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La chiave della matematica di Democrito va senza dubbio trovata nella sua dottrina fisica, l'atomismo. Tutti i fenomeni andavano spiegati, sosteneva Democrito, in termini di atomi impenetrabilmente duri, infinitamente piccoli e di forma e di forma e dimensioni infinitamente svariate, che si muovevano incessantemente nello spazio vuoto. Forse Democrito dimostrò che n prisma triangolare può essere diviso in tre piramidi triangolari, le quali, prese a due a due, hanno uguale altezza e uguale area di base; e ne aveva poi dedotto che piramidi che hanno la stessa altezza e basi uguali sono uguali. Sei sono i problemi principali della matematica e della geometria all'epoca di Democrito: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo, la trisezione dell'angolo, il rapporto tra grandezze incommensurabili, i paradossi contenenti il movimento e la validità dei metodi infinitesimali.

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Cercò di dimostrare la contraddittorietà insita nei concetti di molteplicità e divisibilità e seguì il metodo dialettico, anticipando Socrate nel modo indiretto di argomentare che partendo dalle premesse dell'oppositore, le riduceva a una assurdità. Contro le concezioni della scuola pitagorica Zenone sviluppò i suoi paradossi, fra i quali i più noti sono quelli del movimento, specialmente i seguenti quattro:
1) Il paradosso della "dicotomia".
2) Quello di Achille.
3) Quello della freccia.
4) Quello dello stadio.
I paradossi della dicotomia e di Achille dimostrano che, se si assume l'infinita suddivisibilità dello spazio e del tempo, il movimento risulta impossibile; i paradossi della freccia e dello stadio mostrano che il movimento è ugualmente impossibile se si assume il contrario, ossia che la suddivisibilità dello spazio e del tempo termini in elementi indivisibili. Nel paradosso della freccia Zenone sviluppa questo ragionamento: un oggetto che vola occupa sempre uno spazio uguale se stesso; ma ciò che occupa sempre uno spazio uguale a sè stesso non è in movimento; pertanto la freccia che vola è quiete in ogni istante, cosicchè il suo movimento è un'illusione. Se la scuola pitagorica ha il merito della scoperta del numero irrazionale, come la radice quadrata di 2, Zenone, può definirsi il persecutore della scoperta moderna del differenziale; la sua teoria del mondo apparente e della divisibilità all'infinito ha suscitato grande interesse nella fisica e nella matematica

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Ippocrate di Chio (da non confondere con l'ononimo medico di Coo)

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Ippocrate di Chio (da non confondere con l'ononimo medico di Coo)

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Riuscì facilmente da ottenere la prima rigorosa quadratura di un'area curvilinea nella storia della matematica.

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Rappresentata perfettamente lo spirito dell'indagine razionale e il desiderio di conoscenza: nel mondo greco la matematica era più strettamente collegata con la filosofia che non con questioni i carattere pratico. Anassagora  tentò di risolvere  il problema  della quadratura del cerchio. A quell'epoca circolavano ad Atene altri due famsi problemi, la duplicazione del cubo e la trisezione dell'angolo,  problemi che si pretendeva, cosa impossibile, di risolvere solo con la riga e il compasso.

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Conobbe la scienza mesopotamica ed egiziana.  E' famoso per il teorema che un angolo inscritto in un semicerchio è retto. tale teorema è forse di derivazione mesopotamica, ma la sua dimostrazione è di Talete, che perciò viene considerato il primo matematico. La tradizione gli attribuisce altre quattro dimostrazioni:
1) Un cerchio viene bisecato dal suo diametro.
2) Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali.
3) Le coppie di angoli al vertice formati da due rette che si intersecano sono uguali.
4) Se due triangoli sono tali che due angoli e un lato di uno di essi sono uguali rispettivamente a due angoli e a un lato dell'altro, i triangoli sono congruenti.

