# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Table of Contents

vector space, a set of multidimensional quantities, known as vectors, together with a set of one-dimensional quantities, known as scalars, such that vectors can be added together and vectors can be multiplied by scalars while preserving the ordinary arithmetic properties (associativity, commutativity, distributivity, and so forth). Vector spaces are fundamental to linear algebra and appear throughout mathematics and physics.

The idea of a vector space developed from the notion of ordinary two- and three-dimensional spaces as collections of vectors {u, v, w, ...} with an associated field of real numbers { a, b, c, ...}. Vector spaces as abstract algebraic entities were first defined by the Italian mathematician Giuseppe Peano in 1888. Peano called his vector spaces "linear systems" because he correctly saw that one can obtain any vector in the space from a linear combination of finitely many vectors and scalars- av + bw + ... + cz. A set of vectors that can generate every vector in the space through such linear combinations is known as a spanning set. The dimension of a vector space is the number of vectors in the smallest spanning set. (For example, the unit vector in the x-direction together with the unit vector in the y-direction suffice to generate any vector in the two-dimensional Euclidean plane when combined with the real numbers.)

The linearity of vector spaces has made these abstract objects important in diverse areas such as statistics, physics, and economics, where the vectors may indicate probabilities, forces, or investment strategies and where the vector space includes all allowable states.

# data[].attributes.attachment_link.title
Vector space | Linear Algebra, Basis & Dimension

# data[].attributes.attachment_link.description
Vector space, a set of multidimensional quantities, known as vectors, together with a set of one-dimensional quantities, known as scalars, such that vectors can be added together and vectors can be multiplied by scalars while preserving the ordinary arithmetic properties (associativity,

# data[].attributes.attachment_link.description
"¡Bienvenidos al curso de Geometría Analítica! En esta sección, exploraremos los conceptos fundamentales que combinan la geometría y el álgebra para para el ...

# data[].attributes.attachment_link.title
Vectores paso a paso (1) El espacio Euclídeo o Euclideano

# data[].attributes.attachment_link.title
Números reales 1 Composición de los números reales

# data[].attributes.attachment_link.description
Los números reales, denotados por la letra R, se componen a su vez de ciertos conjuntos notables de números,éstos son:

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Instituto de Matemática Universidad Austral de Chile Vectores en el Plano 1 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Cantidades Escalares: Cantidades Vectoriales: longitud aceleración velocidad área fuerza volumen temperatura * Vector = Segmento de recta dirigido (Tiene Punto Inicial y Punto Final) Q* u PQ v P * Un vector queda determinado por su magnitud y dirección 2 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Vectores equivalentes: Q(q1 , q2 ) * tienen la misma magnitud y la misma dirección P( p1 , p2 ) * Dado un vector hay infinitos vectores A ( a1 , a2 ) equivalentes a él. * * Pero sólo uno tiene punto inicial en el a origen. O a1 = q1 − p1 ; a2 = q2 − p2 Ejemplo: ( −3, 2 ) a ( 45 , 53 ) c b ( 0, −2 ) 3 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile * Así: cada vector determina un único par ordenado de números reales y queda identificado por un punto del plano. * Se tiene la correspondencia: { Puntos del plano } ↔ { Vectores en el plano } ↔ R2 4 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Vector de Posición del punto A(a1, a2 ) es a = (a1, a2 ) a1 , a2 son las componentes del vector a A ( a1 , a2 ) * a O 5 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Módulo de un vector a = a12 + a22 a A ( a1 , a2 ) * a O Propiedades del Módulo a ≥0 a =0 ⇔ a =0 6 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Operaciones con vectores: Adición: a + b = (a1, a2 ) + (b1, b2 ) = (a1 + b1, a2 + b2 ) C B C ( a1 + b1 , a2 + b2 ) B ( b1 , b2 ) A AB + BC = AC A ( a1 , a2 ) Aplicación a Suma de Fuerzas S n te ta R sul e z ar er Fu Q P 7 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Multiplicación por escalar: ca = c(a1, a2 ) = (ca1, ca2 ) ( ca1 , ca2 ) v 2v 1 v ( a1 , a2 ) 2 -3v 2 Propiedades de las operaciones: a +b =b + a c(a + b ) = ca + cb ca = c a a + (b + c ) = (a + b ) + c (c + d )a = ca + da a +b ≤ a + b c(da) = (cd )a a +0 = a a + (−a ) = 0 1⋅ a = a 8 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile R Sustracción de Vectores a -b a − b = a + (−b ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ) Q b Vectores Unitarios Básicos a P i = (1,0) ; j = (0,1) Así los vectores en el plano se pueden expresar de dos formas: a = (a1, a2 ) = a1 ⋅ i + a2 ⋅ j ( a1 , a2 ) a a2 j j i a1i 9 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Componentes de un vector a = (a1, a2 ) a1 = a cosθ ; a2 = a senθ Producto Punto (o Producto Escalar) a ⋅ b = (a1, a2 ) ⋅ (b1,b2 ) = a1 b1 + a2 b2 Se lee: "a punto b" Propiedades del Producto Punto a ⋅a = a 2 a⋅b = b ⋅a a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c (α a ) ⋅ b = α (a ⋅b ) 0⋅a = 0 10 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Ángulo entre Vectores El ángulo entre los vectores a y b B ( b1 , b2 ) es el ángulo θ = ∢AOB ( 0 ≤θ ≤ π ) b A ( a1 , a2 ) θ a Vectores Paralelos. Vectores Ortogonales a y b son paralelos si θ = 0 ∨ θ =π θ =π a y b son ortogonales si 2 Teorema sobre Producto Escalar a ⋅b = a b ⋅ cosθ 11 Instituto de Matemática Vectores en el Universidad Austral de Chile Plano Aplicación del producto Punto: TRABAJO El Trabajo W efectuado por una fuerza constante a a medida que su punto de aplicación se mueve a lo largo de un vector b es W = a ⋅b A Fuerza a O b = OB Q B MOVIMIENTO 12 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Cálculo del Ángulo entre Vectores     θ = −1 cos  a ⋅b    a b      Ejemplo: (1, 2 ) Calcular el ángulo que forman los vectores a = (4,−3) y b = (1,2) b θ Resolución:    −2 5 θ = cos−1 (4,−3) ⋅ (1,2)  =  ≈100,3º a   (4,3) (1,2)   25 ( 4, −3) 13 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Ortogonalidad de Vectores a y b son ortogonales si y sólo si a⋅b = 0 Proyección de un vector sobre otro La proyección escalar del vector a sobre el vector b (o la componente del vector asegún el vector b ) es a⋅ b proy a = b b La proyección vectorial del vector a sobre el vector b es  a⋅ b  b proy a =   b  b  b   14 Instituto de Matemática Vectores en el Plano Universidad Austral de Chile Proyección de a sobre b (con ángulo agudo) A B b a Q θ a cosθ > 0 O Proyección de a sobre b (con ángulo obtuso) l A b B a θ O a cosθ < 0 l 15

# data[].attributes.attachment_link.description
Academia.edu is a platform for academics to share research papers.

# data[].attributes.headline
Ejemplo de espacio euclidiano bidimensional con vectores en geogebra

# data[].attributes.subject
Ejemplo de espacio euclidiano bidimensional con vectores en geogebra