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Conjuntos                                                                              

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¿Qué características puedes observar del conjunto anterior?

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Teoría de Conjunto.

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Construcciones básicas

Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos más utilizados: el de conjunto. Sin embargo no daremos una definición rigurosa. ¿Sabes por qué?

Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos de los que consta entre llaves,

$$A = \{ 1,2,3,4,5 \},$$

o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado está o no en el conjunto,

$$A = \{ \text{números naturales del }1\text{ al }5\}.$$

Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan especificados como una lista, por tanto $A=\{3,1,2,5,4\}$. En una definición explícita no se pueden repetir elementos, así que $\{1,1,2,3,4,5\}$ sería una manera incorrecta de expresar el conjunto $A$.

$\mathbb{N}$, los números naturales: 1, 2, 3, ...

$\mathbb{N}_0$, los números naturales más el cero: 0, 1, 2, 3, ...

$\mathbb{Z}$, los números enteros: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

$\mathbb{Q}$, los números racionales: $\frac{p}{q}$.

$\mathbb{R}$, los números reales.

$\mathbb{C}$, los números complejos.

Muchos símbolos matemáticos son reversibles, por ejemplo, $A\ni a$ significa lo mismo que $a\in A$. También muchos son negables, así $a\notin A$ significa que $a$ no pertenece a $A$.

Por ejemplo, si $A = \{ 1,2,3,4,5 \}$ entonces $1 \in A$ pero $6\notin A$. Otra manera implícita de expresar este conjunto $A$ es la siguiente:

$$A = \{n|n\in\mathbb{N} \wedge 1\leq n\leq 5\}.$$

Se lee del siguiente modo: "$A$ es el conjunto formado por los elementos $n$ tales que $n$ pertenece al conjunto los números naturales, $n$ es mayor o igual que 1 y $n$ es menor o igual que 5."

Deducimos que dos conjuntos $A$ y $B$ son distintos $A\neq B$ si bien existe $x\in A$ tal que $x\notin B$ o bien existe $x\in B$ tal que $x\notin A$. En notación matemática: $A\neq B\Leftrightarrow(\exists x\in A|x\notin B)\vee(\exists x\in B|x\notin A).$

El conjunto vacío $\varnothing$ es el que carece de elementos, es decir $\varnothing=\{\}$, o bien $\forall x, x\notin \varnothing$.

Un conjunto es unitario si contiene un único elemento, como por ejemplo $\{0\}$, $\{1\}$, $\{a\}$, $\{$cartón de leche$\}$, $\{\mathbb{N}\}$, ...

¡Ojo! $x\in\{x\}$, pero $x\neq\{x\}$, de hecho, como demuestra la paradoja de Russell, es imposible que un conjunto pertenezca a sí mismo.

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, decimos que $A$ está contenido o incluído en $B$ o que $A$ es un subconjunto de $B$, y lo denotamos $A\subset B$, si todo elemento de $A$ pertenece a $B$, es decir $x\in A \Rightarrow x\in B$.

También se puede denotar $A\subset B$ como $A\subseteq B$. Hay que tener cuidado con la negación de estos dos símbolos. Tanto $A\not\subset B$ como $A\not\subseteq B$ significan que $A$ no está contenido en $B$, o no es un subconjunto de $B$. Sin embargo $A\subsetneq B$ solo niega la igualdad, por lo que significa que $A$ es un subconjunto de $B$ pero que $A$ no es igual a $B$, es decir, la contención es estricta. Por ejemplo, $\{2,3,5\}\subsetneq\{1,2,3,4,5\}$.

La contención es transitiva, $A\subset B\subset C\Rightarrow A\subset C$. También es reflexiva, $A\subset A$. Además, el vacío está contenido en cualquier conjunto $\varnothing\subset A$. Los subconjuntos de $A$ distintos de $\varnothing$ y $A$ se denominan subconjuntos propios de $A$.

