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São associações numéricas de um número natural  em um número real.

(A1, A2,A3,…,An,…)

• Sequências finitas: como o nome sugere, possui um fim.
• Sequências infinitas: não possuem fim.

Elementos ⬇️

A1, A2, A3- termos
A1- primeiro termo
An- último termo
n- quantidade de termos

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Sequência 01: Sequência numérica / sequência lógica

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Sequência 01: Sequência numérica / sequência lógica

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Toda sequência numérica que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior adicionado a uma constante, chamada de razão de progressão.

Exemplos⬇️

A) 2,6,10,14,…
• tem A1- 2 e R- (4)

B) 12,9,6,3,…
• tem A1- 12 e R- (-3)

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APRENDA PROGRESSÃO ARITMÉTICA EM 8 MINUTOS

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Explicação em vídeo sobre PROGRESSÃO ARITMÉTICA 

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Explicação em vídeo sobre PROGRESSÃO ARITMÉTICA 

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APRENDA PROGRESSÃO ARITMÉTICA EM 8 MINUTOS

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Explicação em texto sobre PROGRESSÃO ARITMÉTICA 

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Explicação em texto sobre PROGRESSÃO ARITMÉTICA 

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A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A.. Sendo assim, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da…

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Sequência numérica é uma lista formada por números que possui uma ordem, geralmente, bem definida. Uma sequência contém o que conhecemos como lei de formação, ou lei de recorrência, o que nos permite encontrar os próximos termos do seguimento. Por exemplo, podemos montar a sequência formada pelos números pares em ordem crescente (0, 2, 4, 6,...), ou então a sequência dos números múltiplos de 10 (0, 10, 20, 30, 40,...), entre outras várias sequências possíveis.

Uma sequência pode ser finita ou infinita, dependendo da quantidade de elementos que ela possui. Ela também pode ser crescente, decrescente, oscilante ou constante. Além disso, existem casos particulares de sequência, conhecidos como progressões. Elas podem ser classificadas como progressões aritméticas ou geométricas.
Leia também: Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética
Resumo sobre sequência numérica

Sequência é uma lista de números organizados em ordem.

Exemplos de sequência numérica:

Sequência decrescente dos divisores de 20: (20, 10, 5, 4, 2, 1).

Sequência de números ímpares: (1, 3, 5, 7,...).

Uma sequência pode ser finita ou infinita.

Uma sequência é classificada como crescente, descrente, constante ou oscilante.

São casos especiais de sequência a progressão aritmética e a progressão geométrica.

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Lei de ocorrência de sequência numérica

Chamamos de sequência numérica uma lista de números com ordem determinada. Para denotar uma sequência, escrevemos os números entre parênteses, como no exemplo a seguir:

Conhecemos como lei de ocorrência a regra que rege a sequência numérica. Podemos ter vários critérios para a formação de uma sequência numérica, de acordo com determinadas características desses números. Vejamos alguns exemplos a seguir.

(0, 4, 8, 12, 16, 20,...)

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...)
Leia também: Curiosidades sobre os números
(-4, -3, -2, -1)

Classificação de sequência numérica

Existem duas maneiras de classificar uma sequência. Uma delas tange a quantidade de termos, definindo as sequências como finita ou infinita. A outra refere-se a seu comportamento, distinguindo as sequências como crescente, decrescente, constante ou oscilante.

→ Classificação da sequência numérica quanto à quantidade de termos

Exemplos:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10)

b) (1, -1, 2, -2, 3, -3)

c) (1, 4, 9, 16, 25)

Exemplos:

a) (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...)

b) (3, 6, 9, 12,...)

c) (3, 9, 27, 81,...)

→ Classificação da sequência numérica quanto ao comportamento

Exemplos:

a) (1, 2, 3, 4, 5,...)

b) (-2, 0, 2, 4, 6)

Exemplos:

a) (16, 13, 10, 7,...)

b) (-3, -9, -27, -81,...)

Exemplos:

a) (0, 0, 0, 0, 0)

b) (4, 4, 4, 4,...)

Exemplos:

a) (0, 1, 0, 1, 0, 1)

b) (1, -2, 3, -4, 5, -5,...)
Exemplo:
Lei de formação da sequência numérica

A lei de formação de uma sequência é uma expressão algébrica que nos permite encontrar cada um dos termos da sequência por meio de uma fórmula. Existem algumas sequências em particular com lógicas demonstráveis por meio de uma lei de formação. Vejamos alguns casos a seguir.

Uma sequência possui lei de formação do tipo a n = n² + n. Encontre os seus 6 primeiros termos.

a ₄ = 4² + 4 = 16 + 4 = 20

a ₅ = 5² + 5 = 25 + 5 = 30

a ₆ = 6² + 6 = 36 + 6 = 42

(2, 6, 12, 20, 30, 42,...)

Progressão aritmética e progressão geométrica
Exemplos:
Existem casos particulares de sequência denominados progressões. Elas se subdividem em dois tipos: progressões aritméticas e geométricas.

