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https://prezi.com/rxii_k_d2l2r/edit/

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2° año ciclo básico

Introducción a la Didáctica

GRUPO: 1º 1

Corujo, Nataly - Hernández, Camila - Montiel, Álvaro

Prof.: Viviana González

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Extraer conclusiones a partir de dos simetrías ya conocidas.

Interiorizar el concepto de función a partir de la geometría en el plano.

Usar la tecnología como herramienta de enseñanza y de aprendizaje.

Comprender una planteo de una actividad geométrica.

Construir imágenes de puntos del plano.

Cooperar en una actividad lúdica.

Integrar a los alumnos y promover la participación activa de los mismos.

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La importancia de la comprensión del concepto de función radica, en parte, en su amplia gama de aplicaciones prácticas, un ejemplo de esto, contextualizado en la cotidianeidad del alumno, es la información brindada por los medios de comunicación, ya que estos recurren a tablas y gráficas para transmitirla, por lo cual es relevante la comprensión del concepto de función para que este déficit no condicione las futuras incorporaciones referentes a este tema.
Sin embargo, la incorporación del concepto de función presenta una gran dificultad propia de su definición, la misma es compleja por su simbolismo, su representación, y la carencia de una comprensión integrada de los términos que ella misma involucra, además, algunas definiciones son muy intuitivas y hace que carezcan de rigor, mientras que otras son más rigurosas pero se alejan mucho de los problemas concretos y originales. Asimismo, existe al respecto, una laguna en nuestra formación, por lo tanto debe haber una formación inicial y una continuación, complementación y profundización de la misma en la que no dejamos de ser alumnos nunca.
En consecuencia, existen errores típicos. Algunos  de ellos son considerar que una función es una ecuación con gráfica o no identificarla como tal si no incluye f(x), considerar que el dominio de una función siempre es el conjunto de los números reales, entre otros.
Al analizar varios libros del curso de 2° año de ciclo básico, pudimos destacar que en todos los casos se introduce el tema desde el punto de vista gráfico, teniendo en cuenta las dificultades que se presentan a la hora de definir función, decidimos cambiar la forma de hacerlo apuntando a un entendimiento relacional, generando una imagen conceptual ya que a la hora de buscar el concepto los alumnos recurren a la imagen más que a la propia definición. Apuntamos también de esta manera a observar múltiples acontecimientos que enriquezcan su experiencia geométrica.

Debido a lo que plantea Stewart, que estamos rodeados de matemática, principalmente en la naturaleza, y alejándonos del modelo normativo es que es importante el ejercicio propuesto al comienzo, considerando y valorando los conocimientos previos de los alumnos y mostrando la maravilla de la naturaleza. Recurriendo a la simetría axial, para introducir el concepto de función, es que podemos visualizar fácilmente la matemática que nos rodea y  enseñar matemática desde otro punto de vista, y no desde lo mecánico y tradicional. De este modo los alumnos obtendrán una visión diferente de la misma, para que se convierta en algo de su interés.
En este trabajo, es importante destacar el pensamiento de Alsina, haciendo énfasis en la imaginación. Ésta, debe ser cultivada en la clase. Tal como dice el autor: “La imaginación puede estimularse dando importancia a las visualizaciones en clase”. La imaginación promueve la creatividad y por medio de la visualización llegamos al concepto de función en este caso .
Vinculado con lo que mencionamos anteriormente, Alsina sostiene que “Provocar imágenes mentales puede ayudar, y mucho a razonar mejor”. Esto es un rol importantísimo que juega la imaginación. Al proponer actividades donde el alumno debe utilizar la imaginación y la creatividad, estamos fomentando el interés y la motivación.
Conjuntamente se trabajará en forma grupal favoreciendo la cooperación y comunicación entre los alumnos. A partir de las conclusiones que se obtengan en el trabajo de cada grupo se realizará una puesta en común donde todos ponen en manifiesto sus posibles soluciones al problema. Siendo éste, un recurso de aprendizaje. Como dice Sadovsky: “...un buen maestro debería alentar la resolución de problemas y la discusión de ideas...”
Utilizar actividades lúdicas en la que los alumnos puedan moverse e interactuar o incorporar la tecnología al emplear herramientas didácticas como Geogebra incentiva el interés y motivación de los estudiantes. En particular, desde el punto de vista del aprendizaje, el Geogebra es muy útil ya que este recurso nos permite, además de visualizar en este caso la relación que cumple la simetría central, trabajar con la misma implementando movimientos que nos ayude a comprender mejor las ideas.

