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Relative Motion and Inertial Reference Frames

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1.

Transformação de Galileu Um acontecimento ocorre no instante no ponto de coordenadas , relativas a um referencial de inércia . Quais são as coordenadas de , relativas a um outro referencial de inércia , que se move com velocidade , relativamente a ?Por simplicidade, supômos que o movimento relativo se faz segundo a direcção do eixo dos e que os eixos se mantêm sempre paralelos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

A figura mostra que:
equações às quais se deve juntar:

que traduz o carácter absoluto do tempo, de acordo com a relatividade de Galileu.

2.

Invariância da distância Consideremos dois pontos e cujas coordenadas num referencial de inércia são , e , , respectivamente. A distância entre os dois pontos é igual a .Seja um outro referencial de inércia, que se move com velocidade , relativamente a , segundo a direcção do eixo dos (os eixos mantêm-se sempre paralelos).Relativamente a este referencial os pontos e movem-se - as equações do movimento são obtidas usando as transformações (2) e (3):

Suponhamos agora que observadores em medem a posição do ponto no instante e a do ponto no instante . A diferença das duas leituras é:

Portanto, se , vemos que , isto é: A separação espacial entre dois acontecimentos que ocorrem no mesmo instante (são simultâneos) é invariante. Veremos que isto não é verdadeiro em relatividade de Einstein.

3.

Transformação das velocidades

Suponhamos que um ponto se move numa recta com velocidade uniforme , medida num referencial de inércia . Se o ponto parte da origem no instante , as equações do movimento são: Seja um outro referencial de inércia, que se move com velocidade , relativamente a , segundo a direcção do eixo dos (os eixos mantêm-se sempre paralelos).Usando as transformações (2) e (3) para exprimir em termos de , obtemos:

isto é:

Estas equações descrevem um movimento rectílineo uniforme com velocidade constante , onde:

4.

Invariância da aceleração

De acordo com as equações (5), as velocidades do movimento do ponto diferem de uma constante . Portanto as acelerações são as mesmas em ambos os referenciais:

Vejamos um exemplo sugestivo de aplicação das fórmulas que acabamos de referir, e que será útil em breve.

Exemplo:

Cada nadador nada com velocidade relativamente ao referencial de repouso, , da água (o referencial que se move solidário com a corrente, da esquerda para a direita no applett ...).O nadador atravessa o rio, partindo de um ponto da margem para o ponto oposto , na outra margem, e depois regressa ao ponto de partida. O nadador nada uma distância , paralelamente à margem (e relativamente a esta), até ao ponto , e depois regressa. Quem ganha a prova ?

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

Animação 1: Mova com o rato o ponto de controlo para obter a resposta.

Resolução:

As coordenadas dos dois referenciais relacionam-se através das equações: No referencial (referencial de repouso da água) ambos os nadadores nadam com velocidade em qualquer direcção. Mas no referencial (referencial fixo às margens) a situação altera-se. A relação entre as componentes da velocidade nos dois referenciais obtem-se derivando as relações anteriores relativamente ao tempo (lembrando que ) e já foi obtida na secção anterior:

onde:
é o chamado Factor de Lorentz.

Vejamos agora o tempo do percurso do nadador :

As componentes da velocidade do nadador , no referencial , são , para algum valor que se pretende determinar (o sinal + no percurso e o sinal - no percurso de regresso ). Mas, segundo o referencial , que se move solidário com a corrente, o nadador percorre uma trajectória oblíqua:
Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).
com velocidade:

isto é:

O tempo total gasto pelo nadador é pois igual a: Temos portanto que:

E se a corrente faz um ângulo de relativamente aos dois nadadores ?

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Índice

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1. Transformação de Galileu Um acontecimento ocorre no instante no ponto de coordenadas , relativas a um referencial de inércia . Quais são as coordenadas de , relativas a um outro referencial de inércia , que se move com velocidade , relativamente a ?

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No final do século XIX, James Clerk Maxwell concebeu um conjunto de quatro equações relacionadas aos campo elétrico ( ) e ao campo magnético ( ). A descrição envolvecargas elétricas e correntes elétricas (cargas se movendo), juntamente com a chamada força de Lorentz, que para uma carga puntiforme vale

conseguem descrever todos os fenômenos eletromagnéticos até então observados.

