# data[].attributes.body
1.1. Concepto de función

1.2. Funciones lineales o función afín

1.3. Funciones Cuadráticas

1.4. Funciones Polinómicas

1.5. Funciones de proporcionalidad inversa

1.6. Funciones Racionales

1.7. Funciones raíz o funciones radicales

1.8. Función Exponencial

1.9. Función Logarítmica

1.10. Funciones trigonométricas Básicas

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Funciones matemáticas, concepto de función, función real de variable real, dominio, variable independiente, variable dependiente, recorrido, conjunto imagen.

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y=mx

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Funcion afin (y=mx+n) 01 SECUNDARIA (2ºESO) matematicas

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Si este video te ayudó y quieres que unicoos siga creciendo, SUSCRÍBETE, haz click en "Me gusta" y COMPÁRTELO. Si también te sumas a nosotros en http://www.unicoos.com será la bomba!. #nosvemosenclase :-) A partir del dibujo de la grafica de una función afín, conocidos un punto y el corte con el eje y, hallaremos la ecuacion de la funcion afin correspondiente (y=mx+n).

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Funcion afin (y=mx+n) 02 SECUNDARIA (2ºESO) matematicas pendiente ordenada

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f(x) = ax² + bx + c

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Representacion funcion cuadratica SECUNDARIA (3ºESO) matematicas vertice parabola

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Si este video te ayudó y quieres que unicoos siga creciendo, SUSCRÍBETE, haz click en "Me gusta" y COMPÁRTELO. Si también te sumas a nosotros en http://www.unicoos.com será la bomba!. #nosvemosenclase Procederemos a representar una funcion cuadrática (parabola), en este caso y=x²-5x+6.

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https://youtu.be/7lvZ1IRqLTUhttps://youtu.be/7lvZ1IRqLTU (vídeo explicativo)

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1.5. Funciones de proporcionalidad inversa

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1.5. Funciones de proporcionalidad inversa

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hipérbola.

* El * Es una función* Si * Si dominio y el impar: f(-x)=k/(-x)=-f(x). k>0 la función es k<0 la función es creciente y su gráfica está en el 2º y 4º cuadrante. decreciente y su gráfica aparece en los cuadrantes 1º y 3º. recorrido son todos los reales excepto el 0.

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hipérbola. * El * Es una función* Si * Si dominio y el impar: f(-x)=k/(-x)=-f(x). k>0 la función es k<0 la función es creciente y su gráfica está en el 2º y 4º cuadrante. decreciente y su gráfica aparece en los cuadrantes 1º y 3º. recorrido son todos los reales excepto el 0.

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1.7. Funciones raíz o funciones radicales

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1.7. Funciones raíz o funciones radicales

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Funciones radicales, funciones irracionales, función radical de índice impar, función radical de índice par, dominio, ejemplos prácticos.

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Objetivos de aprendizaje
· Graficar ecuaciones exponenciales y funciones.

· Resolver problemas de aplicación usando problemas exponenciales y sus gráficas.

Además de funciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales, existen las funciones exponenciales. Las funciones exponenciales tienen la forma f( x) = , donde b > 0 y b ≠ 1. Al igual que cualquier expresión exponencial, b se llama y x se llama .

Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2 bacterias después de x horas. Esto se puede escribir como f( x) = 2.

Con la definición f( x) = y las restricciones de b > 0 y b ≠ 1, el dominio de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales positivos. La siguiente gráfica muestra f( x) = 2.

Como pudiste ver arriba, esta función exponencial tiene una gráfica que se acerca mucho al eje x porque se extiende a la izquierda (conforme x se vuelve más negativa), pero nunca toca el eje x. Conocer la forma general de las funciones exponenciales es útil para graficar ecuaciones o funciones exponenciales específicas.

Hacer una tabla de valores también es útil, porque puedes usar la tabla para encontrar la curva de la gráfica con más precisión. Algo que recordar es que la base tiene un exponente negativo, entonces tomas el recíproco de la base para hacer el exponente positivo. Por ejemplo, .