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Di Euclide sappiamo ben poco. Gli venne dato l'epiteto di compositore degli elementi. Una delle testimonianze più importanti di Euclide è quella di Proclo, vissuto nel quinto secolo d.C. Proclo scrive che Euclide è più giovane dei discepoli di Platone e più vecchio di Archemide ( che menziona nelle sue opere gli elementi di Euclide). Euclide visse ad Alessandria D'Egitto. Lui compose gli elementi raccogliendo molti teoremi di Eudosso, di Teeteto;  inoltre Euclide era platonico, al punto di porre come finale dei suoi elementi la costruzione dei poliedri regolari (figure cosmiche di Timeo).
-ANEDDOTI
Alcuni aneddoti, riferiti a Proclo, ci danno la possibilità di comprendere il carattere di Euclide. Nel primo, ci è detto che il re Tolomeo chiese a Euclide se non ci fosse un mezzo più breve degli elementi per imparare la geometria, e che Euclide gli rispose che non esistono vie regie in geometria. Nel secondo aneddoto si narra che un discepolo, dopo aver imparato alcuni dei primi teoremi, chiese ad Euclide: Maestro, quale utile ricaverò imparando queste cose? Ed Euclide chiamò un servo e gli diede ordine di dare qualche moneta al malcapitato , visto che voleva trarre guadagno da ciò che studiava e di mandarlo via. Dal primo aneddoto si deduce l'estremo rigore di Euclide, tanto da non fare concessioni didattiche, neanche al re. Il secondo aneddoto allude al carattere strettamente teorico degli elementi; per esempio Euclide dimostra la proporzionalità tra i cerchi  e i quadrati di diametri, ma non accenna ad una dimostrazione del relativo rapporto costante che è legato al famoso p greco.

-GLI ELEMENTI DI EUCLIDE
Gli elementi di Euclide sono divisi in 13 libri nei quali vengono trattati argomenti elementari di Geometria e Aritmetica. Nei primi 4 libri viene trattata la geometria piana; in particolare nel primo libro dopo 3 serie di principi, 5 postulati, 5 notazioni comuni, vengono esposte l'uguaglianza dei triangoli , la teoria delle rette parallele, la teoria delle equivalenze dei poligoni. Nel secondo libro si giunge alla costruzione di un quadrato equivalente ad un poligono. Nel terzo libro vengono studiate le proprietà del cerchio e ne quarto libro operano costruzioni di poligoni regolari. Il quinto libro contiene la teoria delle proporzioni tra grandezze. Nel sesto libro la teoria delle proporzioni viene applicata alla geometria per lo studio dei poligoni simili e la generalizzazione della quadratura di un poligono. Nel settimo- ottavo- nono libro si tratta della teoria dei numeri interi. Nel decimo libro si studiano i numeri irrazionali. Gli ultimi 3 libri trattano della geometra solida e dei poliedri regolari.

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Pitagora è nato a Samo in Grecia nel 572 a.C, da giovane andato in Egitto dove lì ha appreso le prime notazioni matematiche e soprattutto di geometria. Tornato da Samo, dopo essere stato 20 anni in Egitto trovò che molti avvenimenti politici avevano cambiato l'aspetto della sua città: non potendo poi  sopportare il governo di Policrate, lasciò ben presto la Grecia trasferendosi nella Magna Grecia. A Crotone egli raccolse attorno a sè un gruppo di allievi, la novità del suo insegnamento fece accorrere alla scuola tutti gli abitanti e l'entusiasmo era così vivo che anche le donne essendo escluse dalle assemblee, andavano ad ascoltarlo. Ma che cosa insegnava Pitagora? Un primo insegnamento era basato su una preparazione morale e religiosa al cittadino. Comprendeva anche i primi elementi di matematica e musica ai quali egli dava più importanza. Dopo questo primo insegnamento, i migliori allievi passavano sotto l'insegnamento continuo del maestro: essi poi venivano a far parte di una specie di confraternita chiamati "I PITAGORICI".  Il loro simbolo era quello che si chiama Stella d'Italia: una stella cinque punte.

-STORIA
La scoperta delle proprietà pitagoriche procede, e di molti secoli Pitagora anche se soltanto in un caso particolare lo attestano documenti recentemente trovati nelle terre dell'antica Babilonia. Poche decine di anni fa, durante scavi eseguiti nella zona dell'antica Babilonia, furono ritrovate delle tavolette di argilla in cui si trattavano questioni di matematica: è uno dei più antichi documenti che si posseggono risale al 1800-2000 a.C.

