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Universidad de Panama

Facultad de Ciencias Agropecuarias

Profesora:

Iselgis De Diego

Estudiantes:

Naideline Bonilla 8-1013-1463

Sara Navas 2-754-1789

Neilys Perez 8-1010-2087

Materia:

Matematicas General

Fecha de Entrega:

09/07/2024

Hecho por Neilys Perez

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A lo largo de este mural, estaremos hablando de la Geometria Analitica la cual es una rama de la matematicas que usa el algebra y el analisis para resolver problemas geometrico mediantes estos sistemas:

- Recta

- Circunferencia

- Parábola

- Elipse

- Hipérbola

Estas ecuaciones permiten describir y analizar figuras geométricas en el plano cartesiano.

Hecho Naideline Bonilla.

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Una recta es un conjunto infinito de puntos consecutivos que están representados en la misma dirección sin curvas ni ángulos.

Por otro lado, una recta corresponde a la mínima distancia posible entre dos puntos diferentes.

Además, una recta se trata de una línea que se extiende en una misma dirección, por lo tanto, tiene una sola dimensión.

Tipos de rectas:

Las rectas paralelas

rectas secantes

Dos rectas coincidentes

La semirrecta

Hecho por Neilys Perez.

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Se conoce como circunferencia a la línea cerrada de formato curvo y apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes del punto central que se localiza en el mismo plano. Esta distancia que separa al conjunto de puntos y al área central se conoce como radio, mientras que el segmento de recta que compone un par de radios alineados recibe el nombre de diámetro.

La ecuación de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas (C(0,0)) se puede expresar como:

[x^2 + y^2 = r^2]

Si el centro de la circunferencia está en un punto diferente al origen, digamos (C(h,k)), la ecuación general sería:

[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2]

Hecho por Neilys Perez.

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Una parábola es una curva plana que se define como el conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto fijo llamado "foco" y una línea fija llamada "directriz".

Hecho por Naideline Bonilla.

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Hecho por Sara Navas

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Circunferencia - Qué es, definición y concepto (definicion.de)

https://es.m.wikipedia.org/wiki/Elipse

Geometría analítica: Parábolas

https://delphoslab.cl/index.php/min-mat-menu/44-optimizando-el-valor-de-una-operacion-minera/226-geometria-analitica-parabolas

https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/10-2-la-hiperbola#:~:text=Al%20igual%20que%20la%20elipse,focos%20es%20una%20constante%20positiva.

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/hiperbola.html#:~:text=5%20(121%20opiniones)-,Elementos%20de%20la%20hip%C3%A9rbola,de%20intersecci%C3%B3n%20de%20los%20ejes.

Hecho por: Naideline, Sara. Neilys

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Explicación de todo sobre la recta: qué es, los diferentes tipos que hay, cómo expresar una recta matemáticamente (ecuaciones), cuáles son las posiciones relativas de las rectas, cómo calcular el ángulo que forman dos rectas, la interpretación de la pendiente de una recta,....

¿Qué es una recta?

La definición matemática de la recta es la siguiente:
Una recta es un conjunto infinito de puntos consecutivos que están representados en la misma dirección sin curvas ni ángulos.
Por otro lado, una recta corresponde a la mínima distancia posible entre dos puntos diferentes.

Además, una recta se trata de una línea que se extiende en una misma dirección, por lo tanto, tiene una sola dimensión.

Tipos de rectas

Acabamos de ver qué son las rectas pero debes saber que hay más de un tipo de rectas, cada uno con sus características. Así pues, las rectas se pueden clasificar de la siguientes manera:

Rectas paralelas

Las rectas paralelas son aquellas líneas que nunca se cortan, es decir, aunque se prolonguen sus trayectorias hasta el infinito nunca llegan a tocarse. Por lo tanto, los puntos de dos rectas paralelas siempre están a una misma distancia entre sí y, además, dos rectas paralelas no tienen ningún punto en común.

Rectas secantes

En matemáticas, dos rectas son secantes cuando se cortan únicamente en un punto. Por lo tanto, las rectas que son secantes tienen un solo punto en común.

Un ejemplo de rectas secantes son rectas las perpendiculares, que son las rectas que se cortan en un punto formando cuatro ángulos rectos (de 90º) iguales.

Como bien sabes, las rectas perpendiculares son muy importantes y, por tanto, tenemos una página con la explicación de todo lo que debes saber sobre este tipo de rectas: cuándo dos rectas son perpendiculares, cómo calcular una recta perpendicular a otra, ejemplos y ejercicios resueltos de rectas perpendiculares y mucho más. Así que te dejo la página de la perpendicularidad entre rectas por si quieres saber más.

Por otra parte, las rectas que son secantes pero no se cruzan formando un ángulo de 90º, sino otro ángulo, se llaman rectas oblicuas.

Rectas coincidentes

Dos rectas coincidentes son dos líneas que tienen todos sus puntos en común. Por lo tanto, dos rectas coincidentes son completamente idénticas.

Semirrecta

Se denomina semirrecta a cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al cortarla por cualquiera de sus puntos.

Por ejemplo, la recta anterior puede ser dividida por el punto A, formando así las semirrectas y

Ecuación de la recta

En geometría analítica, para expresar analíticamente cualquier recta se utilizan las ecuaciones de la recta. Y para hallar la ecuación de una recta, ya sea en el plano (en R2) o en el espacio (en R3), solamente se necesita un punto que pertenezca a la recta y el vector director de dicha recta.

Como puedes ver en la representación gráfica de la recta anterior, las rectas se nombran por una letra minúscula, en este caso

Existen muchos tipos de ecuaciones de la recta. Todos los tipos de ecuaciones de la recta sirven para lo mismo: representar matemáticamente una recta. Pero cada ecuación de la recta tiene sus propiedades y, por lo tanto, dependiendo del problema es mejor usar una u otra. A continuación tienes las fórmulas de todas las ecuaciones de la recta.

