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Notación Algebraica

Los símbolos usados en ÁLGEBRA para representar las cantidades son los números y las letras.

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas.

Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas.

Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, ...

Las cantidades desconocidas se representan por las ultimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciandolos por medio de comillas; por ejemplo: a', a'', a''', que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subindices; por ejemplo: a 1, a 2, a ₃, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

Ejemplos
a             puede tomar cualquier valor numérico.

3a           es el triple de la cantidad a o a multiplicado por 3 como quiera verse.

7b^{2}   representa a 7 veces la cantidad b elevada al cuadrado.

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Representación Algebraica

El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

Términos para identificar las operaciones
Suma o adición
Resta o diferencia
Multiplicación o producto
División o Cociente, entre, dividido por, razón de, fracción, porción, parte, reparto, mitad, tercio, cuarto.

EJEMPLOS
a |  Un número cualquiera
b |  Un número cualquiera
a+b |  La suma de dos números o la adición de dos números
a-b+c |  La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera
a-b |  La resta de dos números o la diferencia de dos números
a.b |  El producto de dos números
ab |  El producto de dos números
a/b |  El cociente de dos números
2a |  El doble de un número
3(a+b) |  El triple de la adición de dos números
|  La mitad de un número
|  La tercera parte de la diferencia de dos números
|  La tercera parte de la suma de dos números
a² |  El cuadrado de un número
a³ |  El cubo de un número
|  Raíz cuadrada de un número
2b+5d |  El duplo de b mas el quintuplo de d.
|  El triple de m menos la tercera parte de m.
20+2a |  20 aumentado en el doble de a.
|  El quintuplo de la suma de e más f dividido entre 10.
|  El reciproco de un número.
|  El reciproco de la suma de dos números.

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Una expresión algebraica contiene letras, números y signos los números se les denomina coeficiente y a las letras literales.

Expresiones

Monomios: cuando la expresión tiene un solo termino

Suma y resta de monomios; si sin monomios semejantes se recorre la literal y se suman los coeficientes.

Multiplicación y división de monomio por un número:se multiplica o divide o el coeficiente por el número y se mantiene la parte literal

EJEMPLOS
MONOMIOS: En el jardín hay dos piedras, la primera pesa el doble que un ladrillo, y la segunda el triple.

Peso de la primera piedra: 2a
Peso de la segunda piedra: 3a

Ambos monomios, 2a y 3a, tiene la misma parte literal, la letra “a” (que representa el peso del ladrillo), luego ambos monomios son semejantes.

SUMA Y RESTA DE MONOMIOS:
3a + 4a = 7a
8a - 5a = 3a

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MONOMIOS:
4a x 2 = 8a
6a : 3 = 2a

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es un método a través del cual un polinomio se expresa en forma de multiplicación de factores, que pueden ser números, letras o ambos. Para factorizar se agrupan los factores que son comunes a los términos, y de esa forma se va descomponiendo el polinomio en varios polinomios.

Tipos de factorización

Factorización por factor común

En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.

En otras palabras, se identifica el factor común de la expresión y se divide cada término entre este; los términos resultantes serán multiplicados por el máximo común divisor para expresar la factorización.

Ejemplo: (b²x) + (b²y)

Solución

Primero se encuentra el factor común de cada término, que en este caso es b², y luego se dividen los términos entre el factor común de la siguiente manera:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Se expresa la factorización, multiplicando el factor común por los términos resultantes:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

Factorización por agrupamiento

Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.

Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos, para luego usar el método del factor común.

Ejemplo

Factorizar ac + bc + ad + bd.

Solución

Se tienen 4 factores donde dos son comunes: en el primer término es “c” y en el segundo es “d”. De esa manera se agrupan y separan los dos términos:

(ac + bc) + (ad + bd).

Ahora es posible aplicar el método del factor común, dividiendo cada término por su factor común y luego multiplicando ese factor común por los términos resultantes, así:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c(a + b) + d(a + b).

Ahora se obtiene un binomio que es común para ambos términos. Para factorizarlo se multiplica por los factores restantes; de esa manera se tiene que:
ac + bc + ad + bd =  (c + d) * (a + b).

Factorización con productos notables

Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.

– Diferencia de dos cuadrados: (a² – b²) = (a – b) * (a + b)

– Cuadrado perfecto de una suma: a² + 2ab +b² = (a + b)2

– Cuadrado perfecto de una diferencia: a² – 2ab + b² = (a – b)2

– Diferencia de dos cubos: a3 – b³ = (a-b)*(a² + ab + b²)

– Suma de dos cubos: a3 – b³ = (a + b) * (a² – ab + b²)

EJEMPLO
(5² – x²)

Solución

En este caso se tiene una diferencia de dos cuadrados; por lo tanto, se aplica la fórmula del producto notable:

(a² – b²) = (a – b) * (a + b)

(5² – x²) = (5 – x) * (5 + x)

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4._evaluacion numerica de exponentes algebraicos.. 