Para que uma sequência seja considerada uma progressão aritmética (PA), a diferença entre um termo qualquer da sequência e o seu sucessor é sempre constante. Essa diferença é conhecida como razão, representada por r.

a) Progressão aritmética de razão 3: (1, 4, 7, 10, 13,...). Note que de um termo para o seu sucessor, basta somar 3.
Exemplos:
b) Progressão aritmética de razão -5: (16, 11, 6, 1, -4,...).

Para que uma sequência seja considerada uma progressão geométrica (PG), a divisão entre um termo e o seu antecessor tem sempre o mesmo quociente. Esse resultado é representado por q, tido como a razão de uma progressão geométrica.

a) Progressão geométrica de razão 2: (2, 4, 8, 16, 32,...).

b) Progressão geométrica de razão -3: (5, -15, -45, -135,...).
Questão 1
Leia também: Três erros mais cometidos em progressões no Enem

Exercícios resolvidos sobre sequência numérica

(Instituto Consulplan) Observe a sequência numérica: 12, 14, 17, 21, 26, 32, 39,.... A soma dos dois próximos números da sequência é:

A) 99

B) 101

C) 103

D) 105

Resolução:

Alternativa C.

Analisando a sequência, é necessário compreender qual é a lógica para identificação dos próximos termos. Note que o primeiro termo é 12 e nele foi adicionado 2.

12 + 2 = 14

Já ao termo 14 foi adicionado 3:

14 + 3 = 17

Ao 17, foi adicionado 4:

17 + 4 = 21

Continuando com essa mesma lógica, temos que:

21 + 5 = 26

26 + 6 = 32

32 + 7 = 39

Agora queremos encontrar os dois próximos termos:

39 + 8 = 47
Questão 2
47 + 9 = 56

Então a soma 47 + 56 = 103

Os números abaixo estão dispostos em uma sequência lógica:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, A, B, 55, 89,...

Nesse caso, pode-se afirmar que A+B é igual a:

A) 55

B) 64

C) 74

D) 82

Resolução:

Alternativa A.

É possível perceber que a partir do 3º termo, para encontrar um próximo na sequência basta somar os dois antecessores ao número verificado:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

5 + 3 = 8

Assim sucessivamente. Então, podemos afirmar que A + B = 55

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Sequência numérica: lei de formação e exemplos - Mundo Educação

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Aprenda o que é uma sequência numérica. Entenda quando ocorrem as sequências crescente, decrescente, oscilante ou constante. Conheça a lei de formação da sequência.

# data[].attributes.body
Corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (Q) ou razão entre um número e outro é sempre igual.
Em outras palavras, constante ou razão (Q) quando multiplicado por um termo, dará o resultado do próximo elemento da sequência.

Tipos de PG⬇️

A) crescente: razão positiva com ordem numérica constante.
B) descrecente: razão positiva com ordem numérica descrecente.
C) oscilante: razão positiva negativa com oscilação (+) e (-).
D) constante: razão igual a 1, com números iguais.

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Explicação em vídeo sobre PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 

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Explicação em vídeo sobre PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 

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Explicação em texto sobre PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 

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Explicação em texto sobre PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 

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Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente ( q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual.

Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:
PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128, 256...)
No exemplo acima, podemos constatar que na razão ou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:

Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, frações) exceto o número zero (0).

Classificação das Progressões Geométricas

De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:

PG Crescente

Na PG crescente a razão é sempre positiva (q > 0) formada por números crescentes, por exemplo:

(1, 3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3

PG Decrescente

Na PG decrescente, a razão é sempre positiva (q > 0) e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.

Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:

(-1, -3, -9, -27, -81, ...) onde q = 3

PG Oscilante

Na PG oscilante, a razão é negativa (q < 0), formada por números negativos e positivos, por exemplo:

(3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...), onde q = -2

PG Constante

Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:

(5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) onde q = 1

Fórmula do Termo Geral

Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:
an = a₁ . q(n-1)
Onde:

: número que queremos obter
: o primeiro número da sequência
: razão elevada ao número que queremos obter, menos 1

Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão q = 2 e número inicial 2, calcula-se:

PG: (2,4,8,16, 32, 64, 128,...)

Saiba mais sobre PA e PG e Progressão Aritmética - Exercícios.

Soma dos Termos da PG

Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:

onde:

Sn: Soma dos números da PG
a1: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG

Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,...):

Estude mais com Exercícios sobre PA e PG.

Curiosidade

Como na PG, a Progressão Aritmética (PA), corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é constante. A diferença é que enquanto na PG o número é multiplicado pela razão, na PA o número é somado.

# data[].attributes.attachment_link.description
Progressão Geométrica (PG) corresponde a uma sequência numérica cujo quociente ( q ) ou razão entre um número e outro (exceto o primeiro) é sempre igual. Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo: PG:...

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PRINCIPAIS EXERCÍCIOS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA | P.A

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PRINCIPAIS EXERCÍCIOS DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA | P.A

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EXERCÍCIOS DE P.G | PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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EXERCÍCIOS DE P.G | PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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Estude progressão aritmética e geométrica com exercícios resolvidos e comentados passo a passo.

Exercício 1

Em uma PA, a2 = 5 e a7 = 15. Determine a4 e some os cinco primeiros termos desta PA.

