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Bitte kennzeichnen Sie alle Posts mit Ihrem Namenskürzel.

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Plus-Zeichen klicken --> Oberfläche erscheint
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Mitte v.l.n.r.:  "Hochladen" von Dateien jeder Art,  "direkt ein Foto posten" (SystemKamera erforderlich), Link zu einer Webseite posten
Drei Punkte: Weitere Möglichkeiten etwas zu posten (Zeichnen, Video, Sounds...) .

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Hier geht es zum Download Bereich von TuWaS!

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Hier geht es zum Download Bereich von TuWaS!

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Die Zugangsdaten:
Benutzername = ihre TuWaS-SchulNr. (4-stllg.)
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Allgemeine Anfragen Freie Universität Berlin Fachbereich Biologie, Chemie, Pharmazie TuWaS! - Technik und Naturwissenschaften an Schulen Tel. + 49 30 838-53291 info[at]tuwas.fu-berlin.de www.tuwas-deutschland.de

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Dieses Material aus Ihren TuWaS! Kisten benötigen Sie zum Mitmachen:  

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Dieses Material aus Ihren TuWaS! Kisten benötigen Sie zum Mitmachen:  

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Bitte folgen Sie dem Link Tragen Sie dort Ihre Werte in die Tabelle ein.

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Bitte folgen Sie dem Link Tragen Sie dort Ihre Werte in die Tabelle ein.

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Collaborative platform with integrated, engaging, pedagogical activities

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Bitte beantworte die Forscherfrage: Wie viele Vergleiche mit der Balkenwaage sind mindestens nötig? 

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Bitte beantworte die Forscherfrage: Wie viele Vergleiche mit der Balkenwaage sind mindestens nötig? 

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Vergleichen Sie die Wippe mit der Balkenwaage: Was ist gleich, was ist anders? Bitte ein Venn-Diagramm dazu erstellen und hochladen.

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Vergleichen Sie die Wippe mit der Balkenwaage: Was ist gleich, was ist anders? Bitte ein Venn-Diagramm dazu erstellen und hochladen.

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Bitte laden Sie ein Foto oder eine Zeichnung hoch.

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Bitte laden Sie ein Foto oder eine Zeichnung hoch.

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Ausstellung: Platz für Bilder Ihrer Mobiles 

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Ausstellung: Platz für Bilder Ihrer Mobiles 

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Was macht Ihr Bauwerk stabil? Welche Rolle spielt der Schwerpunkt?

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Was macht Ihr Bauwerk stabil? Welche Rolle spielt der Schwerpunkt?

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Formulieren Sie  in Form von: Je...,                             desto... ODER: Mein Bauwerk wird stabiler, wenn...

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Vergleichen Sie  Ihr Ergebnis mit dem aus Lektion 13. Was fällt auf?

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Vergleichen Sie  Ihr Ergebnis mit dem aus Lektion 13. Was fällt auf?

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Bitte ein Foto der ermittelten Rangfolge hochladen  :))

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Bitte ein Foto der ermittelten Rangfolge hochladen  :))

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Bitte nennen Sie zwei Eigenschaften für jedes Lebensmittel. 

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Bitte nennen Sie zwei Eigenschaften für jedes Lebensmittel. 

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Bitte laden Sie ein Foto oder eine Zeichnung hoch.

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Bitte folgen Sie dem Link indem Sie in das weiße Feld klicken. Tragen Sie in die Tabelle Ihre Werte für die Lebensmittel ein.

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https://flinga.fi/s/FAMWAGM

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Bitte nehmen Sie an der Online Umfrage zur Fortbildung teil. Sie dauert 5 Minuten und ist anonym. 

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Bitte nehmen Sie an der Online Umfrage zur Fortbildung teil. Sie dauert 5 Minuten und ist anonym. 

