# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Панова С.О.,
старший викладач кафедри математики та методики навчання математики Бердянського державного педагогічного університету, кандидат педагогічних наук

Основні поняття евристичного навчання математики (методичний аспект)

У статті розкрито зміст основних понять евристичного навчання математики, представлено методику його засвоєння у фаховій підготовці майбутніх учителів математики.

Ключові слова: евристики, евристичне навчання математики, методика, фахова підготовка вчителів математики.

Постановка проблеми. Евристичне навчання математики вважають одним із напрямів інноваційної освіти. Він стає все більше актуальним у зв'язку з новими освітніми реформами в Україні, оскільки передбачає зміну організації викладання математики: перетворення його у творчий процес пізнання учнем навколишнього світу. Такий спосіб навчання покликаний сформувати в учнів здатність вчитися та самовдосконалюватися протягом усього життя для успішної самореалізації.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. Питання організації евристичного навчання учнів закладів загальної середньої освіти досліджували вітчизняні та зарубіжні вчені (у психології, педагогіці, філософії, інженерії, техніці, кібернетиці тощо). Так, у психології евристика - це розділ про мислення (П. Гальперін, В. Крутецький, Ю. Кулюткін та інші); у філософії розкрито роль евристичних філософських поглядів у пізнанні людини (А. Бранський, А. Кудряшов, В. Мантатов та інші).

У педагогіці розробником оригінальної науково-педагогічної концепції евристичного навчання є А. Хуторський [11]. Учений розробив евристичну технологію навчання, яка ґрунтується на поєднанні індивідуальної творчої самореалізації учнів з колективним вивченням навчальних предметів.

Найвагомішим вкладом у розвиток теорії та практики евристичного навчання в галузі математики є науковий доробок О. Скафи [5; 6], якою створено методичну систему евристичного навчання математики на основі застосування евристико-дидактичних конструкцій.

О. Скафа та О. Тутова [7] запропонували систему підготовки вчителів та студентів педагогічних закладів вищої освіти до використання комп'ютерних технологій в евристичному навчанні математики. Отже, евристика є складовою багатьох галузей суспільної діяльності людини, які пов'язані з математикою. Тому важливо сформувати в учнів уміння евристичної діяльності на уроках математики.

Нами досліджено мету та завдання вивчення змістової лінії "Евристичне навчання математики" у процесі фахової підготовки майбутніх учителів математики та представлено окремі авторські методичні прийоми організації навчального процесу під час вивчення цієї теми [4].

Виділення невирішених раніше частин загальної проблеми, яким присвячується стаття. Для успішної практичної підготовки майбутніх учителів математики необхідно створити ґрунтовну базу теоретичних знань щодо евристичного навчання математики. Це потребує якісного методичного забезпечення цього процесу. Тому вважаємо, що існує необхідність в узагальненні теоретичного та методичного матеріалу щодо організації евристичного навчання математики в основній школі. Він може бути використаний для методичної роботи викладачами педагогічних закладів вищої освіти та студентами. Також ця інформація буде корисна вчителям математики з метою підвищення рівня власної фахової компетентності.

Метою статті є уточнення та структурування змісту основних понять евристичного навчання математики для методичного забезпечення фахової підготовки майбутніх учителів математики. Зазначаємо, що в межах однієї публікації неможливо розглянути всі теоретичні та методичні аспекти викладання змістової лінії "Евристичне навчання математики".

Виклад основного матеріалу. Достатньо ґрунтовний теоретичний аналіз змісту основних понять евристичного навчання знаходимо в таких науковців, як О. Скафа [5-6], З. Слєпкань [8], А. Хуторський [11] та інших. Їхні дослідження стали основою для теоретико-методологічного аналізу змісту основних понять евристичного навчання математики. За допомогою аналізу визначили, що основними поняттями теми "Евристичне навчання математики" є такі: "евристики", "евристичне навчання", "евристичні вміння", "евристичні прийоми розумової діяльності", "евристична задача", "евристичні прийоми", "евристико-дидактичні конструкції".

