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Sea una circunferencia c de centro A(0,0) y radio AB y C un punto exterior a la circunferencia c. Se desea construir las rectas tangentes a la circunferencia que pasen por C.

¿Dónde colocar el punto de tangencia D? Si D es punto de tangencia entonces AC debe ser diámetro de una circunferencia. Sea F el punto medio de AC, al trazar una semicircunferencia centro F y radio AF se obtiene el punto de intersección D y el triángulo ADC es rectángulo, por lo tanto la recta DC es tangente a la circunferencia c.

La otra tangente corresponde a la recta simétrica a CD con respecto a AC.

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Trazar las rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto P exterior a ella.

1. Colocar un punto T que pertenezca a la circunferencia                                                     2. Trazar la recta que pasa por los puntos P y T                                                                       3. Al no ser tangente esta recta, existe otro punto de intersección, llamado T'                 4. Se saca el punto medio A de T y T'                                                                                           5. Se traza el lugar geométrico de A cuando se mueve el punto T                                         6. Se puede comprobar que este punto es una circunferencia con diámetro PO (O es el centro de la circunferencia)                                                                                                           7. Cuando T=T'=A es la solución. En ese momento se forma en triángulo POA, se puede comprobar que es triángulo rectángulo lo que asegura que la recta que pasa por los puntos A y P es tangente a la circunferencia.

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Mi construcción es similar a la de Heira, se pone un punto D móvil sobre la circunferencia y se traza la recta CD, se marca la otra interseccion E y se obtiene el punto medio del segmento DE.

Al mover el punto D, F describe como lugar geometrico un arco de circunferencia, la diferencia con la otra costruccion es que al usar circunferencia por tres puntos (HGI) a mi si me marca que la interseccion de las circunferencias solo son dos puntos K y J, no se si se deba a la version de geogebra 5.

Por ultimo las dos tangentes son las rectas CK y CJ.

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Por teorema de Thales se sabe que todo triángulo inscrito a una circunferencia que uno de sus lados coincida con el diámetro, será un triángulo rectángulo, en este caso el triángulo ADO, es decir el radio OD y recta AB son perpendiculares, por lo tanto la recta AB es tangente a la circunferencia en el punto D. Análogamente para la recta AC

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Se traza la recta AO.

Se marca el punto T en la intersección de la circunferencia con la recta.

Se traza la recta tangente a T.

Se pone un punto B sobre la tangente.

Se traza el segmento AB

Ahora se traza una recta perpendicular al segmento AB que pase por O.

Se le llama P al punto de intersección entre el segmento y la recta perpendicular a él.

Se grafica el lugar geométrico de P cuando se mueve B.

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La idea se basa en construir un triangulo rectángulo cuyos vértices sean el punto de tangencia, el punto externo a la circunferencia y el centro de la circunferencia inicial. Esto dado que se busca que por medio de este triangulo se encuentren las tangentes.

Ahora bien se debe ver que los catetos deben ser el radio y un segmento sobre la tangente, dado que formarian 90 cumpliendo que un radio es perpendicular a la tangente.

Cabe decir que este triangulo su hipotenusa es el segmento que forma el punto exterior y el centro de la circunferencia inicial.

Dado que se todo triangulo rectangulo puede inscribirse en una circunferencia, siendo su hipotenusa el diamtro, basta ahora con construir la circunferencia que genere este triangulo que buscamos.

Como se ve en la siguiente figura:

Trazar el punto medio del diametro de la circunferencia buscada que va desde el punto externo al punto hacia el centro de la circunferencia inicial, y desde que la circunferencia buscada tiene dos intersecciones con la circunferencia inicial, entonces se pueden hallar y garantizar dos puntos de tangencia.

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Buenos días compañeros.

O es un punto de la recta perpendicular al diámetro de la circunferencia.

Se trazan P y Q puntos de intersección de la recta con la circunferencia dada, con centro en P de radio NM se traza una circunferencia, las intersecciones de esta dos circunferencias son los puntos U y T. La circunferencia con centro en P intersectan a la recta en el punto .

Con centro en O y de radio NM se traza una tercera circunferencia, las intersecciones de esta circunferencia con la recta son los puntos R y S, se trazan rectas que pasen por O y por U y T respectivamente. Se observa que estas dos rectas en general no son tangentes a la circunferencia, pero al arrastrar el punto O hasta que coincida con S y  coincida con P entonces las rectas son tangentes.
Con este acercamiento se observa que la circunferencia de apoyo que funciona para trazar las rectas tangentes a la circunferencia dada es aquella cuyo diámetro es OM, entonces se obtiene V el punto medio de OM y se traza una circunferencia con centro V de radio VM. Los puntos de intersección de las circunferencias son  y , se puede garantizar que estos puntos son los puntos de tangencia de las rectas que pasan por ellos y por el punto O, debido a que los triángulos  y  son triángulos rectángulos pues uno de sus lados coincide con el diámetro de la circunferencia.

Ver construcción en imagen adjunta:

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*Sea A el centro de la circunferencia y C un punto exterior a ella.

*Se traza el segmento AC.

*Se coloca el punto medio D del segmento AC, esto con el fin de trazar una circunferencia que tenga como diámetro al segmento AC.

*Se colocan los puntos de intersección F y E de las dos circunferencias.

*Se traza la recta que va del punto F al punto C y la recta que va del punto E al punto C.

*Estas rectas son rectas tangentes a la circunferencia original, ya que los ángulos CFA y AEC son de 90° por el teorema de Tales (los ángulos interiores subtendidos por el diámetro de una circunferencia son de 90°).
*Por lo tanto, se tiene que la recta que pasa por el punto F y por el punto C cumple las condiciones requeridas, al igual que la recta que pasa por el punto E y por el punto C.

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Observaciones de la primera construcción Heira

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Observaciones de la primera construcción Heira

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Observaciones:

Si se traza una circunferencia con tres puntos sobre el lugar geometrico, se encuentra la intersección con la circunferencia y por finalmente al trazarse las rectas que pasan por C y por los puntos de intersección O y N.

Al comprobar si estas rectas son tangentes haciendo uso de la herramienta punto de intersección, se puede notar que no es tangente pues corta a la circunferencia en dos puntos (Ver puntos P, Q, R y S  en la vista algebráica)

Habría que  investigarse si esto es porque e realidad el lugargeometrico no es una circunferencia o si su intersección con la circunferencia no son los puntos de tangencia que se buscan.

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Construcción:

Se trazan dos rectas que pasen por el punto C (fijo) y por un punto sobre la circunferencia.

Se encuentra el segundo punto de intersección de cada recta con la circunferencia.

Se traza el lugar geometrico descrito por el punto medio de las dos intersecciones de cada recta, que como se muestra en la figura 1 es el mismo para ambos puntos.

La intersección de este lugar geometrico con la circunferencia es el punto de tangencia de las rectas que pasan por C.

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Describe brevemente tu solución y agrega una imagen que la ilustre.