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4._evaluacion numerica de exponentes algebraicos.. 

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EVALUACION NUMERICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICASE....evaluar una expresión algebraica significa agregarte valores, números a las liberarles y después efectuar las operaciones indicadas.Por ejemplo.Evaluar la expresión 6mn si m=8 y n=26mn                      6 (8) (2)= 96 OPERACIONES BASICAS DE POLINOMIOSLa suma algebraica consiste en reunir dos o más  expresiones algebraicas en una sola. Pero sumar dos o más polinomios se colocan ordenadamente en forma descendente  y se coloca un polinomio debajo del otro dejando los espacios en caso que no haya termino semejantes.Sumar:8b-4c+2        -3a+4b-c+1       -3a+12b-5b+3 RESTA DE POLINOMIOSPara restar dos polinomios se escriben el minuendo y después el sustraendo cambiándole los signos a cada uno de sus términos.Ejemplo:De 5x³-2x²+4  restar  -8x³+4x-25x³-2x²    +48x³      -4x  +213x³-2x²-4x +6
MULTIPLICACIONDE BINOMIOS

La multiplicación es la operación que consiste en sumar una cantidad tantas veces como lo indica la segunda cantidad. Para realizar la multiplicación de polinomios es necesario conocer sus propiedades.
Ley de signosa)      Signos iguales dan positivo

(+)(+)= +

(-)(-)= +

b)      Signos diferentes dan negativo.

(+)(-)= -

(-)(+)= +

LEY DE LOS EXPONENTES

Los exponentes con las mismas literales se suman. Enla multiplicación de expresiones algebraicas se destacan tres casos deferentes  de multiplicación de polinomios

§  1er caso: Monomios por Monomios.

§  2do caso: Monomio por polinomio.

§  3er caso: Polinomio por polinomio.

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Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.

(a + b)² = a ² + 2 · a · b + b 2

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.

(a − b)² = a ² − 2 · a · b + b 2

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a ² + b ² + c 2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x ² + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x² + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x² + 5x + 6

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Operaciones fundamentales (Suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíz cuadrada)

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Operaciones fundamentales (Suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíz cuadrada)

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Existen 6 operaciones fundamentales en el álgebra, ellas son: la suma, la resta, la multiplicación, la división, las potencias y la raíz cuadrada y consisten en:

La suma o adición
Es una operación básica por su naturalidad, que se representa con el signo (+), el cual se combina con facilidad matemática de composición en la que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final.

La resta
consiste en quitar una cantidad (el sustraendo) de otra (el minuendo) para averiguar la diferencia entre las dos; se representa con el signo -.

Multiplicación
consiste en calcular el resultado (producto) de sumar un mismo número (multiplicando) tantas veces como indica otro número (multiplicador); se representa con los signos · o ×.

División
consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). El símbolo usado para la división es el /. El resultado de una división recibe el nombre de cociente.

Potencias
es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o también «a elevado a la n». Hay algunos números exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.

Raíz cuadrada
Cantidad que tomada como factor cierto número de veces da como producto una cantidad determinada.

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Ley de los exponentes

cuando tenemos dos términos con la misma base los exponentes se suman

xª * xⁿ = xª⁺ⁿ

cuando tenemos un cociente con términos de la misma base de los exponentes se resta

xª
--- = xª ⁻ⁿ
xⁿ

cuando tenemos un termino elevado a mas de una potencia, las potencias se multiplican

(xª)ⁿ = xª*ⁿ

todo numero elevado a la potencia "cero" es 1

x⁰ = 1

todo numero elevado a potencia negativa se puede representar como su inverso para cambiarla a positiva

………1
x⁻ⁿ = -----
………xⁿ

toda expresión radical, se puede expresar como un exponente fraccionario

ⁿ√(xª) = xª/ⁿ

Leyes de los radicales

potencia de una raíz

producto de raíces de igual índice

ⁿ√ab = ⁿ√a ⁿ√b

el cociente de dos raíces

…………ⁿ√a
ⁿ√a/b = -------
…………ⁿ√b

la raíz de una potencia

n√an=a

la raíz de una radical

ª√ⁿ√b = ªⁿ√b

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Interpretación de expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas sirven para indicar pasos a seguir, te dicen que hacer (multiplicar, sumar, restar, dividir, etc.) Como debes de interpretarlas es utilizando variables como pueden ser literales (X, Y, Z, etc.)
Ejemplo:

Repartir $300 entre alma, patricia, y Yadira de modo que la parte de patricia sea el doble que la de alma y la de Yadira sea el triple de la de Ana.

