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El efecto Doppler relativista

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De acuerdo con el segundo postulado de la Teoría Espacial de la Relatividad, dos observadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro miden para un rayo de luz la misma velocidad, independientemente de quien haya disparado el rayo de luz hacia el otro, e independientemente de que se estén acercando o alejando.

¿Significa ésto que, una vez que alguien nos ha enviado un rayo de luz, no es posible saber de dicho rayo de luz si tal persona se está alejando de nosotros o se está acercando a nosotros, o inclusive que está estacionaria con respecto a nosotros sin alejarse ni acercarse?

Bueno, no exactamente. La Teoría Especial de la Relatividad nos dice que dos personas medirán para un rayo de luz exactamente la misma velocidad. Pero no nos dice que la frecuencia relativa de las ondas electromagnéticas que forman a dicho rayo de luz se mantendrá igual independientemente de que el rayo de luz sea enviado por alguien que se esté alejando o acercando de nosotros. Gracias a un fenómeno conocido como el efecto Doppler, podemos saber si la persona que nos envió un rayo de luz se está acercando o alejando de nosotros siempre y cuando conozcamos el color de la luz (que depende directamente de la frecuencia de la onda electromagnética del haz que nos está llegando). Si esperamos que alguien situado en una parte remota de la galaxia nos envíe un rayo de luz de cierto color, y el rayo de luz que recibimos es exactamente del mismo color que esperábamos, entonces aquella persona está estacionaria con respecto a nosotros (o por lo menos se encontraba estacionaria con respecto a nosotros cuando nos envió el rayo de luz). Pero si el color que nos llega es diferente, si el color aparece corrido hacia un extremo de la gama de colores como la que obtendríamos de un prisma de vidrio, entonces podemos concluír que tal persona se está moviendo o alejando de nosotros dependiendo de la magnitud del desplazamiento del color.

Primero que nada, hagamos un repaso del efecto Doppler desde su perspectiva clásica.

Casi todos nosotros estamos familiarizados de alguna manera con el efecto Doppler por las experiencias de nuestra vida cotidiana. Cuando una ambulancia o un tren o un avión se acerca a nosotros a gran velocidad produciendo un ruido con una frecuencia audible ya sea con su sirena o con el ruido de sus motores, escuchamos el sonido con cierto tono distintivo. Pero en cuanto la ambulancia o el tren o el avión se empieza a alejar de nosotros, el tono del sonido se vuelve distintiblemente más grave. Esta situación la podemos imaginar en el siguiente diagrama en el cual viaja un conductor que tiene puesto su radio en una estación que está produciendo cierto sonido distintivo:

El sonido que escucha el conductor del vehículo en realidad no son más que una serie de compresiones y rarefacciones del aire. El aire es el medio que sirve para "ondular" transportando esas compresiones y rarefacciones de un lado a otro; sin el aire no es posible el sonido. La distancia entre entre una compresión y la siguiente es la que determina la frecuencia (el tono) del sonido que escucha el conductor del vehículo.

En el diagrama el carro está desplazándose hacia la derecha. Al ocurrir tal cosa, la velocidad del carro se suma (clásicamente) a la velocidad con la cual se trasladan las ondas sonoras en el aire, dando como resultado que para la persona que está caminando en la banqueta y a la cual se le está acercando el carro a gran velocidad llegará una cantidad mayor de ondas sonoras que las que escucha el conductor del vehículo en un mismo intervalo de tiempo. Esa persona en la banqueta escuchará el sonido algo más "chillante", con una frecuencia mayor en tanto mayor sea la velocidad con la cual se le acerca el vehículo. Este es precisamente el efecto Doppler. En cambio, para la persona que está en la banqueta del lado del cual se está alejando el carro, llegará una cantidad mayor de ondas sonoras que las que escucha el conductor del vehículo en un mismo intervalo de tiempo. Esa otra persona en la banqueta escuchará el sonido algo más grave, más bajo, con una frecuencia menor en tanto menor sea la velocidad a la cual se le está alejando el vehículo.

