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Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo {f(x)=ax+b, } cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo {Ox.} Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear seguida por uma translação.Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.

FORMULAS:
f(x) = ax + b ou y = ax + b

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O gráfico de uma função afim da forma f(x) = ax + b é sempre uma reta crescente ou decrescente. O coeficiente “a” é o chamado de coeficiente angular e o coeficiente “b” é chamado de coeficiente linear.

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A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau. A função quadrática tem a seguinte lei de formação: f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0.
Exemplos de funções quadráticas:

f(x) = 2x² – 2x + 1, com a = 2, b = -2 e c = 1

f(x) = x² + x – 2, com a = 1, b = 1 e c = -2

f(x) = 5x² + 3x + 3, com a = 5, b = 3 e c = 3

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A Função Quadrática ou de 2º Grau tem várias aplicações no cotidiano. Ela serve, por exemplo, para calcular o lançamento e o movimento de projéteis como balas de canhão e foguetes, para presumir o ângulo de reflexão de faróis de carros, conjecturar o ângulo da antena parabólica, entre outras coisas. Além disso, é matéria de concursos, o que torna seu aprendizado fundamental para que o aluno possa vencer seus concorrentes.

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O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade é determinada de acordo com o valor de a. Se a > 0, a concavidade da parábola estará voltada para cima e se a < 0, a concavidade da parábola estará voltada para baixo.

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Raízes e vértice

Dois conceitos estão relacionados à concavidade da parábola: as raízes (pontos onde o gráfico intercepta o eixo x) e o vértice (ponto de máximo ou mínimo a função). As raízes podem ser calculadas pela fórmula de Bháskara ou outros métodos. Lembrando que, as funções quadráticas possuem apenas duas raízes.

Em relação ao vértice, na função de primeiro grau é possível traçar o gráfico a partir de dois pontos. Contudo, isso não acontece na função de segundo grau, pois é necessário conhecer mais que dois pontos.

A partir do valor do = b² - 4ac, sabemos que:

• Se > 0, a função possui duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos diferentes;

• Se = 0, a função possui duas raízes reais iguais e a parábola é tangente ao eixo x;

• Se < 0, a função não possui raízes reais e a parábola não intercepta o eixo x;

Exemplo

Dada a função 4x² – 4x – 24 = 0, vamos resolvê-la seguindo algumas etapas:

O primeiro passo é escrever o valor dos coeficientes, sabemos que a = 4, b = – 4 e c = - 24.

O segundo passo consiste em o calcular o valor da discriminante delta, logo:

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                      Solução da função 

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O terceiro é substituir os valores da discriminante e nos coeficientes na fórmula de Bháskara. Vale ressalta que, a presença do sinal +/- indica que o raiz de delta tem um valor positivo e outro negativo. Assim temos:

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                                Solução da função 

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Há registros de problemas envolvendo equações quadráticas com três termos, deixados pelos babilônios há aproximadamente 4000 anos. Esses estudos demonstram uma grande flexibilidade existente na Álgebra desenvolvida entre eles, outros povos também contribuíram com esta parte da Álgebra até que se chegasse à representação atual de uma equação quadrática ax² + bx + c = 0, na qual o valor de x é obtido pela fórmula de Bháskara.
Mas na verdade, não seria correto chamar tal teoria de “Bháscara” já que alguns textos de Sridhara (870-930 d.C) um matemático indiano que viveu muito antes de Bháskara já mostrava o uso da famosa teoria com algumas diferenças. Além disso as chances de Bháskara ter realmente escrito essa fórmula ou qualquer outra é quase nula já que este viveu na Índia do século XII, onde os matemáticos buscavam regras para situações específicas e não gerais, ou seja o mais correto é se referir a fórmula como Função Quadrática. O seu gráfico é uma parábola.
Apenas no Brasil a função quadrática é conhecida como Fórmula de Bháskara. Não se sabe ao certo o porquê, é mais provável que seja pelo fato de que Bháskara foi o primeiro a efetivamente demonstrar a aplicação de tais fórmulas, vale ressaltar que esse matemático foi extremamente importante não só para matemática, mas também para outras áreas como astronomia apesar de não ter de maneira alguma criado a função quadrática.

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Uma Função Exponencial é caracterizada pela presença da variável (x) no expoente de uma base numérica. Como toda função, há uma relação de dependência entre o valor de Y e esse expoente. Além disso, para que seja uma função real, é necessário que a base seja diferente de 1 e alguns outros detalhes.

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Uma Função Exponencial é caracterizada pela presença da variável (x) no expoente de uma base numérica. Como toda função, há uma relação de dependência entre o valor de Y e esse expoente. Além disso, para que seja uma função real, é necessário que a base seja diferente de 1 e alguns outros detalhes.

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Uma função exponencial é uma função que possui uma variável como expoente. Matematicamente, ela pode ser representada por f de R em R, que é obtida pela lei de formação f(x) = ax, em que “a” é um número real dado, a > 0 e a ≠ 1.