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Nella regione della Mesopotamia si usava la scrittura cuneiforme. I documenti venivano impressi su tavolette d'argilla soffice per mezzo di uno stilo; le tavolette venivano poi cotte al sole o forno, di conseguenza disponiamo oggi di una documentazione molto più vasta sulla matematica mesopotamica e sulla matematica egiziana. Fu verso il ventesimo secolo che cominciarono ad apparire le prime esposizioni della matematica mesopotamica. Migliaia di tavolette risalenti al tempo della dinastia degli Hammurabi (1800-1600 a.C) illustrano il sistema di numerazione utilizzato in Mesopotamia; il sistema a base 60, qualunque sia l'origine del sistema sessagesimale, esso ha goduto di una vita molto lunga, ne sopravvivono residui ancora oggi nella misura del tempo e degli angoli. Per scrivere tutti i numeri fino a 59, si usavano 5 cunei larghi e disposti di lato (ognuno rappresentava 10 unità) e 9 cunei verticali ( ognuno rappresentava 1 unità), ma la vera novità è stata l'introduzione della notazione posizionale. Tuttavia ai tempi di Alessandro Il Grande si usavano 2 cunei obliqui per indicare un vuoto e questo eliminava alcune ambiguità ma non risultano numeri terminanti per 0.

- L'ALGEBRA

I babilonesi per esaurire una divisione moltiplicano il dividendo per il reciproco del divisore,utilizzando opportune tavole de reciproci tre le tavolette risalenti al periodo babilonese antico ve ne sono solo alcune contenenti le potenze successive di un dato numero, analoghe alle moderne tavole degli antilogaritmi. La differenza sostanziale tra le antiche tavole dei logaritmi e quelle moderne è che i babilonesi non prediligevano una base particolare come la base 10 per noi moderni. I babilonesi facevano anche uso di tavole di n3 + n2. L'algebra raggiunse in Mesopotamia un livello molto più alto di quanto non avesse raggiunto in Egitto.   Va tenuto presente che le tavolette della Mesopotamia sono simili ai papiri egiziani per il fatto di fornire soltanto casi specifici, senza alcuna formulazione generale. Il teorema di Pitagora non compare nei documenti egiziani, invece in Mesopotamia il teorema veniva largamente usato.

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La dottrina pitagorica secondo cui i numeri costituiscono l' intero universo era stata criticata dai seguaci di Parmenide,  primo tra essi Zenone. Zenone sviluppò i suoi paradossi creando grande imbarazzo. Il primo paradosso è detto della Dicotomia: un oggetto in movimento, prima di percorrere una data distanza, deve prima percorrere la metà, ma prima di fare ciò deve percorrere il primo quarto, il primo ottavo e così via, attraverso un numero infinito di suddivisioni.

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Il centro dello sviluppo della matematica aveva cominciato a spostarsi dalla Mesopotamia al mondo greco circa sei secoli prima dell'era cristiana. L'inizio della scuola greca risale al secondo millennio a.C. I primi giochi olimpici si tennero nel 776 a.C; in tale data si era già  sviluppata una grande letteratura greca, invece per quanto riguarda la matematica non si sapeva niente. Poi, durante il sesto secolo a.C apparvero due uomini, Talete e Pitagora che hanno svolto nel campo della matematica un ruolo molto importante. Talete e Pitagora sono figure storicamente abbastanza confuse ed inoltre non ci è stato tramandato nessun capolavoro attribuibile all'uno all'altro. Ciò che sappiamo della vita di Talete è in realtà molto poco; le date di nascita e di morte vengono calcolate in base al fatto che l'eclissi solare del 585 a.C ebbe luogo quando Talete era intorno ai 40 anni e in base alla tradizione secondo cui aveva 78 anni quando mori'. Talete era un uomo di intelligenza molto potente, considerato il primo dei "Sette saggi" e discepolo degli egiziani e dei caldei. Talete è acclamato come il primo vero matematico, in quanto fondatore dell'impostazione deduttiva della geometria; altre leggende dipingono Talete come un mercante di sale, un contemplatore di stelle, un sostenitore del celibato e uno statista.

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La scienze matematiche al tempo di Platone

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La scienze matematiche al tempo di Platone

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Platone nella Repubblica prescrive ai futuri governanti dieci anni di studio delle scienze matematiche, indicando tra queste la geometria (piana e solida), l'aritmetica, l'astronomia e l'armonica (scienze).