El siguiente resultado caracteriza la igualdad entre dos conjuntos en términos de contenciones. Es la base de una técnica de prueba conocida como doble inclusión, que aplicaremos con frecuencia.

Cualquier enunciado matemático debe venir seguido de una prueba. Se usan diversos términos para denominar a los enunciados matemáticos, de acuerdo con la percepción que tengamos de su importancia o dificultad. De mayor a menor:

Los lemas suelen tener un carácter técnico y presentarse como pasos intermedios en la demostración de un resultado de mayor envergadura. Los corolarios se enuncian habitualmente después de un resultado más importante y su prueba suele ser obvia y omitirse.

Si $C\subset A$ y $C\subset B$ entonces $C\subset A\cap B$.

La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades, donde $A$, $B$ y $C$ son conjuntos cualesquiera:

$A \cap B = B \cap A$ (conmutativa).

$(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (asociativa).

$A \cap B \subset A$.

$A \cap B \subset B$.

$\varnothing \cap A = \varnothing$.

$A \subset B\Leftrightarrow A \cap B = A.$

Estas propiedades nos permiten definir inductivamente la intersección de una cantidad finita de conjuntos $A_1\cap\cdots\cap A_n$. Consiste en los elementos que están en todos ellos.

Veamos el caso posiblemente infinito.

Dado un conjunto $I$, una familia de conjuntos indexada por $I$ consiste en dar un conjunto $A_i$ para cada $i\in I$. Se denota como $\{ A_i \}_{i\in I}$.

La intersección de una familia de conjuntos se define como $\bigcap_{i\in I}A_i=\{x|\forall i\in I, x\in A_i\}$.

Si $I$ es finito, esta definición coincide con la anterior, basta enumerar los elementos de $I$ para comprobarlo. Esta definición es también válida para $I$ infinito.

Observa que $A\cap B\subset A\cup B$.

Si $A\subset C$ y $B\subset C$ entonces $A\cup B\subset C$.

La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, donde $A$, $B$ y $C$ son conjuntos cualesquiera:

$A \cup B = B \cup A$ (conmutativa).

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (asociativa).

$\varnothing \cup A = A$ (elemento neutro).

$A \subset A \cup B$.

$B \subset A \cup B$.

$A \subset B\Leftrightarrow B=A \cup B$.

Estas propiedades nos permiten definir inductivamente la unión de una cantidad finita de conjuntos $A_1\cup\cdots\cup A_n$. Consiste en los elementos que están en alguno de ellos.

Veamos ahora el caso posiblemente infinito.

Igual que antes, si $I$ es finito, esta definición coincide con la anterior, pero es también válida para $I$ infinito.

Observa que $A\setminus B\neq B\setminus A$. De hecho ambos conjuntos son disjuntos.

Teorema (Leyes distributivas)

Dados tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$.

Los siguientes diagramas ilustran las leyes distributivas.

Teorema (Leyes de De Morgan)

Dados tres conjuntos $A$, $B$ y $C$:

$C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)$.

$C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)$.

Las leyes de De Morgan quedan mejor explicadas por los siguientes diagramas.

El producto cartesiano de dos conjuntos $A$ y $B$ es el conjunto $A\times B$ cuyos elementos son los pares ordenados $(a,b)$ cuya primera coordenada está en $A$, $a\in A$, y la segunda en $B$, $b\in B$, es decir $A \times B = \{ (a,b) | a \in A \wedge b \in B \}$.

El vacío hace el papel de cero con respecto al producto cartesiano $A \times \varnothing = \varnothing = \varnothing \times B$.

En general, el producto cartesiano no es conmutativo $A\times B\neq B\times A$.

Si $A$ y $B$ son finitos, ¿cuántos elementos tiene $A\times B$?