Si pudiéramos "ver" en un instante de tiempo las ondas sonoras que se van produciendo desde el carro, posiblemente veríamos algo como lo siguiente:

A continuación tenemos otra ilustración de cómo se apilan las ondas sonoras del lado derecho al moverse la fuente hacia la derecha a una velocidad moderadamente baja (representada por el vector flecha de color rojo), y cómo se apilan aún más del lado derecho al aumentar la velocidad de la fuente la fuente hacia la derecha, aumentando con ello la frecuencia (y el tono) de la señal:

En los mismos diagramas de arriba, al lado izquierdo de la fuente, podemos ver cómo se separan las ondas sonoras al moverse la fuente hacia la derecha a una velocidad moderadamente baja y cómo se separan aún más del lado izquierdo al aumentar la velocidad de la fuente la fuente hacia la derecha, disminuyendo con ello la frecuencia.

Las fórmulas clásicas para el efecto Doppler acústico establecen una clara distinción entre una fuente estacionaria y un observador móvil que se está alejando o acercando a la fuente, no son las mismas. Esto se debe a que existe un medio en el cual son transportadas las ondas sonoras, el aire, que sirve para este fenómeno como un marco de referencia absoluto. En un día tranquilo, es posible saber en qué dirección está soplando el aire con sólo dejar caer al suelo un objeto ligero. Pero si está soplando el viento, si el aire se está moviendo, el aire arrastrará al objeto a cierta distancia al caer el objeto al suelo, y no caerá en la misma posición en la cual habría caído si no hubiera viento alguno. Por lo tanto, las fórmulas para el efecto Doppler serán distintas ya sea que la fuente esté estacionaria y el observador externo se esté moviendo o que la fuente se esté moviendo también. Esta es precisamente una muestra de las asimetrías a las que Einstein hacía referencia cuando se suponía que las ondas luminosas eran transportadas a través de un medio de referencia estacionario conocido como el éter.

Dentro del esquema de la Teoría Especial de la Relatividad, aunque una onda luminosa siempre tendrá la misma velocidad en marcos distintos de referencia, la frecuencia de la señal luminosa cuando salió disparada de su fuente tendrá también un desplazamiento Doppler como podemos verlo en la siguiente analogía con las ondas acústicas:

De este modo, aunque un rayo luminoso siempre tenga la misma velocidad c con respecto a cualquier marco de referencia, el hecho de que la frecuencia de la señal luminosa que nos llega de la fuente dependa directamente del que la fuente luminosa se esté acercando o alejando de nosotros nos proporciona una ayuda útil para tratar de determinar el movimiento relativo de dicha fuente con respecto a nosotros. Para que la información nos pueda ser de utilidad, necesitaríamos además una referencia universal con respecto a la cual pudiéramos medir la magnitud del corrimiento. Afortunadamente, tal referencia universal existe, y son las líneas de los espectros de emisión y absorción característicos de los elementos de la tabla periódica. Cada elemento tiene sus propias líneas de emisión y absorción, y cada línea representa una frecuencia específica, invariable. Siendo el hidrógeno el elemento más abundante del Universo, no es de extrañar que sean precisamente las líneas características del hidrógeno las que son utilizadas como fuente de referencia, las cuales dicho sea de paso son predichas en espaciamiento e intensidad por la mecánica cuántica. Utilizando como punto de partida la posición de las líneas que obtenemos en un espectógrafo de una fuente de hidrógeno situada en la Tierra, comparando dichas líneas con las que obtenemos del hidrógeno emanado de los astros podemos determinar individualmente para cada astro si dicho cuerpo celeste se está acercando o se está alejando de nosotros. Si las líneas características del hidrógeno se corren hacia el azul, el cuerpo celeste se está acercando hacia nosotros, y si las líneas características del hidrógeno se corren hacia el rojo, el cuerpo celeste luminoso se está alejando de nosotros, y como lo podemos ver en la siguiente representación:

