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Trigonometria não cai com muita frequência no ENEM. Para se ter uma ideia, entre as 45 questões de matemática, a probabilidade é que que caia apenas três sobre a matéria. Embora o assunto seja bastante longo, são o uso dos triângulos e suas relações, ângulos e o teorema de Pitágoras que são mais comuns de aparecerem.

Menos frequente, há as relações trigonométricas, como o seno e o cosseno. Embora não caiam tanto quanto outros temas, vale se informar dessas relações por possibilidades de aparecerem na prova.

QUESTÕES SOBRE TRIGONOMETRIA

(ENEM) Uma pessoa usa um programa de computador que descreve o desenho da onda sonora correspondente a um som escolhido. A equação da onda é dada, num sistema de coordenadas cartesianas, por y = a . sen[b⁽x + c)], em que os parâmetros a, b, c são positivos. O programa permite ao usuário provocar mudanças no som, ao fazer alterações nos valores desses parâmetros. A pessoa deseja tornar o som mais agudo e, para isso, deve diminuir o período da onda.
O(s) único(s) parâmetro(s) que necessita(m) ser alterado(s) é(são):

A) a.

B) b.

C) c.

D) a e b.

E) b e c.

- Resolução: Dado y = a·sen[b(x + c)] dizemos que:
a – define apenas a amplltude da onda
c – define apenas a fase inicial da onda
b – define o período
A pessoa que deseja tornar o som mais agudo deve diminuir o período da onda, para isso o parâmetro que precisa ser alterado é o b.

(ENEM) Um cientista, em seus estudos para modelar a pressão arterial de uma pessoa, utiliza uma função do tipo P⁽t) = A + Bcos⁽kt) em que A, B e K são constantes reais positivas e t representa a variável tempo, medida em segundo. Considere que um batimento cardíaco representa o intervalo de tempo entre duas sucessivas pressões máximas.
Ao analisar um caso específico, o cientista obteve os dados:

PRESSÃO MÍNIMA: 78
PRESSÃO MÁXIMA: 120
Nº DE BATIMENTOS CARDÍACOS POR MINUTO: 90

A função P⁽t) obtida, por este cientista, ao analisar o caso específico foi:

a) P⁽t) = 99 + 21 cos(3π t⁾

b) P⁽t) = 78 + 42 cos(3π t⁾

c) P⁽t) = 99 + 21 cos(2π t⁾

d) P⁽t) = 99 + 21 cos⁽t⁾

e) P⁽t) = 78 + 42 cos⁽t)

- Resolução: Substituindo o cosseno de cada opção por 1 e -1, percebemos que as opções compatíveis com os valores de máximo e mínimos apresentados são letra a, c ou d. Como são 90 batimentos a cada 60 segundos temos, 2/3  de batimentos por segundo. Como o enunciado diz que o tempo entre dois valores máximos é o tempo de 1 batimento percebemos que o período deve ser igual a 2/3. Numa função trigonométrica p = 2 / |k|, por isso 2/3 = 2 / |k|, concluindo que c = 3.

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FÓRMULAS DOS PRINCIPAIS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
As principais fórmulas de geometria espacial são para os cálculos da área total (At) e do volume (V) de cada um dos sólidos. Cada fórmula depende do sólido.

Cubo:

V = a³

At = 6 × a²

Paralelepípedo:

V = a × b× c

At = 2ab + 2ac + 2bc

Prisma:

V = Ab × h

At = 2Ab + Al

Pirâmide:

At = Ab + Al

Cilindro:

V = πr² × h

At = 2 πr (r+h)

Cone:

At =  πr (g + r)

Esfera:

At = 4 πr²

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SÓLIDOS DE PLATÃO
Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros, Platão relacionou-os com a criação do Universo, vinculando-os a elementos da natureza. São eles: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

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RELAÇÃO DE EULER
Sobre os poliedros, o matemático Euler percebeu uma relação entre o número de vértices (V), faces (F) e arestas (A), conhecida como relação de Euler, dada pela expressão:

V – A + F = 2

Logo, é possível descobrir, com base na equação, a quantidade de arestas que um sólido possui pelo número de faces e de vértices.

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CLASSIFICAÇÃO DOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

Poliedros: sólidos fechados que possuem faces poligonais, compostos por vértices, arestas e faces. São eles: os prismas, as pirâmides e os sólidos de Platão. Veja abaixo seus principais elementos.

Aresta: é o segmento de reta que liga dois vértices de um poliedro.

Vértice: é o encontro de uma ou mais arestas.

Face: as faces de um poliedro são os polígonos que compõem o sólido.

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POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UM PLANO
Ao comparar-se a reta com um plano, essa reta pode ser paralela ao plano, pertencente ao plano ou secante ao plano.