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Concepto de función

Dominio, codominio, imagen y variables.

Aplicar el concepto de función en ejes cartesianos

Utilizar correctamente el lenguaje de funciones.

Considerar otros puntos de vista, debatir sobre los mismos y apreciar este intercambio.

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Simetría axial. Simetría central. Noción de medida. Perpendicularidad. Representación de  tablas de valores en ejes cartesianos.

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Actividad 1:

-          Entregar las siguientes fotos a los grupos.
a)      Discute, con tus compañeros, qué tienen en común estas imágenes.

-          Colocar las fotos en la pizarra.

b) ¿qué tienen en común?

-          Solicitar la intervención de los alumnos para representar en la pizarra lo observado en la primera instancia.

c) ¿qué recuerdan de la simetría axial?

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Solución:

a)

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b) Simetría Axial

c) Eje, conserva distancias, semiplanos

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-          Introducir una relación ya conocida.

-          La oportunidad de resaltar la importancia de lo aprendido años anteriores.

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-Entregar a cada grupo 2 o 3 copias de la imagen.
a) teniendo en cuenta la actividad 1, intenta simetrizar la figura.
- Proyectar la misma en la pizarra y marcar todos los puntos.
b)¿Cómo encontraron el correspondiente del punto A?
¿Y el correspondiente del B?,¿y el de F?
c) ¿Cómo hicimos para encontrar los correspondientes de todos los puntos de la figura? Ten en cuenta que hay dos posibilidades: que el punto pertenezca al eje o no.
d) ¿Cuántos correspondientes tiene cada punto?
e) ¿Qué relación hay entre los elementos del conjunto del que partimos (la mitad del árbol) y los elementos del conjunto al que llegamos?
f) ¿Se da alguna relación de dependencia los elementos del conjunto de partida y los elementos del conjunto de llegada?

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a)

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b) Lo encontramos trazando una recta perpendicular al eje por el punto A. Llamamos O al punto de intersección del eje y la recta.

Trazamos una circunferencia de centro O y radio OA

En la intersección de la circunferencia y la recta perpendicular al eje encontramos el punto simétrico de A.

Ídem para el punto B. El correspondiente de F, por simetría axial, es el mismo F.
c) Para los puntos que no pertenecen al eje, trazamos una recta perpendicular (por cada punto) al eje y medimos la misma distancia entre el punto y el eje y para los que sí, la imagen es sí mismo.
d) Tiene un único correspondiente.
e) La relación entre los elementos de cada conjunto es que están a la misma distancia del eje.
f) Los elementos del conjunto de llegada (codominio) dependen de los elementos del conjunto de partida (dominio).

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-          Aplicar lo visto en la primer actividad y a partir de esto introducir los términos del contexto de funciones.

-          Caracterizar la relación anteriormente identificada.

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1)      En Geogebra:
a) Dibujar una casita

b) Marcar  un punto exterior a la casita dibujada

c) Unir con rectas los puntos vértices de la casita con el punto

exterior realizado en la parte b)

d) Realizar la simetría central de la casita respecto del punto.

2) Completa:

El conjunto de partida (dominio) es…

El conjunto de llegada (codominio) es…

La relación entre un punto cualquiera y su simétrico es que…

Para cada punto encontramos …… y solo ….. simétrico.

El…………………….. es dependiente respecto al ………………….

3) ¿Qué es lo que se mantiene constante entre la simetría axial del ejercicio 2 y esta   simetría?

4) Estas relaciones se llaman funciones. ¿Cómo las definirías?

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1)   a) y b)

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c) y d)

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El conjunto de partida (dominio) es … una casita.

El conjunto de llegada (codominio) es … otra casita.