Na verdade, para ser mais preciso, com exceção de uma equação que Maxwell de fato contribui para a sua formulação, três delas já eram bem conhecidas na sua época. São elas a lei de Gauss (da eletricidade e do magnetismo) e a lei de indução de Faraday.

De qualquer forma, isso de forma alguma tira os méritos de Maxwell, já que ao identificá-los como as equações fundamentais e que após uma manipulação algébrica, descobriu que campos magnético e elétrico podem se propagar de forma muito parecida a uma onda mecânica (o som, por exemplo); chamamos essa propagação de onda eletromagnética, onde a luz é um caso particular dessa onda.

É importante ressaltar que no século XIX, antes dos estudos Maxwell, a natureza da luz não era perfeitamente compreendida. Hoje em dia, dizer que a luz é um tipo de onda eletromagnética só é possível graças a essa compreensão provida pelas equações de Maxwell.

As equações de Maxwell são apresentadas a seguir e para uma compreensão completa delas, são necessários estudos mais aprofundados em cálculo diferencial e integral, o que é facultativo ao leitor, haja vista que o foco desse tratamento são os resultados obtidos através dessas equações.

As equações apresentam-se em sua forma diferencial, podendo ser escritas também na forma integral.

O vídeo a seguir é sugerido como material complementar ao assunto, no qual é discutido o conceito de divergente e rotacional. Esses conceitos serão abordados adiante quando da discussão das Equações de Maxwell.

As equações de Maxwell produzem dentre outras conclusões, um valor para a velocidade de propagação da luz. A dedução matemática a seguir mostra como obter tal resultado a partir das equações propostas e de suas soluções.

Para a obtenção das soluções dessas equações, serão definidas o que se chamam condições iniciais.

A equações serão aplicadas a regiões do espaço desprovidas de carga elétrica e de corrente elétrica. O objetivo é encontrar um conjunto de soluções para as equações de Maxwell que independam de tais grandezas.

Fica estabelecido que tais soluções dependam de apenas uma coordenada espacial e do tempo.

O objetivo é encontrar um conjunto de soluções para as equações de Maxwell que independam da carga elétrica e que essa solução seja a mais simples possível, sem deixar de lado qualquer informação relevante.

A resolução pode ser acessada através do botão abaixo, sendo facultativo o grau de aprofundamento, haja vista que os resultados encontram-se discutidos ao final da explicação.

Antes de partir para a resolução matemática é possível ainda acessando a página Eletromagnetismo, revisitar conceitos bastante familiares dos alunos de ensino médio.

Esse resultado é particularmente interessante. Obtido através das equações de Maxwell é um termo oriundo de sua resolução presente na definição de uma função de onda. Trata-se de , e que será substituído na equação obtida para a onda eletromagnética.

Substituindo os valores tabelados para as constantes eletromagnéticas, tem-se

Que é a velocidade de propagação da luz no vácuo, a constante .

Esse resultado é obtido utilizando-se para seu cálculo o valor de duas constantes obtidas experimentalmente e de origem eletromagnética. A velocidade de propagação da luz estava finalmente ligada à natureza dos campos eletromagnéticos, sendo descrita por Maxwell a partir de então como uma onda ou ainda, radiação eletromagnética.

Os estudos teóricos de Maxwell o levaram a um modelo para a propagação da luz que se encaixava com os resultados experimentais de grandezas até então desconectadas, a luz e o eletromagnetismo. A luz e as radiações eletromagnéticas estavam agora associadas a existência de campos eletromagnéticos no espaço. Maxwell deixava sua contribuição fundamental para a ciência, explicando a natureza de um fenômeno que intrigou filósofos e cientistas por séculos.

Algo notável nesse resultado obtido através das equações de Maxwell é o fato de que esse valor de velocidade calculado para a luz, não aparece associado a nenhum tipo de referencial. Sabe-se que a velocidade para ser medida é uma grandeza que depende da adoção de um referencial.

Além disso, a característica ondulatória da radiação eletromagnética exigia como requisito a existência de um meio de propagação, que era necessário para explicar até então o comportamento de qualquer onda conhecida.

Essa discussão permeou a ciência por mais alguns anos, até que a correta interpretação dos resultados foi plenamente compreendida. A explicação passou pela busca da existência de um meio que permitisse a propagação dessas ondas, que já era conhecido pelo nome de Éter, bem como pela ideia de um referencial absoluto.