Розглянемо трактування змісту зазначених понять, зокрема дефініції "евристики". Цей термін насамперед пов'язують із давньогрецьким ученим Сократом (469-399 рр. до н.е.), який побудував власну систему навчання на основі використання особливих запитань, що допомагали учням самостійно відкривати істину, пізнавати нове. Цей метод був названий "майєвтикою". Тобто Сократ вважав, що допомагає іншим людям у пізнанні істини. Цікавим є приклад, який навів Сократ Менону, що ілюструє розглядуваний метод. Філософ провів діалог із рабом про властивості квадрата, у результаті чого неосвічений раб прийшов до висновку, що діагоналі квадрата створюють подвійний квадрат [11]. Це вдала ілюстрація можливостей евристичного навчання, тому приклад потрібно розглянути зі студентами на занятті. Викладач повинен допомогти усвідомити, що сократівський діалог - це не просто навчання, це партнерство між вчителем і учнем, "педагогіка співробітництва".

Відомий вислів Сократа "Я знаю, що нічого не знаю" є початковою евристичною формулою його системи навчання. Згадаємо також відомий вигук Архімеда "Еврика!", що в перекладі з грецької ("heureka") означає "Я знайшов!". Це є за своєю суттю "insight" - проникнення у зміст, розуміння, осяяння або раптова здогадка, прозріння у чомусь.

Однак поняття евристики було введене не Сократом. Це зробив у ІІІ ст. н.е. учений-математик Пап Александрійський. Він узагальнив праці античних математиків та написав працю "Мистецтво розв'язування задач" [11], де показав спосіб розв'язування задач, які не можна розв'язати за допомогою математичних і логічних прийомів. Цей спосіб він назвав "евристикою". Отже, сократівський діалог, "Еврика!" Архімеда та методичне обґрунтування Папа Александрійського поклали початок евристичному навчанню.

Як вже зазначалося, евристики використовують у декількох аспектах: кібернетичному, винахідницькому та освітньому; в останньому класифікують за використанням евристик у філософії, психології та педагогіці [6]. Розглянемо педагогічний аспект застосування евристик. У загальному розумінні евристика - це "наука про творчість та творчу діяльність людей з метою отримання нових результатів у досліджуваній області" [11, с. 73]. Також евристика - це "процес пошуку нового продукту діяльності. Тому метою евристики є дослідження методів, прийомів і правил, що використовують для відкриття та пошуку розв'язання задачі" [6, с. 23].

А. Хуторський відокремлює поняття "евристика" та "дидактична евристика", визначаючи останню як "теорію навчання, що визначає систему цілей, закономірностей, принципів, змісту, технологій, форм, методів та засобів, які забезпечують самореалізацію й освітній розвиток вчителів та учнів у процесі створення ними освітніх продуктів в областях знань та діяльності, які вони вивчають" [11, с. 73]. Тому вважаємо, що під час викладання теми "Евристичне навчання математики" потрібно акцентувати увагу студентів саме на тому, що евристикою може вважатися як наука про результативну творчу діяльність, так і методи, прийоми та засоби здійснення цієї діяльності.

Аналізуючи освітній аспект еристик уточнимо зміст поняття, запропоноване А. Хуторським [11], - "евристичне навчання" як навчання, метою якого є конструювання учнем власного сенсу, цілей і змісту освіти, а також процес його організації, діагностики і усвідомлення. Основною метою евристичного навчання вчений вважає створення учнями освітніх продуктів (матеріальні продукти діяльності учня у вигляді суджень, текстів, малюнків, виробів тощо; розвиток особистісних якостей школяра учня в освітньому процесі) у ході вивчення навчальних предметів; освоєння учнями базового змісту навчальних предметів на основі зіставлення із власними результатами; побудову індивідуальних освітніх траєкторій у кожній з освітніх галузей з урахуванням особистісних якостей. Зовнішній освітній продукт забезпечує отримання внутрішнього освітнього продукту - здобуття знань учнем, набуття досвіду, використання можливостей та інших особистісних якостей. Результатом евристичного навчання має стати творча самореалізація учня як цілісний процес становлення особистості школяра на життєвому шляху.