Análogamente, podemos definir el producto cartesiano de una cantidad finita de conjuntos $A_1\times\cdots\times A_n$ como el formado por las $n$-uplas $(a_1,\dots, a_n)$ tales que $a_i\in A_i$. Más generalmente, podemos definir el producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos $\{A_i\}_{i\in I}$, $\prod_{i\in I}A_i=\{(a_i)_{i\in I}|a_i\in A_i\}$.

$B\subset A\Leftrightarrow B\in\mathcal{P}(A)$.

Si $A$ es un conjunto con $n$ elementos, ¿cuántos elementos tiene $\mathcal{P}(A)$? ¿Qué ocurre si $A$ es infinito? ¿Es posible que $\mathcal{P}(A)$ sea vacío? ¿Y unitario?

Dado un conjunto universal $U$:

Aplicaciones

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, una aplicación $f$ de $A$ en $B$, que se denota $f\colon A\rightarrow B$, es una regla que asocia a cada $a\in A$ un único elemento $f(a)\in B$, denominado imagen de $a$ por $f$. También diremos que $f(a)$ es el valor de $f$ en $a$. Esto se denota también como $a\mapsto f(a)$, especialmente en diagramas como el siguiente,

$$ \begin{array}{rcl} f\colon A & \longrightarrow & B,\cr a & \mapsto & f(a). \end{array} $$

También se puede colocar el nombre de la aplicación encima de la flecha,

$$A\stackrel{f}{\longrightarrow} B.$$

El siguiente diagrama ilustra una aplicación

que se puede definir también del siguiente modo:

$$ \begin{array}{rcl} A&\stackrel{f}\longrightarrow& B,\cr 1&\mapsto&a,\cr 2&\mapsto&b,\cr 3&\mapsto&b,\cr 4&\mapsto&b. \end{array} $$

Sin embargo el diagrama siguiente no es una aplicación ya que la definición no se cumple por varias razones, ¿sabrías decir cuáles?

Para definir una aplicación hay que especificar lo siguiente:

El conjunto de partida, también llamado dominio.

El de llegada, o codominio.

La imagen de cada elemento del conjunto de partida.

Si dos aplicaciones difieren en alguno de estos tres puntos se consideran diferentes.

Algunas aplicaciones importantes

La identidad $1_A\colon A\rightarrow A$ se define como $1_A(a)=a$ para todo $a\in A$. Esta aplicación está definida para cualquier conjunto $A$.

Dado un subconjunto $B\subset A$, la inclusión $i\colon B\rightarrow A$ se definie como $i(b)=b$ para todo $b\in B$.

Dados dos conjuntos $A$ y $B$ y un elemento $b\in B$, la aplicación constante $c_b\colon A\rightarrow B$ se define como $c_b(a)=b$ para todo $a\in A$.

Dado un conjunto $A$, ¿hay algun aplicación $\varnothing\rightarrow A$? ¿Y $A\rightarrow\varnothing$?.

Dadas dos aplicaciones

$$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{g}\longrightarrow C$$

su composición $g\circ f\colon A\rightarrow C$ es la aplicación definida como $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.

La composición de aplicaciones satisface las propiedades siguientes:

Dadas tres aplicaciones $$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{g}\longrightarrow C\stackrel{h}\longrightarrow D$$ se verifica que $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ ( asociativa).

Dada una aplicación $f\colon A\rightarrow B$, se tiene que $f\circ 1_A=f=1_B\circ f$ ( elemento neutro).

Una aplicación $f \colon A \rightarrow B$ es invertible si existe $g \colon B \rightarrow A$ tal que $g \circ f = 1_A$ y $f \circ g = 1_B$,

$${}_{1_A}\!\!\circlearrowright A\mathop{\rightleftarrows}\limits^f_g B\circlearrowleft_{1_B}$$

Si $f \colon A \rightarrow B$ es invertible su aplicación inversa $f^{-1} \colon B \rightarrow A$ es la única que satisface $f^{-1} \circ f = 1_A$ y $f \circ f^{-1} = 1_B$,

$${}_{1_A}\!\!\circlearrowright A\mathop{\rightleftarrows}\limits^f_{f^{-1}} B\circlearrowleft_{1_B}$$

La identidad $1_A\colon A\rightarrow A$ es invertible y $1_A^{-1}=1_A$. Si $f\colon A\rightarrow B$ es invertible entonces $f^{-1} \colon B \rightarrow A$ también y $(f^{-1})^{-1}=f$.

