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García Zamorano David Emiliano
González Cruz Alan Osiris
González Cruz Fernando Daniel
Ramírez Acosta Carmen Carolina
Vázquez Hernández Ketzalzin

Grupo: 601

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1. Dominio de la función
2. Primera derivada
3. Segunda derivada
4. Puntos críticos
5. Función creciente y decreciente
6. Puntos de inflexión
7. Concavidad
8. Puntos principales en (X,Y)
9. Intersección X Y
10. Gráfica de la función

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                             Función propuesta

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                             Función propuesta

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El dominio de una función son todos los valores que "x" puede tomar, por lo tanto, la función está definida para esos valores, se denota como:

Df: Dominio de función

En el caso de nuestra función, "x" puede tomar cualquier valor, ya sea entero, decimal, fracción e incluso el cero, es decir, cualquier valor perteneciente a los números reales.

Df:  x € R

Para calcularlo, podemos seguir el sencillo procedimiento que se ilustra en el siguiente video.

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¿Qué es una derivada?

Una derivada es el límite de la razón del incremento de la variable depentiente con respecto al incremento de la variable independiente cuando esta tiende a cero.

¿Cómo la calculamos?

Para poder calcular la derivada de una función hay que identificar los elementos de nuestra función: Número de términos, grado de la función.

Nuestra función es de tercer grado, por lo que usaremos las fórmulas de derivación 1, 2, 3, 4 y 5 susituyendo los elementos de nuestra función en la fórmula correspondiente.
Con la fórmula 1 eliminamos los términos sin variable independiente.
Con ayuda de la fórmula 2 sustituiremos en el término tres a "x"
En la fórmula 3 separamos las constantes (coeficientes) de nuestras variables.
En la fórmula 4 haremos la derivada de cada término por separado y posteriormente sumarlas.
La fórmula 5  será de ayuda para los términos con exponentes numéricos o de grado mayor a cero.

Para calcular otras derivadas, dejamos el siguiente video para su consulta y posterior aplicación.

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Vídeo de apoyo para realizar la primera derivada

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Vídeo de apoyo para realizar la primera derivada

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicios 1 y 2

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Obtención de la primera derivada: ejemplo

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Obtención de la primera derivada: ejemplo

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Para obtener la segunda derivada de una función,  se deberá obtener la derivada de la primera derivada, siguiendo el mismo procedimiento.

La segunda derivada representa el sentido de la concavidad de la función. Si la segunda derivada es positiva, la función será cóncava hacia abajo, y si es negativa, será cóncava hacia arriba. Si la segunda derivada es 0, se trata de un punto de inflexión.

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Estos puntos se obtienen después de sacar la primera derivada de la función, estos indican zonas geométricas de la función en los cuáles la pendiente o la derivada es cero.
Para pode calcularlos, se utiliza la primera derivada obtenida de la función original, luego de igualarla a cero, se despeja la variable y se obtienen los valores que pueden adquirir los puntos, estos serán aquellos valores  X de los puntos críticos.
Ejemplos de éste tipo de puntos son los máximos y los mínimos, al calcularlos se sabrá cuántos de estos hay, pero no se sabrá el tipo de punto crítico al que pertenece .

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Para saber si una función es creciente o decreciente debemos tomar los valores de los puntos críticos obtenidos anteriormente.
Trabajamos con la primera derivada, la igualamos a cero y tomamos uno de los puntos críticos, a este punto tomaremos valores más pequeños y y más grandes, ejemplo, si mi punto crítico es x, tomaremos valores menores "x-1" y mayores, siendo "x+1"
Evaluamos la función derivada en estos dos valores [f'(x-1) y en f'(x+1)]. Verificamos si el resultado va de menos a más (siendo f'(x-1) < f(x+1) ) existe un máximo, y la función es creciente en el intervalo [f(x-1),f(x+1)].

Por otro lado, si el caso es f'(x-1) > f(x+1), la función va de más a menos, por lo tanto existe un mínimo, y la función es decreciente en el intervalo.

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Video de apoyo para el cálculo de los intervalos en los que la función crece y decrece.

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Video de apoyo para el cálculo de los intervalos en los que la función crece y decrece.

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intervalos crecientes y decrecientes con derivadas

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Los puntos de inflexión son zonas de transición entre un máximo y un mínimo o viceversa,  es el punto en el que la concavidad de la función cambia.
Para calcularlo se debe de obtener la segunda derivada e igualarla a cero, al despejar obtendremos el valor en X que pertenece al punto o a los puntos de inflexión que pertenezcan a la función

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Al graficar una función, podemos notar es esta traza una linea que puede describir curvas, en el caso de las funciones con exponentes mayores a 1, pueden presentar más de una curva en diferentes sentidos . Este cambio en el sentido de la gráfica es una concavidad.
Se dice que la gráfica de una función es cóncava hacia arriba cuando la f sea creciente dentro de este intervalo. Si f es decreciente, entonces la concavidad será hacia abajo.

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Loas máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio Df.

Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).
-  El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio.
-  El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.

La función f tiene en X un máximo relativo si f(x) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

La función f tiene en x un mínimo relativo si f(x) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

Para calcular los máximos y los mínimos:
1. Derivar la función.
2. Igualar la derivada a cero y resoverla para "x" (puntos críticos)
Evaluamos la derivada con valores mayores y menores a  los puntos críticos. Si tenemos "x" en f'(x), tomaremos valores menores x-n y valores mayores x+n.
3. Si f'(x) pasa de mayor a menor valor existe un máximo.
Si f'(x) pasa de menor a mayor valor existe un mínimo.
4. Podemos calcular Ymáx & Ymín sustituyendo el valor del punto crítico (máximo o mínimo, depende el caso) en la ecuación original

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                     EJEMPLO DE UN MÁXIMO RELATIVO

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                     EJEMPLO DE UN MÁXIMO RELATIVO

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               EJEMPLO DE UN MÍNIMO ABSOLUTO

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               EJEMPLO DE UN MÍNIMO ABSOLUTO

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               EJEMPLO DE UN MÁXIMO ABSOLUTO

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               EJEMPLO DE UN MÁXIMO ABSOLUTO

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Para obtener los puntos principales, reemplazamos los valores críticos para "x" en la función original, (máximos, mínimos, inflexión) para obtener sus respectivas

ordenadas.

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Para encontrar las intersecciones con el eje "y", hacemos x=0 y resolvemos la ecuación para y. Los valores obtenidos se completarán con su pareja ordenada (x=0).

En el caso de las intersecciones con el eje x, hacemos y=0 y resolvemos la ecuación para x. Los valores obtenidos se completarán con su pareja ordenada (y=0).

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Con ayuda del pograma GeoGebra, graficamos la función y verificamos que los valores obtenidos sean correctos.

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TODOS LOS PUNTOS ANTES MENCIONADOS SE EXPLICAN DETALLADAMENTE EN ESTE VIDEO, CONSULTAR EN CASO DE DUDA:

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TODOS LOS PUNTOS ANTES MENCIONADOS SE EXPLICAN DETALLADAMENTE EN ESTE VIDEO, CONSULTAR EN CASO DE DUDA:

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Aplicación de la derivada al trazado de curvas - Ej. 2

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          Para información adicional, sobre cómo obtener dominio y rango puedes consultar: Lehman geometría analítica 

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          Para información adicional, sobre cómo obtener dominio y rango puedes consultar: Lehman geometría analítica 