# data[].attributes.body
https://www.liveworksheets.com/jm1867789uh

# data[].attributes.attachment_link.description
Pitagorasz tétele online worksheet for 8.. You can do the exercises online or download the worksheet as pdf.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
A Pitagorasz tétel a geometria, sőt talán a matematika egyik legközismertebb tétele, amely a derékszögű háromszög oldalai közötti összefüggést mondja ki.

A mellékelt ábra jelölései szerint: a²+b²=c².

A tétel bizonyítása:

Készítsünk két darab (a+b) oldalú négyzetet az alábbi módokon, ahol " a" és " b" a derékszögű háromszög befogói! (Ez a "csel".) A két darab (b+a) oldalú négyzetek területe nyilvánvalóan egyenlő.

A tétel bizonyításában felhasználjuk azt az euklideszi axiómát, hogy "Ha egyenlőkből egyenlőket veszünk el, akkor a maradékok is egyenlők."

A fenti baloldali négyzetben kaptunk 4 darab, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszöget, és egy "a" illetve "b" oldalú négyzetet. Ezek területe a² és b² területegység.

A jobboldali négyzetben is megtalálható ez a 4 darab, az eredeti háromszöggel egybevágó derékszögű háromszög, amelynek átfogója " c". Így tehát a középső PQRS síkidom minden oldala "c". Be kell még látni, hogy csúcsainál derékszög van. Mivel azonban az eredeti háromszögben α+β=90°, ezért ennek a síkidomnak minden szögére 180°-(α+β )=90°. Tehát a PQRS síkidom négyzet, területe pedig c².

Ha mindkét négyzetből elvesszük a 4 darab derékszögű háromszöget, a maradékok területe is egyenlő, azaz a²+b²=c².

A tétel megfordítása:
Ha egy háromszög két oldalára emelt négyzetek területének összege egyenlő a harmadik oldalra emelt négyzet területével, akkor a háromszög derékszögű.
Bizonyítás:

Legyen adott egy ABC háromszög, amelynek oldalaira teljesül, hogy két oldalára emelt négyzetek területének összege egyenlő a harmadik oldalra emelt négyzet területével. A mellékelt ábra jelölései szerint: a²+b²=c². Be kell bizonyítani, hogy az ABC háromszög derékszögű.

Vegyünk most fel egy " a" és " b" befogójú derékszögű háromszöget. Ennek átfogóját jelöljük " c'"-vel. Erre a háromszögre teljesül a Pitagorasz-tétel, tehát a²+b²=c'2.
A két összefüggés csak akkor lehet egyszerre igaz, ha c²=c'2.
Ez viszont azt jelenti, hogy a két háromszög egybevágó, tehát az eredeti ABC háromszög is derékszögű.

Az összefüggés a befogó tétel, a szelő tétel vagy a koszinusz tétel segítségével is bizonyítható, de ezeken kívül is számos bizonyítása ismeretes még.

Tétel alkalmazása:

Ha adott egy derékszögű háromszög két oldala, a tétel segítségével kiszámítható a harmadik oldal hossza.

Ha adott egy derékszögű háromszög három oldala, akkor a tétel segítségével eldönthető, hogy a háromszög szögei szerint milyen: hegyesszögű, derékszögű vagy tompaszögű. Jelöljük „c"-vel a háromszög leghosszabb oldalát. Pontosabban: „c" jelölje azt oldalt, amelynél nincs nagyobb oldala a háromszögnek.

Ha egy ilyen háromszögben a²+b²>c², akkor a háromszög hegyesszögű.

Ha egy ilyen háromszögben a²+b²=c², akkor a háromszög derékszögű.

Ha egy ilyen háromszögben
a²+b2 <c², akkor a háromszög tompaszögű.

Már az ókorban is a ennek a tételnek a segítségével hoztak létre derékszöget anélkül, hogy a tételt általánosságban kimondták volna. Ez természetesen alapvető fontosságú volt például az építkezéseken, bútorok készítésében és még sok más esetben is. Az egyiptomiak csomókkal 3, 4 és 5 részre osztott kötelet használták a derékszög előállítására. Ehhez összesen 13 darab egyforma távolságban kötött csomóra volt szükségük. Így egy olyan derékszögű háromszög jött létre, amelynek oldalai megfelelnek a Pitagorasz tételnek, hiszen ​\( 3^{2}+4^{2}=5^{2} \)​. Ez a 3; 4; 5 számhármas egy un. Pitagoraszi számhármas.

A tételt már ismerték Pitagorasz előtt is. Például az egyiptomi Rhind-papiruszon szerepel egy 3; 4; 5 oldalú háromszög. A babilóniai agyagtábla pitagoraszi számhármasokat tartalmaz. Úgy tudjuk, a tételt Pitagorasz bizonyította elsőként.

