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EXAMEN ESTILO ICFES SOBRE OPERACIONES CON VECTORES.

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EXAMEN ESTILO ICFES SOBRE OPERACIONES CON VECTORES.

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EJERCICIOS SOBRE PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES. 

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EJERCICIOS SOBRE PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES. 

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ESTUDIAREMOS COMO SE REALIZA EL PRODUCTO CRUZ ENTRE VECTORES.

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¿Qué tal amig@s? Hace poco habíamos publicado en el blog sobre el tema del Producto Punto o también llamado Producto escalar y advertíamos que era una operación muy importante en el álgebra lineal, física, cálculo vectorial entre otras áreas. Hoy traemos un artículo que complementará el aprendizaje con las operaciones vectoriales, pues hablaremos del producto cruz o también llamado como producto vectorial, como su nombre lo dice es un producto entre vectores que a diferencia del producto punto en la que obteníamos un escalar como resultado, en esta operación obtenemos un nuevo vector de dicho producto. 😎

Sus aplicaciones son muy amplias como en las áreas ya mencionadas, sin embargo debemos contrastar su aplicación en los diversos campos de estudios. El producto cruz fue definido por el matemático Sir William Rowan Hamilton en sus publicaciones Philosophical Magazine a mediados del siglo XVIII, cabe mencionar que el proceso para llevar a cabo el producto cruz o vectorial, solamente está definido en R^3 es decir en el espacio (x,y,z).

⚡ Fórmula del Producto Cruz

Curiosamente la definición del producto vectorial, es similar a la operación para calcular determinantes, tal como lo vimos en las publicaciones anteriores. Por lo que familiarizarse con la siguiente operación será muy pero muy fácil , aunque debemos de tener en cuenta que en si no es un determinante puesto que i, j y k, no son números. 😎

Sea:

Entonces:

Por lo que al desarrollar:

Lo que es lógico que al resolver la determinante, tengamos que:

Definamos a C como el vector resultado del producto cruz de u y v, entonces

🔸 Propiedades del Producto Cruz

Para establecer de mejor manera las propiedades del producto cruz, es importante dar a conocer sus propiedades. Para ello denotamos tres vectores u, v y w en R^3 y sea α un escalar, entonces.

1.- La ley conmutativa no es aplicable, es decir que no es válida. Por ejemplo si tenemos U x V ≠ V x U, pero si es aplicable si afirmamos que:

U x V = - V x U

2.- Si el producto es multiplicado por un escalar α, obedece a la ley asociativa, es decir:

α(U x V) = (αU) x V = A x (αB) = (UxV)α

3.- El producto vectorial obedece la ley distributiva de la suma , por ejemplo:

U x (V + W) = (U x V) + (U x W)

El Resultado del producto entre los vectores u y v , es un vector resultante perpendicular u ortogonal a ambos vectores

Para calcular el sentido del vector resultante entre el producto cruz de dos vectores, se emplea la regla de la mano derecha, que se explicará en otro artículo.

📃 Ejercicios Resueltos del Producto Cruz

Bien, es momento de resolver algunos ejercicios para dejar claro éste tema y podamos por fin entender el proceso.

Problema 1. - Calcule el producto cruz entre los dos siguientes vectores (U × V)

Ordenando el producto cruz

Realizamos las operaciones tal y como se hacen con las determinantes , entonces tenemos que:

Por lo que el resultado, es el siguiente vector:

Bien, veamos ahora otro ejemplo.

Ejemplo 2.- Calcule el producto vectorial entre los siguientes dos vectores (A × B)

Ordenando las determinantes, para aplicar la regla de multiplicación.

Realizando las operaciones básicas de multiplicación:

Por lo que el resultado del vector es:

Veamos el último ejemplo.