Наявне також поняття "ступінь творчості", сутність якого А.Хуторський визначає як визначення вчителем після первинної діагностики знань учня суб'єктивної та об'єктивної новизни створеного освітнього продукту [11].

В історії розвитку математичної освіти є чимало прикладів побудови системи евристичного навчання такими видатними вченими-математиками, як Р. Декарт, Г. В. Лейбніц, Д. Пойа та іншими. Питання вивчення історії виникнення та розвитку евристичного навчання є предметом наших подальших досліджень.

На основі теоретичного аналізу стверджуємо, що евристичне навчання математики - освітня система, спрямована на оволодіння знаннями, уміннями й навичками з математики за допомогою конструювання учнями власної освітньої траєкторії вивчення математики, формування навчально-пізнавальної евристичної діяльності школярів у процесі вивчення математики, розвиток творчих і креативних здібностей учнів у процесі вивчення математики.

На думку О. Скафи, "метою евристичного навчання математики є надання учням можливості створювати знання та освітню продукцію з математики у вигляді вміння будувати поняття та застосовувати їх, висловлювати судження й укладати умовиводи, розв'язувати різноманітні математичні задачі, а також сприяти розвитку їхніх особистісних якостей під час навчально-виховного процесу" [7, с. 73]. В основу такої системи покладено п'ять взаємопов'язаних компонентів: цілі, зміст, методи, організаційні форми і засоби навчання, що мають евристичні складові. Цілі математичної освіти обумовлюють цілі евристичного навчання математики. Тому цілі навчання кожної конкретної математичної теми необхідно корегувати відповідно до концепції евристичного навчання [6]. Тому, вважаємо, студентам потрібно навести приклад коригування навчальних цілей, який сприятиме кращому засвоєнню навчального матеріалу та формуванню вмінь визначення евристичних цілей навчання. Це допоможе майбутньому вчителю математики зрозуміти та дібрати найбільш оптимальні евристичні прийоми навчання щодо певної теми.

Таким чином, методичними вимогами евристичного навчання математики є формування евристичних умінь учнів, які визначаються цілями навчання за темами математичних курсів, та створення основних евристик (евристичних прийомів), застосування яких сприяє формуванню навчально-пізнавальної евристичної діяльності учнів. Як зазначає В. Гончарова, "евристичні вміння - уміння цілеспрямованого здійснення пошуку розв'язання евристичної задачі тим, хто її розв'язує, завдяки використання евристичних прийомів" [1]. Евристичні вміння можуть бути реалізовані у процесі отримання знань, отриманих на основі логічного оброблення та перетворення певної інформації за допомогою наявних знань, інтуїції, інсайту та евристичних прийомів розумової діяльності, якість яких є показником їх засвоєння. До евристичних можна віднести такі вміння, як уміння проводити аналогію, формулювати задачу, аналогічну даній, модифікувати, перетворювати з появою нових властивостей, визначати наслідки з умови задачі тощо.

Уточнимо сутність поняття "евристичний прийом розумової діяльності". Із урахуванням змісту понять "прийом розумової діяльності" та "евристика" вважаємо, що цей термін означає сукупність розумових і практичних дій, спрямованих на досягнення мети для створення нового продукту діяльності.

До евристичних прийомів розумової діяльності відносять [6] такі:

1. Аналіз на основі синтезу - пізнання нових сторін, якостей і властивостей об'єктів, що вивчаються, за рахунок включення цих об'єктів у систему зв'язків та відношень, у яких ці нові властивості можуть буди виявлені.

2. Порівняння - розумова дія, за допомогою якої встановлюються схожі (співставлення) та відмінні (протиставлення) якості та властивості певних предметів і явищ.

3. Абстрагування - розумова дія, спрямована на визначення у предметах та об'єктах істотних для даного дослідження властивостей і уявне відволікання від неістотних.