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Dieses Verfahren wird auch auf meiner Seite Man verwendet dabei die zusätzliche Eigenschaft, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2Die Punkte A(aDann lauten die Formeln für den Schwerpunkt S(xDie beiden Dreiecke können als punktförmige Körper mit den Massen mBedenkt man noch, dass für eine homogene Figur die Masse m und der Flächeninhalt A proportional sind, so heißen die Formeln xEine weitere Konstruktion findet man auf der Wikipedia-Seite Ergebnis: Die erste Koordinate ist aus Gründen der Symmetrie xDie zweite Koordinate ist yEs gilt xDie Flächeninhalte sind AxEs ist y

Was ist der Schwerpunkt einer Figur?
Der Schwerpunkt ist ein besonderer Punkt eines Körpers.

... ...

Er soll an einer dünnen, starren, homogenen Scheibe in Fünfeckform erklärt werden.
Homogen heißt, dass die Masse gleichmäßig verteilt ist, dass also die Masse pro Flächeneinheit an jeder Stelle gleich ist.
Man kann sich vorstellen, dass die Scheibe aus Pappe ist.

Auf dieser Seite geht es um die Bestimmung von Schwerpunkten flächenartiger Körper.
Sie sind beispielhaft auch für die Bestimmung von Schwerpunkten linienartiger oder räumlicher Körper.

Das Balancieren der Scheibe auf einer Nadelspitze hat seine Tücken.

... ...
...

1 Setzt man die Scheibe vorsichtig auf die Spitze, so misslingt das. Die Scheibe kippt, da der Schwerpunkt (rot) über dem Auflagepunkt liegt und durch die Gewichtskraft leicht ein kippendes Drehmoment entsteht.
2 Man könnte manipulieren und die Spitze in die Scheibe hinein stechen, wenn sie zum Beispiel aus Pappe ist. Das ist indiskutabel.
3 Eine stabile Lage entsteht dadurch, dass man in die Scheibe von unten eine Vertiefung anbringt, in die die Spitze dann so weit hineinragt, dass der Auflagepunkt über dem Schwerpunkt liegt.

Der Schwerpunkt liegt immer unter dem Aufhängepunkt eines Körpers. Wäre das nicht der Fall, so träte ein Drehmoment auf, das den Körper in diese Lage treibt. - Die Scheibe ist im stabilen Gleichgewicht.

Das macht man sich zunutze.
Man hängt die Scheibe und einen Faden zweimal an Ecken auf.
An das andere Ende des Fadens klemmt man eine Büroklammer.
Den Verlauf der Fäden markiert man durch Linien.
Sie sind Bestimmungslinien für den Schwerpunkt.

Ehe einzelne Figuren untersucht werden, soll vorweg ein grundlegendes Problem erörtert werden.
Geographischer Mittelpunkt beschrieben.

Gegeben seien zwei Massenpunkte m ₁ und m 2 in der Entfernung a.
Die "Verbindungsstange" sei gewichtslos.
Wo liegt der Schwerpunkt dieser Hantel?

Der Schwerpunkt sei S. Die letzte Formel kann man einem Zahlenstrahl anpassen.

Es gilt a=xDann ergibt sFDaraus folgt x ₂-x ₁ und s=x ₁=(a-s)F ₂ die Gleichung (x s=(x ₁F ₁+x ₂F ₂)/(F ₁ +F ₂) oder x s=(x ₁m ₁+x ₂m ₂)/(m ₁+m ₂). s-x ₁)F ₁=[(x ₂-x ₁)-(x s-x ₁)]F ₂. s-x ₁.

Wird die Lage der Massepunkte in einem Koordinatensystem angegeben durch S ₁(x ₁|y ₁) und S ₂(x ₂|y ₂), liegt der Schwerpunktes an der Stelle x s=(x ₁m ₁+x ₂m ₂)/(m ₁+m ₂) und y s=(y ₁m ₁+y ₂m ₂)/(m ₁+m ₂).

Diese Formel wird unten angewandt.
Ist eine Figur achsensymmetrisch, so liegt ihr Schwerpunkt auf der Symmetrieachse.

