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Per calcolare l'area di un poligono irregolare, è sempre possibile, tracciando opportuni segmenti, scomporre il poligono in più poligoni noti la cui somma delle aree è pari all'area totale.

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Poligono circoscritto a una circonferenza

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Poligono circoscritto a una circonferenza

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Un poligono si dice circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
L'area di un poligono circoscritto a una circonferenza si ottiene moltiplicandone il semiperimetro per il raggio della circonferenza.
Se il poligono è regolare (cioè equilatero ed equiangolo), possiamo calcolarne l'area moltiplicando il quadrato del lato per un numero fisso φ (phi) che dipende dal numero di lati del poligono. Trovi una tabella con i valori di φ nella scheda in allegato.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

il raggio di una circonferenza inscritta a un pentagono, sapendo che l'area del pentagono misura 228 cm² e che i suoi lati misurano rispettivamente 26 cm, 20 cm, 36 cm, 18 cm e 14 cm;

l'area di un esagono regolare avente lato 17,5 cm.

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L'area del trapezio è la metà di quella di un parallelogrammo avente per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

la misura delle basi di un trapezio sapendo che la sua area è 88 cm², la sua altezza 8 cm e che la base maggiore è 5/6 della base minore.

l'area di un trapezio in cui la base maggiore misura 60 cm, quella minore 20 cm e l'altezza 28 cm.

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L'area di un rettangolo si ottiene moltiplicando la sua base per la sua altezza. Conoscendo invece la misura dell'area e di una delle due dimensioni tra base e altezza, possiamo ricavare la misura del terzo elemento applicando le formule inverse.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

l'area di un rettangolo avente base 13 cm e altezza 27 cm;

la base di un rettangolo avente area 156 m² e altezza 24 m².

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Un rombo è equivalente alla metà di un rettangolo con base e altezza congruenti alle sue diagonali: per questo motivo, l'area del rombo è uguale al prodotto delle diagonali diviso due.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

l'area di un rombo equivalente alla metà di un rettangolo avente base 18 cm e altezza 12,5 cm;

la diagonale di un rombo avente tutti i lati congruenti e area di 882 m².

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Un parallelogrammo è equivalente a un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza. La formula per il calcolo dell'area e le relative formule inverse sono quindi le medesime individuate per il rettangolo.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

la base di un parallelogrammo di altezza 12 cm ed equivalente a un rettangolo di area 324 cm²;

l'area di un parallelogrammo la cui superficie è tre volte quella di un parallelogrammo di base 5,7 dm e altezza 8,4 dm.

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Qual è la forma migliore per progettare un nuovo parcheggio in città? In questo video scopriamo che quella più conveniente è quella a spina di pesce. Scegliere il parallelogrammo al posto del rettangolo facilita le manovre di guida e non modifica l'area del singolo parcheggio. In questo caso parallelogrammo e rettangolo sono equivalenti. Cioè?

Si dicono equivalenti due figure A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa superficie.

Si dicono invece equicomposte ( o equiscomponibili) due figure A e B ottenute sommando parti congruenti.

Rifletti e rispondi - Due figure equivalenti sono sempre equicomposte? Due figure equicomposte sono sempre equivalenti? Rifletti insieme ai tuoi compagni e alle tue compagne; per motivare le vostre risposte realizzate con carta e penna figure equicomposte ed equivalenti, dopodiché confrontatene le superfici.

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Non c'è cosa più semplice che imbatterci in figure geometriche nella realtà quotidiana. Pensiamo alle mattonelle quadrate del pavimento di una stanza o al contorno rettangolare di una finestra; al triangolo della squadretta o al rombo nel profilo di un diamante. E poi ancora parallelogrammi, trapezi, deltoidi, pentagoni, ottagoni: poligoni delle forme più varie di cui andremo a studiare, in questa lezione, le formule per il calcolo dell'area. Partiremo scoprendo come l'equivalenza tra figure piane può aiutarci a semplificare i calcoli, e una volta studiati i casi particolari, capiremo infine come misurare la superficie di poligoni irregolari di qualsiasi forma.

Rifletti e rispondi - Mei e Tommy si stanno divertendo con il tangram, un antico gioco formato da 7 tasselli che inizialmente compongono un quadrato ma possono essere riarrangiati per rappresentare le forme più disparate. Usando
due tangram uguali che formano un quadrato di lato 15 cm, Mei ha creato un cane e Tommy un gatto. Osserva la vignetta: chi pensi abbia ragione tra Mei e Tommy? Perché?

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Osserva la figura del cavaliere realizzata con il tangram: sapresti calcolarne l'area totale?
Oltre alle misure fornite, considera che:

i triangoli marrone e viola sono isosceli rettangoli e sono tra loro equivalenti;

il triangolo arancione è equivalente a quello verde;

il triangolo rosso è isoscele rettangolo.