Problema

Evalúa la función para cada valor de = −2, x y escribe el resultado en la columna f( f( x) = 3⁻² = = , entonces va en la columna f( x) junto al −2 de la columna x. f(1) = 3 ¹ = 3 y 3 va en la columna f( x) junto al 1 de la columna x. x) junto al valor de x correspondiente. Por ejemplo, cuando x

Observa la tabla de valores. Piensa en lo que pasa conforme los valores de x aumentan - ¡también aumenta los valores de la función ( f( x) o y)!

Ahora que tienes la tabla de valores, puedes usarlos para dibujar la forma y la posición de la función. Conecta los puntos lo mejor que puedas para hacer una curva suave (no una serie de líneas rectas). Esto muestra que todos los puntos en la curva son parte de esta función.

Este es un ejemplo de un crecimiento exponencial. Conforme aumenta x, f( x) "crece" más rápido. Intentemos otro.

Observa que una base más grande hace más empinada la gráfica. Una base más grande también hace que la gráfica se acerque al eje y por x > 0 y más cerca al eje x por x < 0. ¡Todas las gráficas pasan por (0, 1)!

Recuerda que para las funciones exponenciales, b > 0, pero b ≠ 1. En los ejemplos anteriores, b > 1. ¿Qué pasa cuando b está entre 0 y 1, 0 < b < 1?

Observa que la forma es similar a la forma cuando b > 1, pero esta vez la gráfica se acerca al eje x cuando x > 0, en lugar de x < 0. Esto es un decaimiento exponencial. En lugar de que los valores de la función "crezcan" conforme aumentan los valores de x, como sucedía antes, los valores de la función "decaen" o disminuyen conforme los valores de x aumentan. Se acercan cada vez más a 0.
Aplicando funciones exponenciales
Las funciones exponenciales pueden usarse en muchos contextos, como el interés compuesto (dinero), crecimiento poblacional y decaimiento radioactivo. En muchos de estos, sin embargo, la función no es exactamente de la forma f( x) = . Normalmente, ésta se ajusta sumando o multiplicando constantes.

Por ejemplo, la fórmula del interés compuesto es , donde P es el principal (la inversión inicial que genera interés) y A es la cantidad de dinero que tendrás, con interés, al final de t años, usando la tasa de interés anual de r (expresado como un decimal ) y m periodos por año. En este caso la base es el valor representado por la expresión 1 + y el exponente es mt - un producto de dos valores.

Problema

El decaimiento radioactivo es un ejemplo de decaimiento exponencial. Los elementos radioactivos tienen una . Esta es la cantidad de tiempo que le toma a la mitad de la masa del elemento decaer en otra sustancia. Por ejemplo, el uranio 238 es un elemento radioactivo que decae lentamente con una media-vida de alrededor de 4.47 billones de años. Esto significa que eso le tomaría a 100 gramos de uranio 238 para convertirse en 50 gramos de uranio 238 (los otros 50 gramos se convertirán en otro elemento). ¡Eso es mucho tiempo! Otro ejemplo, el radón 220 tiene una media-vida de 56 segundos. ¿Qué significa esto? 100 gramos de radón 220 se convertirán en 50 gramos de radón 220 en ¡menos de un minuto!

Como la cantidad se vuelve la mitad cada media-vida, puede usarse una función exponencial para describir la cantidad remanente en el tiempo. La fórmula da la cantidad remanente R de la cantidad inicial A, donde h es la media-vida del elemento y t la cantidad de tiempo transcurrido (usando la misma unidad de tiempo que la media-vida).

Problema

Usa la fórmula.

Las funciones exponenciales de la forma f( x) = aparece en diferentes contextos, incluyendo las finanzas y el decaimiento radioactivo. La base b debe ser un número positivo y no puede ser 1. Las gráficas de estas funciones son curvas que se incrementan (de izquierda a derecha) si b > 1, mostrando un crecimiento exponencial y se decrementan si 0 < b < 1, mostrando un decaimiento exponencial.