Vorüberlegung
1 Man hängt also das Dreieck an einer Ecke auf.
2 Dieses Vorgehen kann ein Gedankenexperiment bleiben. Man muss sich vorstellen, dass das Dreieck in beliebig viele Streifen aufgeteilt ist. In der Zeichnung bleibt es bei der Anzahl Fünf. Dann stellt sich das Dreieck so ein, dass die Mittelpunkte der Streifen unter dem Aufhängepunkt liegen. - Der Schwerpunkt liegt danach auf einer Seitenhalbierenden.
3 Diese Überlegung gilt für die anderen Ecken auch. Der Schwerpunkt ist also der gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden, also der Verbindungslinien der Eckpunkte mit den gegenüberliegenden Seitenmitten.
Zeichnerische Bestimmung
Man ermittelt den Schwerpunkt eines Dreiecks zeichnerisch, indem man den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden sucht.
Rechnerische Bestimmung
Über die Seitenhalbierenden lässt sich der Schwerpunkt auch berechnen.
Das Ergebnis wird auf ein Dreieck, das in einem kartesischen Koordinatensystem gegeben sein soll, übertragen.

Zahlenbeispiel

... ...

Die Eckpunkte des Dreiecks sind A(0|0), B(8,5|0), C(2,3|3,8).

Zeichnerische Bestimmung
Man findet ihn über Dreiecke. Rechnerische Bestimmung Man führt die Schwerpunktbestimmung auf Dreiecke zurück. :1 schneiden.

Zuerst teilt man das Viereck durch eine Diagonale in zwei Teildreiecke. Man bestimmt für jedes Dreieck den Schwerpunkt. Es gilt xDer Schwerpunkt liegt auf der Verbindungslinie a=S S1=(6+5)/3=11/3, y S1=(2+7)/3=3 und x ₁S ₂, aber wo? S2=5/3, y S2=(7+5)/3=4.

x|a y), B(b x|b s|y s): xs=(ax+bx+cx)/3 und ys=(ay+by+cy)/3. y)A(c x|c y) sind gegebenen.
Also muss man noch die Flächeninhalte der Dreiecke bestimmen.

Man bestimmt sie z.B. nach der Trapezmethode, die am Dreieck ABC erklärt wird. Es ergibt sich A
Man addiert die Flächeninhalte von Viereck EFBC und Dreieck AEC und subtrahiert dann das Dreieck AFB.

₁=5*7/2+(7+2)/2*1-6*2/2=16. Analog erhält man A ₂=(7+5)/2*5-5*7/2=25/2. Das führt zu s=a(25/57) oder s/a=25/57.

Es gilt nach der Zeichnung SSomit ist xund y ₁(x S1| y s=(x S1A s=(y S1A ₁+y S2A ₂)/(A ₁+A ₂)=[3*16+4*(25/2)]/(16+25/2)=196/57 ₁+x S2A ₂)/(A ₁+A ₂)=[(11/3)*16+(5/3)*(25/2)]/(16+25/2)=53/19 S1), S ₁(x S2| y S2) und S(x S| y S).

Ergebnis: Der Schwerpunkt ist S(53/19|196/57).
Diese Methode kann auf Vielecke erweitert werden, zum Beispiel auf das Fünfeck oben. ₁ und m 2 aufgefasst werden. Für sie gelten die Formeln x s=(x s=(x ₁A ₁+x ₂A ₂)/(A ₁+A ₂) und y s=(y ₁A ₁+y ₂A ₂)/(A ₁+A ₂). ₁m ₁+x ₂m ₂)/(m Trapez. ₁+m ₂) und y s=(y ₁m ₁+y ₂m ₂)/(m ₁+m ₂).
Schwerpunkt eines Drachens

Hier sind noch einmal die Stücke eines Drachenvierecks von einer anderen Stelle meiner Homepage.

Es ergibt sich das Bild des gemeinsamen Schwerpunktes zweier Massenpunkte von oben.

Schwerpunkt eines Trapezes

Der Tabellenwert ist y s=(1/3h)(a+2c)/(a+c).

Zur Herleitung der Formeln
Oben wurde zum Schwerpunkt zweier Massenpunkte die folgende Aussage gemacht.

Wird die Lage der Massepunkte in einem Koordinatensystem angegeben durch S ₁(x ₁|y ₁) und S ₂(x ₂|y ₂), liegt der Schwerpunktes an der Stelle x s=(x ₁m ₁+x ₂m ₂)/(m ₁+m ₂) und y s=(y ₁m ₁+y ₂m ₂)/(m ₁+m ₂).

Die Formel erweitert man auf eine Anordnung von n Massenpunkten. Schwerpunkt eines Parabelabschnitts
Gegeben ist ein Parabelabschnitt, begrenzt von y=x², y=h und x=0. Gesucht ist der Schwerpunkt S.
Erste Koordinate s=0.

Zweite Koordinate s=(4r)/(3*Pi) oder angenähert y s=0,42r.

Ergebnis: Der Schwerpunkt liegt an der Stelle S[(3/8)a | (3/5)h].
Schwerpunkt eines Halbkreises
Gegeben ist ein Halbkreis mit dem Radius r. Gesucht ist der Schwerpunkt S.

s=(x ₁m ₁=100 und A ₂=Pi, die Abszissen x s=[5*100-7*Pi]/(100-Pi)=(500-7*Pi)/(100-Pi) oder angenähert 4,71. s=x s. ₁=5 und x ₂=7. ₁-x ₂m ₂)/(m ₁-m ₂)=(x ₁A ₁-x ₂A ₂)/(A ₁-A ₂) top

Mit Hilfe des Halbkreises gelangt man nach nebenstehender Zeichnung zum Schwerpunkt eines Viertelkreises.

Schwerpunkt einer Platte mit Loch top

Gegeben ist eine Platte der Seitenlänge 10. Ihre Mitte liegt bei A(5|5). Die Platte hat ein kreisrundes Loch mit dem Durchmesser 2. Der Mittelpunkt des Kreises liegt an der Stelle M(7|7).
Gesucht ist der Schwerpunkt der Platte.
Lösungsweg: Es geht um den gemeinsamen Schwerpunkt zweier Massenpunkte.
Das Besondere ist, dass die Kreisfläche ein negatives Vorzeichen bekommt.

Lösung:

xEs ist y s=[5*100-7*(4*Pi)]/(100-4*Pi)=(500-28*Pi)/(100-4*Pi)=(250-14*Pi)/(50-2*Pi) oder angenähert 4,94. s=x s.

Ergebnis: Der Schwerpunkt liegt angenähert bei (4,94|4,94).

Deutsch

Arndt Brünner
Der Schwerpunkt des Dreiecks

Lehrstuhl A für Mathematik, RWTH Aachen
Der Schwerpunktsatz (eines Dreiecks), Animation

Randolf Rehfeld
Schwerpunkte

Wikipedia
Schwerpunkt, Massenmittelpunkt, Schwerpunktsatz, Standfestigkeit, Gleichgewicht (Physik), Erde-Mond-Schwerpunkt

Englisch

eFunda
Common Shapes

Eric W Weisstein (MathWorld)
Geometric Centroid, Pappus's Centroid Theorem

Wikipedia
Centroid, Center of mass, Pappus's centroid theorem (Guldinus theorem), List of centroids

(1) I.N. Bronstein/K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Moskau Leipzig, 1987
(2) Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker, München 1965
(3) Mende/Simon: Physik Gleichungen und Tabellen, München 1976

Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

© 2007 Jürgen Köller

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Dieses Verfahren wird auch auf meiner Seite Man verwendet dabei die zusätzliche Eigenschaft, dass sich die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2Die Punkte A(aDann lauten die Formeln für den Schwerpunkt S(xDie beiden Dreiecke können als punktförmige Körper mit den Massen mBedenkt man noch, dass für eine homogene Figur die Masse m und der Flächeninhalt A proportional sind, so heißen die Formeln xEine weitere Konstruktion findet man auf der Wikipedia-Seite Ergebnis: Die erste Koordinate ist aus Gründen der Symmetrie xDie zweite Koordinate ist yEs gilt xDie Flächeninhalte sind AxEs ist y Was ist der Schwerpunkt einer Figur?