4. Узагальнення - розумова дія, спрямована на виявлення істотної загальної властивості, що належить множині об'єктів, яка їх об'єднує.

5. Систематизація - прийом розумової діяльності, у процесі якого об'єкти, що вивчаються, упорядковуються в певну систему на основі загального принципу.

6. Класифікація - віднесення одиничних об'єктів чи явищ до відповідного роду чи класу.

7. Аналогія - розумова дія, спрямована на отримання нових знань про властивості, ознаки, відношення предметів і явищ, що вивчаються, на основі часткової схожості з іншими предметами чи явищами.

8. "Підведення до поняття" та "Виведення висновків" - прийом розумової дії, необхідний у розв'язуванні задач, формулюванні понять та доведенні теорем.

Усіма прийомами розумової діяльності людина користується впродовж життя, що допомагає їй розуміти нове, установлювати нові зв'язки та робити узагальнення. Але іноді доводиться виконувати дії, про які немає потрібних знань, тобто йдеться про розв'язання нестандартної (евристичної) задачі - завдання, вирішення якого потребує самостійного формулювання способу його розв'язування, у процесі чого учень потрапляє в ситуацію виявлення власних евристичних позицій [6]. Такі задачі є основою для створення евристичних ситуацій актуалізації, орієнтування, пошуку, перетворення та інтеграції [2], способом створення евристико-дидактичних конструкцій [5], метою формування навчально-пізнавальної евристичної діяльності учнів і засобом формулювання математичних понять, вивчення теорем [6] тощо.

Згідно концепції евристичного навчання математики учням доцільно давати рекомендації під час розв'язування евристичних задач. Вони сприяють появі нових відкриттів та ідей. Такі рекомендації називають евристичними прийомами або евристиками. Підготовку майбутніх учителів математики до організації евристичного навчання математики розуміємо як формування здатності застосовувати евристики в майбутній фаховій діяльності. Тобто це вміння застосовувати евристичні прийоми й методи, які сформувалися в ході розв'язування одних задач та можуть бути перенесені на вирішення інших (хоча це не гарантує одержання потрібного правильного результату). До них відносять так звані евристичні правила-орієнтири, які задають загальний напрямок дій [6]. Їх можна назвати загальними евристичними прийомами. Як приклад для студентів бажано навести схему дій розв'язування математичної задачі Д. Пойа. До правил-орієнтирів можна віднести евристичний доказ, евристичне міркування, евристичні схеми, стратегії та специфічні евристичні орієнтири.

Спеціальними евристичними прийомами є евристичні приписи - система евристик у формі запитань, порад і вказівок, спрямованих на формування в учнів загальної стратегії пошуку найбільш раціонального розв'язування певного класу задач [10]. Ці приписи не дають готових правил розв'язування задач, а тільки допомагають учневі в цьому процесі. До них відносять переформулювання, указівки, поради, наочність, аналогії тощо.

Для розв'язування евристичних задач використовують базові евристики (Г. Саранцев [6]) - прийоми перетворення вимог задачі, відокремлення наслідків, розроблення допоміжних завдань із метою розв'язування евристичних задач. До них відносять перегляд усіх потенційно можливих випадків, розгляд задач теоретичного характеру, модифікацію, розгляд граничного випадку, уведення допоміжних невідомих, перехід до рівносильної задачі тощо.

Ще одним видом евристичних прийомів є діалогічні концернтри - послідовні ступені в навчанні, коли певний матеріал на кожному наступному етапі викладається й вивчається щораз глибше та в ширшому обсязі [9]. Це прийом, за якого будь-яке важливе математичне поняття після його введення занурюють у діалог з іншими поняттями з метою затребуваності основних знань та їх систематизації, завдяки чому упереджується їх зникнення із внутрішнього й зовнішнього діалогу учнів [6]. До них відносять сократівський діалог, розвиток базових понять тощо.

