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Propiedades de las operaciones en los conjuntos numéricos con respecto a la adición y la multiplicación.

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Objetivo                                                                                                                                                                                     

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Objetivo                                                                                                                                                                                     

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Inducir a los estudiantes  para la deducción de algunas propiedades de la adición y la multiplicación en el conjunto de los números naturales, en un contexto lúdico y cotidiano.

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Creemos importante lograr explorar a través de juegos didácticos y problemas contextualizados las diferentes funciones de las propiedades de las operaciones, analizar su función en cada caso, explicitar su uso y comprobar su validez, para luego presentar los enunciados generales que las definen. Además, consideramos que el nombre de las mismas es una información de relativa importancia frente a la comprensión.

El análisis de los procedimientos utilizados en la resolución de estos problemas aportan al conocimiento de estas propiedades, considerando además las experiencias y aprendizajes anteriores que ayuden a establecer relaciones y tomar conciencia del uso implícito de las operaciones, no con el único fin de conocer sus nombres y memorizar un enunciado sino para aportar a una concepción de enseñanza que promueva “hacer matemáticas” .

Seguiremos una secuencia ordenada aumentando progresivamente el nivel de dificultad. Introduciremos los conjuntos numéricos: naturales, enteros y racionales, para utilizarlos como base de nuestro trabajo posterior. Luego realizaremos problemas contextualizados con el objetivo de que los estudiantes visualicen las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva y la existencia del elemento neutro, a través de un razonamiento consciente y creativo que les permita deducirlas por si mismos.

El tipo de problemas que elegimos atiende a la diversidad en nuestras clases, por ejemplo, a partir de un problema sencillo como el juego de unir operaciones proponemos la variante de agregar paréntesis para darle mayor complejidad.

Como metodología trabajaremos en pequeños grupos para que todos puedan sentirse implicados en la tarea y ocupen un papel activo en su proceso de aprendizaje, siendo así constructores de su propio conocimiento y potenciando la interacción social. Nuestro rol será promover su investigación autónoma como animador de la investigación y luego promover el debate en la clase.

Después de cada actividad damos tiempo para que el estudiante aborde el problema y se familiarice con él, realizamos una puesta en común en el pizarrón y finalmente exponemos la propiedad.

Por último dejaremos a los estudiantes tareas domiciliarias a través de links con el objetivo de que sientan el desafío, fuera de las horas de clase, de utilizar las herramientas y habilidades adquiridas. Además, para desarrollar su rol de estudiantes, adquiriendo hábitos de estudio y autodisciplina.

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Actividad 1 - Un mundo sin números
Objetivos:

-Demostrar a los estudiantes la necesidad de la existencia de los diferentes conjuntos numéricos, favoreciendo en todos los alumnos el aprender a valorar la matemática.

-Priorizar las actividades del alumno como forma facilitadora del descubrimiento y de la comprensión matemática.

Metodología:                                                                                                         Comenzamos la actividad preguntando a los estudiantes qué es para ellos la matemática. Dejamos que surjan todas las ideas y les preguntamos si les gustaría, para hacer mas divertida la clase, que todos esos conceptos los mandáramos al espacio y no existieran mas en la tierra.
Luego comenzaremos un juego en el que nosotros formaremos 3 grupos. Aprovecharemos la distribución de las filas en el salón designando a las dos primeras como grupo A, las dos segundas como grupo B, y las últimas dos como grupo C.
A continuación les plantearemos la interrogante de si los equipos poseen la misma cantidad de integrantes. Aquí surgirá la necesidad de introducir los números. A partir de esta necesidad definiremos los números naturales como uno de los conjuntos numéricos y comenzaremos un diagrama en el pizarrón que iremos completando a medida que logremos generar, a través de las actividades, la necesidad de nuevos conjuntos.
Luego realizaremos 2 juegos. "El juego de la temperatura" y "La división de la torta".
Juego 1. El juego de la temperatura

Este juego será en equipos y consistirá en mostrar a los estudiantes la imagen de cuatro países(China, Hawái, Rusia, Antártida):  (también lo ubicaremos en el planisferio(podemos usar una computadora conectada a la televisión, navegando en el sitio http://www.accuweather.com/) ), estos deberán adivinar la temperatura del mismo. El equipo que mas se acerque a la temperatura real será el ganador. Cada respuesta correcta sumará 2 puntos.

A partir de aquellos países con temperaturas bajo cero se generará la necesidad de agregar los números negativos. Definiremos los números enteros y los representaremos en el diagrama que comenzamos con los naturales.

Juego 2. La repartición de la torta.

