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Universidad de Guadalajara
Preparatoria de Jalisco
Alumno: Omar Isair Monterrrubio Hernandez
Profesor: Juan Jose Avila Barajas

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Unidades de aprendizaje:
-UNIDAD DE APRENDIZAJE I: INTRODUCCION A LAS FUNCIONES.
-UNIDAD DE APRENDIZAJE II: FUNCION DE POLINOMIOS.
-UNIDAD DE APRENDIZAJE II: FUNCIONES RACIONALES.
-UNIDAD DE APRENDIZAJE IV: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Criterios de evaluación.

Exámenes parciales……………. ........20%

Examen departamental………….......20%

Trabajo individual y portafolio…....10%

Producto integrador……………..........20%

Tareas…………………………...................20%

Coevaluación………………....................5%

Autoevaluación……………...................5%

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1. Funciones

2. Dominio de una función

3. Condiciones del dominio

4. Rango de una función

5. Funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

6. Gráfica de funciones

7. Desplazamiento o gráfica de una función a partir de una conocida

8. Tipos de gráficas lineales y gráfica constante

9. Propiedades de una función (Paridad)

10. Pendiente de una recta

11. Máximos y mínimos locales de una función

12. Funciones continuas y discontinuas

13. Raíces de una función polinomica

14. Polinomios

15. Multiplicación de polinomios

16. Division sintética

17. Teorema del residuo y del factor

18. Funciones racionales

19. Asintota

20. Factorización

21. Función inversa

22. Multiplicación y división de fracciones algebraicas o funciones racionales.

23. Introducción al limite

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Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito ).

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

x -------->   x 2 .

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x 2 o f(x) = x 2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a 2 , etc.

Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X | Conjunto Y
Ángela | 55
Pedro | 88
Manuel | 62
Adrián | 88
Roberto | 90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio ) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio ) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente . Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

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El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.

El subconjunto de los números reales en el que se define la función se llama

dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.           Conjunto inicial                                                                     Conjunto final

Dominio Conjunto                                                            imagen o recorrido

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Ejemplo f(x)= x2 - 5x + 6             D=R

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

Ejemplo

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Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial                                                     Conjunto final
Dominio                                               Rango o recorrido o conjunto imagen

Cálculo del rango o recorrido

Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

R = − {2}

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Funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

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Funciones inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

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Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

"Injectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

Inyectivo

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x ² del conjunto de los números naturales a es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x ² no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y

f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en Aque cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.
Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de va al 3 por esta función.

Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x ² del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4 y

f(-2)=4)

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La gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Más formalmente dada una función:el gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

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Desplazamiento o gráfica de una función a partir de una conocida

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Desplazamiento o gráfica de una función a partir de una conocida

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Tipos de gráficas lineales y gráfica constante

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Tipos de gráficas lineales y gráfica constante

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Función estrictamente creciente en un intervalo
Una función      es estrictamente creciente en un intervalo    , si para dos valores cualesquiera del intervalo,      y    , se cumple que:Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

Una función      es estrictamente creciente en el punto de abcisa      si existe algun número positivo      tal que      es estrictamente creciente en el intervalo   .De esta esta definición se deduce que si      es derivable en      y      es estrictamente creciente en el punto de abcisa    , entonces   .
Función creciente en un intervalo

Una función      es creciente en un intervalo    , si para dos valores cualesquiera del intervalo,      y    , se cumple que:

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función      es estrictamente decreciente en un intervalo    , si para dos valores cualesquiera del intervalo,      y    , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

Una función      es estrictamente decreciente en el punto de abcisa      si existe algun número positivo      tal que      es estrictamente decreciente en el intervalo   .

De esta esta definición se deduce que si      es derivable en      y      es estrictamente decreciente en el punto de abcisa    , entonces   .

Función decreciente en un intervalo
Una función      es decreciente en un intervalo    , si para dos valores cualesquiera del intervalo,      y    , se cumple que:

GRÁFICA CONSTANTE
Una gráfica es constante si al variar la variable independiente la otra permanece invariable.

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Las funciones
pueden ser pares, impares o no tener paridad.
Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de
simetría, con respecto a sus funciones inversas aditivas (funciones inversas aditivas u
opuestas son funciones que al sumarlas el resultado es cero).
Función par: f x =− f x)()(
Función impar: f −x −= f x)()(
Las funciones pares e impares deben su nombre a la paridad de las potencias en las funciones de potencias que satisfacen cada condición: La función f(x)=xn
: es una función par si n es un entero par, y es una función impar si n es un entero impar.

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La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Se denota con la letra m.

Si m > 0 la función es creciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo.Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje de abscisas.

Cálculo de la pendiente Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
Pendiente dada la ecuación de la recta.
Ejemplos

La pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:La recta que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 7) no tiene pendiente, ya que la división por 0 no está definida.La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

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Máximos y mínimos locales de una función

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Máximos y mínimos locales de una función

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Los máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).

Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función

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Función Continua
Son aquellas gráficas que no presentan ningún punto aislado, saltos o interrupciones y que están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado son llamadas funciones continuas.

Función Discontinua

Las gráficas que presentan algún punto aislado, saltos o interrupciones, es decir, que no están hechas de un sólo trazo en un intervalo determinado, son llamadas funciones discontinuas.

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Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2+ ... + a ₁ x ¹ + a 0

Siendo:
a n, a n−1 ... a ₁, a o   : números, llamados coeficientes

n un número natural
x : la variable o indeterminada
a n : es el coeficiente principal
a o : es el término independiente

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.
Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO | EJEMPLO
PRIMER GRADO | P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO | P(x) = 2x² + 3x + 2
TERCER GRADO | P(x) = x3 − 2x² + 3x + 2

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Son los valores que anulan el polinomio.
Ejemplo

Calcular las raíces del polinomio:

P(x) = x² − 5x + 6

P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x² − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio

1 Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.

2 A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).

3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

Ejemplo x² − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4 La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5 Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que es lo mismo, admite como factor x.

Ejemplo x² + x = x · (x + 1)Raíces: x = 0 y x = − 1

6 Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Ejemplo P(x) = x² + x + 1

Cálculo de las raíces y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplo Q(x) = x² − x − 6Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.Q(1) = 1² − 1 − 6 ≠ 0Q(−1) = (−1)² − (−1) − 6 ≠ 0Q(2) = 2² − 2 − 6 ≠ 0Q(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0Q(3) = 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0Las raíces son: x = −2 y x = 3.Q(x) = (x + 2) · (x − 3)

Algunas parábolas cortan al eje de las X (eje de abcisas) en dos puntos. Esos valores son las raíces (reales) o ceros del polinomio.

Una función cúbica puede tener tres raíces reales distintas:

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La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Pasos para llevar a cavo la división sintética:

1. Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2. Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4. Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5. Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6. Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

Ejemplos:

Donde -108 es el residuoDonde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coeficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coeficientes necesarios para todos los exponentes.

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Teorema del residuo
Si se divide la función polinomial ƒ(x) entre el binomio x - a donde a es un número real, el residuo es igual a ƒ(a).
El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a. Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética.
A partir de lo anterior, si ƒ(a) = 0, entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual ƒ(x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.
El Teorema del Residuo (en álgebra) se emplea para conocer el resíduo que se obtiene al dividir un polinomio por un binomio de la forma x-a (siendo "a" un valor numérico conocido) sin necesidad de efectuar la división.
Para ello basta sustituir el valor de a en el polinomio haciendo x=a
Ejemplo:

x³ + 2x² - 3x + 5 entre x - 2

En este caso, a=2 y por lo tanto sustituimos "a" en el polinomio:
(2)³ + 2(2)² - 3(2) + 5 = 8 + 8 - 6 + 5 = 15
El residuo es entonces 15.

Teorema del factor

Si a es una raiz de ƒ(x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde a es un número real.
Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial ƒ(x) = 0).

Ejercicio

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1.-(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2.-(x⁶ − 1) tiene por factor (x + 1)

(x⁶ − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)⁶ − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

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Una función racional f(x) es el cociente de dos polinomios. La palabra racional hace referencia a que esta función es una razón.

P(x) es el polinomio del numerador y Q(x) el del denominador.
El dominio de una función racional son todos los números reales los valores de la variable x que anulan el denominador (Q(x)) = 0), es decir, excepto las raíces del polinomio correspondiente.La gráfica de estas funciones, si el polinomio del denominador Q(x) es de grado 1, es una hipérbola:

Se llaman funciones racionales propias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador,

n < m.

Y se llaman funciones racionales impropias aquellas en las que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador,      n ≥ m.

Para las funciones racionales propias, el dominio es el conjunto de todos los reales excepto los valores de x  que hacen cero al denominador.   Su contra-dominio requiere analizarse en  cada caso.

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Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión.

Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean  números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, por ejemplo, si multiplicamos a por a + b podemos ver qué;

Dan como producto a ² + ab, entonces, los factores o divisores de esta expresión algebraica son a y a + b.

2- Métodos utilizados para factorizar un polinomio.

Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1.

Por ejemplo, el polinomio ax + by + cz, no se puede factorizar ya que, solo es divisible por ax + by + cz y por 1. Es decir, este polinomio no tiene un factor en común.

Para poder factorizar una expresión algebraica es necesario que siempre exista  al menos un factor en común dentro de sus términos, ya sean números y/o letras.

Factor común de una expresión algebraica es el  máximo común divisor (m.c.d.) de los términos que la componen.

2.1- Factor común monomio.