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Introducción a las Funciones Exponenciales

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Objetivos de aprendizaje · Graficar ecuaciones exponenciales y funciones. · Resolver problemas de aplicación usando problemas exponenciales y sus gráficas. Además de funciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales, existen las funciones exponenciales . Las funciones exponenciales tienen la forma f( x) = , donde b > 0 y b ≠ 1.

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Como la exponencial, la función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales. Entre otros fines, se usa ampliamente para "comprimir" la escala de medida de magnitudes cuyo crecimiento, demasiado rápido, dificulta su representación visual o la sistematización del fenómeno que representa.

Definición de función logarítmica

Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log ax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial ( ver t35), dado que:

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de sus inversas (exponenciales).

Propiedades de la función logarítmica

Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:

La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥).

Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.

En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.

La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.

Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

Ecuaciones logarítmicas

Cuando en una ecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.

La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:

Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.

También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:

de donde se obtiene que f (x) = a m, que sí se puede resolver de la forma habitual.

Sistemas de ecuaciones logarítmicas

Cuando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. En el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos:

Un sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica.

Un sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas.

Un sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial.

En cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

Forma de las funciones logarítmicas según el valor de la base.

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La función logarítmica se utiliza con asiduidad en los cálculos y desarrollos de las matemáticas, las ciencias naturales y las ciencias sociales.

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Funciones Trigonométricas Básicas - Concepto Teórico - Mi Profesor de Matemáticas - Video 036

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Funcion a trozos - Valor absoluto BACHILLERATO representación matematicas

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Funcion a trozos Discontinuidad 01 BACHILLERATO limite matematicas

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Funcion a trozos Discontinuidad 02 BACHILLERATO matematicas

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Funciones valor absoluto, valor absoluto de una función, función afín en valor absoluto, función cuadrática en valor absoluto, ejemplos, ejercicios resueltos.

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4.1 Traslaciones Verticales

4.2 Traslaciones Horizontales

4.3 Simetría respecto al eje Y y X

4.4 Periodicidad

4.5 Puntos de Corte con los Ejes

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4.1 Traslaciones Verticales & 4.2 Traslaciones Horizontales

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4.1 Traslaciones Verticales & 4.2 Traslaciones Horizontales

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1- Traslaciones horizontales y verticales de una función

Las traslaciones verticales y horizontales son los desplazamientos de una función en el sistema de coordenadas (x, y). Si trasladamos la representación gráfica de una función dada, obtendremos representaciones de funciones relacionadas. Siempre la grafica de la función trasladada será igual a la original.

Si realizamos una traslación vertical de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del eje "y", es decir, hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo:

Si realizamos una traslación horizontal de una función, la gráfica se moverá de un punto a otro punto determinado en el sentido del eje "x", es decir, hacia la derecha o hacia la izquierda.

Ejemplo:

Las traslaciones tanto horizontales como verticales, están ligadas al concepto de incremento o decremento de un valor constante (que denominaremos c), por lo cual son únicamente en forma de suma o diferencia, y se expresan matemáticamente de la siguiente forma;

Ejemplo:

Traslada la función f (x) = x², 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba. Grafica.

- Si ocupamos la tabla anterior, quedaría en forma matemática de la siguiente manera;

- Grafica;

2- Desplazamientos en la función potencia

Como ya sabes, la función potencia son todas las funciones de la forma f (x) = axn, entonces, las traslaciones horizontales y verticales de una función potencia serían de la siguiente forma matemática;

Ejemplo:

Grafica las funciones g (x) = - 5 (x + 2)³ y h (x) = - 5 (x - 3)³, las cuales corresponden a traslaciones de la función f (x) = - 5 x³.

Si analizamos la gráfica de estas funciones, podemos ver que son idénticas, solo se diferencian en que están trasladadas horizontalmente, donde la función f pasa por el origen (0,0), la función g pasa por el punto (-2,0) y la función h por el punto (3,0).

Además, como puedes ver, las funciones g (x) = - 5 (x + 2)³ y h (x) = - 5 (x - 3)³, no son funciones potencia, ya que no son de la forma f (x) = ax n, ambas son funciones polinomiales.