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Einwahllink TuWas! Online-Fortbildung "BuW 18.03.2024 14-16 Uhr"

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Einwahllink TuWas! Online-Fortbildung "BuW 18.03.2024 14-16 Uhr"

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Fortbildungsvideo zur Einheit "Balancieren und Wiegen"

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Fortbildungsvideo zur Einheit "Balancieren und Wiegen"

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Passwort: tuwas24

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Beschreiben Sie bitte: An welcher Stelle liegt die Schmetterlingsfigur auf dem Stift?

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Beschreiben Sie bitte: An welcher Stelle liegt die Schmetterlingsfigur auf dem Stift?

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Bitte klicken Sie in das Bild, um die Evaluation zu starten. (Passwort: tuwas24)

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FF: Welche Veränderungen könnten eine bessere (=> stabilere) Auflage der Schmetterlingsfigur bewirken?

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FF: Welche Veränderungen könnten eine bessere (=> stabilere) Auflage der Schmetterlingsfigur bewirken?

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Informationen über die Verarbeitung personenbezogener Daten

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Informationen über die Verarbeitung personenbezogener Daten

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zum Beispiel " Malen mit der Schere" (Matisse) "Der Seefahrer" (Paul Klee) oder jahreszeitlich passende Vorlagen für Mobiles
Bezahl- Material zum Download

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eduki: 👩‍🏫 teaching materials - share and find materials

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eduki: Teaching materials created by teachers for teachers ✅ all subjects, levels and languages ✅ share/sell your materials to other teachers

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Balancieren und Wiegen_ Material für Fortbildungsvideo

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KT

Figur hält am besten, wenn der Stift sich auf der Symmetrieachse (dem Körper) befindet

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Je höher, desto instabiler

Je mehr Bauklötze in der unteren Ebene verteilt, desto stabiler

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KT

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KT

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KT

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KT

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Reihenfolge : Ball, Löffel, Becher, Holz

Wie oft wiegen?

3 mal

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Nudel: halbrund, gelb

Erbse: grün, rund

Haferkringel: rund mit Loch, gelblich

Sonnenblumenkerne: bräunlich, glatt

# data[].attributes.body
Haferkringel, Sonnenblumenkerne, Nudel, Erbse

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Von den Erbsen benötigt man am wenigsten, da sie am schwersten sind und die Steckwürfel schneller ins Gleichgewicht bringen. Von den Haferflocken daher am meisten, da sie leichter sind.

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Der Stift sollte mit der gesamten Länge unter dem Körper des Schmettlings liegen.

# data[].attributes.body
Das Bauwerk ist umso stabiler je breiter die Fläche auf dem Boden ist. Es ist stabiler wenn es symmetrisch ist.

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Man benötigt 4 Versuche.

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Erbsen; halb an: eine Seite flach, andere Seite halbrund und glatt

Nudel: hohl, gebogen

Haferkringel: rundlich, geschlossener Ring

Sonnenblumenkerne: ovoidförmig, unreglemäßig

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Lektion 14 und 15 fehlen bei uns in schriftlivher Vorlage /Lehrerhandbuch

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SF

In der Mitte des Körpers

Büroklammer Mitte rechter Flügel: Auflagefläche wieder mittig, aber weg vom Körper hin in Richtung Klammer

bessere Auflage: Schmetterling aus Pappe oder breiteren Durchmesser vom Stift

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SF

Entfernen könnte ich die Würfel in der Mitte, aber auch jeweils einen blauen und einen roten Würfelturm (z.B. blauen Turm vorne und roten Turm hinten)

Je höher die Ständer, desto instabiler das Bauwerk.

