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Funzione continua, calcolo dei limiti e forme indeterminate

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Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Funzione continua, calcolo dei limiti e forme indeterminate. Scopri subito Funzione continua: definizione e tanto altro...

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Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Introduzione ai limiti. Scopri subito Risultati possibili nel calcolo di un limite e tanto altro...

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In analisi matematica lo studio dei limiti è legato alla continuità di una funzione. In alcuni casi, come quello delle forme indeterminate il calcolo dei limiti e quindi lo studio della continuità può risultare difficile. Come risolvere le forme indeterminate? Abbiamo già visto alcuni metodi algebrici, ma se questi non bastano, usa i limiti notevoli e il confronto fra infiniti e infinitesimi.

I limiti notevoli, come i prodotti notevoli, sono dei limiti particolari dei quali puoi imparare a memoria il risultato. Sono tutti dimostrati e spiegati con degli esercizi svolti.

Per quelle forme indeterminate che non riesci a superare nemmeno con i limiti notevoli puoi provare il confronto fra infiniti o infinitesimi.

Una funzione che tende a zero quando £$x$£ tende a £$x_0$£, è un infinitesimo, se invece tende a infinito è un infinito. Il confronto fra infiniti e infinitesimi è fondamentale nella soluzione di forme indeterminate come infinito su infinito e zero su zero.
Prima di usare i limiti per calcolare gli asintoti e i punti di discontinuità impara a calcolarli con i teoremi e gli esercizi svolti.

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Teoremi sui limiti, limiti notevoli, infiniti e infinitesimi

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In analisi matematica lo studio dei limiti è legato alla continuità di una funzione. In alcuni casi, come quello delle forme indeterminate il calcolo dei limiti e quindi lo studio della continuità può risultare difficile. Come risolvere le forme indeterminate?

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I punti di discontinuità di una funzione sono i punti in cui una funzione non è continua. Vi sono essenzialmente tre tipi di punti di discontinuità che vengono classificati con la nomenclatura di prima specie, di seconda specie e di terza specie (o eliminabili).

Dopo aver introdotto la nozione di funzione continua in un punto e su un intervallo dobbiamo analizzare i modi in cui una funzione può non soddisfare la definizione di continuità in un punto. A questo proposito si parla di punti di discontinuità e si fornisce una classificazione che conta tre tipologie di punti: discontinuità di prima specie, discontinuità di seconda specie e discontinuità di terza specie.

Leggete con molta attenzione la spiegazione che segue e in particolare non fatevi cogliere dalla tentazione di saltare subito alle definizioni. Sappiate inoltre che qui adotteremo un'impostazione prettamente teorica perché nella pratica lo studio delle discontinuità richiede di saper calcolare i limiti, dunque torneremo sull'argomento in un'apposita guida per la risoluzione degli esercizi nella lezione come studiare la continuità in un punto.

Perché studiare i punti di discontinuità

Partiamo dalla definizione di funzione discontinua in un punto: diciamo che una funzione è discontinua in un punto , o che presenta un punto di discontinuità in , se non è continua nel punto .

La nozione di discontinuità di una funzione è un concetto esclusivamente puntuale che gioca un ruolo fondamentale nell'analisi delle funzioni. Usando opportunamente i teoremi sulle funzioni continue, e imparando a stabilire se una funzione è discontinua in uno o più punti, saremo in grado di capire se la funzione è continua globalmente (nel caso in cui non vi sia alcuna discontinuità) oppure no. Questo perché, da che mondo è mondo, è più facile effettuare un controllo su un numero finito di punti (vale a dire le possibili discontinuità di una funzione) piuttosto che controllare ad uno ad uno i punti in cui una funzione e continua.

La guerra delle definizioni nella classificazione dei punti di discontinuità

I punti di discontinuità presentano un grosso problema: le definizioni non sono uniche. Purtroppo a volte in Matematica capita che non ci sia un'uniformità assoluta nelle definizioni che vengono fornite. Capita poche volte, però capita, e il concetto di discontinuità di una funzione è una di quelle volte. Niente di insormontabile, ma dato che il nostro orticello non è piccolissimo è nostro preciso dovere e compito avvertirvi. ;)

In letteratura matematica, nei vari libri di testo e addirittura da professore a professore l'approccio sui punti di discontinuità può cambiare radicalmente. Attenzione: non ci stiamo riferendo al modo con cui vengono spiegati; sono proprio le definizioni a cambiare.

Possiamo riassumere quella che chiameremo guerra delle discontinuità dicendo che i docenti si dividono in due eserciti, che chiameremo A e B. I due eserciti si appellano a due gruppi di definizioni che sono simili tra loro, ma concettualmente diverse. Le discrepanze gravitano intorno alla seguente domanda:
un punto di discontinuità può non appartenere al dominio della funzione?
Gli esponenti dell'esercito A sostengono di sì: ha senso. Un punto di discontinuità può appartenere o non appartenere al dominio di una funzione. L'unica cosa che conta è che sia un punto di accumulazione per il dominio.

I rappresentanti dell'esercito B sostengono di no: non ha alcun senso. Un punto di discontinuità deve appartenere al dominio della funzione, e naturalmente deve essere un punto di accumulazione per il dominio.

Notate che non è possibile stabilire chi abbia ragione e chi torto, proprio perché stiamo parlando di definizioni. Ora, ci piacerebbe molto potervi dire che alle scuole superiori si opta per una scelta e all'università per un'altra, ma le cose non sono così semplici. Possiamo dire che tendenzialmente la visione A compete le scuole superiori e che la visione B riguarda l'università, ma sfortunatamente non esiste una distinzione così categorica. Ogni docente ed ogni libro può adottare le definizioni secondo A o secondo B a propria insindacabile decisione.

Noi per completezza forniremo entrambe le definizioni secondo A e secondo B per ogni tipo di punto di discontinuità, forniremo esempi per entrambe le definizioni e metteremo bene in luce le differenze sostanziali tra le due classi di definizioni.

Le conseguenze di una scelta o dell'altra sul prosieguo degli studi non hanno una rilevanza così spaventosa, dunque non preoccupatevi. Qui su YM non avrete modo di percepire tali conseguenze negli sviluppi successivi della teoria; le uniche conseguenze riguarderanno gli esercizi svolti sui punti di discontinuità.

Noi non possiamo fare altro che mettervi al corrente della situazione e informarvi del fatto che il mondo è un posto più grande rispetto a quello che gli esponenti della fazione A e della fazione B vogliano farvi credere. ;) Ciò premesso:

- nella risoluzione degli esercizi faremo riferimento alle definizioni della fazione A, sia per ragioni didatticamente storiche, sia perché sono definizioni più generali;

- ognuno di voi, per quel che concerne i punti di discontinuità, dovrà fare riferimento alla scelta del proprio libro di testo e ancor prima del proprio docente. Signore e signori, purtroppo per quel che riguarda le discontinuità di una funzione YouMath non può darvi una risposta che possa essere considerata assoluta e definitiva in qualsiasi contesto. Ambasciator non porta pena. :(

Punti di discontinuità di prima, seconda e terza specie

Siamo finalmente pronti per passare in rassegna i tre tipi di discontinuità: lasciamo al seguito le definizioni, i commenti e gli esempi. Come al solito ragioneremo nel caso di una funzione reale di variabile reale .

Premettiamo che nelle definizioni di tipo A la richiesta sul punto è che sia un punto di accumulazione che può non appartenere al dominio della funzione, ma tale che la funzione sia definita a sinistra e a destra di .

Per le definizioni di tipo B deve essere un punto di accumulazione appartenente al dominio della funzione e tale che la funzione sia definita a sinistra e a destra di .

Punti di discontinuità di prima specie

A) Sia un punto di accumulazione per e supponiamo che sia definita in un intorno circolare, eventualmente bucato, di . Diciamo che la funzione ha in una discontinuità di prima specie se esistono finiti i due limiti sinistro e destro, ma non sono uguali:

In entrambi i casi le discontinuità di prima specie vengono anche dette discontinuità a salto .
Esempio di discontinuità di prima specie
A) Consideriamo la funzione

essa ha dominio e, in accordo con la definizione di valore assoluto, ammette come limiti sinistro e destro

La funzione presenta quindi in un punto di discontinuità di prima specie. Guardando il grafico della funzione segno capiremo subito il significato del nome discontinuità a salto: il salto si genera nel punto perchè a sinistra la funzione si avvicina a assumendo un valore diverso da quello che assume avvicinandosi da destra.

Tale funzione è definita su tutto e presenta in un punto di discontinuità di prima specie, poiché

Differenze tra A e B: secondo la definizione A entrambe le funzioni presentano in un punto di discontinuità di prima specie; secondo B la funzione non presenta in alcun punto di discontinuità, perché . In tale circostanza B si riferirà a chiamandolo punto singolare.

Punti di discontinuità di seconda specie

Nota bene: in entrambi i casi la condizione di non esistenza del limite si traduce nel fatto che non sia soddisfatta né la definizione di limite finito per x tendente a un valore finito, né la definizione di limite infinito per x tendente a un valore finito.
Esempio di discontinuità di seconda specie
A) Consideriamo la funzione

Questa funzione ha dominio

ed i punti da escludere si individuano ponendo il denominatore diverso da zero (come spiegato nella lezione sul dominio di una funzione). La funzione considerata presenta nei punti due punti di discontinuità di seconda specie, infatti:

In modo del tutto analogo

Notate che per entrambi i punti è soddisfatta la condizione: "almeno uno dei due limiti sinistro o destro è infinito". Se guardiamo il grafico della funzione, possiamo farci un'idea di quel che succede in corrispondenza di un punto di discontinuità di seconda specie.

B) Consideriamo la funzione

il cui grafico coincide con quello della funzione dell'esempio precedente per , mentre è dato dalla retta orizzontale per . Tale funzione presenta in un punto di discontinuità di seconda specie in , infatti

Differenze tra A e B: la funzione presenta in una discontinuità di seconda specie sia secondo A che secondo B, mentre presenta una discontinuità di seconda specie in solo secondo A; per B infatti tale punto non appartiene al dominio della funzione e verrà semplicemente chiamato punto singolare.

Punti di discontinuità di terza specie

A) Sia un punto di accumulazione per e supponiamo che sia definita in un intorno circolare, eventualmente bucato, di . Diciamo che la funzione ha in un punto di discontinuità di terza specie se i due limiti sinistro e destro esistono finiti e sono uguali tra loro, ma non coincidono con la valutazione della funzione nel punto (a patto che ).

oppure

In entrambi i casi una discontinuità di terza specie viene anche dette discontinuità eliminabile, perché partendo da è possibile definire una nuova funzione in modo da eliminare la discontinuità. Detto il comune valore dei due limiti sinistro e destro:

In questo modo la funzione risulta comunque definita nel punto ed è pure ivi continua, in accordo con la definizione di funzione continua in un punto. Quando si elimina una discontinuità di terza specie si dice, in termini rigorosi, che si effettua un prolungamento per continuità nel punto.

Esempio di discontinuità di terza specie

Delle tre discontinuità appena introdotte quest'ultima è la più tecnica e certamente la più artificiosa. Essa si manifesta tipicamente nel caso delle funzioni definite a tratti (dette anche funzioni definite per rami), come ad esempio

avente grafico:

Essa ha entrambi i limiti sinistro e destro finiti e uguali

ma il loro comune valore non coincide con la valutazione della funzione nel punto: vale infatti per come è definita .

Se volessimo eliminare il punto di discontinuità di terza specie basterebbe definire una nuova funzione ottenuta prolungando per continuità in

ossia . Ora i limiti sinistro e destro coincidono con la valutazione della funzione nel punto quindi abbiamo continuità in tale punto.

Differenze tra A e B: l'esempio proposto individua un punto di discontinuità eliminabile sia secondo A, sia secondo B. Per A continuerebbe ad esserlo anche se la funzione non fosse definita in , ma in tal caso non lo sarebbe per B che lo classificherebbe come punto singolare.

Altri tipi di punti di discontinuità?

Indipendentemente dall'approccio A o B le precedenti definizioni classificano una buona parte di punti di discontinuità, ma non li esauriscono tutti.

Ad esempio potremmo considerare una funzione con dominio e tale che

Un punto del genere non si classifica né in prima specie, né in seconda, né in terza perché la funzione non è definita in un intorno circolare di , ma solo in un intorno destro. Rifacendoci alla definizione di funzione continua da destra possiamo dire che essa presenta un punto di discontinuità da destra in e che è ivi discontinua da destra.

In modo analogo potremmo considerare una funzione con dominio e tale che

e, in riferimento alla definizione di funzione continua da sinistra, potremmo affermare che essa presenta un punto di discontinuità da sinistra in e che essa è ivi discontinua da sinistra.

Le discontinuità solo da sinistra o solo da destra possono manifestarsi esclusivamente nei punti di frontiera del dominio che appartengono al dominio ed in cui la funzione è definita solamente a destra o a sinistra, come ad esempio in

La differente interpretazione dei punti di discontinuità secondo A e B

Secondo la visione A il concetto di discontinuità di una funzione trascende il suo insieme di definizione e ha lo scopo di fornire un punto di vista più ampio sul comportamento della funzione.

Esempio: consideriamo la funzione , che ha come dominio e presenta come grafico un' iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.

Per entrambi i gruppi di definizioni, A e B, la funzione è continua sul proprio dominio perché è continua per ogni .

Domanda: è continua su , o sull'intervallo

Secondo B la domanda non ha senso, perché entrambi gli insiemi contengono un punto che non appartiene al dominio della funzione. La funzione diverge a per e diverge a per . Essa non è definita in e presenta in un punto singolare.

Secondo A la domanda ha senso: la funzione è continua sul proprio dominio ma non è continua né su né su , perché presenta in un punto di discontinuità di seconda specie.

Come potete notare l'analisi è la stessa, l'unica cosa che cambia è la nomenclatura. ;)

Questa lunga lezione è giunta al termine. Per studiare i punti di discontinuità di una funzione in un punto nella pratica è necessario saper calcolare i limiti, per cui tratteremo il metodo di risoluzione degli esercizi più avanti, nella lezione come studiare la continuità in un punto.

Consigliamo di affrontare la scheda correlata di esercizi svolti solamente a chi è qui per ripassare, o comunque a chi ha già sufficiente dimestichezza con i limiti; tutti gli altri possono proseguire con la lettura delle lezioni ed eventualmente giochicchiare con il tool per studiare le discontinuità di una funzione online. ;)

Hüvasti, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

ESERCIZI CORRELATI:

Tags: i tre tipi di discontinuità e punti di discontinuità: di prima specie, di seconda specie e di terza specie (eliminabile) - funzione discontinua in un punto.

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I punti di discontinuità di una funzione sono i punti in cui una funzione non è continua. Vi sono essenzialmente tre tipi di punti di discontinuità che vengono classificati con la nomenclatura di prima specie, di seconda specie e di terza specie (o eliminabili).

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Formulario di trigonometria

Disegniamo una circonferenza con centro O nell'origine di due assi cartesiani ortogonali orientati x ed y.
Sulla circonferenza consideriamo il punto A, intersezione col semiasse x positivo; assumiamo il punto A come origine degli archi.
Consideriamo poi un angolo qualsiasi θ che abbia il suo vertice coincidente con l'origine O degli assi e il suo primo lato sul'asse delle ascisse, che viene detto origine degli angoli.
E' convenzione considerare gli angoli sempre secondo questa disposizione, fissando come positivo, il verso di rotazione antiorario (inverso al movimento delle lancette dell'orologio) come positivo.

La convenzione, vuole che la circonferenza con centro nell'origine della coppia di assi cartesiani venga suddivisa in 4 zone chiamate quadranti, anche l'ordine di dispozizione dei quadranti segue la regola del senso antiorario come si vede nel disegno.

Noi, usiamo frequentemente misurare l'ampiezza degli angoli secondo il sistema sessaggesimale da 0° a 360°

questa definizione, nel caso della circonferenza trigonometrica con R=1, comporta che il valore dell'angolo in radianti coincida con il valore della lunghezza dell'arco sotteso dall'angolo stesso. Sappiamo che la lunghezza di una circonferenza è C=2πR. Quindi nella circonferenza trigonometrica (R=1):

Questo quadro di cose non cambia anche se il cerchio non fosse a raggio unitario, perchè il rapporto &grave;L/R&grave; non varia al variare della circonferenza ma dipende solo dall'angolo θ. E' dunque facile costruire la proporzione che lega tra loro gradi e radianti:

se conosciamo θ° troviamo

se conosciamo θ rad troviamo

Gli angoli notevoli in gradi e radianti sono qui sotto rappresentati. E' anche disponibile un riassunto sul cerchio trigonometrico.