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cuál es la función potencia: traslaciones horizontales y verticales

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Función potencia: traslaciones horizontales y verticales

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1- Traslaciones horizontales y verticales de una función Las traslaciones verticales y horizontales son los desplazamientos de una función en el sistema de coordenadas (x, y). Si trasladamos la representación gráfica de una función dada, obtendremos representaciones de funciones relacionadas. Siempre la grafica de la función trasladada será igual a la original.

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Funciones periódicas, estudio de algunas funciones periodicas, ejemplos, ESO, Bachillerato.

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5.1 Composición de funciones
5.2 Función inversa o recíproca de una función

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5.2 Función inversa o recíproca de una función

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5.2 Función inversa o recíproca de una función

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Función inversa, función recíproca, calcular la función inversa, ejercicios resueltos, ESO, Bachillerato.

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6.1 Significado de límite lateral y de límite de una función en un punto

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6.1 Significado de límite lateral y de límite de una función en un punto

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Límites laterales de una función en un punto. Definición ε-δ.

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Límites laterales de una función en un punto. Definición formal de límite lateral. Definición ε-δ de límite lateral. Ejemplo resuelto de límites laterales de una función en un punto.

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Límites y continuidad, continuidad de una función, función continua, continuidad de una función en un punto. estudio de la continuidad, ejemplos.

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9.1 Límite en un punto en el que la función es continua

9.2 Cálculo de límites de funciones a trozos

9.3 Límite de función racional

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9.1 Límite en un punto en el que la función es continua

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9.1 Límite en un punto en el que la función es continua

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9.2 Cálculo de límites de funciones a trozos 

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9.2 Cálculo de límites de funciones a trozos 

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Cálculo de límites de funciones racionales (II) - Matemáticas IES

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Cálculo de límites de funciones racionales cuando x tiende a un número Indeterminación $\fraca0$ Cuando al calcular el límite de un cociente de (...)

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(Solo 1ª parte)

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A continuación te voy a explicar cómo resolver límites de funciones cuando x tiende a infinito o a menos infinito, con ejercicios resueltos paso por paso.

Veremos también que hay límites de funciones que aún tendiendo la x a un número finito, el resultado es infinito.

¡Vamos allá!

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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
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Si quieres seguir aprendiendo cómo resolver límites, en el Curso de Límites, te explico con todo detalle como resolver los límites de todos los tipos de indeterminaciones, con ejercicios resueltos paso a paso.

Límite de una función cuando x tiende a infinito

Para calcular el límite de una función cuando los valores de x crecen cada vez más, se indica que calculamos el límite de una función cuando x tiende a infinito.

Límite de una función cuando x tiende a infinito cuyo resultado es infinito

Hay funciones, que cuando x es cada vez mayor, el valor de su función también crece. En ese caso, cuando x tiende a infinito, el límite de la función también es infinito:

Gráficamente, funciones que se comportan así pueden tener esta forma:

Como vemos, cuando los valores de x son cada vez mayores, los valores de la función también son cada vez mayores y por tanto, la función tiende a irse hacia arriba y el límite de la función cuando x tiende a infinito es infinito.

¿Qué funciones tienen este comportamiento cuando x tiende a infinito?

Las funciones cuyo valor va creciendo conforme lo hacen los valores de x son las funciones polinómicas:

Las funciones exponenciales cuya base sea mayor que 1:

Y las funciones logarítmicas:

Límite de una función cuando x tiende a infinito cuyo resultado es menos infinito

En las funciones cuyo valor decrece conforme van aumentando los valores de x, el límite de la función cuando x tiende a infinito será menos infinito:

Si representamos una función de este tipo, tiene esta forma:

Donde como vemos, a medida que nos vamos moviendo hacia la derecha en el eje x, es decir, los valores de x van aumentando, los valores de la función son cada vez más pequeños. La función tiende a irse hacia abajo y el límite de la función cuando x tiende a infinito es menos infinito.

Las funciones cuyo valor se va haciendo más pequeño conforme aumentan los valores de x, son las mismas que en el caso anterior pero precedidas por un signo menos:

Límite de una función cuando x tiende a infinito cuyo resultado es un número

Existen funciones, que conforme van aumentando los valores de x, su valor se va aproximando cada vez más a un número:

Si representamos este caso, sería de la siguiente forma:

Conforme van aumentando los valores de x, el valor de la función está cada vez más cerca de valer k. El límite de la función cuando x tiende a infinito es igual a k.

En este caso, se dice que en y=k hay una asíntota horizontal.

Una asíntota es una línea a la que la función se aproxima cada vez más pero que nunca llega a tocar. Te lo explico más en detalle en el Curso de Límites. Ahora sólo quédate con que el límite de una función cuando x tiende a infinito puede dar como resultado un número.

¿Qué tipo de funciones dan como resultado un número en el límite cuando x tiende a infinito?

Las funciones racionales en las que el grado del numerador y el grado del denominador son iguales, como por ejemplo:

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito

Para calcular el límite de una función cuando los valores de x cada vez se van haciendo más pequeños, se indica que calculamos el límite de una función cuando x tiende a menos infinito.

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito cuyo resultado es infinito

Hay funciones, que cuando x es cada vez menor, el valor de su función es cada vez más grande. En ese caso, cuando x tiende a menos infinito, el límite de la función también es infinito:

Las funciones que se comportan así, tienen esta forma gráficamente:

Conforme nos vamos moviendo hacia la izquierda en el eje x, los valores de x van disminuyendo, los valores de la función son cada vez más grandes. La función tiende a irse hacia arriba y el límite de la función cuando x tiende a menos infinito es infinito.

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito cuyo resultado es menos infinito

En las funciones cuyo valor decrece conforme van disminuyendo los valores de x, el límite de la función cuando x tiende a menos infinito será menos infinito:

Gráficamente, las funciones tienen la siguiente forma:

A medida que nos vamos moviendo hacia la izquierda en el eje x, los valores de la función son cada vez más pequeños. La función tiende a irse hacia abajo y el límite de la función cuando x tiende a menos infinito es menos infinito.

Límite de una función cuando x tiende a menos infinito cuyo resultado es un número

Existen funciones, que conforme van disminuyendo los valores de x, su valor se va aproximando cada vez más a un número en concreto:

La representación gráfica de este tipo de funciones sería así:

Conforme van decreciendo los valores de x, el valor de la función está cada vez más cerca de tomar el valor k. El límite de la función cuando x tiende a menos infinito es igual a k.

Al igual que pasaba cuando x tiende a infinito, aquí también se dice que en y=k hay una asíntota horizontal.

En este caso de los límites de funciones cuando x tiende a menos infinito no he comentado nada de las funciones que se comportan de estas maneras, porque son las mismas que para cuando x tiende a infinito, a excepción de la función logarítmica, ya que un logaritmo no existe para valores iguales o menores que cero.

Cómo resolver límites cuando x tiende a infinito

Una vez sabemos qué resultado puede tener el límite de una función cuando x tiende a infinito y qué forma pueden tener sus gráficas, voy a pasar a explicarte cómo calcular este tipo de límites.

A priori, no sabemos que resultado va a tener el límite de una función cuando x tiende a infinito. Lo sabemos cuando sustituimos la x por infinito.

Vamos a ir viendo cómo se resuelven los límites de cada tipo de función.

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito

Por ejemplo:

En primer lugar, sustituimos la x por infinito:

Cuando resolvemos límites de este tipo, al sustituir por infinito, debemos tener en cuenta que el infinito de por sí ya tiene un valor muy grande. Si el infinito lo elevamos a algún exponente, todavía se hace más grande.

Entonces infinito elevado al cubo es muchísimo mayor que infinito elevado al cuadrado, incluso que el resto de operación que queda.

Para que lo entiendas mejor, imagina que estás calculando con un número muy muy grande y lo elevas al cubo. Si le restas el mismo número elevado al cuadrado, quedará todavía un número muy grande.

Pues este mismo concepto pero llevado hasta el extremo es lo que pasa cuando operamos con infinito, como es este caso. El valor de infinito al cubo es mucho mayor que el resto de la operación, de hecho, el resto de la operación ya da igual, porque es es despreciable y apenas le afecta.

Por tanto, el resultado del límite será infinito:

En los polinomios, el resultado de sustituir por infinito lo dará siempre el término de mayor grado.

De hecho, el límite de una función polinómica cuando x tiende a infinito, es igual al límite de su término de mayor grado, por lo para calcular su solución es equivalente a calcular el límite del término de mayor grado:

Vamos a ver otro ejemplo:

Como te he comentado antes, calcular el límite de un polinomio cuando x tiende a infinito es equivalente a calcular el límite del término de mayor grado, por lo que lo hacemos así:

Sustituimos la x por infinito:

Por un lado, infinito a elevado a 4 sigue siendo infinito, un infinito mucho más grande que antes, pero como está solo, podemos seguir poniendo infinito.

Por otro lado, las operaciones con infinito responden a las reglas de signos. Por tanto, al multiplicar infinito por un número negativo, el resultado es menos infinito, que es el resultado del límite:

Vamos a ver ahora como resolver el límite de una función, donde el polinomio se encuentra en el denominador:

Siguiendo el mismo razonamiento que para los ejercicios anteriores, nos quedamos con el término de mayor grado en el denominador:

Ahora sustituimos la x por infinito. El resultado en el denominador es infinito y cualquier número entre infinito es igual a cero:

En general, los límites cuando x tiende a infinito de las funciones que tengan un número en el numerador y un polinomio en el denominador, su resultado será 0.

Seguimos con el límite de una función logarítmica:

Sustituimos la x por infinito. El valor de la función logarítmica es mayor cuanto mayor sea el valor de x, por lo que el logaritmo de infinito es infinito:

Si la función logarítmica tiene un signo menos delante, el resultado sería menos infinito:

Por último, vamos a ver qué pasa con las funciones racionales, donde el grado del numerador y el grado del denominador son iguales, cuando x tiende a infinito:

Al sustituir la x por infinito llegamos a una indeterminación:

La forma de resolver este límite te lo explico en el Curso de Límites cuando explico los tipos de indeterminaciones y cómo se resuelven.

Cómo resolver límites cuando x tiende a menos infinito

Te voy a explicar ahora cómo resolver límites de funciones cuando x tiende a menos infinito.

La forma de resolver los límites de funciones cuando x tiende a menos infinito es la misma para cuando x tiende a infinito, es decir, en funciones polinómicas, nos quedaremos con el término de mayor grado, ya que es el término que determinará el resultado de la operación.

Como te he comentado antes, las operaciones con infinito siguen la regla de los signos. Veíamos que si un número negativo multiplica a infinito, se convierte en menos infinito. Ten en cuenta que menos infinito no es más que infinito multiplicado por menos 1:

Cuando sustituimos la x por menos infinito, además de afectar la multiplicación de números negativos, también afecta en gran medida las potencias.

Menos infinito elevado a un número par será más infinito, igual que pasa con los números:

De la misma forma, si menos infinito está elevado a un número impar, su resultado será menos infinito:

Teniendo todo esto en cuenta, vamos a resolver unos cuantos límites de funciones cuando x tiende a menos infinito.

Empezamos con este:

Nos quedamos con el término de mayor grado:

Sustituimos por menos infinito. Como está elevado a un número par, el resultado es infinito:

Veamos otro ejemplo:

Nos quedamos con el término de mayor grado:

Sustituimos la x por menos infinito. Como está elevado a un número impar, el resultado es menos infinito:

Seguimos con otro ejemplo:

Nos quedamos con el término de mayor grado:

Sustituimos la x por menos infinito. En este caso tenemos un signo menos delante de la x. Por tanto, menos infinito elevado a 5, sigue siendo menos infinito, pero como tiene delante un signo menos, el resultado del límite es infinito:

Por último, vamos a ver cómo resolver un límite de una función cuando el polinomio está en el denominador:

Nos quedamos en el denominador con el término de mayor grado:

Y sustituimos la x por menos infinito. Al estar elevado a un número impar, el resultado es menos infinito en el denominador. No obstante, aunque 1 esté dividido entre menos infinito, el resultado sigue siendo cero, porque el cero no tiene signo:

Límites infinitos cuando x tiende a un número finito

Hasta ahora hemos estado viendo límites de funciones cuando x tiende a infinito o menos infinito, cuyo resultado puede ser infinito, menos infinito o un número.