De acuerdo al puntaje obtenido en el juego anterior cada grupo ganará una porción de torta (a la cual dividimos previamente en 8 porciones), siempre y cuando logren decirnos el número que representa su puntaje. Aquí surge la necesidad del uso de las fracciones por lo que definiremos los números Racionales y continuaremos completando el diagrama en el pizarrón.

Indicadores de logro:

Consideraremos efectiva nuestra actividad si logramos que los estudiantes participen y se sientan motivados con los juegos didácticos presentados y además si se genera en ellos la necesidad de la existencia de los conjuntos numéricos.

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Actividad 2 - Las propiedades conmutativa y asociativa. 

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Actividad 2 - Las propiedades conmutativa y asociativa. 

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Objetivo:  A través de un juego interactivo lograr deducir estas propiedades.

Metodología:

Juego 1 - Unir para aprender juntos.
Para este juego entregaremos a cada grupo una hoja impresa con dos columnas con operaciones (adición y multiplicación) de tres términos. Deberán vincular las operaciones con iguales resultados (el orden de los términos en una y otra columna será diferente). Les daremos 5 minutos y luego un integrante por grupo pasará al pizarrón (donde copiaremos la actividad) a realizar la corrección.

 | 2 * 5 * 8 |   | 9 * 1 * 6 |
 | 6 + 5 + 7 |   | 2 * 7 * 3 |
 | 5 + 7 + 8 |   |20 + 5 + 9 |
 | 1 * 6 * 9 |   | 7 + 6 + 5 |
 |9 + 20 + 5 |   | 5 * 2 * 8 |
 | 7 * 3 * 2 |   | 8 + 5 + 7 |


A partir de aquí los guiaremos a deducir la propiedad conmutativa de la adición y la multiplicación.

Posteriormente como segunda parte de este juego colocaremos paréntesis en las mismas columnas abarcando términos diferentes en una y otra, para lograr deducir la propiedad asociativa.

|   2 * (5 * 8) |       | (9 * 1) * 6 |
|  (6 + 5) + 7 |      | 2 * (7 * 3) |
|  5 + (7 + 8) |      | 20 + (5 + 9) |
|   (1 * 6 )* 9 |       | (7 + 6 )+ 5 |
| 9 + (20 + 5) |      | (5 * 2) * 8 |
|  ( 7 * 3) * 2 |       | (8 + 5 )+ 7 |

Como cierre de este juego formalizaremos la definición de estas propiedades y las generalizaremos, favoreciendo la comunicación matemática y alcanzando niveles adecuados de notación simbólica.

A través del siguiente enlace realice los ejercicios de la página 14 y 19
http://es.slideshare.net/javiermiriam/refuerzo-matematicas-4-primaria


Indicadores de logro:
Luego de realizadas las actividades los estudiantes descubren por si mismos las propiedades conmutativa y asociativa y son capaces de realizar las tareas domiciliarias propuestas de forma correcta.

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Objetivo:
A través de un problema contextualizado plantear la búsqueda de diferentes métodos de resolución que nos ayudarán a deducir la propiedad distributiva.

Metodología:
Les daremos 5 minutos a cada grupo para realizar la siguiente actividad :

Problema
Para el viaje de fin de año se organizó una rifa en la que cada número costaba $50. Natalia vendió 5 números, Gabriel vendió 7 y Ema 8. Cuánto dinero juntaron entre los tres luego de realizada la venta?

Luego un integrante del grupo escribirá el procedimiento realizado en el pizarrón. Cuando se encuentren los tres resultados escritos veremos si el procedimiento utilizado fue el mismo dejando a cargo del alumno la decisión final sobre si las distintas formas de resolver el problema son válidas, en caso negativo les preguntaremos si existe alguna otra forma de llegar al mismo resultado.

(5+7+8) x 50 = 1000

5x50 =250
7x50 = 350       -------------------      250+350+400 = 1000
8x50 = 400

De esta forma formalizaremos la definición de la propiedad distributiva y  el alumno podrá aprender a valorar la matemática como una herramienta idónea para resolver problemas reales, aplicando los conocimientos matemáticos a problemas de la vida cotidiana. Concluiremos que el resultado de multiplicar un número por una adición es el mismo que se obtiene si se calcula la adición de los productos del número por cada sumando.

Ejercita lo aprendido realizando los ejercicios a través del siguiente enlace
http://www.joaquincarrion.com/Recursosdidacticos/QUINTO/datos/03_Mates/datos/05_rdi/ud02/3/03.htm

Indicadores de logro:
Los estudiantes logran deducir la propiedad buscada a través de diferentes métodos y luego la pueden aplicar a otros ejercicios.