La relación entre un punto cualquiera y su simétrico es que el centro de   simetría es el punto medio del segmento que ellos determinan, por lo que están a la misma distancia del centro.

Para cada punto encontramos uno y solo un simétrico.

El conjunto de llegada es dependiente respecto al conjunto de partida.

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Dos conjuntos, uno de partida (dominio) y otro de llegada (codominio).

Elementos que se relacionan haciéndole corresponder a cada punto una    única imagen.

Una variable independiente y una dependiente.

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Llamaremos función entre dos conjuntos, uno de partida y otro de llegada a toda correspondencia en las que se cumplan dos condiciones: todos los elementos tienen correspondiente y el mismo es único.

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- Relacionar las características que cumplen las dos simetrías vistas.

- Reafirmar los términos del contexto de funciones.

- Ampliar las posibilidades de identificar lo que es función y así institucionalizar el concepto.

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“Juguemos en el plano”

Se agrupan aquellos alumnos que tienen en su nombre la misma inicial.

Una posibilidad es que queden de la siguiente forma:

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Dados los tableros y las siguientes relaciones, los alumnos deberán, respetando el orden de las relaciones dadas, ubicarse donde corresponda con la ayuda de una cuerda, una escuadra y dos o tres voluntarios. Además a medida que se comprenda cada relación se sustituirá por fichas los lugares que ocupaba cada alumno en el tablero (plano).

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Relaciones:

1)   Dada la recta r, se define la relación 1 tal que a cada punto del plano le hace corresponder la intersección entre la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a r y la propia r.

2)   Dadas dos rectas s y t, se define la relación 2 tal que para cada punto del plano su imagen es la intersección de la recta perpendicular a las paralelas por el punto con las paralelas.

3)   Dada la recta w y el punto Q, se define la relación 3 en la que el correspondiente de cualquier punto es la intersección entre w y  la recta determinada por el punto y Q.

-Una vez visualizadas las relaciones, responde: ¿Son casos de funciones?

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La relación 1 es función ya que para todo punto del plano (dominio), existe y es única su imagen.
Sin embargo las relaciones 2 y 3 no lo son, ya que la primera tiene imágenes distintas para una misma preimagen y en la segunda relación hay elementos para los cuales no existe su imagen.

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- Examinar la comprensión del concepto de función.
- Mostrar no ejemplos y así erradicar la posible creencia de que todo son funciones.

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Dada la siguiente tabla de datos:

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a)      Piensa cómo podríamos representarlos.

b)       Aplicando la definición que dimos de Función, ¿esta relación es una función? Justifica.

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a)

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b)  Sí, ya que todos los destinos tienen un precio asignado y este es único.

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-          Posibilidad de repensar el concepto de función aplicándolo a ejes cartesianos.

-          Momento propicio para que los alumnos construyan una gráfica resaltando la importancia de lo aprendido anteriormente.

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Se propone el trabajo en tres equipos a los cuales se les entrega un grupo de tres fotos a cada equipo y se solicita que observen qué tienen en común. Luego de unos minutos, proyectamos las fotos en la pizarra y preguntaremos:

¿Qué encontraron en común?
Posibles respuestas:

hay una que se refleja en el agua

son simétricos

simetría axial

tienen un eje

Si no aparece la respuesta simetría axial, haremos referencia al curso del primer año para que rememoren esto.

¿Qué recuerdan de simetría axial?

Posibles respuestas:

eje

espejo

conserva distancia

semiplanos

perpendicular

simétrico

Solicitaremos que pasen a dibujar los ejes de cada foto.

Cuando hayan terminado, se les pedirá que concluyan lo hablado hasta el momento, y esas conclusiones se anotarán en el pizarrón (Simetría axial, ejes, semiplanos, perpendicularidad).

Teniendo en cuenta lo concluido en esta actividad, es decir, la simetría axial, repartiremos 2 o 3 hojas con la mitad de un árbol dibujado, solicitando que completen la figura haciendo su simetría axial. Pasados unos minutos recorremos los bancos observando cómo trabajan y evaluando dudas. En caso de que no sepan como simetrizar le mostraremos a modo de ejemplo uno o dos puntos.

Proyectaremos en la pizarra, nombraremos los puntos y el eje.

