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A la visión puramente geométrica de los griegos sobre las secciones cónicas, los matemáticos de los siglos XVI y XVII incorporaron las nociones de coordenadas y distancias .
Esto llevó a la definición de estas curvas como lugares geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en términos de distancias.

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2. R³ y LOS LUGARES GEOMÉTRICOS:          

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2. R³ y LOS LUGARES GEOMÉTRICOS:          

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Los cilindros pueden tratarse en el espacio tridimensional definiéndolos como lugares geométricos.
Como bien ya se ha estudiado las cónicas presentes en la superficie cilíndrica pueden ser: elipses, y su caso particular la circunferencia, parábolas e hipérbolas.

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Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos, es constante.
Esta suma constante de las distancias de un punto cualquiera a cada uno de los focos es igual al diámetro mayor.

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La circunferencia es el caso particular de la elipse, en donde sus focos se confunden en un mismo punto que llamamos centro.
Es el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de dicho centro, que es un punto fijo. A esta distancia a la que se encuentran todos los puntos del centro, lo llamamos radio.

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Es el lugar geométrico de los puntos del plano que cumple con la condición específica en la  que la distancia de un punto fijo (llamado foco) a un punto de la curva es igual a la distancia que hay desde la ecuación de la directriz a dicho punto de la curva.

La recta directriz de la parábola es perpendicular al eje de la parábola y el foco pertenece a dicho eje.
Siguiendo la definición, el vértice de la parábola (punto de intersección de la parábola con su eje) debe equidistar de la directriz y del foco. Y así todos los puntos que pertenezcan a la misma.

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Dados en el plano, dos puntos fijos llamados focos, se llama hipérbola al lugar geométrico de todos los puntos del plano, tales que la diferencia entre sus distancias a cada uno de los focos es constante.

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Es un instrumento mecánico que se utilizaba para dibujar elipses.
Este mecanismo es presentado por el Profesor Holandés Franciscus van Schooten, quién dió la versión latina de La Geometría de Descartes.
Desde aquí puedes ver el Funcionamiento del elipsógrafo.

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9. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE EN LA ANTIGÜEDAD:                   

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9. CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE EN LA ANTIGÜEDAD:                   

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En 1637, Descartes utilizaba un método para dibujar elipses que lo llamaba el método de los jardineros. Se clavan dos estacas, en la tierra en los puntos elegidos como foco de la elipse, y se ata un hilo a ambos. Luego se estira el hilo con una rama y la hace girar manteniendo tenso el hilo. (Las Geometrías, 2009).
La longitud del hilo no se puede variar por consiguiente, la suma de las distancias de la punta de la rama a las estacas (focos) permanecerá constante.

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7. PRIMERAS CONSTRUCCIONES DE LAS SECCIONES CÓNICAS:

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7. PRIMERAS CONSTRUCCIONES DE LAS SECCIONES CÓNICAS:

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Las secciones cónicas deben su nombre al descubrimiento de las mismas como secciones de un cono cortado por diferentes planos según el caso.

En el inicio de la Geometría proyectiva, Desargues obtenía las cónicas por proyección de una circunferencia desde un punto sobre un plano.

Más adelante se generaban las curvas de forma mecánica para su posterior análisis y estudio. Como lo realizó Descartes.

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10. COMPÁS DESLIZANTE PARA DIBUJAR CÓNICAS: 

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10. COMPÁS DESLIZANTE PARA DIBUJAR CÓNICAS: 

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Van Schooten construyó también tres tipos de compases deslizantes basados en el siguiente resultado:

Si un rombo articulado ABCD tiene fijo el punto A y el punto C se mueve en una circunferencia centrada en otro punto O, el punto de corte de la recta OC con la diagonal del rombo BD describe una cónica.
Construcción de la parábola con compás deslizante

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Rey Pastor, J & Babini, J .(1985). Historia de la matemática vol. 1 y 2. Barcelona, España: gedisa.

Repetto, C, Linskens, M & Fesquet, H. (1967). Álgebra y geometría. Buenos Aires: Kapelusz.

Pinasco, J.P , Amster, P & otros. (2009). Las geometrías.  Buenos Aires: INET.

Matemáticas visuales.

La geometría de Descartes.

Las cónicas como lugar geométrico.

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En La Geometría de Descartes aparece un hiperbológrafo. Construirlas de forma mecánica le permitía luego posicionarla en el eje de coordenadas para el análisis de sus características. Dicho hiperbológrafo se muestra a continuación: