# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie pisemne przez liczby zakończone zerami - wprowadzenie

# data[].attributes.attachment_link.description
Z tego filmu dowiesz się: jak wykonać mnożenie pisemne przez liczbę zakończoną zerami, jak zapisać liczby zakończone zerami, aby ułatwić sobie ich mnożenie.

# data[].attributes.headline
Mnożenie pisemne z zerami na  końcu cz. 2

# data[].attributes.subject
Mnożenie pisemne z zerami na  końcu cz. 2

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług zgodnie z Polityką prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w Twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi. Czytaj więcej...

# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie pisemne przez liczby zakończone zerami - zadania

# data[].attributes.attachment_link.description
Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług zgodnie z Polityką prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w Twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi. Czytaj więcej...

# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie pisemne przez liczby wielocyfrowe - wprowadzenie

# data[].attributes.attachment_link.description
Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług zgodnie z Polityką prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w Twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi. Czytaj więcej...

# data[].attributes.attachment_link.title
Podział trójkątów ze względu na kąty i boki #2 [ Trójkąty - wprowadzenie ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
W Europie znajdują się trzy znane trójkątne rynki: w Bonn, Paryżu i Łowiczu.
Legenda głosi, że na Nowym Rynku w Łowiczu stał kiedyś ratusz, ale zawalił się za sprawą kobiety, którą spalono oskarżoną o czary. Przez długie lata rynek pełnił funkcję targowiska. W czasie wojny jego część włączono do getta. Obecnie na rynku, wokół znajdującej się tam fontanny, organizowane są imprezy kulturalne.

Trójkąt to wielokąt, który ma trzy boki.

Trójkąty klasyfikujemy ze względu na miary ich kątów na trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.

Trójkąty można klasyfikować ze względu na długości ich boków.

Trójkąt, który ma wszystkie boki tej samej długości nazywamy trójkątem równobocznym.

Jeśli w trójkącie dwa boki są tej samej długości, to trójkąt taki nazywamy trójkątem równoramiennym.

Trójkąt, w którym wszystkie boki są różnej długości, nazywamy trójkątem różnobocznym.

Wniosek

Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest rozwarty, to każdy z pozostałych kątów jest kątem ostrym.

Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest prosty, to każdy z pozostałych kątów jest ostry. Suma miar tych kątów ostrych jest równa .

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.
Suma kątów trójkąta jest równa

Odpowiedź. Miara kąta jest równa

W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę Oblicz miary pozostałych kątów.
W trójkącie równoramiennym miary dwóch kątów są równe. Ponieważ nie wiemy, czy szukane kąty są równe, czy różne - rozpatrzymy dwa przypadki.
Skorzystamy z tego, że suma kątów w trójkącie jest równa .

Kąt o mierze jest kątem między ramionami trójkąta.

Odpowiedź. Miary pozostałych kątów trójkąta są równe i

Kąt o mierze jest kątem przy podstawie trójkąta.

Odpowiedź. Miara kąta jest równa

Definicja: Ortocentrum trójkąta

Punkt, w którym przecinają się proste zawierające wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta i oznaczamy go najczęściej dużą literą .

Definicja: Środkowa boku trójkąta

Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.

Animacja pokazuje w sześciu krokach wyznaczanie środka ciężkości trójkąta. Środek ciężkości danej figury to taki punkt, który skupia całą masę tej figury. Znaczy to, że podkładając w tym miejscu palec, możemy utrzymać całą figurę w położeniu równowagi. Dany jest trójkąt A B C. W celu odnalezienia jego środka ciężkości tworzymy środki jego boków. Jeżeli połączymy środki każdego boku trójkąta z przeciwnym mu wierzchołkiem trójkąta, to okazuje się, że te trzy odcinki przecinają się w jednym punkcie. Odcinki te nazywamy środkowymi trójkąta. Punkt przecięcia środkowych trójkąta wyznacza jego środek ciężkości. Zmieniając położenie wierzchołków zauważamy, że środek ciężkości trójkąta zawsze znajduje się wewnątrz trójkąta. Zauważamy też ważną własność trójkąta. Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową tego trójkąta w stosunku dwa do jednego, przy czym końcem dłuższego odcinka jest wierzchołek trójkąta.

Twierdzenie: Środek ciężkości trójkąta

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą z środkowych tego trójkąta w stosunku , licząc od wierzchołka.

Środkowe trójkąta równobocznego przecinają się w punkcie odległym od boku o . Obliczymy wysokość tego trójkąta.

W trójkącie równobocznym środkowe boków są zarazem jego wysokościami. Zatem odległość punktu przecięcia środkowych od wierzchołka jest dwa razy większa od odległości tego punktu od boku. Czyli

Wysokość h jest więc równa

Odpowiedź. Wysokość trójkąta jest równa .

Opiszmy na trójkącie okrąg i utwórzmy ortocentrum trójkąta.
Przekształcamy ortocentrum trzykrotnie w symetrii osiowej względem każdego z boków tego trójkąta.
Otrzymujemy punkty: . Gdzie leżą te punkty?