Si tenemos dos aplicaciones invertibles

$$A\stackrel{f}\longrightarrow B\stackrel{g}\longrightarrow C$$

entonces $g\circ f$ es invertible y $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

Nos disponemos a dar una caracterización más asequible de las aplicaciones invertibles.

Sea $f\colon A \rightarrow B$ una aplicación.

$f$ es inyectiva o uno-a-uno si no existen dos elementos diferentes de $A$ con la misma imagen.

$f$ es sobreyectiva si todo elemento de $B$ es la imagen de algún elemento de $A$.

$f$ es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

En una aplicación inyectiva no puede ocurrir los siguiente:

En una sobreyectiva está prohibida la siguiente situación:

En notación matemática, $f\colon A\rightarrow B$ es inyectiva si, dados $a,a'\in A$, $f(a)=f(a')\Rightarrow a=a'$, y $f$ es sobreyectiva si $\forall b\in B\;\exists a\in A|f(a)=b$. Las flechas de las aplicaciones inyectivas se denotan $f\colon A\hookrightarrow B$ y las de las sobreyectivas $f\colon A\twoheadrightarrow B$.

Es un error tristemente común el confundir la caracterización anterior de la inyectividad con la implicación $\Leftarrow$. En realidad esta impliciación es cierta para cualquier aplicación por la propia definición.

Si $f\colon A\rightarrow B$ es biyectiva y $A$ es finito, ¿qué podemos decir de $B$? ¿Y si $f$ es inyectiva? ¿Y si es sobreyectiva?

El siguiente tema versará en buena parte sobre el estudio de las aplicaciones biyectivas de un conjunto finito en sí mismo.

Las aplicaciones invertibles juegan en el ámbito de los conjuntos el mismo papel que las igualdades en el campo de los números, es por eso que se denotan

$$f\colon A\stackrel{\cong}\longrightarrow B$$

o simplemente $f\colon A\cong B$. Por ejemplo, el producto cartesiano $A\times B$ no es conmutativo estrictamente hablando, pero hay una biyección

$$ \begin{array}{rcl} A\times B&\cong &B\times A,\cr (a,b)&\mapsto &(b,a). \end{array} $$

Decimos pues que el producto cartesiano no es conmutativo salvo biyección. Lo mismo ocurre con la asociatividad del producto cartesiano,

$$ \begin{array}{rcl} (A\times B)\times C&\cong &A\times(B\times C),\cr ((a,b),c)&\mapsto &(a,(b,c)). \end{array} $$

Es más, ambos están en biyección con el producto triple, por ejemplo

$$ \begin{array}{rcl} (A\times B)\times C&\cong &A\times B\times C,\cr ((a,b),c)&\mapsto &(a,b,c). \end{array} $$

Sea $f \colon A \rightarrow B$ una aplicación.

La imagen directa de un subconjunto del dominio $U\subset A$ es el subconjunto del codominio $f(U)=\{b\in B\;|\;\exists a\in U|f(a)=b\}\subset B$.

La imagen inversa de un subconjunto del codominio $V\subset B$ es subconjunto del dominio $f^{-1}(V)=\{a\in A| f(a)\in V\}\subset A$.

La imagen de la aplicación $A$ se define como $\operatorname{im}f=f(A)$.

La imagen inversa recible otros nombres como contraimagen, preimagen o anti-imagen. La imagen directa también se denomina simplemente imagen.