Ejemplo 3.- Obtenga el producto cruz entre los siguientes vectores (C x D)

Ordenando nuestro determinante:

Realizamos las operaciones en las determinantes de 2×2

Reduciendo tenemos

Por lo que el vector resultante es:

Bien, el proceso del producto cruz o producto vectorial es un proceso muy fácil para poder calcular las operaciones, basta con aprender bien el tema de determinantes y todo se nos hará más sencillo. 😎

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▷ Producto Cruz - Ejercicios Resueltos 【 Paso a Paso 】 🥇

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¿Qué tal amig@s? Hace poco habíamos publicado en el blog sobre el tema del Producto Punto o también llamado Producto escalar y advertíamos que era una operación muy importante en el álgebra lineal, física, cálculo vectorial entre otras áreas.

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EJERCICIOS SOBRE PRODUCTO ESCALAR DE   VECTORES.

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EJERCICIOS SOBRE PRODUCTO ESCALAR DE   VECTORES.

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REALIZA LOS EJERCICIOS SOBRE PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES  QUE SE PROPONEN A CONTINUACIÓN.

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En esta lección te voy a explicar todo lo que necesitas saber sobre el producto escalar de dos vectores, con ejercicios resueltos paso a paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolver algún ejercicio o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o suscribirte como alumno premium e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
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El producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, por definición, es el resultado de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman:

Siendo α el ángulo que forman los dos vectores:

¡Cuidado! El resultado del producto escalar es un número.

No confundir con el producto vectorial, cuyo resultado es otro vector. Además, el signo para representar el producto escalar de dos vectores es un punto, mientras que en el producto vectorial es una x.

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el producto escalar de dos vectores con la fórmula anterior:

Dados los siguientes vectores y sabiendo que forman un ángulo entre ellos de 87,7º, calcular su producto escalar:

Utilizamos la fórmula anterior para calcular el producto escalar de estos dos vectores:

Para ello, en primer lugar calculamos el módulo del vector u:

Después calculamos el módulo del vector v:

Y junto con el dato del ángulo, obtenemos el producto escalar:

Expresión analítica del producto escalar

Ahora vamos a ver otra expresión para calcular el producto escalar de dos vectores, sin necesidad de conocer el ángulo que forman entre ellos.

Si tenemos dos vectores, de los cuales conocemos sus componentes:

El producto escalar sería igual a la suma de la multiplicación de sus componentes x más la suma de sus componentes "y":

A esta expresión se le conoce como expresión analítica del producto escalar.

Cómo calcular el ángulo de dos vectores

Combinando esta expresión con la fórmula del producto escalar por definición, se puede obtener el ángulo que forman dos vectores. Podemos despejar el coseno del ángulo, al conocer todo lo demás, ya que con la expresión analítica obtenemos el valor del producto escalar:

y resolviendo después el arco coseno del valor del coseno del ángulo que nos quede.

Vamos a ver un ejemplo: Calcular el producto escalar de estos dos vectores y el ángulo que forman entre ellos:

Como no tenemos datos del ángulo que forman estos dos vectores entre ellos, utilizamos la expresión analítica para calcular el producto escalar:

Seguimos calculando el módulo de cada vector.

El módulo del vector u es:

El módulo del vector v es:

Ya tenemos los valores del producto escalar y de los dos módulos, que los sustituimos en la fórmula de definición del producto escalar:

Ahora despejamos el coseno del ángulo:

Y por último hacemos la inversa del coseno para obtener el valor del ángulo que forman los dos vectores:

Por tanto, los vectores forman un ángulo entre ellos de 63,63º.

Propiedades del producto escalar

Vamos a ver ahora qué propiedades tiene el producto escalar

Propiedad conmutativa

Si variamos el orden del producto, el resultado del producto escalar sigue siendo el mismo:

Propiedad distributiva

El producto de un vector por la suma de dos vectores es igual a la multiplicación del vector que está fuera del paréntesis por el primer vector de la suma más el vector de fuera por el segundo vector de la suma:

Vectores perpendiculares u ortogonales

Dos vectores son ortogonales cuando son perpendiculares entre ellos, es decir, forman un ángulo de 90º.

A un vector perpendicular a otro también se le llama vector normal.

