# data[].attributes.body
Ad una macchina di Atwood di raggio r=0,05m sono agganciati due corpi di massa M=2kg e m=1,2kg. Lasciato cadere da fermo, il blocco più pesante si sposta di 0,9m in 4s senza che il filo slitti sulla carrucola e senza attrito. Dopo aver disegnato le forza calcola:

a)      Il modulo dell’accelerazione di entrambi i corpi;

b)      Le tensioni dei due rispettivi blocchi;

# data[].attributes.headline
La dinamica rotazionale nella vita di tutti i giorni.

# data[].attributes.subject
La dinamica rotazionale nella vita di tutti i giorni.

# data[].attributes.body
In ogni istante della nostra vita ci troviamo di fronte, anche se inconsapevolmente,a diverse manifestazioni della dinamica rotazionale, basti pensare al movimento di una ruota, di un carosello isolato e di una bicicletta.
Sembrerebbe che ogni cosa sia delimitata da tal concetto, ma come avviene quanto descritto poc'anzi in un contesto fisico?

# data[].attributes.headline
Ma...procediamo con ordine, cosa determina una rotazione?

# data[].attributes.subject
Ma...procediamo con ordine, cosa determina una rotazione?

# data[].attributes.body
Immaginiamo di avere una corpo che ruota attorno ad un asse fisso passante per O (asse z,) al quale è applicata una forza che ne determina la rotazione in senso antiorario. L’effetto della rotazione è descritto dal momento torcente.

# data[].attributes.headline
Definizione del momento torcente e rappresentazione grafica

# data[].attributes.subject
Definizione del momento torcente e rappresentazione grafica

# data[].attributes.body
Si definisce momento torcente (o momento della forza) il prodotto vettoriale tra il raggio e la forza:

M=r ˄ F

Dunque il modulo del momento risulterà:
M=F r*sinα

dove F è la forza che provoca la rotazione, r è il raggio vettore, il quale congiunge il punto fisso O con il punto di applicazione della forza e α è l’angolo formato tra il vettore della forza e il prolungamento di r.

La direzione del momento torcente è perpendicolare al piano individuato da F e r, mentre il verso si determina con la regola della mano destra.
Dopo aver posizionato i vettori affinché siano concorrenti, collochiamo il pollice sul vettore del raggio e l’indice sul vettore della forze, cosicché il medio determinerà il verso, se  uscente dal piano risulterà positivo,ovvero antiorario, se entrante sarà negativo, ovvero orario.

Il momento torcente si può anche definire come il prodotto tra la forza F e il braccio b.
In tal caso il braccio non è pari al raggio, ma a r*sinα, difatti quando si parla di braccio facciamo riferimento al segmento condotto dal punto fisso O e perpendicolare alla retta di azione della forza.

# data[].attributes.headline
Momento torcente e seconda legge della dinamica rotazionale

# data[].attributes.subject
Momento torcente e seconda legge della dinamica rotazionale

# data[].attributes.body
La forza F applicata al corpo, può essere scomposta nelle sue due componenti: quella radiale diretta lungo il raggio e quella tangenziale, che è perpendicolare ad r e ha intensità Ft= F*sinα.

Chi effettivamente realizza la rotazione è la componente tangenziale della forza e non quella radiale.
Infatti quest'ultima è diretta nella stessa direzione del raggio e avrà momento nullo,  l’angolo tra i due vettori sarà pari a 0 , quindi non provocherà alcun effetto sul moto.

Dato che Ft=Fsinα il momento torcente si può scrivere anche M=Ft*r.

In presenza di una forza tangenziale, avremo anche un’accelerazione tangenziale (at), equivalente ad αr, dunque, utilizzando la seconda legge della dinamica rotazionale, otterremo la seguente relazione:

Mtot=Ft*r=m*at*r=m*r*r*α=Iα

# data[].attributes.body
a)      Per calcolare l’accelerazione dei due corpi, bisogna utilizzare le leggi orarie del moto uniformemente accelerato:

poiché in questo caso il blocco parte dall’origine e da fermo, consideriamo s₀ e V₀ nulli;

s=s₀+V₀t+½at2

sostituiamo i valori numerici e      a=0.11 m/s²

a=2s/t²

L’accelerazione è uguale per tutti e due i blocchi poiché fanno parte di un unico sistema, quello Blocco 1-carrucola-blocco 2

b)      Considerando come verso positivo quello dell’asse x in figura, applichiamo la seconda legge della dinamica per entrambi i blocchi.