Dada una aplicación $f\colon A\rightarrow B$, conviene no confundir la imagen de un elemento de $A$ con la imagen directa de un subconjunto de $A$, aunque obviamente son conceptos relacionados, $f(\{a\})=\{ f(a) \}$.

¿Cuál es la imagen directa del subconjunto vacío? ¿Y su imagen inversa? ¿Dependen las respuestas a estas preguntas de quién sea $f\colon A\rightarrow B$?

La notación $f^{-1}(V)$ para la imagen inversa es confusa porque incorpora la notación usada para la inversa de la aplicación $f$, cuando esta existe. La imagen inversa está siempre definida, aun cuando $f$ no es invertible y por tanto $f^{-1}$ no existe. Si $f$ es invertible, no hay ambigüedad ya que en este caso la imagen inversa $f^{-1}(V)$ de $V$ a través de $f$ coincide con la imagen directa de $V$ a través de $f^{-1}\colon B \rightarrow A$. Para añadir aún más confusión, es habitual abusar de la terminología y denotar al subconjunto $f^{-1}(\{b\})\subset A$ simplemente por $f^{-1}(b)$. El significado de esta expresión en cada caso se deducirá del contexto.

Una aplicación $f\colon A\rightarrow B$ es sobreyectiva si y solo si $\operatorname{im}f=f(A)=B$.

Para toda aplicación $f\colon A\rightarrow B$, $f^{-1}(B)=A$.

A partir de cualquier aplicación $f\colon A\to B$ podemos definir una sobreyectiva $\overline{f}\colon A \to \operatorname{im}(f)$ como $\overline{f}(a)=f(a)$. ¿En qué se diferencia de la anterior?

Las imágenes directa e inversa preservan inclusiones, es decir, dada una aplicación $f\colon A\rightarrow B$:

$U\subset U'\subset A\Rightarrow f(U)\subset f(U')\subset B$

$V \subset V'\subset B\Rightarrow f^{-1}(V)\subset f^{-1}(V')\subset A$.

¿Son ciertos los recíprocos de estas últimas implicaciones?

Dada una aplicación $f\colon A \rightarrow B$ y subconjuntos $U\subset A$ y $V\subset B$, se verifican las siguientes propiedades:

Dada una aplicación $f\colon A \rightarrow B$ y subconjuntos $U_1,U_2 \subset A$ y $V_1,V_2 \subset B$, se verifican las siguientes propiedades:

1. $f(U_1 \cup U_2) = f(U_1) \cup f(U_2)$.

2. $f(U_1 \cap U_2) \subset f(U_1) \cap f(U_2)$.

3. $f^{-1} (V_1 \cup V_2) = f^{-1} (V_1) \cup f^{-1} (V_2)$.

4. $f^{-1} (V_1 \cap V_2) = f^{-1} (V_1) \cap f^{-1} (V_2)$.

¿En qué se diferencian $f$ y su restricción $f|_U$?

Un conjunto exponencial pequeño

El conjunto exponencial $\{a,b\}^{\{1,2\}}=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$ está formado por las cuatro aplicaciones siguientes:

Si $A$ y $B$ son finitos, ¿cuántos elementos tiene $B^A$?

¿Cuántos elementos hay en $A^\varnothing$?

Dado un conjunto cualquiera $A$ y otro unitario $\{e\}$, describe $A^{\{e\}}$ y $\{e\}^A$.

El grafo de una aplicación $f\colon A\rightarrow B$ es el conjunto

$$G_f=\{(a,b)\in A\times B | b=f(a) \} \subset A\times B$$

El grafo de la aplicación

es el conjunto

$$G_f=\{(1,a), (4,b), (2,b), (3, b)\}\subset A\times B.$$

Las aplicaciones $f\colon A\rightarrow B$ se caracterizan porque para cada $a$ está definido un único $f(a)\in B$. Por tanto un subconjunto $S\subset A\times B$ es el grafo de una aplicación $f$ si para cada $a\in A$ existe un único $b\in B$ tal que $(a,b)\in S$. Este $b$ sería $b=f(a)$.