Розглянемо також зміст поняття "евристико-дидактичні конструкції". Це система керування евристичною діяльністю учнів у навчанні математики, у якій змодельована реальна діяльність учнів, а не окремі її сторони. До них відносять програми актуалізації знань (предпрограми тощо), акцентовану програму, програму із затримкою корекції, зціплену програму, програму автоматизованого рецензування розв'язку задач [6].

Таким чином, у концепції евристичного навчання математики існує система взаємопов'язаних основних понять. Їх досить багато, що спричиняє труднощі в усвідомленні студентами. Тому методично виникає необхідність у схематизації всього навчального матеріалу.

Наприклад, зміст поняття "евристика" можна зобразити схематично (рис. 1).

Рис. 1. Схематичне зображення змісту поняття "евристика"

Для наочності під час уведення таких понять, як "дидактична евристика", "евристичне навчання" та "евристичне навчання математики" можна також використати схему для розкриття їх взаємозв'язку (рис. 2).

Рис 2. Схематичне зображення взаємозв'язку понять "дидактична евристика", "евристичне навчання" та "евристичне навчання математики"

Для ілюстрації питання освітнього, винахідницького та кібернетичного аспектів евристик рекомендуємо схему, наведену О. Скафою в монографії [6, с. 15]. Також у цьому виданні схематично оптимально представлено класифікацію евристик.

Висновки. Отже, нами було уточнено зміст основних понять евристичного навчання математики. Визначено, що евристики застосовують у різних аспектах (винахідницький, кібернетичний та освітній), що зумовлено змістом поняття "евристика". Проаналізовано мету та методичні вимоги евристичного навчання математики. Узагальнено основні евристичні прийоми та прийоми евристичної розумової діяльності. Розроблено дидактичні схеми для унаочнення процесу викладання змістової лінії евристичного навчання математики.

Перспективи подальших досліджень убачаємо в розробленні методичного забезпечення питання методики евристичного навчання математики та застосування комп'ютерних технологій у процесі організації евристичного навчання математики в основній школі.

Список використаних джерел

1. Гончарова И.В. Критерии сформированности эвристических учений учащихся на факультативах по математике [Электронный ресурс] / И. В. Гончарова - Режим доступа : http://www.nbuv.gov.ua /old_jrn/Soc_Gum/Dmpd/2007_28/_28/185-189%2028_2007.pdf.

2. Власенко К. В. Актуалізація евристичних ситуацій на уроках геометрії (основна школа) / К. В. Власенко, О. І. Скафа. - Донецьк : ТЕАН, 2003. - 192 с.

3. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений / Ю. Н. Кулюткин. - М. : Педагогика, 1970. - 232 с.

4. Панова С.О. Викладання змістової лінії "Евристичне навчання математики" під час фахової підготовки майбутніх учителів математики [Електронний ресурс] / С. О. Панова // Вісник психології і педагогіки ; Педагогічний інститут Київського університету імені Бориса Грінченка ; Інститут людини. - Випуск 18. - К., 2016-2017. - Режим доступу до збірника : http://www.psyh.kiev.ua/Збірник_наук._праць._-_Випуск_18.

5. Скафа Е.И. Методические основы построения компьютерных программ управления эвристической деятельностью школьников / Е. И. Скафа // Информатизация образования - 2008 : Интеграция информационных и педагогических технологий : материалы Международной научной конференции. - Минск, 2008. - С. 501-505.

6. Скафа Е.И. Эвристическое обучение математике : теория, методика, технология : монография / Е.И. Скафа. - Донецк : Изд-во ДонНУ, 2004. - 440 с.

7. Скафа О.І. Евристичне навчання математики як комп'ютерно зорієнтована методична система / О.І.Скафа, О.В. Тутова // Збірник наукових праць Бердянського державного педагогічного університету - Бердянськ : БДПУ, 2009. - №3. - (Серія "Педагогічні науки"). - С. 73-80.

8. Слєпкань 3. І. Методика навчання математики : підручник / З. І. Сдєпкань. - 2-ге вид., допов. і переробл. - К. : Вища школа, 2006. - 582 с.