Primo blocco:

P1-T1=Ma; T1=Mg-Ma; T1=M(g-a)

sostituiamo i valori numerici T1=19.4 N

Secondo blocco:

T2-P2=ma; T2=ma-mg; T2=m(a-g)

sostituiamo i valori numerici T2=-11.6 N

# data[].attributes.body
c) Restando all'interno della situazione in analisi, calcola il momento torcente della carrucola.

# data[].attributes.body
a)      Troviamo il momento torcente totale:

Mtot=Ftot*r;

Mtot=(T1+T2)*r;

Mtot=(19.4-11.6)*0.05;

Mtot=0.41 N*m

# data[].attributes.body
In ambito fisico il concetto di momento angolare, affiancato a quello di quantità di moto (o momento lineare) e del omonimo principio di conservazione è finalizzato alla previsione di collisioni, anche in assenza di dati specifici riguardanti queste ultime. Ma cos’è il momento angolare?

# data[].attributes.body
Tale quantità può essere definita come il prodotto vettoriale tra la quantità di moto e la componente radiale, che relaziona il punto di applicazione del moto al centro 0, ɭ=r x p :

# data[].attributes.body
Come è possibile evincere dalla figura la risultante delle due componenti non risulterà nel piano, altresì nella dimensione raffigurante l’altezza (z). Mentre, per determinare il verso della risultante, adottiamo la regola della mano destra, ponendo il pollice in prossimità del raggio e l’indice sul vettore della quantità di moto.

Il modulo della forza sarà invece pari a ɭ =rmv sin α, dove con α indichiamo l’angolo formatosi tra la retta d’azione di r e quella di p o tra il raggio e la linea d’azione di p , cosicché l’intensità sia pari al braccio rɻ (perpendicolare) o pɻ, al variare dell’angolo preso in considerazione.

Tuttavia, se si analizza il moto di un sistema di particelle, dovrà essere considerata la sommatoria dei vari momenti:

Σ L=ɭ1+ɭ2+ɭ3+….=Ltot

Dunque, tramite questa considerazione, è possibile analizzare non solo il moto di più corpi, ma anche quello di un corpo esteso, in quanto considerabile puntiforme.

# data[].attributes.body
Al termine di tali analisi è possibile introdurre un ulteriore concetto, ovvero il principio di conservazione del momento angolare, purché il momento torcente netto delle forze esterne sia pari a zero (τ net= 0), cosicché la variazione del momento angolare in un determinato intervallo di tempo possa verificare l’equazione ∆ ɭ /∆t=0 (ricordiamo inoltre che il momento torcente esterno netto sia pari a τ net=∆ ɭ /∆t). Tramite un simile principio è possibile non solo ricavare la massa o il momento di inerzia delle varie particelle, ma anche la velocità iniziale e/o finale.

# data[].attributes.body
Qui di seguito potete osservare come anche nella realtà possa essere rilevato codesto principio.
In particolar modo è curioso notare come, grazie alla diminuzione del momento di inerzia di un corpo, vi consegua un aumento della velocità angolare e viceversa. Ciò è dovuto alla presenza di un baricentro, nel quale consideriamo concentrata tutta la massa del soggetto,inoltre, data la reazione vincolare del terreno rispetto a quest'ultimo, possiamo considerare la risultante delle forze esterne nulla, rendendo valido il principio.

# data[].attributes.body
Un proiettile di massa m=5g viene sparato contro un blocco (che considereremo puntiforme) inizialmente fermo di massa M=4kg, il quale è legato all’estremità di un’asta rigida, che ha massa m₂=0.5kg, lunga 1m (ɭ=1m)e libera di ruotare attorno ad un asse perpendicolare passante per l’altra estremità.

a)      Sapendo che il proiettile impatta contro il blocco con velocità V=490m/s, calcola la velocità angolare finale del sistema.

# data[].attributes.body
a)      Poiché il momento torcente totale del sistema è uguale a zero, possiamo utilizzare la conservazione del momento angolare, infatti, per quanto riguarda il proiettile, l’unica forza ad esso applicata è la forza peso P, che non ha momento torcente perché è applicata nel centro del corpo (Questo vale anche per l’asta e per il blocco).