Aquí a partir de ese problema lo interpretamos de la siguiente manera:

Tenemos $300 los cuales deben ser repartidos entre 3 personas en cantidades diferentes, pero la suma de estas nos darán los $300 pesos entonces se puede decir que Alma tiene una cantidad X de dinero, patricia tiene el doble de alma 2(X) y  Yadira el triple 3(X)

Entonces:

X+2X+3X=300
6X=300
X=50

Alma= $50
Patricia = $100
Yadira = $150

La suma de estos nos dan los $300 entonces quiere decir que la ecuación y expresiones están bien interpretadas.

Ejemplos de lenguaje común a lenguaje algebraico

a+b: la suma de dos números o la adición de dos números
a-b: la resta de dos números o la diferencia de dos números
a*b: el producto de dos números
a/b: el cociente de dos números
2a: el doble de un numero
3(a+b): el triple de la adición de dos números
x/2: la mitad de un numero
(a-b) / 3: la tercera parte de la diferencia de dos números
a^2: el cuadrado de un numero
b^3: el cubo de un numero

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2 PARCIAL.❤

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Función lineal.

En geometria analitica y álgebra elemental,  una función lineal es una funcióm polinomica de primer grado, es decir, una función cuya representación en el plano cartesismo es una línea recta . Esta función se puede escribir como:

son constante

es una variable real. La constante

determina la

Pendiente oinclinación de la recta, y la constante

determina el punto de corte de la recta con el eje vertical

.

En el contexto del análisis matemático, las funciones lineales son aquellas que pasan por el origen de coordenadas, donde {\displaystyle b=0}, de la forma:

{\displaystyle f(x)=mx}

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

{\displaystyle f(x)=mx+b}

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Una ecuación puede compararse con una balanza de platillos. Para mantener el perfecto equilibrio es necesario tener la misma masa en ambos lados. Si se aumenta la masa en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.

Si, por el contrario, la masa disminuye, también habrá que disminuir la misma cantidad de masa en el otro platillo de la balanza.

Este ejemplo aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados.  Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir (Ver: propiedades).

Debemos saber que existen ecuaciones de dos tipos: ecuaciones aditivas y ecuaciones multiplicativas.

· Las  ecuaciones aditivas  tienen la forma   a + x = b

· Las  ecuaciones multiplicativas  tienen la forma   a · x = b

1)     Ecuaciones aditivas: a + x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a + x = b se utiliza la Propiedad 1 antes mencionada; es decir, se usa la propiedad de las igualdades, que textualmente dice:

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En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos menores a la constante (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subínimos.

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3 parcial.💚🤗

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Además de las funciones lineales, uno de los tipos más comunes de funciones polinomiableacon las que trabajamos en el álgebra es la función  cuadratetica, Una función cuadrática es una función que puede ser descrita por una ecuación de la forma y = ax ² + bx + c. Ningún término en la función polinomial tiene un grado mayor que 2. Las funciones cuadráticas son útiles cuando trabajamos con áreas, y frecuentemente aparecen en problemas de movimiento que implican gravedad o aceleración.

Las gráficas de las funciones cuadráticas tienen características que están estrechamente relacionadas con su forma simbólica. A medida que exploremos estas gráficas, aprenderemos a identificar estas características, y veremos algunas de las maneras de estructurar las ecuaciones cuadráticas.

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Estas ecuaciones se clasifican de dos formas, en completas e incompletas. Una ecuación está completa cuando tiene el término de segundo grado, el término lineal y el térrmino independiente, es decir, presenta todos los términos:
ax² + bx + c = 0. La ecuación es incompleta cuando carece del término lineal: ax² + c = 0; o del término independiente: ax² + bx = 0.Sin embargo debemos recordar que el término cuadrático ax², siempre debe estar presente.

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Los métodos de igualacíon , sustitución y reduccíon  consisten en encontrar y resolver, para cada una de las incognitas, una ecuación con esa incognita y con ninguna otra ( convirtiendo así un problema dificil en uno mas facil, ¿no?).

A estas ecuaciones, con solo una incognita, se llega a traves de una serie de pasos en los que las ecuaciones intermedias que se van obteniendo tienen menos incognitas que las ecuaciones previas.

Así, es posible que en uno de estos pasos de eliminación de incognitas se utilize un método ( el de reducción, por ejemplo ) y que, en el siguiente paso, se utilize otro método ( el de igualación, por ejemplo ).

Cada vez que se encuentra la solución para una incognita, se sustituye esta incognita por su solución para obtener asi ecuaciones con menos incognitas.