en el pensamiento de Cantor, y culminó en el artículo de Cantor de 1874.

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Fundamentos de la logica y los conjuntos neutrosficos y su papel en la inteligencia artificial.

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Problema 1 En un aula de 75 alumnos a 5 no les gusta ni álgebra ni geometría, y a 45 les gusta sólo geometría, ¿a cuántos les gusta sólo álgebra si a 15 alumnos les gusta ambos cursos? Resolución: El procedimiento a seguir es el siguiente: 1o Realizamos el diagrama designando el conjunto de alumnos que les gusta álgebra por A y el conjunto de alumnos que les gusta geometría por G. 2o Escribimos los datos numéricos en el diagrama, tratando de llenar todas las zonas con sus respecti- vos valores. A la zona donde se encuentra la incógnita le asignamos la letra x y luego la pintamos, para saber qué es lo que queremos hallar. Problema 2 De un grupo de 100 jóvenes, 65 estudian, 45 trabajan y 25 estudian y trabajan. ¿Cuántos no estudian ni trabajan? Resolución: Problema 3 De 81 alumnos encuestados: 61 practican fútbol, 29 practican natación y 4 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican fútbol y también natación? Resolución: Problema 4 En una encuesta realizada a un grupo de personas: 40 leen solamente la revista "Avancemos", 60 leen solamente la revista "Bondades", 12 no leen ninguna de estas revistas y 13 leen ambas revistas. Halla el total de personas encuestadas. Resolución: Problema 5 Entre 160 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 72 consumen mayonesa, 96 consumen ketchup y 16 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa, pero no ketchup? Resolución: Problema 6 En una encuesta realizada a 1 000 personas sobre el consumo de pescado y pollo, se obtuvieron los siguientes resultados: 200 no consumen ninguno de estos productos, 500 no consumen pollo y 600 no consumen pescado. ¿Cuántos consumen pescado y pollo? Resolución: Problema 7 De un grupo de 40 personas se sabe que: 15 de ellas no estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas estudian y trabajan. ¿Cuántas de ellas realizan sólo una de las dos actividades? Resolución: En un grupo de 80 estudiantes, se encuentra que las cantidades que estudiaban las diversas lenguas eran en número de 72, distribuidas de la siguiente manera: * Alemán solamente 25 * Español solamente 12 * Francés pero no alemán ni español, 15 * Alemán y francés 10 * Alemán y español 8 Además los que estudiaban español y francés eran tantos como los que estudiaban alemán y español. Determinar cuántos estudiaban 2 lenguas solamente o estudiaban las 3 lenguas. A) 14 B) 20 C) 12 D) 8 E) 18 12. En una encuesta realizada a 100 trabajadores de una fábrica se obtuvo la siguiente información: todos los hombres tenían más de 20 años, 25 de las mujeres eran casadas mientras que 15 de los trabajadores casados tenían más de 20 años y 10 de las mujeres casadas tenían más de 20 años. Si hay 60 que tienen más de 20 años, hallar la diferencia entre el número de trabajadores con menos de 20 años y el número de mujeres solteras con menos de 20 años. A) 5 B) 10 C) 15 D) 18 E) 8 13

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DIAGRAMAS DE VENN EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS EN CONJUNTOS DE SECUNDARIA Y PRE UNIVERSIDAD PDF

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Problema 1 En un aula de 75 alumnos a 5 no les gusta ni álgebra ni geometría, y a 45 les gusta sólo geometría, ¿a cuántos les gusta sólo álgebra si a 15 alumnos les gusta ambos cursos?