El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero:

ya que si calculamos el producto escalar aplicando la fórmula, tenemos que el coseno de 90º es igual a cero, por lo que anula el resultado del producto escalar:

Por otro lado, si los vectores, además de ser perpendiculares entre sí, su módulo es igual a 1, se dice que son vectores ortonormales:

Ejercicio resuelto del producto escalar de dos vectores

Vamos a resolver un cuantos ejercicio sobre el producto escalar de dos vectores para aplicar más a fondo todo lo aprendido aquí y para que te quede mucho más claro.

Dados los vectores:

Calcula:

a) El producto escalar de los dos vectores

b) El ángulo que forman

c) Un vector normal al vector u

d) Un vector paralelo al vector v

Vamos a empezar calculando el producto escalar. Como no tenemos ningún dato del ángulo que forman, utilizamos la expresión analítica:

Para poder hallar el ángulo que forman, vamos a seguir calculando sus módulos, para luego sustituir sus valores, junto con el valor del producto escalar en la fórmula del producto escalar.

El módulo del vector u es:

El módulo del vector v es:

Sustituimos en la fórmula del producto escalar por definición:

Despejamos el coseno del ángulo:

Y obtenemos el ángulo con la inversa del coseno:

Ahora vamos a calcular un vector normal al vector u.. Recuerda que vector normal es lo mismo que decir vector perpendicular.

Lo llamaremos vector w, cuyas componentes son (x,y), ya que todavía no las sabemos:

Para que el vector u y el vector w sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero:

Si utilizamos la expresión analítica realizar el producto escalar nos queda:

Tenemos que buscar dos coordenadas que cumplan esta ecuación. No necesitamos resolver un sistema de ecuaciones para encontrar la solución, ya que siempre se cumple la siguiente regla: para hallar las coordenadas de un vector normal a un vector dado solo tenemos que intercambiar las coordenadas entre sí y a una de las dos, cambiarle el signo.

Es decir, para cualquier vector de coordenadas (a,b):

Su vector normal tendrá las coordenadas:

O también:

Por tanto, el vector w, perpendicular al vector u tendrá como coordenadas:

Que realizando el producto escalar mediante al expresión analítica nos queda:

Otra posible solución sería:

Si realizas el producto escalar con este vector comprobarás que el resultado también es cero. Si dibujas el vector u y los dos posibles vectores w, verás que efectivamente son perpendiculares.

Por último, vamos a calcular un vector paralelo al vector v.

Para calcular un vector paralelo a otro, tan sólo tenemos que multiplicar sus coordenadas por un número y el vector resultante será un vector paralelo, pero con un módulo mayor.

A este vector le llamaremos z y para obtenerlo, multiplicaremos el vector v por 2:

Por tanto, el siguiente vector será paralelo al vector v:

Ejercicios propuestos

1 - Halla el producto escalar en del vector v y el vector w en los siguientes casos:

2 - Sean los vectores:

Calcula x e y, de manera que ambos vectores sean perpendiculares y el módulo del vector w sea igual a 13.

3 - Dados los vectores:

Hallar un vector c de manera que se verifique los siguiente:

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▷ Producto escalar de dos vectores. Ejercicios resueltos paso a paso.

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En esta lección te voy a explicar todo lo que necesitas saber sobre el producto escalar de dos vectores, con ejercicios resueltos paso a paso. Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases de matemáticas .

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EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON VECTORES

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EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON VECTORES

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REALIZAR LOS EJERCICIOS SOBRE OPERACIONES CON VECTORES QUE SE PROPONEN A CONTINUACIÓN.

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Escribe las componentes de cada vector:

Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los datos proporcionados:

Escribe las componentes de cada vector (Producto de vectores por un escalar):

Dados los vectores , resuelve en cada caso (Operaciones con vectores):

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Otros ejercicios

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Ejercicios interactivos de operaciones con vectores

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Escribe las componentes de cada vector: Completa las coordenadas de los siguientes puntos usando los datos proporcionados: Escribe las componentes de cada vector (Producto de vectores por un escalar): Dados los vectores , resuelve en cada caso (Operaciones con vectores): Marta ➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗ ¿Te ha gustadoeste material?

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En matemática y física, un vector​ es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido.​ Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

En matemáticas se define vector como un elemento de un espacio vectorial. Esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo y la dirección. En particular los espacios de dimensión infinita sin producto escalar no son representables de ese modo. Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta , en el plano ( bidimensional), o en el espacio ( tridimensional).

En física se define como el segmento de una recta, el cual se encuentra situado en el espacio de un plano ya sea bidimensional o tridimensional.

Un ejemplo de un fenómeno físico que se puede describir con vectores es la velocidad de un automóvil, no sería suficiente describirla con tan solo un número, que es lo que marca el velocímetro, sino que se requiere indicar la dirección (hacia donde se dirige). Otro ejemplo es la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende además de su magnitud o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto, pues es necesario definir la distancia que recorre, y la dirección del movimiento, o bien la posición inicial y final del objeto.

Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.

Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como (formado mediante el producto cartesiano).

Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:

, donde

Un vector también se puede ver desde el punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio tridimensional o bidimensional ).

Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características:​​​

Módulo: la longitud del segmento expresado en términos de un valor numérico y una unidad.

Dirección: el ángulo del vector con respecto al eje x.

Sentido: la orientación del segmento, del origen al extremo del vector. Puede ser positivo o negativo.

En inglés, la palabra direction indica tanto la dirección como el sentido del vector, con lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.​

Los vectores fijos del plano se denotan con dos letras mayúsculas (y una flecha hacia la derecha encima), por ejemplo , que indican su origen y extremo respectivamente. Es decir, el punto A es el origen o punto de aplicación y el punto B es el extremo del vector , cuyas coordenadas son:

Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector está en el plano xy, se representa:

siendo sus coordenadas:

Si consideramos el triángulo formado por los componentes (como catetos) y (como hipotenusa): se puede calcular multiplicando por el cosα (siendo α el ángulo formado por y ) o multiplicando por el senβ (siendo β el ángulo formado por y ). De igual forma se puede calcular multiplicando por el senα o multiplicando por el cosβ (considerando las posiciones de α y β mencionadas anteriormente).

Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:

Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede representar:

siendo sus coordenadas:

Si representamos el vector gráficamente podemos diferenciar los siguientes elementos:

La recta soporte o dirección, sobre la que se traza el vector.

El módulo o amplitud con una longitud proporcional al valor del vector.

El sentido, indicado por la punta de flecha, siendo uno de los dos posibles sobre la recta soporte.

El punto de aplicación que corresponde al lugar geométrico al cual corresponde la característica vectorial representado por el vector.

El nombre o denominación es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Por lo tanto en un vector podemos diferenciar:

Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas .

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o , siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.​ ​

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.​​​

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Ejemplos

... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: ...

En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .

Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse:

Vectores libres: no están aplicados en determinado punto.

Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.

Vectores fijos o ligados: están aplicados en un determinado punto.

Podemos referirnos también a:

Vectores unitarios: vectores de módulo uno.

Vectores concurrentes o angulares: vectores cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares porque forman un ángulo entre ellas.

Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos contrarios.​ En inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la dirección también indica el sentido.

Vectores colineales: vectores que comparten una misma recta de acción.

Vectores paralelos: vectores cuyas líneas de acción son paralelas.

Vectores coplanarios: vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).

Un vector en el espacio euclídeo tridimensional se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores, que son perpendiculares entre sí y constituyen una base vectorial.

En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por , , , ( o u, v, w) paralelos a los ejes , , correspondientes. Los componentes del vector en una base predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores , , , son los componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.

Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

Por ejemplo, los vectores unitarios se expresarían de la siguiente manera:

El lema de Zorn, consecuencia del axioma de elección, permite establecer que todo espacio vectorial admite una base vectorial, por lo que todo vector es representable como el producto de unos componentes respecto a dicha base. Dado un vector solo existen un número finito de componentes diferentes de cero.

Hay personas que no recomienda usar gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula con mejores resultados. Para ello:

Se llama vector a la representación visual con el símbolo de flecha (un segmento y un triángulo en un extremo).

La rectitud visual de una flecha o curvatura de la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el mismo lugar y orden.

El que una flecha cierre en sí misma, indica la ausencia de efectos algebraicos.

Para visualizar la suma de vectores se hará encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo (final) del primer vector con el extremo que no lo tiene (origen) del segundo vector manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos, ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.

Los escalares se representarán con una línea de trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al espacio de vectores.

Se examinan cada uno de los casos que aparecen en la definición de las operaciones suma de vectores y producto por un escalar:

Suma de vectores

La definición suma de vectores en el orden u+ v produce otro vector, es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+ v se simplifica como un vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.

1) Decir que u+v=v+u, es exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.

2) Decir que u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan ser optativas en cualquier cadena de sumas.

3) Decir que existe un vector cero (elemento neutro) tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.

4) Decir que u+(-u)=0, es exigir la existencia de un elemento opuesto, -u, que sumado a u simplifique en un vector cero.

Producto por un escalar

La definición producto por un escalar produce otro vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.

Por un lado la representación del producto en el caso que el cuerpo de los escalares sea modifica, visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso que además de modificar la longitud, también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas, visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:

b) Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los vectores.

d) Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma escalar.

Para el caso real se han de eliminar las rotaciones de los ejemplos anteriores.

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Suma de vectores sobre un mismo punto

La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento de fuerza dados dos fuerzas con puntos de aplicación se definen la fuerza resultante como el par:[cita requerida]

Donde es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación es el punto de intersección de las rectas de acción de las fuerzas. Los componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado para la fuerza resultante.

Método del paralelogramo

Este método permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo o método poligonal

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

y ordenando los componentes,

Con la notación matricial sería

Conocidos los módulos de dos vectores dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo de es:

La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.

El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es negativo.

Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo de vector como indica el escalar.

Sean un escalar y un vector, el producto de por se representa y se realiza multiplicando cada una de los componentes del vector por el escalar; esto es,

Con la notación matricial sería

Dado un vector que es función de una variable independiente

Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:

teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.

Con notación matricial sería

Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:

Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector posición en función del tiempo t. Derivando tendremos:

Realizando la derivada:

La derivada del vector posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:

Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores escalares.​ Si derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.

Cuando en lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas curvilíneas la variación total de un vector dependiente del tiempo depende no solo de la variación de componentes como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:

Cuando se emplea una base fija (coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen y otros factores menos comunes.

El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores y viene dado por:

Dado un vector y una dirección de referencia dada por un vector unitario se puede descomponer el primer vector en un componente paralela y otro componente perpendicular a la dirección de referencia:

En física esta descomposición se usa en diferentes contextos como descomponer la aceleración en un componente paralela a la velocidad y otro componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede descomponerse en un componente normal al plano y otra paralela.

También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado integrable admite la llamada descomposición de Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal:

En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interno. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1. Sea un vector expresado en un sistema de coordenadas cartesianas ( x, y, z) con una base vectorial asociada definida por los versores ; esto es,

Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes ( x′, y′, z′), con una base vectorial asociada definida por los versores . Los componentes del vector en esta nueva base vectorial serán:

La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):

que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.

En el caso simple en el que el giro tenga magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:

Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del vector en la nueva base vectorial:

siendo

los componentes del vector en la nueva base vectorial.

Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales

No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un vector físico, los valores numéricos de los componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.

En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes en cuya definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.

En teoría especial de la relatividad, solo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen magnitudes vectoriales. Así los componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:

Donde son los componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.

Véase también

1. ↑ Enrico Bompiani, Universidad Nacional del Litoral, ed., Geometría Analítica, pp. 14-15, .