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Forse non tutti sanno che anche dentro ognuno di noi c'è... un trapezio! Il trapezio è infatti un muscolo importantissimo del nostro corpo, che copre la zona alta della schiena e la parte posteriore del collo. In realtà, di trapezi ce ne sono due - uno destro e uno sinistro - e si incontrano lungo la colonna vertebrale. Questi muscoli sono essenziali per sollevare e ruotare la testa, sorreggere la colonna vertebrale e sostenere il movimento della spalla.

Rifletti e rispondi - Esistono altri muscoli del corpo umano che traggono il nome dalla loro forma geometrica? Se sì, qual è la loro posizione e quale la loro funzione? Per rispondere, svolgi una rapida ricerca in Internet.

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Svolgi il test sui poligoni irregolari e verifica quello che hai imparato!

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Perché le celle degli alveari hanno forma esagonale?

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Perché le celle degli alveari hanno forma esagonale?

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Un favo è un insieme di celle di cera usato delle api per contenere le larve e immagazzinare il miele e il polline. Ma qual è la forma migliore per le celle nel favo? Le api hanno scoperto un modo per usare meno cera possibile e allo stesso tempo sfruttare la massima superficie.
Se di cella ce ne fosse una sola, la figura migliore (che a parità di perimetro occupa l'area maggiore) sarebbe il cerchio, e via via tutti i poligoni regolari con un numero crescente di lati.
Ma le celle non sono isolate, e allora si può vedere che l'unico modo per non perdere spazio nel favo è la forma esagonale. Guarda il video per saperne di più!

Prova tu - Un favo è composto in media da 40000 celle esagonali. Ipotizzando che in un favo ogni singola cella esagonale abbia un lato di 3,7 mm, calcola l'area complessiva del favo.

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Perché le celle degli alveari hanno forma esagonale? | Informazione interessante | Tienilo a mente!

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Svolgi il test sul trapezio e verifica quello che hai imparato!

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Un quadrato non è altro che un particolare rettangolo con base e altezza congruenti: l'area si ottiene quindi moltiplicando lato ∙ lato, che equivale a elevare la misura del lato alla seconda potenza (lato²).

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

l'area in m² di un quadrato avente il lato di 16 cm;

la misura in dam² di un quadrato avente area 24025 m².

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Per il deltoide valgono le medesime equivalenze e, quindi, le medesime formule utilizzate per il calcolo dell'area del rombo.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

la diagonale maggiore di un deltoide avente diagonale minore 15,6 dm e area 312 dm²;

l'area di un deltoide equivalente alla metà di un rettangolo di base 11 cm e altezza 17,6 cm.

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Un triangolo è equivalente alla metà di un parallelogrammo avente la stessa base e la stessa altezza: per questo la sua area sarà la metà di quella del parallelogrammo.
E se non conosciamo la misura dell'altezza del triangolo? In questo caso possiamo comunque calcolarne l'area utilizzando la formula di Erone.

Prova tu - Applicando le formule riportate nella scheda in allegato, calcola:

l'area di un triangolo avente altezza 12 cm e base il triplo dell'altezza;

l'area di un triangolo avente i lati di misura 54 cm, 72 cm e 90 cm.

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Il gioco cinese del tangram si basa proprio sul concetto di equiscomponibilità: le sette tavolette (dette tan) inizialmente disposte a formare un quadrato, possono essere spostate e accostate in maniera diversa (ma mai sovrapposte!) per formare diverse figure.

Prova tu - Guarda il video e realizza il tuo tangram: disegna su un foglio un quadrato di dimensioni a piacere e poi scomponilo internamente in figure geometriche note. Colora poi diversamente i vari poligoni e ritagliali con le forbici. Costruisci infine una nuova figura geometrica equivalente ed equicomposta al quadrato iniziale.

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Per la mostra di fine anno l'insegnante del corso di pittura e disegno chiede a ciascun partecipante di realizzare una tela che occupi una superficie di 144 cm ².
Calcola l'altezza delle tele sapendo che:

quella di Rebecca ha una base di 16 cm;

quella di Rashida ha una base di 6 cm;

quella di Ludovico ha una base di 8 cm.

Quanto misura invece il lato della tela di Irma, che ha deciso di realizzare un dipinto quadrato?

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Mettiti alla prova! - Poligoni circoscritti a una circonferenza

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Mettiti alla prova! - Poligoni circoscritti a una circonferenza

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Svolgi il test sui poligoni circoscritti a una circonferenza e verifica quello che hai imparato!

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Creare cioccolato dal nulla... è possibile? Se nella tua dispensa hai una tavoletta di cioccolato delle stesse dimensioni di quella del video, prova a ripetere l'esperimento.

