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La cuarta y quinta falacia involucra a la unidad imaginaria i, símbolo introducido en la literatura por Leonhard Euler (recordemos que i^2=-1), y nos lleva a “demostrar” que ¹⁼⁻¹. En ambos casos, la problemática está relacionada con el hecho de que no hay ninguna regla en el caso complejo que nos asegure que la raíz del producto (o del cociente) sea el producto de raíces (o el cociente de raíces). Si trabajáramos con números positivos, esta propiedad sí que sabemos que es cierta, pero en general no lo es. Evidentemente estos casos son bastante llamativos debido a que se llega a igualdades imposibles que nos llevan de inmediato a la necesidad de comprobar cada uno de los pasos que se han utilizado en el razonamiento en cuestión.

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ISOSCELOSIS -Todo triángulo es isósceles.-

Demostración: Tomamos un triángulo ABC cualquiera. Construimos el punto D, punto medio del lado BC, y desde él trazamos el segmento DE, perpendicular a BC. Ahora construimos la bisectriz del ángulo BAC, a partir de la cual pueden darse dos casos: La bisectriz no corta a DE: entonces ambas rectas son paralelas. Por tanto la bisectriz es perpendicular a BC. Esto nos lleva a que AB = AC, esto es, el triángulo ABC es isósceles o l a bisectriz corta a DE: llamemos F al punto de intersección entre ellas. Trazamos FB y FC y también FG y FH, perpendiculares a AC y a AB respectivamente.

A partir de aquí se tiene que los triángulos AFG y AFH son iguales, al tener a AF como lado común y los ángulos FAG y AGF iguales a los ángulos FAH y AHF respectivamente. Por tanto, AH=AG y FH=FG. Por otra parte, los triángulos BDF y CDF son iguales, al ser BD=DC, DF lado común y los lados del vértice D iguales. De aquí FB=FC. Además los triángulos FHB y FGC son rectángulos. Por ello, el cuadrado de FB es igual a la suma de los cuadrados de FH y HB y el cuadrado de FC es igual a la suma de los cuadrados de FG y GC. Pero tenemos que FB=FC y FH=FG. Por ello el cuadrado del lado HB es igual al cuadrado de GC. Entonces HB=GC. Como teníamos de antes que AH=AG se cumple que AB=AC, lo que implica que el triángulo ABC es isósceles.

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ÁNGULO=ÁNGULO, LADO=LADO - PARALELOGRAMO

Teorema: Si en un cuadrilátero ABCD se cumple que el ángulo A es igual al ángulo C y el lado AB es igual al lado CD , entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
Demostración: Tomamos un cuadrilátero ABCD, como el de la figura. Trazamos BX, perpendicular a AD y DY, perpendicular a BC. Ahora trazamos el segmento BD. Los triángulos ABX y CYD son congruentes (es decir, sus lados y sus ángulos son iguales, aunque no están colocados en la misma posición). Por ello BX es igual a DY y AX es igual a CY. De aquí los triángulos BXD y DYB también son congruentes, por lo que XD es igual a YB. Como AB es igual a CD y AD es igual a BC, el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo.

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El término falacia se emplea normalmente para designar un razonamiento erróneo pero con la apariencia de raciocinio correcto, es decir, persuasivo o engañoso. En particular, algunas falacias matemáticas han llegado a cautivar la atención del gran público por lograr “probar” (evidentemente de forma errónea), a través de unos pocos pasos, igualdades imposibles del tipo ⁰⁼¹ o ¹⁼².

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Una falacia es un razonamiento no válido o incorrecto pero con apariencia de razonamiento correcto. Es un razonamiento engañoso o erróneo (falaz), pero que pretende ser convincente o persuasivo. Todas las falacias son razonamiento que vulneran alguna regla lógica. Así, por ejemplo, se argumenta de una manera falaz cuando en vez de presentar razones adecuadas en contra de la posición que defiende una persona, se la ataca y desacredita sin rebatir lo que dice o afirma.