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① 이차방정식과 이차함수의 관계
② 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

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• 이차방정식과 이차함수의 관계를 이해한다.
• 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이해한다.

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1. 이차방정식과 이차함수의 관계

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1. 이차방정식과 이차함수의 관계

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이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프와 x축의 교점의 x좌표는 이차방정식 ax²+bx+c=0의 실근과 같다. 이때 이차방정식 ax²+bx+c=0의 실근의 개수는 판별식 D=b²-4ac의 부호에 따라 결정된다.

D>0   서로 다른 두 실근
D=0   중근
D<0   서로 다른 두 허근

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빨간 그래프는 x축과 교점이 없고 초

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빨간 그래프는 x축과 교점이 없고 초록 그래프는 x축과 교점이 하나이다. 파란 그래프는 x축과 교점이 두 개이다. 이를 통해 x축과의 교점의 개수가 실근의 개수와 같은 것을 알 수 있다.

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이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프와 x축과의 교점이 두 개이므로 서로 다른 두 실근을 가진다.

아래로 볼록이므로 a>0
두 실근을 가지므로 D>0

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이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프와 x축과의 교점이 한 개이므로 중근을 가진다.

아래로 볼록이므로 a>0
중근을 가지므로 D=0

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이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프와 x축과의 교점이 없으므로 실근을 가지지 않는다.

아래로 볼록이므로 a>0
두 실근을 가지므로 D<0

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다음 이차함수의 그래프와 x축의 교점의 개수를 구하시오.

(1) y=x²+6x-9          (2) y=-5x²-5x-1

(3) y=x²-26x+169   (4) y=4x²-x-3

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2. 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계

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2. 이차함수 그래프와 직선의 위치 관계

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x에 대한 이치함수 y=x²+2kx+(k-3)²의 그래프가 x축과 두 점에서 만나도록 하는 정수 k값의 최솟값을 구하시오.

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이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

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이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

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y=x²-2x+3의 그래프와 위에서부터 y=2x+4, y=2x-1, y=2x-6의 위치 관계를 알아보자. y=x²-2x+3의 그래프와 두 점에서 만나는 그래프는 y=2x+4이다. 이 두 교점의 x좌표는 x²-2x+3=2x+4의 두 근과 같다. y=x²-2x+3와 y=2x-1는 접한다. 이것의 교점의 좌표도 똑같이 연립하여 구할 수 있다.

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두 그래프의 위치 관계

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두 그래프의 위치 관계

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y=ax²+bx+c의 그래프와 y=mx+n의 위치 관계를 알아보려면 ax²+bx+c=mx+n의 판별식 D를 이용하면 된다.

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서로 다른 두 점에서 만난다.

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한 점에서 만난다.(접한다.)

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만나지 않는다.

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다음 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 말하시오.

(1) y=x²-6x+7, y=-x+3

(2) y=x²+3x+5, y=2x+2

(3) y=x²+4x-2, y=-6

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이차함수 y=-2x²+ax+1의 그래프와 직선 y=2x+3이 한 점에서 만나도록 하는 실수 a의 값을 모두 구하시오.