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As funções exponenciais possuem uma diversidade de aplicações do cotidiano, estão presentes em diversas ciências como: na Matemática financeira é utilizada na capitalização de capitais pelo método do juro composto, na Geografia está relacionada a expressões responsáveis por explicar os crescimentos populacionais, na Química é utilizada em situações envolvendo decaimento radioativo, na Biologia está ligada a desenvolvimento de bactérias em culturas e crescimentos de determinadas plantas, na Psicologia expressa as curvas de aprendizagem, entre outras inúmeras aplicações.

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O gráfico da função exponencial é representado por uma curva, obtida por meio dos pares ordenados que relacionam os valores de x a de y = f(x).
Curva que representa uma função exponencial crescente
A função exponencial é aquela em que a variável é um expoente. Matematicamente, ela é definida como f de R em R, tal que f(x) = ax, em que a ϵ R, a > 0 e a ≠ 1. O gráfico dessa função é uma curva obtida ao encontrar alguns pares ordenados que pertencem à função e ao desenhar essa curva que passa por eles. A observação de alguns gráficos dessas funções permite deduzir algumas de suas propriedades, que serão discutidas neste texto.
Construção do gráfico da função exponencial
Em uma função qualquer, encontrar pares ordenados que pertençam ao seu gráfico é tarefa simples: basta escolher valores para x e encontrar os valores de f(x) ligados a eles no contradomínio. Isso é feito substituindo o valor de x escolhido na função e calculando a expressão numérica resultante.
1º Exemplo: para encontrar 5 pares ordenados pertencentes ao gráfico da função f(x) = 2x, usaremos os valores x = – 3, x = – 2, x = – 1, x = 0, x = 1, x = 2 e x = 3 e preencheremos a seguinte tabela
Com a tabela preenchida, perceba que cada valor de x se relaciona a um valor de f(x) que pode ser compreendido como y no par ordenado. Sendo assim, os pares ordenados formados são:
A = (– 3, 1/8)
B = (– 2, 1/4)
C = (– 1, 1/2)
D = (0, 1)
E = (1, 2)
F = (2, 4)
G = (3, 8)
Para desenhar o gráfico, marque os pontos acima do plano cartesiano e desenhe uma curva que os contenha. Atenção: os pontos não devem ser ligados com linhas retas, devem estar sobre uma curva.

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Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna.

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A raiz da função afim é o ponto em que ela atravessa o eixo x, isto é, o ponto em que y=0. Isso quer dizer que, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir o y por 0 na fórmula. Ao fazer isso, você tem:
F(x)=ax + b
0= ax + b
Ax = -b
X= -b/a
Desta maneira, a raiz da função afim é o ponto-b/a no eixo x. As funções 1° grau têm apenas uma raiz.

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Alguns tipos específicos da função afim:

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Alguns tipos específicos da função afim:

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LINEAR:
Uma função linear é definida genericamente como f(x) = a.x. Esse é um caso particular de função afim, também conhecida como função de primeiro grau, contudo não existe valor para o coeficiente b, ou seja, b = 0.

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A função identidade, também nomeada de função inclusão, é uma das categorias da função afim (f(x) = ax + b). Os valores do seu domínio são os mesmos da imagem do contradomínio. Por isso, a função identidade é também bijetora, isto é, para qualquer valor que seja x o resultado da sua função será ele mesmo (f(x) = x).

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A função constante se caracteriza por assumir o mesmo valor, independentemente do valor de x. ... O gráfico da função constante também é muito útil no estudo da relação. Trata-se de uma reta paralela ao eixo x, e que corta o eixo y no ponto (0, c). Exemplo: f(x) = 2.

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Conhecemos como função logarítmica a função com lei de formação f(x) = logax, cujo domínio  são os números reais positivos e o contradomínio são os números reais. A base, por definição, deve ser positiva e diferente de 1.

A função logarítmica é útil para situações como os juros compostos — já que ela é a função inversa da função exponencial — e a medição de magnitude de terremotos, há também sua aplicação na química e na geografia. A função logarítmica pode ser crescente ou decrescente, ela é decrescente quando a sua base é um número maior que 0 e menor que 1, e crescente quando a sua base é maior do que 1.

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De uma forma geral, o gráfico da função y = loga x está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0. Além disso, a curva da função logarítmica não toca o eixo y e corta o eixo x no ponto de abscissa igual a 1, pois y = loga1 = 0, para qualquer valor de a.

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O conceito de logaritmos foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550 – 1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561- 1630). No ano de 1614, ou seja, a mais de 400 anos passados, Napier criou uma maneira de simplificar cálculos com a invenção dos logaritmos.

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O primeiro a citar o conceito foi o inglês Isaac Newton (1642-1727). ... Apropriando-se das teorias de Newton, o matemático alemão Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716), demonstrou pela primeira fez a aplicação do conceito de função, em 1673, no manuscrito, em latim, “Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus”.

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O primeiro a citar o conceito foi o inglês Isaac Newton (1642-1727). ... Apropriando-se das teorias de Newton, o matemático alemão Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716), demonstrou pela primeira fez a aplicação do conceito de função, em 1673, no manuscrito, em latim, “Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus”.

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Gottfried Wilhelm von Leinniz (1673-1716).

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Gottfried Wilhelm von Leinniz (1673-1716).