Ecuación vectorial de la recta

Si es el vector director de la recta y un punto que pertenece a la recta:

La fórmula de la ecuación vectorial de la recta es:

Donde:

e son las coordenadas cartesianas de cualquier punto de la recta.

es un escalar (un número real) cuyo valor depende de cada punto de la recta.

Ecuaciones paramétricas de la recta

La fórmula de la ecuación paramétrica de una recta es la siguiente:

Donde:

e son las coordenadas cartesianas de cualquier punto de la recta.

es un escalar (un número real) cuyo valor depende de cada punto de la recta.

Ecuación continua de la recta

La fórmula de la ecuación continua de la recta es:

Donde:

e son las coordenadas cartesianas de cualquier punto de la recta.

Ecuación implícita o general de la recta

Si es el vector director de la recta y un punto que pertenece a la recta:

La fórmula de la ecuación implícita, general o cartesiana de la recta es:

Donde:

e son las coordenadas cartesianas de cualquier punto de la recta.

El coeficiente es la segunda componente del vector director de la recta:

El coeficiente es la primera componente del vector director cambiada de signo:

El coeficiente se calcula sustituyendo el punto conocido en la ecuación de la recta.

A parte de con la fórmula, también se puede obtener la ecuación implícita de una recta multiplicando en cruz las fracciones de la ecuación continua.

Ecuación explícita de la recta

La fórmula de la ecuación explícita de la recta es:

Donde:

es la pendiente de la recta.

su ordenada en el origen, es decir, la altura a la que corta el eje Y.

En este caso particular, otra forma de calcular la ecuación explícita es a través de la ecuación implícita; para ello simplemente se debe despejar la variable de la ecuación implícita.

Ecuación punto-pendiente de la recta

La fórmula de la ecuación punto-pendiente de la recta es:

Donde:

es la pendiente de la recta.

son las coordenadas de un punto que pertenece a la recta

Ecuación canónica o segmentaria de la recta

Aunque esta variante de la ecuación de la recta es menos conocida, la ecuación canónica de la recta se puede obtener a partir de los puntos de corte de la recta con los ejes cartesianos.

Sean los dos puntos de intersección con los ejes de una recta determinada:

Corte con el eje X:

Corte con el eje Y:

La fórmula de la ecuación canónica de la recta es:

Acabamos de ver las fórmulas de todas las ecuaciones de la recta, pero si quieres puedes profundizar más y practicar con ejercicios de las ecuaciones de la recta. Además, en esta página podrás ver una explicación más detallada de las ecuaciones de la recta y ejemplos de cómo se calculan todos los tipos de ecuaciones de una recta.

Significado de la pendiente de una recta
La pendiente de una recta indica las unidades verticales que sube la recta por cada unidad horizontal de la gráfica.
Con toda la información de arriba ya sabemos completamente cómo es la ecuación de una recta y que una manera de describir una recta es a partir de su pendiente. Pero realmente... ¿qué significa la pendiente de una recta?

Por ejemplo, en la representación de la siguiente recta puedes ver que avanza 2 unidades verticales por cada unidad horizontal, porque su pendiente es igual a 2.

Si una recta es creciente (va hacia arriba), su pendiente es positiva.

Si una recta es decreciente (va hacia abajo), su pendiente es negativa.

Si una recta es completamente horizontal, su pendiente es igual a 0.

Si una recta es totalmente vertical, su pendiente es equivalente a infinito.

Además, la pendiente de una recta también indica su inclinación:

Posición relativa de dos rectas en el plano

Cuando trabajamos con dos dimensiones (en R2), existen 3 posibles tipos de posiciones relativas entre dos rectas:

Las rectas secantes se cortan formando un ángulo entre 0º (no incluido) y 90º (incluido). Además, si justo hacen un ángulo recto de 90º, significa que las dos rectas son perpendiculares.

Las rectas paralelas forman un ángulo de 0º, ya que tienen la misma dirección.

Y, por la misma razón, las rectas coincidentes también forman un ángulo de 0º entre sí.

Por otro lado, el ángulo entre dos rectas en el plano también depende de su posición relativa:

Ángulo entre dos rectas

Existen varios método para calcular el ángulo que forman dos rectas y algunos son bastante complicados, así que explicaremos la manera más fácil de determinar el ángulo entre 2 rectas.

La fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas mediante sus vectores directores es la siguiente:

Dados los vectores directores de dos rectas distintas:

El ángulo que forman estas dos rectas se puede calcular con la siguiente fórmula:

Donde y son los módulos de los vectores y respectivamente.

Recordemos que la fórmula del módulo de un vector es:

Evidentemente, una vez hemos calculado el coseno del ángulo que forman las dos rectas a través de la fórmula, debemos invertir el coseno para averiguar el valor del ángulo.

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▷ TODO sobre la recta: qué es, tipos, ejemplos, su ecuación (fórmulas),...

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✅ Explicación completa de la recta: ✅ definición, tipos de rectas, ejemplos, ecuaciones de la recta, significado de la pendiente de la recta,...

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La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de una elipse

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La elipse y algunas de sus propiedades geométricas

La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:

El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y

El semieje menor (el segmento C-b de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Hecho por Sara Navas.

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Al igual que la elipse, la hipérbola también se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano tal que la diferencia de las distancias entre y los focos es una constante positiva.

Elementos de la hipérbola

1 Focos: Son los puntos fijos y . 2 Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3 Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento . 4 Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

Hecho por Sara Navas.

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https://vm.tiktok.com/ZMrSA55RY/

Hecho por: Naideline, Sara. Neilys