Enunciado de la propiedad distributiva:
Si sumamos dos números y después multiplicamos el resultado por otro número, obtenemos idéntico resultado que si multiplicamos cada uno de los sumandos por un mismo número y después sumamos los productos obtenidos
2*(3+4)=(2*3)+(2*4)

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Actividad 4 - Neutro

Objetivo: Continuando con el ejercicio anterior lograr que los estudiantes visualicen la existencia del neutro en la multiplicación y en la adición dejando en evidencia la necesidad de símbolos como el "0" y el 1.

Problema  - Vamos a viajar

Plantearemos la posibilidad de convertir los $1000 pesos obtenidos con la rifa se transformen en US$1000 para cada uno y que puedan elegir el destino de su viaje.

Una vez elegido el destino les ofreceremos un cheque, como nuestra colaboración para el viaje.

La primera opción será sumar a los US$1000 un cheque (que será de 0). De esta forma verán que el resultado obtenido será el mismo y lograremos identificar que el 0 en la adición no varía el resultado.

La historia del cero.

Las matemáticas no podrían funcionar sin el cero. Nuestro querido cero está presente en todos los conceptos matemáticos que hacen que nuestro sistema numérico, la geometría y el álgebra funcionen.

Recuerda tu niñez. Te enseñaron que el 1 era el primero del “alfabeto numérico”, de los números de contar 1,2,3,4,5 … Años más tarde pudiste contar el número de naranjas que había en una caja cuando no veías ninguna.

La historia del cero no es sencilla. Parece una tontería pero los antiguos griegos y romanos, célebres ingenieros, no lograron dar un nombre a “la nada”. Ellos no contaban “nada”. Los griegos que desarrollaron la lógica y la geometría, nunca introdujeron el símbolo del cero.

¿Cómo llegó a ser aceptado el cero?

Se cree que tuvo su origen en la civilización maya, que usó el cero en diversas formas. Representaban el cero como una concha marina. Este es el símbolo que los mayas usaban para el cero. Se trata del primer uso  documentado del cero en América. Año 36 a.C.

Más tarde el astrónomo Ptolomeo, influenciado por los babilonios, utilizó un símbolo parecido a nuestro moderno 0 como marcador de posición en su sistema numérico. Algo comparable a la introducción de la “coma” en el lenguaje. Ahora ya podían distinguir entre el 75 y el 705.

Los mayas y los babilonios utilizaban el cero para marcar un numeral ausente.

¿Quiénes fueron los primeros en “tratar a la nada”?

Los calculistas indios lo definieron como el resultado de sustraer cualquier número de sí mismo.Podemos decir que el cero nació en la India. La palabra “cero” proviene de la traducción de su nombre en sánscrito (una lengua clásica de la India) “shunya” que significa vacío.

Parece ser que fue Brahmagupta quien trató el cero como un “número”, no como un mero marcador de posición, y mostró unas reglas para operar con él.

Puede que pienses … ¡qué chorrada!, pero realmente fue muy avanzado a su tiempo.

¿Cómo llegó el cero a Europa?

El último número llegó a Europa a través de los árabes.

El sistema de numeración hindú-arábigo que incluyó el cero fue promulgado en occidente por Fibonacci, en su Liber Abaci (Libro del ábaco), publicado en 1202. Leonardo de Pisa reconoció el poder del 0. Y usó el nuevo símbolo, pero no como un número al mismo nivel que los otros.

Extraído de "http://soymatematicas.com/la-historia-del-cero/

Luego les preguntaremos que pasa en la multiplicación y se existe la posibilidad de que exista un número que cumpla la misma función que el 0 en la adición. Así mostraremos la existencia del neutro, el 1, en la multiplicación.

A continuación formalizaremos la propiedad de la existencia del neutro en la adición y la multiplicación.

El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número no lo altera.

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.
a + 0 = a
3 + 0 = 3

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.
a · 1 = a
3 · 1 = 3

Indicadores de logro:
Los estudiantes logran deducir la propiedad que cumplen dos números (el 0 y el 1) cuando son utilizados en operaciones como la adición y la multiplicación respectivamente

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Bibliografía

- Curti, María del Carmen; Damisa, Carla (2010). Las propiedades de las operaciones: en búsqueda de relaciones. En: Quehacer Educativo, vol 20, n°104.

- ANEP. MESyFOD (1998). Matemática: guía de apoyo al docente. Uruguay, ANEP. 127pp.

- http://soymatematicas.com/la-historia-del-cero/

http://www.joaquincarrion.com/Recursosdidacticos/QUINTO/datos/03_Mates/datos/05_rdi/ud02/3/03.htm

http://www.ditutor.com/numeros_naturales/elemento_neutro.html