Feladat:

Szerkesszünk egy egységnyi befogójú egyenlőszárú derékszögű háromszöget és számítsuk ki az átfogó hosszát!
Majd ennek a háromszög átfogójának egyik végpontjában emeljünk merőlegesen egy egységnyi hosszúságú szakaszt! Így kapott pontot összekötve átfogó másik végpontjával, kapunk egy újabb derékszögű háromszöget. Határozzuk meg ennek az átfogónak a hosszát!

Megoldás:

Az ABC egyenlőszárú derékszögű háromszög AB ( c₁) átfogóját a Pitagorasz tétel segítségével tudjuk kiszámítani: ​\( c_1^{2}=1^{2}+1^{2}=2 \)​. Így ​\( c_1=\sqrt{2}≈1.41 \)​.

A B pontban emelt egységnyi hosszúságú szakasz D végpontját összekötve az eredeti háromszög A pontjával, kapjuk az ABD derékszögű háromszöget, amelynek egyik befogója egységnyi, a másik befogója az eredeti háromszög AB átfogója amelynek hossza \( c_1=\sqrt{2}≈1.41 \)​. Ennek az ABD derékszögű háromszögnek az átfogóját szintén a Pitagorasz tétel segítségével kiszámolva: ​\( c_{2}^2=\sqrt{2}^{2}+1^{2}=3 \). Így ​\( c_{2}=\sqrt{3}≈1.73 \)​. Lásd a mellékelt ábrát!
Folytassuk ezt az eljárást! A kapott ADB derékszögű háromszögre emeljünk hasonló módon egy következő derékszögű háromszöget! És így tovább. Így az un. Theodorus spirálhoz jutunk. Itt az egyes háromszögek átfogóinak hossza az egyes - 1-nél nagyobb - pozitív egész számok négyzetgyökével egyenlők. Ebben az eljárásban az egész számok négyzetgyökei sorban, egymás után állíthatók elő.
Egy tetszőleges szám négyzetgyökének szerkesztése amagasság tétel segítségével történhet.

# data[].attributes.attachment_link.description
A Pitagorasz tétel a geometria, sőt talán a matematika egyik legközismertebb tétele, amely a derékszögű háromszög oldalai közötti összefüggést mondja ki. Pitagorasz tétele: A derékszögű háromszög befogóira emelt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra emelt négyzet területével. A mellékelt ábra jelölései szerint: a2+b2=c2.

# data[].attributes.body
megnyítás: video --> link: itt

# data[].attributes.body
https://www.calculat.org/hu/terulet-kerulet/pitagorasz-tetel.html

# data[].attributes.body
http://szamtan.eu/

# data[].attributes.body
egyben mo, menü nins kész

# data[].attributes.attachment_link.description
Ebben a tanegységben megismered a Pitagorasz-tétel két megfogalmazását, a tétel megfordítását. Bemutatunk a tétel alkalmazásával megoldható feladatokat, amelyek ismeretében meg tudsz majd oldani hasonlókat.

# data[].attributes.body
- folyamatosan bővítve -

a feladatoknél kész, nincs összemásolva!

# data[].attributes.body
nincs kész

# data[].attributes.body
alkalmazás sokszögekre
kihúzgálni a csúszkát és a képletet!

# data[].attributes.attachment_link.description
Trójkąt prostokątny i stosowanie twierdzenia Pitagorasa w innych figurach płaskich

# data[].attributes.body
a végén Enter-t kell ütni!
2 tizedes pontossággal. tizedesponttal!!

# data[].attributes.attachment_link.description
Aplicaciones del teorema de pitagoras ejemplos y ejercicios

# data[].attributes.body
Négyzetre emelés, gyökvonás
1. óra:  röpdolgozat + négyzet fogalma + feladatok:  bevezetés  + 1. feladat
+ gyökvonás fogalma + feladatok: bevezetés 1, 2 + 1. feladat
Hf: négyzetre emelés: 2. feladat + gyökvonás: 2. feladat
Pitagorasz tétele
2. óra:  pitagorasz tétele - elmélet + bizonyítás + alap feladatok: 1, 2, 3 + életéről videó     Hf: feladat: 4.
3. óra: alap feladatok: 5, 6, 7, 8     Hf: 9, 10
4. óra:  r + egyenlő szárú háromszög: 1 - 4     Hf: 5. feladat
5. óra:  rombusz: 1 - 4     Hf: 5. feladat
6. óra:  két pont távolsága: 1 - 4     Hf: 5. feladat

Részösszefoglalás
7. óra: 1. feladatsor: 1 - 6    Hf: 7 - 9. feladat
8. óra: 2. feladatsor: 1 - 6    Hf: 7 - 9. feladat     röpdolgozat jön!!!

tovább (Hasáb, gömb): link itt - számológép kell!!
vissza (2. tk):  link: itt