9. Словник української мови : в 11 томах [Електронний ресурс]. - 1973. - Т. 4. - 274 с. - Режим доступу : http://sum.in.ua/s/Koncentry.

10. Соколов В.Н. Педагогическая эвристика / В.Н. Соколов. - М. : Академия, 1995. - 204 с.

11. Хуторской А.В. Эвристическое обучение [Электронный ресурс] / А.В.Хуторской // Научная школа. - Режим доступа : http://www.khutorskoy.ru/science/concepts/terms/heuristic_training.htm.

Панова С.О. Основные понятия эвристического обучения математики (методический аспект)

В статье уточнено перечень базовых дефиниций темы "Эвристическое обучение математики". Раскрыто содержание основных понятий эвристического обучения математике, описаны методические аспекты его изучения во время профессиональной подготовки будущих учителей математики. Приведен дидактический материал, который может быть полезен для преподавателей педагогических учебных заведений высшего образования во время обучения студентов содержательной линии "эвристическое обучение математики".

Ключевые слова: эвристики, эвристическое обучение математике, методика, профессиональная подготовка учителей математики.

Panova, S.O. Basic Concepts of Heuristic Learning of Mathematics (Methodical Aspect)

The article describes the content of the basic concepts of heuristic learning of mathematics and describes the methodology for teaching this issue during the professional training of future mathematics teachers. In the article the list of basic definitions of the theme "Heuristic training of mathematics" is specified. The contents of the basic concepts of heuristic teaching to mathematics are revealed. Methodical aspects of teaching this question during the training of future mathematics teachers are described. The didactic material is provided, which can be useful for teachers of pedagogical higher educational institutions during the training of students of the content line "heuristic training of mathematics".

: heuristics, heuristic teaching of mathematics, methodology, vocational training of mathematics teachers.

# data[].attributes.attachment_link.title
Панова С.О. Основні поняття евристичного навчання математики (методичний аспект)

# data[].attributes.attachment_link.description
Панова С.О., старший викладач кафедри математики та методики навчання математики Бердянського державного педагогічного університету, кандидат педагогічних наук Основні поняття евристичного навчання математики (методичний аспект) У статті розкрито зміст основних понять евристичного навчання математики, представлено методику його засвоєння у фаховій підготовці майбутніх учителів математики. Ключові слова: евристики, евристичне навчання математики, методика, фахова підготовка вчителів математики.

# data[].attributes.headline
Хмара слів 2

# data[].attributes.subject
Хмара слів 2

# data[].attributes.attachment_link.title
Науковий апарат

# data[].attributes.attachment_link.description
Науковий апарат word cloud art created by Nastyadzubenko2

# data[].attributes.attachment_link.description
Науковці word cloud art created by Nastyadzubenko2

# data[].attributes.attachment_link.title
Прийоми критичного мислення для використання в початковій школі

# data[].attributes.headline
Науковий апарат

# data[].attributes.subject
Науковий апарат

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Анастасія Дзюбенко

# data[].attributes.headline
Ознайомтесь із науковою статтею 

# data[].attributes.subject
Ознайомтесь із науковою статтею 

# data[].attributes.body
У статті проаналізовано значення використання нестандартних завдань для розвитку евристичного мислення молодших школярів на уроках математики. Розкрито підґрунтя евристики, з’ясовано мету евристичного навчання; наведено приклади нестандартних завдань.

# data[].attributes.attachment_link.description
404. Сталася помилка.

# data[].attributes.headline
Напрямки використання віртуальних інтерактивних дошок

# data[].attributes.subject
Напрямки використання віртуальних інтерактивних дошок

# data[].attributes.body
Створивши віртуальну інтерактивну дошку, я відкриваю для себе нові можливості, адже, маю можливість для рефлексії, проєктної діяльності, організації групової роботи на уроках, самостійної роботи, домашніх групових завдань.

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
ІКТ в освіті

# data[].attributes.attachment_link.title
Створення дошки Padlet