Prova tu - Supponi che la tua tavoletta di cioccolato abbia base lunga 4 cm e altezza di 12 cm.

Qual è l'area della tavoletta?

Se i rettangolini sono 24, qual è l'area del singolo rettangolino?

Qual è il nuovo valore dell'area della tavoletta dopo che ne mangiamo uno?

Se il rettangolino mangiato è equivalente a un altro rettangolo che ha per base b la base dell'intera tavoletta, qual è la sua altezza? A cosa corrisponde l'altezza di questo rettangolo?

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Creare cioccolato dal nulla...!? La soluzione!

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Una delle forme più comuni di aquilone è proprio quella del deltoide. Immagina di voler costruire il tuo aquilone. Hai a disposizione 2 m² di carta e due stecche di legno flessibili, una lunga 2,50 m e l'altra che ancora devi tagliare della giusta lunghezza. Quanto sarà lunga la seconda stecca?

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Hai mai notato che, nella maggior parte degli edifici, le pareti di ogni stanza formano tra loro un angolo di 90°?
In un cantiere edile non sempre si hanno a disposizione strumenti di precisione adeguati per realizzare un angolo perfettamente retto. Con l'aiuto di un metro a nastro, si procede allora a costruire un triangolo particolare: il triangolo rettangolo 3-4-5. Si può dimostrare (lo vedrai quando studierai il Teorema di Pitagora) che un triangolo con lati che misurano 3, 4 e 5 è per forza rettangolo, con cateti lunghi 3 e 4 e ipotenusa 5. Ecco allora a portata di mano un angolo da 90°!
Verifica se i muri della tua camera formano davvero un angolo di 90°: scegli il punto di incontro di due pareti e, a partire da quello, misura a terra 30 cm su una parete e 40 cm sull'altra, segnando in qualche modo i punti misurati (senza sporcare!). Misura poi la distanza tra di essi: quanto vale?

Prova tu - Alla luce di quanto detto, rispondi alle seguenti domande:

Quanto vale l'area di un triangolo con tre lati lunghi 30 cm, 40 cm e 50 cm?

Prova a costruire un triangolo con le misure 60 cm, 80 cm e 100 cm; si tratta ancora di un triangolo rettangolo?

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Mettiti alla prova! - Rettangolo e quadrato

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Mettiti alla prova! - Rettangolo e quadrato

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Svolgi il test su rettangolo e quadrato e verifica quello che hai imparato!

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Svolgi il test su rombo e deltoide e verifica quello che hai imparato!

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Mettiti alla prova! - Parallelogrammo e triangolo

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Mettiti alla prova! - Parallelogrammo e triangolo

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Svolgi il test su parallelogrammo e triangolo e verifica quello che hai imparato!

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Contenuti e attività: Andrea Vilasi

Redazione: Giulia Baccanelli

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell'Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sull'area delle figure piane.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: audio, video, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti online.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale, lo studente impara a misurare e utilizzare le grandezze per operare nella realtà.

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Conoscenze: conoscere i concetti di equivalenza ed equiscomponibilità; conoscere le formule per calcolare l'area di un poligono e le formule inverse dell'area
Abilità: rappresentare figure equivalenti; applicare le formule dirette per il calcolo delle aree dei poligoni; applicare le formule inverse delle aree dei poligoni; calcolare l'area di un poligono qualsiasi
Competenze: calcolare l'area delle principali figure piane anche in situazioni legate alla realtà quotidiana
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare ed elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali

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Per usare i Moduli Google nelle proprie Google Classroom e, quindi, ricevere in modo automatico i risultati degli studenti, i moduli vanno copiati nel proprio spazio Google Drive e condivisi da lì mediante link. Il modulo nel vostro Drive sarà anche completamente modificabile. Per copiare i moduli vai ai seguenti link:

1. Rettangolo e quadrato

2. Parallelogrammo e triangolo

3. Rombo e deltoide

4. Trapezio

5. Poligoni circoscritti a una circonferenza

6. Poligoni irregolari

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Nei post precedenti si è parlato di rettangoli, parallelogrammi e quadrati: insomma, di poligoni. Per un veloce ripasso sui diversi tipi di poligoni e sulle loro proprietà, vai alla lezione digitale dedicata!

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Nel Sistema Internazionale di Misura, l'unità di misura delle superfici è il metro quadrato (m ²), che corrisponde alla superficie di un quadrato avente il lato lungo 1 metro.

Prova tu - Osserva la tabella dei multipli e sottomultipli del metro quadrato, dopodiché risolvi le seguenti equivalenze:

800 m² = ......... hm²

73,58 dm² = ......... cm²

0,0056 dam² = ......... dm²

9,15 m² = ........... km²

7456 mm² = ........... m²