Conjuntos cociente

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es un subconjunto $R\subset A\times A$. Si $(x,y)\in R$ diremos que $x$ está relacionado con $y$ y lo denotaremos $xRy$, o simplemente $x\sim y$ cuando la relación $R$ sea obvia por el contexto.

Una relación $R$ es de equivalencia si satisface las siguientes propiedades:

$xRx$ para todo $x \in A$ (reflexiva).

$xRy\Leftrightarrow yRx$ para $x,y\in A$ cualesquiera (simétrica).

$xRy\wedge yRz\Rightarrow xRz$ para $x,y,z\in A$ (transitiva).

Relaciones de equivalencia

En el conjunto de los seres humanos, poseer el mismo grupo sanguíneo, es decir $x\sim y$ si $x$ tiene el mismo grupo sanguíneo que $y$.

En el conjunto de estudiantes del primer curso del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla, estar en el mismo grupo de Álgebra Básica.

En $\mathbb Z$, tener la misma paridad, o equivalentemente $x\sim_2 y$ si $x-y$ es par.

En $\mathbb Z$, dado $n\in \mathbb Z$, podemos definir la relación $\sim_n$ como $x\sim_n y$ si $x-y$ es divisible por $n$. Observa que $\sim_n=\sim_{-n}$.

En un conjunto cualquiera $A$, la relación dada por la igualdad, $x\sim y$ si $x=y$.

En un conjunto cualquiera $A$, la relación definida como $x\sim y$ para todo $x,y\in A$.

Estudia si las siguientes relaciones en el conjunto de los seres humanos son de equivalencia:

Pon más ejemplos, definidos sobre los conjuntos que desees, de relaciones que satisfagan exactamente una o exactamente dos de las propiedades que se le demandan a las relaciones de equivalencia.

Dada una relación de equivalencia $R$ en un conjunto $A$, la clase (de equivalencia) de $x \in A$ es el conjunto de los elementos relacionados con $x$, es decir $R(x)=\{y\in A| xRy\}$. Los elementos de $R(x)$ se denominan representantes de esta clase. El conjunto cociente de $A$ por $R$ es el formado por las clases de equivalencia de los elementos de $A$. La proyección canónica es la aplicación sobreyectiva $\pi\colon A \twoheadrightarrow A/R$ definida como $x\mapsto R(x)$.

Cuando la relación de equivalencia se denota simplemente $\sim$ por ser sobreentendida, la clase de un elemento $x\in A$ se denota simplemente como $[x]$ o $\overline{x}$. Observa que, en virtud de la reflexividad, $x\in R(x)$ en cualquier relación de equivalencia.

En las relaciones de equivalencia, y por tanto en los cocientes, el problema que más confusión genera es que una misma clase de equivalencia puede tener muchos representantes diferentes. Esto dificulta la definición de aplicaciones que parten de cocientes $f\colon A/R\rightarrow B$, ya que si quiero definir $f(R(x))$ basándome en la elección de un representante, por ejemplo $x\in R(x)$, debo comprobar que la definición es independiente de cualquier otra elección posible del representante $y\in R(x)$.

Aquí identificamos los conjuntos cociente del ejemplo de arriba, en algunos casos estableciendo una biyección con otro conjunto más sencillo.

$\{$Seres humanos$\}/$poseer el mismo grupo sanguíneo $\cong \{0, A,B,AB\}\colon [ x ]\mapsto$ grupo sanguíneo de cualquier representante.

$\{$Estudiantes de primero de Matemáticas$\}/$estar en el mismo grupo de Álgebra Básica $\cong \{A,B,C,D,E,F\}\colon [ x ]\mapsto$ grupo al que pertenece un representante cualquiera.