A continuación tenemos una representación más ilustrativa de lo que podríamos ver en un espectógrafo de alta precisión:

Clásicamente, para una fuente de la cual está emanando un sonido con una frecuencia característica f ₀ en un medio como el aire en el que dicho sonido se propaga con una velocidad V, cuando la fuente se está moviendo con una velocidad v con respecto a un observador estacionario, el cambio por el efecto Doppler de dicha frecuencia f ₀ a una frecuencia f está dado por la siguiente relación:

En ésta fórmula, el signo "+" o el signo "-" es utilizado dependiendo de que la fuente en movimiento se esté alejando o se esté acercando al observador estacionario. Poniendo números, considerando para la velocidad del sonido en el aire un valor V de 344 metros por segundo, para una fuente sonora acercándose a un observador estacionario a una velocidad v de 172 metros por segundo, usando el signo "-" en la fórmula podemos ver que la frecuencia del sonido aumentará al doble:

Pero para una fuente móvil con la misma velocidad alejándose del observador estacionario a la misma velocidad v de 172 metros por segundo, usando el signo "+" en la fórmula podemos ver que la frecuencia del sonido disminuirá en un factor de dos tercios (0.666):

Por otro lado, clásicamente para una fuente de la cual está emanando un sonido con una frecuencia característica f ₀ en un medio como el aire en el que dicho sonido se propaga con una velocidad V, cuando la fuente está estacionaria y es el observador el que se está moviendo con una velocidad v con respecto a la fuente, el cambio por el efecto Doppler de dicha frecuencia f ₀ a una frecuencia f está dado por la siguiente relación:

Obsérvese que esta fórmula es diferente de la fórmula anterior. El resultado clásico hace una distinción entre el caso en el cual la fuente es la que está moviéndose con respecto a un observador estacionario y el caso en el que el observador es el que está moviéndose con respecto a una fuente estacionaria. Este es precisamente el tipo de asimetrías a las cuales Einstein estaba haciendo referencia en su trabajo original cuando se suponía que también la luz requería de un medio de conducción para poder propagarse de un punto a otro. La razón por la cual el resultado clásico pre-relativista distingue entre una fuente en movimiento y un observador en movimiento es que la derivación de las fórmulas presupone la existencia de un medio (el aire) que proporciona una vía de conducción a las ondas sonoras y por lo tanto proporciona una manera de detectar el reposo absoluto con respecto a dicha referencia. En este caso, el observador privilegiado será aquél que esté en reposo absoluto con respecto al aire en un día en el que no haya viento alguno o que se esté moviendo en la misma dirección y con la misma velocidad (con respecto a la Tierra) a la cual está soplando el viento.

Las fórmulas anteriores trabajan muy bien en situaciones cotidianas para velocidades bajas mucho menores que la velocidad de la luz. Pero en situaciones que involucran a la luz misma, viajando a la velocidad de la luz, las fórmulas tienen que ser corregidas tomando en cuenta los efectos relativistas. En ambos casos habrá un efecto Doppler, pero el efecto Doppler calculado relativísticamente debe ser el mismo ya sea que el análisis se lleve a cabo considerando una fuente en movimiento y un observador estático o una fuente estática y un observador en movimiento.

La inclusión de efectos relativistas al efecto Doppler necesariamente introducirá un grado adicional de complejidad al asunto debido al fenómeno relativista de contracción de longitud. Si generamos una onda sonora de frecuencia fija (constante) y suponemos que estamos estacionarios frente a ella, entonces la distancia de cresta-a-cresta (máximo a máximo) definida como la longitud de onda λ (medida en metros):

experimentará una contracción de longitud como la que ocurre de (a) a (b) en el diagrama de arriba sin importar el sentido en el que nos estemos moviendo, ya sea hacia la fuente o alejándonos de ella. La longitud de onda máxima será la que mida un observador estacionario que se encuentre situado justo en el centro de la fuente que genera la onda o bien otro observador que también se encuentre en reposo con respecto al observador situado en el punto en donde se está generando la señal. Cualquier otro observador que se ponga en movimiento con respecto a la fuente detectará una contracción de longitud relativista, y esa contracción de longitud es la misma que la que hemos obtenido previamente desde un principio, dada por la relación:

Se repite, y esto es importante, que esta variación en la longitud de onda λ de la señal (y por lo tanto en la frecuencia f de la misma, ya que la frecuencia es la recíproca de la longitud de onda, o sea f = 1/λ) con respecto a la longitud de onda λ ₀ medida por un observador que está en reposo con respecto a la fuente es adicional al efecto Doppler que en sí es causada por el abultamiento o el adelgazamiento de las ondas ya sea que nos estemos moviendo rápidamente hacia la fuente o alejándonos de ella. El efecto final es el resultado compuesto de ambos efectos.

También podemos llevar a cabo un análisis relativista del efecto Doppler usando la dilatación del tiempo en lugar de la contracción de longitud. Para ello, consideramos el período T de la onda luminosa, que es el intervalo de tiempo propio (medido en segundos) entre cresta y cresta de la onda luminosa:

Es importante tener presente siempre que la velocidad de una onda senoidal (que en este caso suponemos que se trata de una onda electromagnética, o sea una señal luminosa moviéndose a la velocidad de la luz) está relacionada a la longitud de onda y al período de la onda senoidal de la siguiente manera:

De un modo o de otro, tomando en cuenta los efectos relativistas, la fórmula para el efecto Doppler relativista en el caso de un haz luminoso que resulta ser la siguiente:

no establece diferencia alguna entre una fuente en movimiento y un observador estático y una fuente estática y un observador en movimiento, como era de esperarse. En esta fórmula, utilizamos el signo "-" cuando la fuente y el observador están acercándose el uno con respecto al otro, y utilizamos el signo "+" cuando la fuente y el observador están alejándose el uno con respecto al otro.

La fórmula anterior es válida cuando la fuente se está acercando hacia el observador o cuando la fuente se está alejando del observador directamente a lo largo de la línea imaginaria que conecta a ambos. Cuando el acercamiento (o el alejamiento) no ocurre a lo largo de esta línea:

entonces la fórmula Doppler relativista debe ser modificada para acomodar la siguiente situación que corresponde a un efecto Doppler transversal:

Esta es la fórmula general para el efecto Doppler relativista.

PROBLEMA: Suponiendo una fuente estacionaria emitiendo una señal luminosa f ₀, derivar la expresión

para un observador que se está moviendo directamente hacia la fuente a una velocidad V. Demuéstrese que esta expresión es idéntica a

La derivación de la primera relación se lleva a cabo en forma directa simplemente considerando la contracción relativista de la longitud. Tomando dicha relación y trabajando sobre ella:

PROBLEMA: Demuéstrese que las expresiones clásicas para el efecto Doppler tanto para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra y a las expresiones relativistas a un primer orden en V/c.

La expresión clásica del efecto Doppler para una fuente en movimiento (observador en reposo) suponiéndola válida para una fuente luminosa con la señal moviéndose a la velocidad de la luz es (haciendo las modificaciones notacionales necesarias):

Podemos desarrollar el denominador de esta expresión mediante una expansión por series (teorema del binomio) que en este caso resulta ser:

Esta expansión puede ser utilizada para valores de x inferiores a la unidad, lo cual es aplicable al caso que nos ocupa ya que V/c ciertamente será inferior a la unidad. La inversa de (1+x) se obtiene con un exponente de n = -1. Suponiendo valores pequeños de x (lo cual nos permite ignorar los términos mayores a los de primer orden) y para valores positivos de x, la serie resultante es:

Este es el resultado clásico para una fuente en movimiento. Podemos comparar este resultado con el resultado clásico para una fuente en reposo y un observador en movimiento dado arriba (haciendo las modificaciones notacionales necesarias):

comprobando que las expresiones clásicas para el efecto Doppler tanto para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra.

