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2018-1-ES01-KA204-050530

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10 Cartel Lectura Fácil Pendulo acoplado

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Llamemos x₁ y x₂ a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha. El muelle de la izquierda se ha estirado x₁, el de la derecha se ha comprimido x₂ y el central se ha deformado x₂-x₁. Las fuerzas sobre cada una de las partículas se indican en la figura.

Sobre la partícula de la izquierda, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –kx₁, y una fuerza hacia la derecha debido a la deformación del muelle centralkc(x₂-x₁), suponemos quex₂ es mayor que x₁.

Sobre la partícula derecha, se ejerce una fuerza hacia la izquierda –kx₂ y otra fuerza hacia la izquierda debido a la deformación del muelle central–kc(x₂-x₁).

El muelle central ejerce fuerzas iguales y de sentido contrario sobre cada una de las partículas.

Aplicamos la segunda ley de Newton a cada una de las partículas, y escribimos las ecuaciones del movimiento en forma de ecuaciones diferenciales de segundo orden

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, la ecuación diferencial de un MAS.

Dos movimientos armónicos simples de frecuencias

Las soluciones de estas dos ecuaciones, son respectivamente

y a=x₁+x₂=y 0a sen( w at+j a)

y b=x₁-x₂=y 0b sen( w bt+j b)

Donde las amplitudes y 0a y y 0b y las fases iniciales j ay j b están determinadas por las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de cada una de las partículas.

Despejando x₁ y x₂ de las dos ecuaciones anteriores tenemos

El movimiento general de dos osciladores acoplados puede considerarse como la superposición de dos modos normales de oscilación de frecuencias angulares w a y w b.

Condiciones iniciales

En el instante t=0, las posiciones iniciales de las partículas son respectivamente x₀₁ y x₀₂. Las velocidades iniciales son cero.

Las ecuaciones se transforman después de algunas operaciones en

El primer modo normal de vibración de frecuencia w a se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en fase x₀₁ es igual a x₀₂. El muelle central no sufre ninguna deformación y por tanto, no ejerce ninguna fuerza sobre las partículas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.

El segundo modo normal de frecuencia w b se obtiene cuando los dos osciladores se mueven en oposición de fase x₀₁ =- x₀₂. Las ecuaciones del movimiento de cada oscilador se reducen a las siguientes.

Supongamos que x₀₂ es cero, tal como se hace en la demostración de aula. Las ecuaciones del movimiento de las partículas se pueden escribir de forma más simple usando las relaciones trigonométricas cos A+cos B y cos A-cos B.

Cuando la amplitud de un oscilador varía con el tiempo, se denomina amplitud modulada. La amplitud del primer oscilador x₀₁ cos( w a-w b )/2 es una función coseno que está adelantada p/2 respecto de la amplitud modulada del segundo oscilador, que es una función seno. Debido a la diferencia de fase entre las dos amplitudes modulantes hay un intercambio de energía entre los dos osciladores. Durante un cuarto de periodo modulante, la amplitud de un oscilador disminuye y la del otro aumenta, dando lugar a una transferencia de energía del primero al segundo. Durante el siguiente cuarto de periodo, la situación se invierte y la energía fluye en dirección opuesta. El proceso se repite continuamente.

Calculemos la energía total del sistema, la suma de las energías cinética y potencial. Tenemos la energía cinética de cada una de las partículas, la energía potencial elástica del muelle izquierdo que se deforma x₁, del muelle derecho que se deforma x₂, y del muelle central que se deforma x₂-x₁.

Una vez agrupados los términos, el primer paréntesis depende solamente de x₁, y puede llamarse energía del primer oscilador, el segundo término depende solamente de x₂, y puede llamarse energía del segundo oscilador. El último término, que depende de x₁ y x₂ se denomina energía de acoplamiento o de interacción. Este término es el que describe el intercambio de energía entre los dos osciladores.

Se introduce:

la constante elástica de los dos osciladores, en el control de edición titulado k de los muelles.

la constante elástica del muelle central, en el control de edición titulado k del acoplamiento

la masa de las partículas se ha tomado como la unidad.

la posición inicial de la partícula de la izquierda (una cantidad menor o igual que la unidad), en el control de edición titulado Posición inicial de 1

la posición inicial de la partícula de la derecha, en el control de edición titulado Posición inicial de 2.

las velocidades iniciales se toman como cero.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Modos normales de vibración

Primer modo normal de oscilación: introducir la misma cantidad, por ejemplo, 1.0 en los controles de edición titulados Posición inicial 1 y Posición inicial 2.

Segundo modo normal: introducir la misma cantidad pero con signos opuestos en dichos controles de edición, por ejemplo, 1.0 en Posición inicial 1, y –1.0 en Posición inicial 2.

Simulación de la práctica de aula

Introducir en el control de edición titulado Posición inicial 1, la cantidad de 1.0, e introducir en el control de edición tituladoPosición inicial 2, la cantidad de 0.0.

Observar, las oscilaciones de las dos partículas, medir el tiempo que tarda un oscilador desde que su amplitud se hace cero hasta que vuelve a hacerse cero. En la parte superior izquierda de la ventana del applet se da el valor del tiempo, y en la parte inferior se representa el desplazamiento de cada partícula en función del tiempo. Usar los botones Pausa y Paso, para aproximarse a los instantes en los que el oscilador elegido se detiene momentáneamente.

Calcular las frecuencias angulares w byw ade los dos modos de vibracióny la frecuencia angular de la amplitud modulada (w a-w b )/2, el periodo y el semiperiodo. Comparar el resultado obtenido con las medida efectuada, ¿coinciden?.

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Llamemos x1 y x2 a los desplazamientos de cada una de las partículas a partir de su posición de equilibrio, medidos como positivos cuando están a la derecha. El muelle de la izquierda se ha estirado x1 , el de la derecha se ha comprimido x2 y el central se ha deformado x2-x1 .

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Colaboradores de los proyectos Wikimedia

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Energía - Wikipedia, la enciclopedia libre

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El término energía (del griego ἐνέργεια enérgeia, ‘actividad’ ‘operación’; de ἐνεργóς energós, ‘fuerza de acción’ o ‘fuerza de trabajo’) tiene diversas acepciones y definiciones, relacionadas con la idea de una capacidad para obrar, surgir, transformar o poner en movimiento.

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Léon Foucault

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Su experimento más famoso empezó en 1850, cuando observó que un péndulo permanecía oscilando en el mismo plano mientras se hacía rotar el aparato. Foucault usó entonces el péndulo para demostrar la rotación de la Tierra.

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10El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra

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10El experimento de Foucault es una prueba efectiva de la rotación de la Tierra

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En 1851 Jean Leon Foucault colgó un péndulo de 67 metros de largo de la cúpula de los Inválidos en Paris. Un recipiente que contenía arena estaba sujeto al extremo libre, el hilo de arena que caía del cubo mientras oscilaba el péndulo señalaba la trayectoria.

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Desde el Museo de la Ciencia os queremos ayudar a comprender, un poco mejor, el movimiento de rotación de la Tierra. Por ello, aquí os ofrecemos un vídeo explicativo sobre el funcionamiento del Péndulo de Foucault. Una grabación, financiada por Michelin, que acomplementa al actual Péndulo de Foucault del Museo de la Ciencia de Valladolid.