GEOMETRIA
La geometria aveva già raggiunto l'assetto di vera e propria scienza con i pitagorici nel quinto secolo.
Al tempo di Platone, vissero illustri geometri come Leodamante di Taso, Archita di Taranto e Teeteto; costoro accrebbero il numero di teoremi e diedero loro un ordinamento più specifico.
Fu proprio nella scuola di Platone, l'Accademia, che emerse la contrapposizione tra procedimento per problemi, consistente nel cercare dei principi, che permettano di costruire qualcosa che ancora non si conosce e il procedimento per teoremi, consistente nel partire da principi, o elementi, già noti per dedurne le conseguenze che ne derivano. Probabilmente i due procedimenti furono teorizzati dallo stesso Platone rispettivamente col nome di analisi (risoluzione e scomposizione) e sintesi (o composizione).

ARITMETICA
Alla geometria era strettamente legata l'aritmetica specialmente per i concetti di potenza ( quadrato, cubo ecc.) e di radice (quadrata, cubica ecc.) nonché per la teoria della proporzione (progressioni o medie o analogie).
Presso i greci l'aritmetica non progredì quanto la geometria, sia a causa della macchinosità del sistema si segni usato per indicare i numeri, sia per la mancata conoscenza dei numeri negativi e delle frazioni. Certamente dovette contribuire all'approfondimento del concetto di numero la dottrina platonica delle idee-numeri e dei loro principi, che rivela che i numeri erano concepiti come rapporti tra grandezze commensurabili e incommensurabili.
Al tempo di Platone pare che risalga la scoperta dei numeri primi, cioè non divisibili altrimenti che per se stessi e per uno.

ASTRONOMIA
Platone esponeva un completo sistema astronomico consistente nel porre la terra sferica e immutabile al centro dell'universo e nel supporre la rotazione intorno ad essa dei vari pianeti. Restava da spiegare l'apparente irregolarità del moto dei pianeti. Eudosso diede una geniale soluzione, immaginando che il moto di ciascun pianeta sia la risultante dei moti di più sfere concentriche, dotate di assi diversamente inclinati, ma collegate tra loro per i poli ruotanti a velocità diversa.
Si tratta quindi di una concezione rigorosamente  geometrica dell'astronomia.

ARMONICA
L’Armonica è la Scienza dei Costruttori, e nasce dai rapporti tra spazio e suono.
L’armonica è una scienza sacra, perchè il suono è il fondamento della creazione. Tutto ciò che è immerso nello spazio, pianeti compresi, ha il proprio suono, così come lo spazio, che risuona di un suono maggiore. Dunque, i principi di tale scienza sono sacri, in quanto rispondono all’architettura dell’Universo.
L’armonica diventa scienza speculativa, quando viene applicata alle geometrie degli antichi simboli.

L’armonica diventa scienza operativa, quando viene applicata alla costruzione di edifici secondo “ritmi architettonici”.
La massima espressione di costruzioni armoniche sono le Cattedrali gotiche, e più precisamente i rapporti armonici dei loro spazi interiori.

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Secondo Platone doveva esserci un forte distacco tra aritmetica (teoria) e logidtoca (calcoli). Platone diceva che la logistica,legata al mondo degli artigiani e dei commercianti,richiedeva solo minime conoscenze matematiche a differenza di aritmetica e geometria (matematica pura)che per lui conduceva al vero sapere. Nella filosofia di Platone,le figure geometriche hanno molta importanza. Tra tutte,lui preferiva il triangolo. Egli infatti pensava che ogni solido era formato da soli triangoli rettangoli. Platone collega anche i solidi geometrici con gli elementi che costituiscono l'Universo :
Tetraedo=Fuoco
Ottaedro=Aria
Icosaedro=Acqua
Cubo=Terra
Dodecaedro=Quinto elemento.