2. ↑ Llopis, GÁlvez, Rubio, López (1998), Editorial Tebar, ed., Física: curso teórico-práctico de fundamentos físicos de la ingeniería, p. 26-27,36,70,71,82, , "(cito algunos ejemplos) [de página 26] [Otras magnitudes] llamadas vectoriales, donde no basta conocer su valor numerico, sino que además es necesario dar también su dirección y sentido. [página 70] (...) el cual es un vector que en general tendrá distinta dirección y sentido que r(t). [página 71] (...) Consecuencia de la definición es que la dirección de este vector derivada, dr/dt, es tangente a la curva indicatriz, su sentido es el de los valors crecientes del parámetro escalar t, y que su módulo es: (...)".

3. ↑ Manuela Blanco Sánchez, Marcial Carreto Sánchez, José Ma González Clouté (1997), Ediciones de la Torre, ed., Programa de diversificación curricular: ámbito científico-tecnológico: 2o. ciclo de ESO, Proyecto Didáctico Quirón. Ciencias y tecnología 102 (ilustrada edición), pp. 200,202,216, .

4. ↑ Mitiguy, Paul, Chapter 2: Vectors and dyadics (en inglés), p. nota 1 en página 2.

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Bibliografía

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Vector - Wikipedia, la enciclopedia libre

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En matemática y física, un vector​ es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido.​ Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.

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Suma y resta de vectores escritos componentes | Ejemplo 1

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Suma de vectores por componentes rectangulares | Ejemplo 2

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MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR ESCALAR.

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MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR ESCALAR.

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Multiplicación de un vector por un escalar

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OPERACIONES CON VECTORES

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Una vez que ya conocemos la definición de un vector, procederemos a estudiar algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar entre vectores.

Suma de vectores

Si tenemos dos vectores y , entonces la suma de y es

En otras palabras, el vector suma de y es el vector que resulta de sumar las componentes respectivas de estos vectores: la primera componente de se suma con la primera componente de , y la segunda componente de se suma con la segunda componente de .

Interpretación gráfica de la suma

Observemos la siguiente gráfica que muestra la suma de los vectores y :

Si y son dos vectores libres, entonces para sumarlos gráficamente primero se elige el representante de cuyo origen es el extremo de . Luego, es el vector cuyo origen es el origen de y cuyo extremo es el extremo de .

Notemos que también se puede elegir un representante de tal que su origen sea el extremo de . La suma tendrá el mismo valor, pero ahora la obtendremos uniendo el origen de con el extremo de .

Regla del paralelogramo

Lo que discutimos anteriormente como la suma gráfica de los vectores se conoce como regla del paralelogramo. En particular, si queremos sumar dos vectores libres con origen en común, entonces debemos trazar rectas paralelas a los vectores. De esta forma se obtiene un paralelogramo cuya diagonal -que inicia en el origen de los vectores- es la suma misma de los vectores.

Observa la siguiente figura que muestra la regla del paralelogramo.

La resta de dos vectores y simplemente es la suma de con (es decir, el opuesto de ).

De este modo, si consideramos los componentes de y , entonces la resta está dada por

Gráficamente, la resta de y se obtiene igual que la suma. La única diferencia es que sumamos el opuesto de . Observa la siguiente figura que muestra a y nota que en el extremo de se coloca el origen de .

Observemos que la resta gráficamente es el vector que une el extremo de con el extremo de tal y como se puede apreciar en la siguiente figura:

Producto de vector por escalar

La multiplicación de un vector por un número se escribe o . El número también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector que satisface las siguientes propiedades:

tiene la misma dirección que .

Si es positivo, entonces tiene el mismo sentido que .

Si es negativo, entonces tiene el sentido contrario que .

El módulo de es

Observemos la siguiente figura que representa la multiplicación de por 3.

En términos de componentes, si , entonces la multiplicación por escalar está dada por

Ejemplos de ejercicios con vectores

Consideremos los vectores y . Entonces:

1 La suma está dada por:

2 La resta es:

3 El opuesto de es:

4 El producto escalar de por 3 está dado por:

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Otros ejercicios

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Operaciones con vectores (suma, resta y multiplicacion por escalar)

# data[].attributes.attachment_link.description
Una vez que ya conocemos la definición de un vector, procederemos a estudiar algunas de las operaciones básicas que se pueden realizar entre vectores.