Generamos el siguiente diálogo:
¿Cómo encontraron el correspondiente del punto A?
Posibles respuestas:

trazamos una recta y medimos la misma distancia

¿cualquier recta?
Posibles respuestas:

derecha

horizontal

90°

perpendicular al eje

Lo encontramos trazando una recta perpendicular al eje por el punto A.

Llamamos O al punto de intersección del eje y la recta.

Trazamos una circunferencia de centro O y radio OA.

¿Y el correspondiente del B?
Posibles respuestas:

igual que el A

¿y el de F?
Posibles Respuestas:

en el mismo lugar

queda ahí mismo

El correspondiente de F, por simetría axial, es él mismo F.

Ahora les preguntamos:

¿Cómo hicimos para encontrar los correspondientes de todos los puntos de la figura? Ten en cuenta que hay dos posibilidades: que el punto pertenezca al eje o no.
Posibles respuestas:

a todos los puntos hacerle lo mismo que al A

los que están en el eje quedan ahí

Para los puntos que no pertenecen al eje, trazamos una recta perpendicular (por cada punto) al eje y medimos la misma distancia entre el punto y el eje y para los que sí, la imagen es sí mismo.

¿Cuántos correspondientes tiene cada punto?
Posibles respuestas:

uno

dos

Tiene un único correspondiente.

¿Qué relación hay entre los elementos del conjunto del que partimos (la mitad del árbol) y los elementos del conjunto al que llegamos?

Posibles respuestas:

son iguales

igual distancia al eje

La relación entre los elementos de cada conjunto es que están a la misma distancia del eje.

¿Se da alguna relación de dependencia entre los elementos del conjunto de partida y los elementos del conjunto de llegada?

Posibles respuestas:

no

si

son iguales

Los elementos del conjunto de llegada (codominio) dependen de los elementos del conjunto de partida (dominio).

Intentaremos que lleguen a las siguientes conclusiones:

Existe un conjunto del que partimos y uno al que llegamos y los elementos de estos tienen una relación de dependencia cumpliendo la recta que ellos determinan perpendicularidad y conservación de la distancia.

Habiendo visto esto se entregará impresa la propuesta de la actividad 3 a cada uno de los alumnos y proyectaremos la misma. Guiaremos desde la pizarra la construcción de lo solicitado en la parte 1 de la actividad.

Con lo construido hasta el momento completaremos la parte 2.

Una 3ª parte de esta actividad  consiste en realizar una serie de preguntas que serán encausadas o dirigidas para lograr "institucionalizar" el concepto de función.

¿Hay algún punto al que no le podemos hallar su correspondiente?
Posibles respuestas: - no

En caso de que digan que si le preguntaremos cuál y lo analizaremos juntos.

¿ Hay algún punto que tenga más de un correspondiente?
Posibles respuestas: - no

En caso de que digan que si le preguntaremos cuál y lo analizaremos juntos.

¿Qué tienen en común lo que vimos en simetría axial y lo que vimos de simetría central?
Posibles respuestas:

conjunto de partida

conjunto de llegada

una relación

igual distancia

variable dependiente

variable independiente

Aquí , se espera lograr que digan que son dos conjuntos uno de partida y uno de llegada que en los dos existe una relación entre ambos conjuntos, que hay una variable dependiente y una independiente.
Anotaremos estas observaciones en la pizarra.

Estas relaciones se llaman funciones, ¿cómo las definirían?
Acá se generará una lluvia de ideas que iremos anotando en el pizarrón.
Pretendemos llegar a la siguiente definición:
"Llamaremos función entre dos conjuntos, uno de partida (dominio) y otro de llegada (codominio), a la correspondencia en la que se cumplen dos condiciones: que todos los elementos tienen correspondiente y que el mismo es único."
Una vez institucionalizado el concepto de función pasaremos a una 4ta actividad. Le pediremos a los alumnos que se agrupen según las iniciales de su nombre, de esta forma quedaran agrupados de a dos o tres y quedará un grupo de alumnos cuya inicial no coincide con ninguna otra. Se entregará a los mismos un identificador con la inicial.
En la superficie del suelo extenderemos una tela que auspicia de plano de la siguiente forma: Concomitantemente se repartirán impresas las siguientes relaciones, dándoles un tiempo para que las lean y las piensen.