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Equações de Maxwell e a Velocidade da Luz

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No final do século XIX, James Clerk Maxwell concebeu um conjunto de quatro equações relacionadas aos campo elétrico () e ao campo magnético (). A descrição envolvecargas elétricas e correntes elétricas (cargas se movendo), juntamente com a chamada força de Lorentz, que para uma carga puntiforme vale conseguem descrever todos os fenômenos eletromagnéticos até então observados.

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Episode 41: The Michelson morley Experiment - The Mechanical Universe

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Como ficou postulado, a única grandeza absoluta em qualquer referencial é a velocidade da luz.

Para começarmos a entender as consequências dos postulados imaginemos o seguinte experimento: Uma espaçonave move-se com velocidade constante e de intensidade , em relação a um observador em repouso localizado na superfície do planeta Terra.

Chamaremos para simplificar os referenciais da Terra de e o do astronauta de .

Em seu interior um astronauta dispõe de um aparato composto por uma fonte de Luz presa ao solo da espaçonave, capaz de emitir pulsos luminosos de pequena duração. Esses pulsos luminosos viajam em linha reta e vertical atingindo um espelho fixado imediatamente acima da fonte luminosa, no teto da espaçonave, de modo que o pulso pode ser refletido de volta para sua fonte onde também existe um detector. Abaixo segue uma representação do que um observador no referencial da espaçonave observa para o caminho do pulso de luz, por simplificação, aqui representado por uma bolinha.

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Como já foi dito, para o observador localizado na Terra, a espaçonave tem o movimento que pode ser visualizado abaixo

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Contudo o que nos interessa saber é qual o caminho observado para o pulso de luz quando visto a partir do referencial em Terra.

Seguramente não deve ser o mesmo observado pelo astronauta, já que para o observador em Terra, existe o movimento da espaçonave e que deve ser levado em consideração.

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Vemos na legenda da animação, em inglês, a descrição para a trajetória vista pelo observador em Terra.

Enquanto o astronauta assiste o pulso caminhar em trajetória retilínea, o observador em Terra enxerga uma trajetória diagonal.

Acontece que enquanto a espaçonave passa pela Terra, o astronauta aciona seu aparato que emite um pulso de luz, e ambos veem o pulso luminoso, sua reflexão na superfície do espelho e o retorno do raio de Luz.

Os dois observadores concordarão quanto ao fenômeno ocorrido, a isso chamaremos de evento. É importante o fato de que os dois observadores enxergarão o mesmo fenômeno, lembre-se de que o 1º postulado da relatividade restrita estabelece que não existem referenciais privilegiados.

Onde estaria então a diferença na observação do fenômeno?

Para entendermos melhor o que está acontecendo, iremos começar a calculando o tempo devido ao movimento vertical do pulso de luz visto pelo astronauta, baseando-se na altura da espaçonave e na velocidade do feixe de Luz, que chamaremos de .

Chamando a altura da espaçonave de , temos

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Aqui introduziremos a notação ao invés de simplesmente , correspondente ao que chamamos de tempo próprio do observador. É o intervalo de tempo medido por quem encontra-se no referencial da espaçonave.

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos calcular o intervalo de tempo necessário para que a Luz percorra a trajetória como vista pelo observador em Terra.

Disponível na íntegra em:https://youtu.be/iIEeSiT3SI4

Utilizando a nomenclatura da animação, temos

Agora vamos explicitar essas medidas em função de outras grandezas, como a velocidade da espaçonave v e a velocidade da Luz c.

Com essas duas substituições podemos calcular o tempo medido pelo observador homem em repouso na Terra, no referencial que chamamos de S. Usando o teorema de Pitágoras, têm-se

Em seguida, isolamos o termo dependente do tempo

Com mais um pouco de álgebra

Obtemos a relação entre os dois intervalos de tempo

Nosso último resultado relaciona intervalos de tempo diferentes. O intervalo de tempo medido no referencial S', é diferente do intervalo de tempo medido no referencial S. Astronauta e observador em Terra não concordam quanto ao valor desses intervalos. A diferença é dada por um fator que relaciona os dois intervalos de tempo.

Denotaremos por , que também é chamado de fator de Lorentz. Ele mostra que o tempo medido por um observador dito em repouso em relação a outro que se move, é multiplicado por um número maior do que 1 toda vez que um observador se movimenta em relação a outro.