Exercício 2

(Aeronáutica 2021) Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a

Exercício 3

(PM-SP 2019) Em 2015, uma grande empresa petrolífera iniciou o processo de reutilização da água usada para o resfriamento das peças que produzia e fez uma projeção de aumento gradual, em progressão aritmética, até o ano de 2050, do volume de água que será reutilizada, ano a ano.

A tabela apresenta os volumes da água reutilizada, nos primeiros 3 anos:

Considere que An seja o termo geral da progressão aritmética que indique o volume de água reutilizada, em milhões de m³, com n = 1, representando o volume de água reutilizada no ano de 2016, n = 2, representando o volume de água reutilizada no ano de 2017, e assim sucessivamente.

Nessas condições, tem-se que

a) An = 0,5n - 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 - 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

Ver Resposta

Resposta correta: c) An = 0,5n + 23.

Objetivo
Determinar An em função de n.

Resolução
A razão da progressão aritmética é 0,5, pois 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

O termo geral de uma PA é dado por:

Substituindo o valores:

Exercício 4

(CEDERJ 2021) A sequência (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) é uma progressão aritmética de razão 6. O quarto termo dessa progressão é

Ver Resposta

Resposta correta: a) 31

Resolução

O quarto termo é a3 + r, desta forma:

Substituindo os valores encontrados:

Exercício 5

(Enem 2021) No Brasil, o tempo necessário para um estudante realizar sua formação até a diplomação em um curso superior, considerando os 9 anos de ensino fundamental, os 3 anos do ensino médio e os 4 anos de graduação (tempo médio), é de 16 anos. No entanto, a realidade dos brasileiros mostra que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos é ainda muito pequeno, conforme apresentado na tabela.

Considere que o incremento no tempo de estudo, a cada período, para essas pessoas, se mantenha constante até o ano 2050, e que se pretenda chegar ao patamar de 70% do tempo necessário à obtenção do curso superior dado anteriormente.
O ano em que o tempo médio de estudo de pessoas acima de 14 anos atingirá o percentual pretendido será

Exercício 6

(Corpo de Bombeiros 2021) Um avião e um caminhão de bombeiros possuem reservatórios de água com capacidades de 12 mil e 8 mil litros de água, respectivamente. O caminhão possui uma bomba de 2,5 GPM, ou seja, é capaz de bombear 2,5 galões por minuto.

A partir dessa situação hipotética, julgue o seguinte item, considerando que 1 galão seja igual a 3,8 litros de água.

Se um tanque de água possui a capacidade de X mil litros, de modo que 8, X e 12 estejam em progressão geométrica, nesta ordem, então a capacidade desse tanque é menor do que 10 mil litros.

Certo

Errado

Ver Resposta

Resposta correta: certa

Objetivo
Verificar se X < 10.

Resolução
Em uma progressão geométrica, PG, o termo do meio é a média geométrica entre os extremos.

De fato, a raiz quadrada aproximada de 96 é 9,79. Concluímos que a capacidade X do tanque é menor que 10 mil litros.

Exercício 7

(Aeronáutica 2021) Seja a P.G. (24, 36, 54, ...). Ao somar o 5º e o 6º termos dessa P.G. tem-se

Exercício 8

(UERJ 2019) Os triângulos A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrados abaixo, possuem perímetros p1, p2, p3, respectivamente. Os vértices desses triângulos, a partir do segundo, são os pontos médios dos lados do triângulo anterior.

Admita que .

Assim, (p1, p2, p3) define a seguinte progressão:

a) aritmética de razão = - 8
b) aritmética de razão = - 6
c) geométrica de razão = 1/2
d) geométrica de razão = 1/4

Exercício 9

(Enem 2021) O gráfico informa a produção registrada por uma indústria nos meses de janeiro, março e abril.

Por problemas logísticos, não foi feito o levantamento sobre a produção do mês de fevereiro. Entretanto, as informações dos outros três meses sugerem que a produção nesse quadrimestre cresceu exponencialmente, conforme aponta a curva de tendência traçada no gráfico.

Assumindo a premissa de que o crescimento nesse período foi exponencial, pode-se inferir que a produção dessa indústria no mês de fevereiro, em milhar de unidade, foi

Ver Resposta

Reposta correta: c) 240.

Resolução

O termo geral de uma PG é uma uma exponencial em função de n, onde a1 e q são números constantes.

a1 = 120

A razão q, pode ser determinada por a4 / a3, assim:

A quantidade de fevereiro é a2, que é obtido multiplicando a1 por q.

Portanto, a produção no mês de fevereiro foi de 240.

Estude mais com:

Veja também:

ASTH, Rafael. Exercícios sobre PA e PG. Toda Matéria, [s.d.]. Disponível em: https://www.todamateria.com.br/exercicios-sobre-pa-e-pg/. Acesso em:

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Estude progressão aritmética e geométrica com exercícios resolvidos e comentados passo a passo. Exercício 1 Em uma PA, a2 = 5 e a7 = 15. Determine a4 e some os cinco primeiros termos desta PA. Resposta correta: a4 = 9 e S = 35. Resolução 1º passo: determinar a razão e a4.