1)      Dada la recta r, se define la relación 1 tal que a cada punto del plano le hace corresponder la intersección entre la recta que pasa por ese punto y es perpendicular a r y la propia r.

2)      Dadas dos rectas s y t, se define la relación 2 tal que para cada punto del plano su imagen es la intersección de la recta perpendicular a las paralelas por el punto con las paralelas.

3)      Dada la recta w y el punto Q, se define la relación 3 en la que el correspondiente de cualquier punto es la intersección entre w y  la recta determinada por el punto y Q.

Se pedirá a los alumnos que se ubiquen en el plano siguiendo el orden de las actividades dadas.
En caso de que no se comprendan las relaciones nosotros oficiaremos de ejemplo.

A medida que el tablero se va entendiendo, los alumnos van saliendo del mismo y sus lugares se van sustituyendo por fichas para que quede un registro.

Si alguno de los alumnos del grupo de solitarios quiere hallar su imagen no habrá ningún inconveniente ya que se busca su correspondiente y se coloca una ficha.

En la relación 3, en caso de que no se den cuenta, induciremos a que visualicen que los puntos que se encuentran en la recta que pasa por el punto Q paralela a la recta w no tienen imágen con preguntas como: ¿qué sucede si yo soy el punto que está acá?, posicionándose uno de nosotros en algún lugar de esa recta paralela.

Cuando el tablero se encuentre completo pediremos a todos que analicen las 3 relaciones para poder responder a la pregunta: ¿son casos de funciones?

En caso que los alumnos no logren vislumbrar guiaremos con preguntas como: ¿qué tiene que cumplir una relación para que sea funcion? ¿determinado punto tiene imagen? ¿cuántas imágenes tiene? para poder inducirlos, por ejemplo, a que la relación 1 es función ya que para todo punto del plano (dominio), existe y es única su imagen.
Sin embargo, las relaciones 2 y 3 no lo son, ya que la primera tiene imágenes distintas para una misma preimagen y en la segunda relación hay elementos para los cuales no existe su imagen.

Habiendo evaluado con esta última la comprensión del concepto y ejemplificar con no ejemplos, con una quinta actividad pretendemos aplicar el concepto al plano cartesiano.

Presentaremos la la siguiente tabla y se les pedirá que piensen cómo representarla:

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Posibles respuestas:
-          en una recta
-          en una gráfica
-          dos líneas cruzadas
-           ejes
En caso de no surgir la idea de ejes cartesianos, haremos mención a que ya lo habíamos visto en este curso, apelando al recuerdo y en el peor de los casos dibujaremos los mismos en la pizarra y preguntaremos si nadie lo recuerda.
Entre todos construiremos la gráfica y luego preguntaremos: ¿representa a una función?
Responderán que sí o que no y en cualquiera de los casos pediremos que lo justifiquen.
Para cerrar la secuencia didáctica repasaremos lo visto y destacaremos lo logrado en la última actividad.

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Esta será permanente en el transcurso de la clase mediante la participación, recorriendo los bancos, valorando sus actitudes y la forma de expresarse.

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ALSINA, C. (2007) Educación matemática e imaginación. UNIÓN Revista Iberoamericana de Educación Matemática.

AZCARATE, C. y DEULOFEU, J. (1996) Funciones y gráficas. Editorial Síntesis S.A

BORBONET, M.; BURGOS, B.; MARTÍNEZ, A. y RAVAIOLI, N.(2008) Matematica 2.Montevideo: Fin del siglo.

OCHOVIET, C. y VITABAR, F. (2014) Matematica 2. Montevideo: Losa libros Ltda.

SKEMP, R. (1976). Relational Understanding and Instrumental Understanding. Mathematics teaching.

STEWART, I. (2007). Cartas a una joven matemática. Madrid: Editorial Crítica.

VINNER, S. EL ROL DE LAS DEFINICIONES EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA. Extraído de: Advanced Mathematical Thinking. Editado por David Tall (1991) . Academic Publishers