Debes identificar el factor común entre todos los términos de la expresión, y escribirlo como coeficiente de un paréntesis, en el cual tienes que escribir los términos resultantes después de dividir por el factor común.

Ejemplos;

a) Factorizar x ² y + x ² z.

Identificamos el factor común de x ² y y x ² z el cual es x ², entonces dividimos los términos de la expresión por x2; x ² y : x ² = y  y   x ² z : x ² = z. Ahora escribimos la factorización;

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Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Veamos un ejemplo a partir de la función f(x) = x + 4

Podemos observar que:

El dominio de f−1 es el recorrido de f.

El recorrido de f−1 es el dominio de f.

Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.

(f o f−1) (x) = (f−1 o f) (x) = x

Las gráficas de f y f⁻¹ son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función,                           Cálculo de la función inversa

1.Se escribe la ecuación de la función con x e y.

2.Se despeja la variable x en función de la variable y.

3.Se intercambian las variables.

EjemplosCalcular la función inversa de:1. Vamos a comprobar el resultado para x = 22. 3.

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas o funciones racionales.

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Multiplicación y división de fracciones algebraicas o funciones racionales.

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Multiplicación de Expresiones Racionales

Existen dos maneras de multiplicar fracciones:

Podemos multiplicar los numeradores y los denominadores y después simplificar el producto:

=

O podemos factorizar y simplificar las fracciones antes de realizar la multiplicación:

= = = =

Los mismos dos métodos pueden ser aplicados a las expresiones racionales. En los siguientes ejemplos, intentaremos las dos técnicas: multiplicar, luego simplificar; y simplificar; luego multiplicar. Una diferencia importante entre las fracciones y las expresiones racionales es que debemos identificar cualquier valor para las variables que resultarían en una división entre cero, ya que esta no está definida. Estos valores excluidos deben ser eliminados del dominio, el conjunto de todos los posibles valores de la variable.

Primero, multiplicaremos y luego simplificaremos:

Ejemplo
Problema | Resolver |   |
|  10a ³ = 0 a = 0 El domino son todos los valores de a 0 |   | Determinar si existen valores excluidos, valores de a que resultan en un denominador igual a 0 — 14 no puede ser igual a 0, pero 10a ³ sí
| |   | Multiplicar los numeradores, y multiplicar los denominadores
| |   | Simplificar encontrando factores comunes en el numerador y denominador
| |   | Use los factores comunes para reescribir como una multiplicación por 1
| |   | Simplificar
Solución | ,  a 0 |   |

Muy bien, funcionó. Pero esta vez vamos a simplificar primero y luego a multiplicar. Cuando usamos este método, es útil buscar el máximo factor común. Podemos factorizar cualquier factor común, pero encontrar el máximo tomará menos pasos.

Ejemplo
Problema | Resolver |   |
|  10a ³ = 0 a = 0 El domino son todos los valores de a 0 |   | Determinar si hay valores excluidos, valores de a que resultan en un denominador igual a 0 — 14 no puede ser igual a 0, pero 10a ³ sí
| |   | Factorizar los numeradores y los denominadores. Buscar el máximo factor común
|     |   | Reagrupar las fracciones para expresar los factores comunes como una multiplicación por 1
| |   | Multiplicar
Solución | , a 0 |   | 0 es un valor excluido porque este valor de a vuelve el denominador igual a 0

Dividiendo Expresiones Racionales

Hemos visto que multiplicamos expresiones racionales como multiplicar fracciones. No debería sorprendernos que también dividimos expresiones racionales de la misma manda que dividimos fracciones numéricas. Específicamente, para dividir expresiones racionales, multiplicamos el numerador de la expresión racional por el recíproco del denominador de la expresión racional.

Para dividir expresiones racionales, el proceso es el mismo. Pero recuerda, necesitamos encontrar los valores excluidos, los valores de variable que harían el denominador igual a cero. Pero hay un pequeño giro en esta ocasión — como dividimos multiplicando por el recíproco de una de las expresiones racionales, también necesitamos encontrar los valores que harían el numerador de la expresión igual a cero. Fíjate:

Ejemplo
Problema | Dividir |   |
|  15x ³ = 0 x = 0 es un valor excluido |   | Encontrar los valores excluidos. 9 y 27 nunca serán igual a 0 Como 15x ³ se convierte en el denominador del recíproco  , debemos encontrar los valores de xque harían el término igual a 0
| |   | Reescribir la división como una multiplicación por el recíproco
| |   | Factorizar los numeradores y denominadores
| |   | Reordenar los factores y expresar la multiplicación por 1  Simplificar
Solución | , x 0 |

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Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo

3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x2 + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo: 3x² · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) =
= 6x⁵− 9x⁴ + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 − 3       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x3 − 3x² + 4x) =
= 4x5 − 6x⁴ + 8x3 − 6x³+ 9x2 − 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2