Otrzymane punkty leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Wyznaczamy środki boków trójkąta. Znajdujemy obrazy ortocentrum tego trójkąta w symetrii środkowej względem wyznaczonych punktów.
Otrzymujemy punkty: . Gdzie leżą te punkty?

Wyznaczone punkty leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Na rysunku zaznaczony jest trójkąt, jego ortocentrum, okrąg opisany na trójkącie i sześć punktów uzyskanych w poprzednich konstrukcjach.
Dorysowujemy punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi boków.
Gdzie leżą te punkty?

Okazuje się, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie, w środkach łuków o końcach odpowiednio oraz .

Własność ta została odkryta w Polsce kilka lat temu. Ponieważ wszystkie punkty, które rozważaliśmy, leżą na okręgu opisanym na trójkącie, okrąg ten został nazwany polskim okręgiem dwunastu punktów trójkąta.

Wiemy już, że dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Kolejnym punktem związanym z trójkątem, bardzo ważnym nie tylko dla matematyków, ale przede wszystkim dla fizyków, jest środek ciężkości trójkąta.
Można powiedzieć w uproszczeniu, że najczęściej środek ciała pokrywa się ze środkiem jego masy. Informacja o tym, gdzie znajduje się ten punkt jest bardzo ważna w budownictwie czy architekturze. Ale również w skokach spadochronowych, balecie, czynnościach czy zawodach wymagających ustalenia takiego punktu podparcia, aby zachować równowagę.

W trójkącie środek ciężkości zawsze leży w jego wnętrzu. Odnajdujemy go, konstruując najpierw środki boków trójkąta, a następnie łącząc odcinkiem każdy wierzchołek trójkąta z środkiem przeciwległego boku. Te trzy odcinki, które przecinają się w jednym punkcie nazywamy środkowymi boków trójkąta. Ten punkt wyznacza właśnie środek ciężkości trójkąta.

Środkowe boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, zwanym środkiem ciężkości trójkąta.

# data[].attributes.attachment_link.title
Trójkąty i ich własności - Odkryj, zrozum, zastosuj... - zpe.gov.pl

# data[].attributes.attachment_link.description
Materiał składa się z sekcji: “Trójkąt”, “Nierówność trójkąta”, “Rodzaje trójkątów”, “Suma kątów w trójkącie”, “Wysokości trójkąta”, “Dwusieczne kątów trójkąta”, ”Środek ciężkości trójkąta”.
Materiał zawiera 28 ilustracji (fotografii, obrazów, rysunków), 48 ćwiczeń, w tym 19 interaktywnych.
Zawartość tekstowa - trójkąt i jego elementy, rodzaje trójkątów, definicja kąta zewnętrznego trójkąta, nierówność trójkąta, własności trójkąta, klasyfikacja trójkątów, suma kątów trójkąta, wysokości, środkowe boków, symetralne boków trójkąta, ortocentrum, środek ciężkości

# data[].attributes.attachment_link.description
Z tego filmu dowiesz się: jak wygląda kąt prosty, półpełny i pełny, jak narysować kąt rozwarty, jak narysować kąt ostry, z jakich elementów są zbudowane kąty, w jaki sposób nazwać kąt, jak wygląda symbol kąta.

# data[].attributes.attachment_link.title
Rysowanie prostych równoległych i prostopadłych #3 [ Dokumentacja techniczna ]

# data[].attributes.headline
Rysowanie prostych prostopadłych i równoległych.

# data[].attributes.subject
Rysowanie prostych prostopadłych i równoległych.

# data[].attributes.attachment_link.title
Rysowanie prostych równoległych za pomocą linijki i ekierki #4 [ Proste i odcinki ]

# data[].attributes.headline
Ułamki - dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach 

# data[].attributes.subject
Ułamki - dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach 

# data[].attributes.attachment_link.title
Ojej, coś poszło nie tak. Spróbuj ponownie. | Khan Academy

# data[].attributes.attachment_link.description
Uh oh, it looks like we ran into an error. You need to refresh. If this problem persists, tell us.

# data[].attributes.attachment_link.title
Ojej, coś poszło nie tak. Spróbuj ponownie. | Khan Academy

# data[].attributes.attachment_link.description
Uh oh, it looks like we ran into an error. You need to refresh. If this problem persists, tell us.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług zgodnie z Polityką prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w Twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi. Czytaj więcej...

# data[].attributes.attachment_link.title
Mnożenie pisemne przez liczby wielocyfrowe - zadania

# data[].attributes.attachment_link.description
Strona korzysta z plików cookies w celu realizacji usług zgodnie z Polityką prywatności. Możesz określić warunki przechowywania lub dostępu do cookie w Twojej przeglądarce lub konfiguracji usługi. Czytaj więcej...

# data[].attributes.body
Zadanie do samodzielnego wykonania.

Ćwiczenia strona 14

# data[].attributes.headline
Zadanie samokontrolne - przygotowanie do kartkówki

# data[].attributes.subject
Zadanie samokontrolne - przygotowanie do kartkówki