$\mathbb Z/\sim_2\;=\; \{[0],[1]\}$.

$\mathbb Z/\sim_n\;=\;\{[0],\dots,[n-1]\}$ si $n>0$.

En este caso la proyección natural es biyectiva $\pi\colon A\cong A/=$.

$A/\sim$ es unitario.

Demuestra que la relación $\sim$ del ejemplo anterior es de equivalencia. ¿Te atreverías a definir $\mathbb{R}$ como un cociente?

Una partición de $A$ es un subconjunto $P \subset \mathcal{P}(A)$ tal que:

Los elementos de $P$ son subconjuntos no vacíos de $A$.

La unión de todos los elementos de $P$ es $A$.

Dos elementos distintos de $P$ son siempre disjuntos.

La siguiente es una partición de un conjunto $A$ formada por los subconjuntos $\{E_1, E_2, E_3, E_4, E_5\}$.

Factorización canónica de una aplicación

Teorema (Propiedad universal de la proyección canónica)

Si $f\colon A\rightarrow B$ es una aplicación y $R$ es una relación de equivalencia en $A$ tal que $xRy \Rightarrow f(x) =f(y)$, entonces existe una única aplicación $\overline{f}\colon A/R\to B$ tal que $f=\overline{f}\circ\pi$,

$$f\colon A\stackrel{\pi}\longrightarrow A/R\stackrel{\overline{f}}\longrightarrow B.$$

Prueba que $\sim_f$ es en efecto una relación de equivalencia. Describe el conjunto cociente y la partición asociada. Demuestra también que si $R$ es una relación de equivalencia en $A$ y $\pi\colon A\rightarrow A/R$ es la proyección natural entonces $\sim_\pi=R$.

Teorema (Factorización canónica)

Dada una aplicación $f\colon A\to B$, existe una única aplicación $\overline{f}\colon A/\sim_f\;\rightarrow \operatorname{im} f$ tal que el siguiente diagrama es conmutativo

es decir, $f=i\circ\overline{f}\circ\pi$. Aquí $\pi$ es la proyección canónica e $i$ es la inclusión. Además, la aplicación $\overline{f}$ es biyectiva.

Este teorema nos proporciona un método muy eficiente para establecen una biyección de un conjunto cociente en otro.

Vamos a dar una demostración rigurosa de que $\mathbb{Z}/\sim_n$ posee $n$ elementos para $n>0$. Para ello definimos la aplicación $f\colon \mathbb Z\rightarrow \mathbb Z$ tal que $f(m)$ es el resto no negativo de dividir $m$ entre $n$.

La imagen de $f$ es $\operatorname{im} f=\{0,\dots, n-1\}$. En efecto, el resto de la división es $\geq 0$ y $<n$, lo cual demuestra $\subset$. Además, para $0\leq m<n$, el cociente de la división es $0$ y el resto es el propio $m$, por tanto también tenemos $\subset$.

Veamos ahora que $\sim_f=\sim_n$. Sean $m,m'\in\mathbb Z$. Dividimos ambos números entre $n$, $m=c\cdot n+f(m)$ y $m'=c'\cdot n+f(m')$. Tenemos que $m-m'=(c-c')\cdot n+(f(m)-f(m'))$ es también una división, porque $|f(m)-f(m')|<n$. Por tanto $f(m)=f(m')$ si y solo si $m-m'$ es divisible por $n$. Esto demuestra que ambas relaciones coinciden.

Aplicando el teorema de factorización, deducimos que hay una biyección $\overline{f}\colon \mathbb Z/\sim_n\cong \{0,\dots, n-1\}$ definida por $\overline{f}([m])=f(m)$.

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Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos más utilizados: el de conjunto. Sin embargo no daremos una definición rigurosa. ¿Sabes por qué? Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.

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Aprendamos sobre conjuntos

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Clasificación de los conjuntos 6° Matemáticas

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Quiz

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