Ahora tomamos la expresión relativista

y trabajamos algebraicamente sobre la misma recurriendo en este caso tanto al desarrollo del término de la raíz cuadrática del denominador como al término del denominador de la expresión mediante una expansión por series (teorema del binomio):

Entonces tanto las expresiones clásicas para el efecto Doppler para fuentes en movimiento como para observadores en movimiento aplicadas a haces luminosos son iguales la una a la otra y a las expresiones relativistas a un primer orden en V/c.

En la resolución de problemas astronómicos en los cuales se determina el corrimiento de las líneas espectrales propias de cada elemento, es común utilizar como medida de la longitud de onda el angstrom, simbolizado como Å, el cual es igual a 10⁻⁸ centímetros.

PROBLEMA: La cuásar 3C-9 se está alejando de la Tierra a una velocidad V. La línea espectral Lyman-α en el ultravioleta del hidrógeno situada normalmente en λ ₀ = 1216 Å es desplazada hacia una longitud de onda mayor (conocido como corrimiento hacia el rojo). La línea espectral observada tiene una longitud de onda λ = 3663 Å. Suponiendo que este desplazamiento se debe al efecto Doppler, calcular la velocidad a la cual se está alejando la cuásar 3C-9 de la Tierra.

Puesto que la velocidad de la luz es la misma en cualquier marco de referencia, podemos afirmar que:

La fórmula para el efecto Doppler relativista en el caso de una fuente que se está alejando a una velocidad V es:

(1 + V/c) /(1 - V/c) = 9.0742

Del problema anterior, podemos ver que para la resolución de problemas numéricos podemos utilizar fórmulas Dopper relativistas un poco más fáciles de recordar, las cuales obtendremos a continuación

PROBLEMA: (a) A partir de la fórmula general para el efecto Doppler relativista, demuéstrese que cuando el observador y la fuente se mueven directamente el uno hacia el otro la frecuencia de la señal detectada por el observador se puede escribir de la siguiente manera:

(b) Del mismo modo, a partir de la fórmula general para el efecto Doppler relativista, demuéstrese que cuando el observador y la fuente se están alejando el uno del otro la frecuencia de la señal detectada por el observador se puede escribir de la siguiente manera:

(a) En la fórmula general para el efecto Doppler relativista:

cuando la fuente y el observador se mueven el uno hacia el otro tenemos un ángulo θ = 0° con lo cual cos(θ) = 1 y:

(b) En la misma fórmula, cuando la fuente y el observador se están alejando el uno del otro, tenemos un ángulo θ = 180° con lo cual cos(θ) = -1 y:

PROBLEMA: Para una estrella que se aleja de la Tierra a una velocidad de 5·10 ⁻³ c, ¿cuál es el corrimiento en la longitud de onda para la línea D del sodio (5890 Å)

La ecuación Doppler relativista para fuente y observador alejándose el uno con respecto al otro nos dá:

λ = (5890 Å) √(1 + .005)/(1 - .005)

λ = 5920 Å

El corrimiento Doppler en la longitud de onda es entonces Δλ = 5920 Å - 5890 Å = 30 Å. Este corrimiento consiste en un aumento en la longitud de onda, y por lo tanto es un desplazamiento hacia el infrarrojo (hacia el rojo).

PROBLEMA: ¿Cuál es la variación de Doppler para una fuente de longitud de onda 5500 Å que se aproxima a un observador con una velocidad de 0.8c?