Isso acaba gerando uma consequência direta acerca das percepções de cada observador. Embora ambos possam reconhecer o mesmo fenômeno, que é a emissão do pulso luminoso, ambos discordam sobre quando tal evento ocorreu.

Em nosso cotidiano não percebemos esses efeitos em nossas experiências porque as velocidades com as quais nos movimentamos em relação a referenciais que estejam em repouso, digamos objetos parados em relação à superfície da Terra, são muito baixas. Observe que o fator de Lorentz relaciona a velocidade de movimento dos corpos com a velocidade de propagação da luz, que possui um valor gigantesco se comparado às nossas experiências diárias.

Efeitos relativísticos perceptíveis ocorrem quando as velocidades dos corpos são de aproximadamente , ou quando tem-se movimentos que que ocorrem por longos períodos de tempo provocando efeitos cumulativos.

Como sugestão, os vídeos abaixo fala de algumas aplicações sobre o fenômeno da Dilatação do Tempo.

Observe que quando nos referimos à dilatação temporal, não falamos de um tempo absoluto. A teoria da relatividade recebe esse nome justamente por conta dessa caracterização dada às grandezas espaço e tempo. Observamos que o intervalo de tempo é diferente quando comparado entre referenciais, sendo que esses se relacionam pelo fator de Lorentz.

Dizemos que o tempo passa à mesma razão para dois observadores se os dois experimentam a simultaneidade de eventos, e para que isso ocorra, os dois observadores devem estra em repouso com relação a eles mesmos.

A contribuição da teoria da relatividade para a compreensão do tempo, está intimamente ligada à ideia de simultaneidade. Observadores que movimentam-se relativamente entre si, não podem ter seus relógios sincronizados, haja vista que os intervalos de tempo por ele medidos não são os mesmos.

Contração do Espaço

Ainda segundo a teoria da relatividade restrita e como consequência direta do postulado de que a velocidade da luz é a mesma quando medida a partir de qualquer referencial, a medição de distâncias a partir de diferentes referenciais também é afetada.

Chamaremos assim como fizemos com o tempo, de comprimento próprio a distância entre dois pontos, quando medida a partir de um referencial em repouso. De outra forma, deve existir algum outro referencial inercial no qual se possa medir tal comprimento, que esteja em movimento em relação ao primeiro.

Pense na seguinte situação hipotética, você, habitante do planeta Terra, observa e mede a distância entre duas estrelas distantes localizadas em algum ponto do universo.

Da mesma forma que você, um astronauta embarcado em uma espaçonave que viaja com uma velocidade constante pelo espaço vai de uma estrela até a outra, e com isso é capaz de medir essa distância entre as duas estrelas.

Chamaremos

Para você que encontra-se na Terra, a distância medida entre as duas estrelas pode ser facilmente calculada como sendo

Utilizando a mesma relação, podemos calcular a distância medida pelo astronauta

Lembrando que as medidas correspondem ao intervalo de tempo que a luz leva para percorrer determinada distância.

O tempo em questão é aquele medido no referencial embarcado, ou seja é o tempo próprio do referencial que viaja com uma velocidade constante em relação ao observador da Terra. Assim como no exemplo da espaçonave, tempo próprio era aquele medido pelo astronauta.

Como a velocidade da luz é uma grandeza absoluta em qualquer um dos referenciais, podemos igualar as duas equações

E mais uma vez com um pouco de álgebra

Substituindo

Por fim chegamos no comprimento medido pelo astronauta

No problema-exemplo abaixo é possível entender de maneira mais clara com a ajuda dos números, o que acontece num caso como esse.

Abrir Problema-Exemplo

O que percebemos com esse resultado é que a distância medida por você que encontra-se em Terra é maior do que aquela medida pelo astronauta a bordo de sua espaçonave.

O astronauta experimentou a contração do espaço. Podemos pensar da seguinte forma, no referencial da espaçonave, a viagem desse astronauta levou menos tempo do que o tempo medido por quem estava em Terra, consequentemente para que isso faça sentido e seja coerente com a realidade então, a viagem feita pelo astronauta deve ter menor distância do que aquela medida por um observador aqui da Terra.

Na aplicação abaixo, você pode simular qual seria o aspecto de um objeto que se desloca a velocidades próximas à da luz. Perceba também seu caráter relativo, uma vez que a contração do espaço acomete tudo aquilo que está contido nele, sendo também relativo não existindo uma métrica absoluta para o espaço.