Prima di tutto calcoliamo il momento di inerzia dell’asta con il teorema di Huygens Steiner:

r=ɭ/2

ɭ=1/12*m₂r²+m₂*ɭ²=0.5 kg*m2

Applichiamo la conservazione del momento angolare:

L₀=Lf; mrV=(I+Mr²+mr²)ω;

ω=mrV/(I+Mr²+mr²);

ω=0.8 rad/s

# data[].attributes.body
All'interno di un sistema isolato, privo di sistemi non inerziali, che non conservano dunque l'energia cinetica, è possibile stabilire un budget energetico dato dalla somma tra l'energia potenziale gravitazionale (mgh) e l'energia cinetica (1/2m v^2).
Tramite tale principio di conservazione è possibile calcolare, non solo la velocità raggiunta da un corpo ad una determinata altezza, ma anche la sua quota, ciò è possibile attuarlo anche nella dinamica rotazionale.

# data[].attributes.body
Il momento di inerzia di un punto materiale o di un corpo rigido è una grandezza che esprime l’inerzia dei corpi rispetto ai moti rotazionali, ossia la tendenza a opporsi alle rotazioni, esattamente come la massa nei moti di traslazione.

Il modo migliore per introdurre la definizione di momento di inerzia consiste nel riprendere le prime nozioni della dinamica.

Infatti,quanto detto vale per i moti traslazionali; nei fenomeni rotatori esiste una grandezza analoga alla massa, che viene chiamata momento di inerzia. Essa può essere definita se consideriamo una particella di massa m,la quale ruota su un piano cartesiano Oxy, attorno all’origine e a distanza r da O (L’asse di rotazione è l’asse z perpendicolare al piano Oxy) come:

I = mr^2

Il momento di inerzia è quindi definito come il prodotto di massa per il quadrato della distanza del punto dall’asse di rotazione. Esso rappresenta la capacità del punto di opporsi al moto rotazionale: tanto maggiore è il momento di inerzia, tanto è più difficile far ruotare il punto attorno al piano scelto.

# data[].attributes.body
La conversione risulta semplice ed immediata. Infatti, considerata l'assenza di una massa definita in un corpo circolare esteso, utilizziamo il momento di inerzia, affinché l'energia cinetica risulti:

1/2*I*ω^2

Così da poter applicare la seguente conservazione:
mgh0+1/2*I*ω0^2+1/2mv0^2=mgh1+1/2*I*ω1^2+1/2mv1^2

ma...procediamo per gradi.

# data[].attributes.headline
Momento di inerzia di un corpo esteso o rigido.

# data[].attributes.subject
Momento di inerzia di un corpo esteso o rigido.

# data[].attributes.body
Se abbiamo un sistema di particele che ruotano tutte attorno al medesimo asse e mantengono le loro posizioni reciproche costanti, il momento di inerzia totale del sistema è semplicemente dato dalla somma dei singoli momenti.

Infine la formula del momento di inerzia di un corpo esteso nell’ipotesi che sia rigido. Come nel caso precedente si dovrà conseguire alla sommatoria di tutte particelle che compongono l'oggetto, da ciò:

ΣI= m*r1^2+m*2^2+m*r3^2+...

A seconda della figura considerata può esservi un diverso momento, per questo viene applicata, soprattutto nelle prime fasi, una tabella di riferimento:

# data[].attributes.body
b)      Quale sarà l’altezza massima raggiunta dal sistema al termine del moto?

# data[].attributes.body
b)      Poiché nel sistema agiscono solo forze conservative, per calcolare l’altezza massima raggiunta dal sistema, utilizziamo il principio di conservazione dell’energia meccanica:

EtotA=EtotB;

½(I+Mr²+mr²)ω²=(M+m+m₂)gh;

h=(I+Mr²+mr²)ω²/(2g(M+m+m₂)); h=0.01m

# data[].attributes.headline
Grandezze scalari e lineari a confronto.

# data[].attributes.subject
Grandezze scalari e lineari a confronto.

# data[].attributes.body
Ritrovandoci di fronte ad una nuova tipologia di moto, di certo differente da quella lineare, è necessario fare alcune considerazioni.
Poiché il movimento in analisi presuppone una rotazione, dobbiamo adeguare i nostri sistemi di misura, così come le leggi orarie in conseguenza al nuovo contesto, qui di seguito proponiamo uno schema esplicativo: