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En esta presentación estaré abordando lo que es Serie, y los diferentes tipos de Sucesiones.

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Una sucesión matemática es una función que asigna a cada número natural (1, 2, 3, ...) un número real o complejo. Cada uno de estos números asignados se denomina término de la sucesión. A diferencia de los conjuntos, en una sucesión el orden de los elementos sí importa. Las sucesiones pueden ser finitas (con un número determinado de términos) o infinitas.

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Determinación de una sucesión

Por el término general
an = 2n - 1
a 1 = 2 · 1 - 1 = 1

a ₂ = 2 · 2 - 1 = 3

a ₃ = 2 · 3 - 1 = 5

a ₄ = 2 · 4 - 1 = 7
{an} = 1, 3, 5, 7,..., 2n - 1
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.
2, 4, 16, 256, ...
Sucesión de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...
Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones a n y b n:

a n= a ₁, a ₂, a ₃, ..., a n

b n= b ₁, b ₂, b ₃, ..., b n

Suma de sucesiones
(an) + (bn) = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃, ..., an + bn)
Propiedades

1. Asociativa:

(a n + b n) + c n = a n + (b n + c n)

2. Conmutativa:

a n + b n = b n + a n

3. Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

a n + 0 = a n

4. Sucesión opuesta

(-a n) = (-a ₁, -a ₂, -a ₃, ..., -a n)

a n + (-a n) = 0

Diferencia de sucesiones
(an) - (bn) = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃, ..., an - bn)
Producto de sucesiones
(an) · (bn) = (a₁ · b₁, a₂ · b₂, a₃ · b₃, ..., an · bn)
Propiedades

1. Asociativa:

(a n · b n) · c n = a n · (b n · c n)

2. Conmutativa:

a n · b n = b n · a n

3. Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ...)

a n · 1 = a n

4. Distributiva respecto a la suma

a n · (b n + c n) = a n · b n + a n · c n

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión b n es inversible, su inversa es:

Cociente de sucesiones

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.
an+1 > an
2, 5, 8, 11, 14, 17,...

5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.
an+1 ≥ an
2, 2 , 4, 4, 8, 8,...

2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.
an+1 < an
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...

1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es decreciente si c ada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.
an+1 ≤ an
Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an= k.
an = an+1
5, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.
an ≥ k
A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.
an ≤ k'
A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.
k ≤ an ≤ K'
Sucesiones convergentes

Las sucesiones convergentes tiene límite finito.

Límite = 0

Límite = 1

Sucesiones divergentes

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

Límite = ∞

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes

1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite 0.

Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...

Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1) n n

Ejemplos:

Es creciente.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...
an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
El mínimo es 1.

No está acotada superiormente.

Divergente

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: -1, 0, 1, ...
bn = -1, -2, -3, -4, -5, ... -n
El máximo es -1.

No está acotada inferiormente.

Divergente

Es decreciente.

Está acotada superiormente

Cotas superiores: 2, 3, 4, ...
cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
El máximo es 2.

Está acotada inferiormente

Cotas inferiores: 1, 0, -1, ...

El ínfimo es 1.

Convergente, límite = 1.

No es monótona.

No está acotada.

No es convergente ni divergente.
dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n
Ejercicios resueltos de de sucesiones

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¿Qué son las sucesiones? Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan. a1, a2, a3 ,..., an 3, 6, 9,..., 3n Los números a1, a2 , a3 , ... se...

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Una serie matemática es la expresión de la suma de un número infinito de términos de una sucesión. Cada uno de estos términos se denomina el "término general" de la serie. La suma de los primeros n términos de una serie se conoce como la "suma parcial" de la serie. Si las sumas parciales de una serie infinita se aproximan cada vez más a un número k a medida que n aumenta, entonces se dice que la serie converge a k.

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Una serie matemática es la expresión de la suma del número infinito de términos de una sucesión.

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Una sucesión numérica es una función que asigna a cada número natural (1, 2, 3, ...) un número real o complejo. Cada uno de estos números asignados se denomina término de la sucesión. A diferencia de los conjuntos, en una sucesión el orden de los elementos sí importa. Las sucesiones pueden ser finitas (con un número determinado de términos) o infinitas.

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Una sucesión numérica es una sucesión aritmética cuando la diferencia entre cada término y el anterior es constante. Es decir, si se resta cualquier término de la sucesión al término que le precede, siempre se obtiene el mismo número

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6. Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular la diferencia de las siguientes sucesiones:
Problema 2
¿Cuál de las siguientes sucesiones no es aritmética?
Problema 3
¿Cuál es el segundo término de la siguiente sucesión aritmética?

$$ 5,a_2,21,29,... $$
Problema 4
Calcular los dos siguientes términos de las sucesiones aritméticas:

¿Cuál es la diferencia de estas sucesiones?
Problema 5
Si dos sucesiones tienen la misma diferencia, ¿son la misma sucesión?
Problema 6
Determinar si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes:
Problema 7
Calcular el término \(a_{10}\) de cada sucesión:
Problema 8
Calcular el término \(a_5\) de cada sucesión a partir de los datos proporcionados:

Determinar si las sucesiones son crecientes o decrecientes.
Problema 9
Calcular el término general de las siguientes sucesiones:
Problema 10 (dificultad alta)
Calcular el término \(a_1\) de las sucesiones aritméticas a partir de los datos dados:
Problema 11
Calcular la suma de los 10 primeros términos de las siguientes sucesiones:
Problema 12
Calcular la suma de los 10 primeros términos las sucesiones a partir de los datos dados:
Problema 13
Encontrar una progresión aritmética cuyo primer término sea 3 y que sus tres primeros términos sumen 12.
Problema 14 (dificultad alta)
Calcular cuántos números impares hay entre 20 y 50 y calcular su suma.
Problema 15 (dificultad alta)
El primer término de una sucesión aritmética es \(a_1=12\) y la suma de los 5 primeros términos es \(S_5=90\) . Calcular el término \(a_5\) y el término general \(a_n\).

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Sucesiones aritméticas: conceptos, fórmulas y problemas resueltos

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6. Problemas Resueltos Problema 1 Calcular la diferencia de las siguientes sucesiones: Problema 2 ¿Cuál de las siguientes sucesiones no es aritmética? Problema 3 ¿Cuál es el segundo término de la siguiente sucesión aritmética? $$ 5,a_2,21,29,... $$ Problema 4 Calcular los dos siguientes términos de las sucesiones aritméticas: ¿Cuál es la diferencia de estas sucesiones?

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Una sucesión geométrica (o progresión geométrica) es una sucesión numérica en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón geométrica.

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SUCESIONES GEOMÉTRICAS Super fácil - Para principiantes

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Encontramos dos ejemplos y un ejercicio para poder practicar.

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Las sucesiones y series matemáticas son conceptos fundamentales en el estudio de las matemáticas y tienen una amplia gama de aplicaciones en diversas áreas científicas y técnicas. Las sucesiones, que son funciones que asignan un número a cada entero positivo, permiten modelar y analizar patrones numéricos de manera sistemática. Tanto así que, las sucesiones como las series tienen múltiples aplicaciones prácticas en campos como la física, la ingeniería, la economía y las ciencias computacionales. Permiten modelar fenómenos oscilatorios, aproximar funciones, analizar señales, calcular límites y resolver ecuaciones, entre otras aplicaciones.

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Podemos encontrar ejemplos de ejercicios con comprobación adjunta para un mejor entendimiento.

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Término n-ésimo Sucesión - Progresión Geométrica