Procediendo en una forma parecida al problema anterior, la relación a ser utilizada en el caso de que la fuente se está acercando al observador debe ser la siguiente:

λ = (5500 Å) √(1 - 0.8)/(1 + 0.8)

λ = (5500 Å) √(0.2)/(1.8) = (5500 Å) /9

λ = 1833 Å

Entonces Δλ = 5500 Å - 1833 Å = 3667 Å.

PROBLEMA: Supóngase que la mayor longitud de onda visible para el ojo humano es de 6500 Å, en el límite hacia el infrarrojo. ¿Con qué velocidad deberá viajar un cohete para que la luz verde (λ = 5000 Å) emitida por él, sea invisible para un observador en Tierra?

En este caso, el cohete debe estar alejándose del observador en Tierra para que la longitud de onda pueda aumentar por efecto Doppler:

√(1 + V/c)/(1 - V/c) = λ / λ ₀ = 6500 Å/ 5000 Å = 1.3

(1 + V/c) / (1 - V/c) = 1.69

2.69 V/c = 0.69

V = 0.257 c

PROBLEMA: ¿Con qué velocidad se debe alejar una estrella de la Tierra para que la variación de la longitud de onda sea del 0.5%?

Esta situación es similar a la del problema anterior:

1 + V/c = 1.01 (1 - V/c)

2 V/c = .01

PROBLEMA: Una fuente de luz de frecuencia f ₀ se mueve alternadamente hacia un observador con velocidad V y rápidamente se aleja del observador a la misma velocidad. Demuéstrese que el promedio de las frecuencias observadas es mayor que f ₀.

Relativísticamente, cuando la fuente se está acercando al observador, la frecuencia con corrimiento Doppler es (usando el signo "-" en la fórmula):

Y cuando la fuente se está alejando del observador, la frecuencia con corrimiento Doppler es (usando el signo "+" en la fórmula):

El promedio aritmético de ambas frecuencias es:

Entonces, substituyendo:

Puesto que V es menor que c, entonces V²/c² es menor que 1 y el denominador (1-V²/c²) será mayor que cero pero menor que la unidad. Esto significa que (1/√1 - V²/c²) siempre será mayor que la unidad. Entonces el promedio de las frecuencias observadas debe ser mayor que la frecuencia f ₀.

Se repite aquí que las fórmulas relativistas utilizadas arriba para el efecto Doppler que no establecen diferencia alguna entre un observador estacionario situado en la fuente misma (fuente en movimiento) y un observador en movimiento con respecto a la fuente (fuente estacionaria) son válidas única y exclusivamente para haces de luz, no son válidas para ondas sonoras o u ondas mecánicas transmitidas en un medio sólido, líquido o gaseoso, porque en tales casos la información transmitida (las ondas viajeras) dependen de un medio físico estacionario (el aire, el agua, el metal, etc.), mientras que la luz no depende de medio alguno de transmisión al haber sido descartada la hipótesis del éter. En el caso de las ondas sonoras y mecánicas las relaciones clásicas siguen siendo válidas, aunque estas también sean susceptibles de correcciones relativistas por contracción de longitud (o dilatación del tiempo).

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De acuerdo con el segundo postulado de la Teoría Espacial de la Relatividad, dos observadores que están en movimiento relativo el uno con respecto al otro miden para un rayo de luz la misma velocidad, independientemente de quien haya disparado el rayo de luz hacia el otro, e independientemente de que se estén acercando o alejando.

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¡Todo el mundo lo hace!

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el sonido de un automovil con respecto a una persona

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En física, el efecto Doppler relativista es el cambio observado en la frecuencia de la luz procedente de una fuente en movimiento relativo con respecto al observador.

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Efecto Doppler relativista - Wikipedia, la enciclopedia libre

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El efecto Doppler relativista no difiere del efecto Doppler normal a velocidades de desplazamiento muy inferiores a las de la luz. Pero a diferencia del efecto Doppler clásico, cuando el objeto se mueve con respecto del emisor en una dirección diferente a la de unión entre ambos se puede definir un efecto Doppler transverso y un efecto Doppler lateral.