Na simulação você pode se divertir tentando esconder completamente um ônibus dentro de uma garagem.

Disponível em https://iwant2study.org/lookangejss/06QuantumPhysics/ejss_model_relativity_LengthLorentzTransformation/relativity_LengthLorentzTransformation_Simulation.xhtml

Clique aqui para seguir para a página Equações da Transformação de Lorentz.

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Dilatação do Tempo e a Contração do Espaço

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Como ficou postulado, a única grandeza absoluta em qualquer referencial é a velocidade da luz. Para começarmos a entender as consequências dos postulados imaginemos o seguinte experimento: Uma espaçonave move-se com velocidade constante e de intensidade , em relação a um observador em repouso localizado na superfície do planeta Terra.

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Transformações de Lorentz

Vimos que as transformações de Galileu não são adequadas para o eletromagetismo e isto levou a reformulação do princípio da relatividade newtoniana. Os postulados de Einstein são incompatíveis com estas transformações, sendo necessária a existência de uma transformação que se adequasse ao eletromagnetismo, à mecânica e, o mais importante, aos postulados.
Em 1904, H. A. Lorentz descobriu uma transformação curiosa e extraordinária que deixa inalterada a forma das equações de Maxwell, desde que se alterem as componentes dos campos. Lorentz não descobriu as conseqüências transcendentes da relatividade, pois ainda acreditava na existência do éter, tentando ajustar, arduamente, sua transformação. Esta transformação recebeu o nome de Transformação de Lorentz, em homenagem ao seu descobridor. As equações corretas para um referencial inercial linha que se desloca com módulo da velocidade v no eixo x em relação a um outro referencial inercial sem linhasão dadas por

g é o fator de Lorentz e b = v/c é o parâmetro de velocidade. As transformações nas direções y e z são as masmas, pois o movimento se dá apenas na direção x. A diferença desta transformação é de que além do fator de Lorentz, o tempo depende da posição e da velocidade, abandonando a idéia de magnitude absoluta. Se v << c, estas transformações recaem nas de Galileu, tornando a relatividade newtoniana como um caso particular da relatividade especial (restrita), para baixas velocidades. no qual
Suponha que uma lâmpada seja acesa na origem do referencial que adotamos no tópico Relatividade Newtoniana, S em t = 0. Como estamos supondo que as origens coincidem em t = t' = 0, a lâmpada também é acesa na origem de S' em t'= 0. A luz se expande a partir das duas origens na forma de uma onda esférica. Do ponto de vista de um observador em S , a equação da frente de onda é

x² + y² + z² = c²t²

enquanto do ponto de vista de um observador em S' é

x' ² + y' ² + z' ² = c²t' ²

Estas equações são compatíveis com os postulados uma vez que a velocidade da luz é a mesma nos dois referenciais e que a quantidade x² + y² + z² = c²t² é invariante frente às transformações de Lorentz, que obedece rigorosamente ao primeiro postulado.
As velocidades de um referencial em relação a outro também são obtidas através da transformação de Lorentz. Por exemplo, a velocidade em x de um referencial em relação a outro é dada por

.

No próximo tópico daremos continuidade aos conceitos que decorrem das Tranformações de Lorentz.

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Transformações de Lorentz Vimos que as transformações de Galileu não são adequadas para o eletromagetismo e isto levou a reformulação do princípio da relatividade newtoniana. Os postulados de Einstein são incompatíveis com estas transformações, sendo necessária a existência de uma transformação que se adequasse ao eletromagnetismo, à mecânica e, o mais importante, aos postulados.

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A Short Course in General Relativity, Third Edition-

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Testing General Relativity | Total Solar Eclipse 2017

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Total Solar Eclipse 2017 - On Monday, August 21, 2017, all of North America will be treated to an eclipse of the sun. Anyone within the path of totality can see one of nature’s most awe inspiring sights - a total solar eclipse. This path, where the moon will completely cover the sun and the sun’s tenuous atmosphere - the corona - can be seen, will stretch from Salem, Oregon to Charleston, South Carolina. Observers outside this path will still see a partial solar eclipse where the moon covers part of the sun’s disk. NASA created this website to provide a guide to this amazing event. Here you will find activities, events, broadcasts, and resources from NASA and our partners across the nation.

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Lecture I - Gravitational Wave Detectors: Past and Future - prof. R. Weiss