Mein Bauwerk wird stabiler, wenn ich die 20 Würfel immer nur einzeln unter das Brett verteile...

# data[].attributes.body
SF

# data[].attributes.body
SF

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SF

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SF

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SF

Reihenfolge von leicht nach schwer:

Ball, Löffel, Becher Holz

mind. 3 Versuche

# data[].attributes.body
SF

Haferkringel -> rund mit Loch

Sonnenblumenkern -> schwarz weiße Streifen, Form länglich und spitz auslaufend

Nudel glatte Oberfläche Halbkreis

Erbse -> rund grün

# data[].attributes.body
SF

Haferkringel

Sonnenblumenkerne

Nudeln

Erbsen

# data[].attributes.body
SF

Haferkringel am meisten, da sehr leicht

Sonnenblumenkerne

Nudeln

und Erbsen am wenigsten, da sie vom Gewicht her am schwersten sind

# data[].attributes.body
Die Figur (Schmetterling) hält am besten, wenn Sie in der Mitte des Körpers fixiert wird, so ist die bestmögliche Beweglichkeit und der beste Halt gegeben.

# data[].attributes.body
Mein Bauwerk wird stabiler,wenn ich die Bauklötze gleichmäßig aufteile. Eine gleichmäßige Anordnung sorgt für eine ausreichende Stabilität.

# data[].attributes.body
Reihenfolge: Ball, Löffel,Becher, Holz

Mindestens 3 Versuche

# data[].attributes.body
Nudel: halbrund,gelblich, gebogene Form

Haferkringel: rund, ein geschlossener Ring, Loch in der Mitte

Sonnenblumenkerne: glatte Oberfläche, teilweise bräunlich,schwarz

Erbsen: runde Form, grün

# data[].attributes.body
Haferkringel...Sonnenblumenkerne...Nudeln... Erbsen

# data[].attributes.body
Die Erbsen, Sonnenblumenkerne sind schwer und man benötigt eine geringe Anzahl, um ein Gleichgewicht zu bekommen.

Die Haferflocken sind sehr leicht,da benötigt man eine große Anzahl, um ein Gleichgewicht zu bekommen.

# data[].attributes.body
Der Stift muss direkt unter der Symmetrieachse platziert sein. Kommt die Klammer seitlich hinzu muss der Stift weiter in Richtung Klammer platziert werden.

# data[].attributes.body
Hier spielt die Symmetrie eine entscheidende Rolle. Je mehr Steckwürfel in regelmäßigem Abstand voneinander ein Gerüst bilden, umso stabiler die Standfläche.

# data[].attributes.body
Erbsen: halbrund, grün

Haferkringel: raue Oberfläche, rund, in der Mitte ein Loch

S.B.- Samen: schwarz mit weißen Streifen, vorne spitz zulaufend, glatte Oberfläche

Nudeln: gelb, innen hohl

# data[].attributes.body
Stift auf Symmetrieachse platzieren. Mit Klammer etwas weiter in Richtung der Klammer ansetzen.

# data[].attributes.body
Entfernen kann man den Holzklotz ohne, dass es umfällt.

Wenn die Säulen entfernt werden fehlen die Stützen für das Dach.

Um es zum einstürzen zu bringen muss man oben drauf mehr Würfel hinlegen (zu hohes Gewicht).

# data[].attributes.body
Ball, Löffel, Becher, Holz

Min. 3 mal

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Erbse: halbrund, grün

Haferkringel: reifenförmig, gelb

Nudel: gelb, hohl

Sonnenblumenölen: tränenförmig, schwarz-weiß

# data[].attributes.body
Haferkringel, Sonnenblumenkerne, Nudeln, Erbsen