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Tutto quello che noi oggi conosciamo di Pitagora,lo sappiamo grazie ad altri filosofi che hanno scritto e parlato di lui.
Secondo Proclo,Pitagora avrebbe scoperto:

i numeri irrazionali

i poliedri

il teorema sulla somma degli angoli

il teorema di Pitagora

la costruzione dei poligoni rettangoli

i problemi di applicazione delle aree

Invece grazie ad Aristotele noi sappiamo che i pitagorici dividevano i numeri in "pari" e in "dispari",dove i pari erano i numeri imperfetti,mentre i dispari quelli perfetti.
I numeri pari vengono anche detti «illimitati» perché la loro divisione per due non dà resto, mentre i numeri dispari vengono detti «limitati» in quanto, divisi per due, danno sempre come resto l’unità che permane come limite.

Tra tutti i numeri quello che faceva eccezione era l’uno,che non era ne un numero pari ne uno dispari,l’uno veniva definito "parimpari" in quanto aggiunto ad un numero dispari ne generava uno pari ed aggiunto ad un numero pari ne generava uno dispari.

Un altro numero importante per i pitagorici era il "dieci",in quanto dieci erano i punti che servivano per costruire un triangolo equilatero nel piano,e 10 erano le coppie di opposizione che per i pitagorici formavano il "tutto".

1.  limite / illimitato

2.  pari / dispari

3.  molteplice / uno

4.  sinistra/ destra

5.  femmina / maschio

6.  movimento / quiete

7.  curvo / dritto

8.  oscurità / luce

9.  male / bene

10.  rettangolo / quadrato

Quindi noi possiamo affermare che il pitagorismo è una "filosofia dualista" in quanto cerca di spiegare i fatti o le cose sovrapponendo due concetti opposti, partendo dal principio di "limitato" e di "illimitato".

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Il papiro di Rhind (o Ahmes) contiene molte notizie matematiche risalenti a 5000 anni fa.

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La Pietra di Rosetta, antico porto vicino Alessandria, ebbe una funzione fondamentale per la decifrazione dei geroglifici.

Champillion e Young furono in grado di svelare il mistero della numerazione geroglifica egiziana, utilizzando la base del 10 secondo uno schema iterativo e simboli per ciascuna delle sei potenze di 10.

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Risalente al 2900 a.C., il metodo delle corde veniva usato dagli Egizi per costruire la base quadrata e ottenere così gli angoli retti di una piramide.
Ecco di cosa si tratta:

Prendere una corda lunga 12 unità di lunghezza, avente nodi che la dividono in parti lunghe rispettivamente 3, 4, 5 unità.

Fissare nel suolo due paletti, distanti 4 unità. Tendere poi, fra i paletti, la parte di mezzo della corda e subito dopo le due parti rimanenti (3 e 5 unità), finendo per incontrarsi in un punto.

Il triangolo ottenuto è rettangolo.

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E' nell'antico Egitto che comparvero, quindi, le prime tracce della Matematica. Essi furono grandi innovatori: scoprirono le potenzialità della geometria e dei numeri e furono precursori delle più grandi scoperte nella storia della Matematica.

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ERODOTO VS ARISTOTELE

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La Matematica secondo Erodoto e Aristotele.

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La Matematica secondo Erodoto e Aristotele.

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Le origini della Matematica sono molto più antiche della scrittura.

Alle sue origini, incontriamo due personaggi molto importanti: i filosofi Erodoto e Aristotele, dai pensieri abbastanza diversi.

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In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente ai quadrati costruiti sui cateti.

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Nel VI secolo la scuola assunse un carattere di scuola mistica, i cui contenuti si rispecchiavano nella setta degli Orfici. I suoi persecutori prendevano il nome da Pitagora, infatti venivano chiamati "Pitagorici".
La scuola era caratterizzata anche da una vita collettiva, religiosa e politica. Le dottrine di Pitagora rimasero segrete anche dopo la sua morte, e da qua viene il detto "ipse dixit" (l'ha detto lui in persona).
La scuola venne distrutta da una rivolta Democratica guidata da Cilone. Molti Pitagorici morirono nelle fiamme.
Si pensava che la scuola fosse anti-femminista, ma sono soltanto voci, infatti le donne erano ben accettate.

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Pitagora nacque a Samo (570-497 a.C.). A causa del passaggio da aristocrazia a democrazia, Pitagora fu costretto a fuggire a Crotone. Qui fondò la prima vera e propria scuola filosofica. Attorno a sé raccolse un gruppo di discepoli che seguivano delle regole ben precise.