Su un piano cartesiano, costituito da due assi ortogonali, tracciamo una circonferenza di raggio R con centro nell'origine O della coppia di assi. Scegliamo arbitrariamente un punto P sul I° quadrante della circonferenza il raggio

Il raggio R = OP determina un angolo θ con l'asse x delle ascisse.
Definiamo il punto H come la proiezione ortogonale di P sull'asse y delle ordinate.
Definiamo il punto T come la proiezione ortogonale di P sull'asse x delle ascisse.
Potranno essere individuati i due segmenti:
a=OT=PH e b=OH=PT , definiamo:

nel caso sia il raggio R=1 si riconosce che:

una circonferenza di raggio unitario (R=1) viene chiamata circonferenza trigonometrica o circonferenza goniometrica.

Nel cerchio trigonometrico di raggio 1:

Se θ=0 si ha b=sinθ=0

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in sento antiorario (convenzionalmente positivo)

● Se 0°<θ<90° sinθ varia da 0 a 1, il raggio del cerchio si trova nel I° quadrante con funzione sinθ CRESCENTE.
● Se 90°<θ<180° sinθ varia da 1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel II° quadrante con funzione sinθ DECRESCENTE.
● Se 180°<θ<270° sinθ varia da 0 a -1, il raggio del cerchio si trova nel III° quadrante con funzione sinθ DECRESCENTE.
● Se 270°<θ<360° sinθ varia da -1 a 0, il raggio del cerchio si trova nel IV° quadrante con funzione sinθ CRESCENTE.

Sul cerchio trigonometrico di raggio 1 conduciamo ad esso la tangente nel punto A; chiamiamo B l'intersezione fra la retta tangente h e il prolungamento del raggio R passante per P. Per la similitudine dei triangoli:

essendo R=1 si ha AB=tgθ

Se immaginiamo che il punto P si muova lungo la circonferenza in senso antiorario (convenzionalmente positivo) si potrà ottenere il seguente grafico

● Per 0°<θ<90° il punto P ed il raggio R si trovano nel I° quadrante; il punto B descrive la parte positiva della retta h andando da AB=0 per θ=0 ad AB=+∞ per θ=&grave;pi/2&grave;=90° la funzione tgθ è CRESCENTE.

● Per 90°<θ<180° il punto P ed il raggio R si trovano nel II° quadrante; il punto B descrive la parte negativa della retta h andando da AB=-∞ per θ=90°=&grave;pi/2&grave; ad AB=0 per θ=π=180° la funzione è tgθ CRESCENTE.

● Per 180°<θ<270° il punto P ed il raggio R si trovano nel III° quadrante; B si comporta come nel I° quadrante (descrive la parte positiva della retta h) andando da AB=0 per θ=π=180° ad AB=+∞ per θ=&grave;3/2pi&grave;=270° la funzione tgθ è CRESCENTE.

● Per 270°<θ<360° il punto P ed il raggio R si trovano nel IV° quadrante; B si comporta come nel II° quadrante (descrive la parte negativa della retta h) andando da AB=-∞ per θ=&grave;3/2pi&grave;=270° ad AB=0 per θ=2π=360° la funzione tgθ è CRESCENTE.

con dominio D=[-1; 1] e codominio C=[-π/2; +π/2]

se appunto

con dominio D=[-1; 1] e codominio C=[0; π]

se appunto

Dati i numeri reali x ed y con x ∈ R ed &grave;-pi/2&grave; ≤ y ≤ &grave;pi/2&grave; si ha la funzione inversa

con dominio D ≡ R e codominio

se appunto

con limitazioni -1 ≤ sinα ≤ 1 e -1 ≤ cosα ≤ 1

La relazione fondamentale della trigonometria può essere facilmente dedotta applicando il teorema di Pitagora al cerchio goniometrico.

Archi associati

con

Il teorema dei seni afferma che in un triangolo qualsiasi le misure di due lati stanno tra loro come i seni degli angoli opposti.

con p=semiperimetro del triangolo

0°

0

0

1

0

non esiste

30°

45°

1

1

60°

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Definizione di seno, coseno, tangente, funzioni trigonometriche inverse, archi associati, angoli complementari, angoli esplementari,angoli opposti, formule di addizione e sottrazione, formule di duplicazione, formule di bisezione, formule di Werner, formule di prostaferesi, teorema dei seni, teorema delle proiezioni, teorema di Carnot, formule di Briggs, angoli particolari,

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Derivate findamentali e regole di derivazione

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Derivate findamentali e regole di derivazione