También existen los límites cuando x tiende a un número cuyo resultado puede ser más o menos infinito:

Este tipo de límites se resuelven mediante límites laterales, tanto gráfica como analíticamente.

Vamos a analizar las diferentes situaciones que puedes tener cuando x tienda a un número y el resultado de límite sea infinito.

El límite de una función cuando x tiende a un número por la izquierda y el resultado es infinito:

Vemos que cuando en el eje xnos acercamos por la izquierda a un valor x=k (o x=n), la función tiende a irse hacia arriba y por tanto, cuanto más nos acercamos por la izquierda, su límite es infinito:

Puede darse el caso, de que nos aproximemos a un número por la derecha y el límite de esa función sea infinito:

En ese caso, la gráfica sería de esta manera, donde vemos que la función tiende a irse hacia arriba conforme nos acercamos por la derecha en el eje x a un número determinado:

Cuando nos acercamos por la izquierda y por la derecha y en ambos casos el límite es infinito, entonces existe el límite de la función cuando x tiende a n, que es igual a infinito:

Cuya gráfica es de la siguiente forma:

También puede ser que cuando nos acerquemos a un ese número por la izquierda en el eje x, la función tienda a irse hacia abajo, por lo que el límite sería menos infinito:

Y la gráfica sería algo como esto:

O lo mismo cuando nos acerquemos por la derecha:

Si el límite por la derecha y el límite por la izquierda coinciden, entonces existe el límite de la función cuando x tiende a un número y su resultado es menos infinito:

La gráfica cuando existe el límite sería de la siguiente forma:

Puede darse el caso de que los límites laterales no coincidan, es decir, que por ejemplo el límite de la función cuando x tiende al número por la izquierda sea menos infinito y el límite por la derecha sea más infinito (o viceversa). En ese caso, existen los límites laterales, pero no existe el límite de la función cuando x tiende a ese número:

La función en este caso podría tener esta forma:

En todos los casos, tenemos una asíntota vertical en x=k (veremos el tema de las asíntotas con más detalle durante el curso, no te preocupes)

Vamos a ver un ejercicio sobre lo que acabamos de ver: Calcula los siguientes límites de la siguiente función:

Vamos a ir resolviendo cada uno de ellos.

Cuando x se aproxima a -1 por la izquierda, el límite es igual a menos infinito, ya que la función tiende a irse hacia abajo:

Cuando x se aproxima a -1 por la derecha, el límite es igual a infinito, ya que la función tiende a irse hacia arriba:

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, el límite es igual a infinito, ya que la función tiende a irse hacia arriba:

Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, el límite es igual a menos infinito, ya que la función tiende a irse hacia abajo:

Cuando x tiende a infinito la función se aproxima al valor -1, luego su límite es -1:

Lo mismo pasa cuando x tiende a menos infinito

En el Curso de Límites te enseño también a resolver analíticamente las funciones donde x tiende a infinito y el resultado es un número.

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Ejercicios propuestos
1- Calcula los siguientes límites 2- Calcula los siguientes límites a partir de la siguiente función:
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Límites cuando x tiende a infinito o menos infinito. Ejercicios resueltos.

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A continuación te voy a explicar cómo resolver límites de funciones cuando x tiende a infinito o a menos infinito, con ejercicios resueltos paso por paso. Veremos también que hay límites de funciones que aún tendiendo la x a un número finito, el resultado es infinito. ¡Vamos allá!

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Asíntotas de una función 01 BACHILLERATO

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Asíntotas de una función 02 BACHILLERATO

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Estudio completo de una función racional BACHILLERATO

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Limite cuando x tiende a menos infinito BACHILLERATO matematicas