Reta secante ao plano: quando ela corta o plano e possui um único ponto em comum com o mesmo.
Reta pertencente ao plano: quando todos os pontos da reta estão contidos no plano.
Reta paralela ao plano: quando não possui nenhum ponto em comum com o plano.

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POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DOIS PLANOS
Ao analisar-se a posição relativa entre dois planos, eles podem ser classificados como paralelos ou secantes.

Planos paralelos: não possuem nenhum elemento em comum, ou seja, não há interceptação de um plano com o outro.
Planos secantes: quando se interceptam.
Planos coincidentes: compartilham todos os pontos, equivalendo a um único plano.

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Figura ilustrativa: posição relativa entre duas retas

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POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS
Quando as retas são coplanares, elas podem ser paralelas, concorrentes ou coincidentes.

Paralelas: quando não possuem nenhum ponto em comum.
Concorrentes: quando possuem apenas um ponto em comum.
Coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum.

Quando as retas não pertencem ao mesmo plano, ficam conhecidas como retas reversas.

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Imagem ilustrativa: pontos coplanares e colineares

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Em conjunto — englobando tanto a geometria plana quanto a espacial — o tema é frequente nas provas do ENEM. De 2013 a 2019, geometria foi o tema mais cobrado na prova de matemática, compondo 23,5% das questões. Não só o aparecimento, mas também o número das questões permanece constante; em 2014 foram quinze questões; em 2015 doze questões; em 2016 dez questões; 2017 treze questões; e em 2018, onze questões. Leva-se em conta, nesse levantamento, também questões que demandam o cálculo de áreas, de volume, de ângulos, entre outros que são do campo de Grandezas e Medidas, já que tais conteúdos não podem ser separados da Geometria, em virtude de utilizar as formas geométricas como base de cálculo em grande parte dos problemas.

Como é característico do exame, as questões de geometria variam de nível, indo do fácil ao avançado, com situações-problemas envolvendo polígonos, ângulos, trigonometria, cálculo de área, ou até mesmo propriedades particulares de algumas figuras planas. A maioria das questões que envolvem geometria tratam-se de cálculo de área de figuras, no caso da plana, ou do volume, no caso da espacial. Outros conhecimentos também são ocasionalmente exigidos: sobre ângulos, retas e perímetro.

QUESTÕES SOBRE GEOMETRIA ESPACIAL

(ENEM) Uma fábrica que trabalha com matéria-prima de fibra de vidro possui diversos modelos e tamanhos de caixa-d'água. Um desses modelos é um prisma reto com base quadrada. Com o objetivo de modificar a capacidade de armazenamento de água, está sendo construído um novo modelo, com as medidas das arestas da base duplicadas, sem a alteração da altura, mantendo a mesma forma. Em relação ao antigo modelo, o volume do novo modelo é:
a) oito vezes maior
b) quatro vezes maior
c) duas vezes maior
d) a metade
e) a quarta parte

- Resolução:  V = Ab × b
= l² × h
= (2l)² × h
= 4l² × h

Portanto, o volume do novo modelo é quatro vezes maior em relação ao antigo modelo.

(ENEM) Ao se perfurar um poço no chão, na forma de um cilindro circular reto, toda a terra é amontoada na forma de um cone circular reto, cujo raio da base é o triplo do raio do poço e a altura é 2,4 metros. Sabe-se que o volume desse cone de terra é 20% maior do que o volume do poço cilíndrico, pois a terra fica mais fofa após ser escavada. Qual é a profundidade, em metros, desse poço?
a) 1,44
b) 6,00
c) 7,20
d) 8,64
e) 36,00

- Resolução:   Cilindro: raio = r e h = x
Cone: raio = 3r e h = 2,4 m

Vcone = 1,2 × Vcilindro
π(3r)² . 2,4/2 = 1,2 . π r² . X
π . 3 . r² . 2,4 = 1,2 . π . r² . X
7,2 = 1,2 . X
X = 6 m

QUESTÕES SOBRE GEOMETRIA PLANA

(ENEM) Uma empresa produz painéis solares de energia elétrica, com a forma de retângulo, que geram 5 MWh (megawatts-hora) por metro quadrado. Cada painel tem 3 m de largura e 6 m de comprimento. O selo verde de eficiência é obtido se cada painel solar gerar, no mínimo, 150 MWh de energia solar. Para obter o selo verde, a empresa decide alterar apenas a largura dos seus painéis solares.

O número mínimo, em metro, que a empresa deve aumentar na largura dos seus painéis solares é:

a) 2.

b) 4.

c) 5.

d) 10.
e) 12

- Resolução:  L . 6 . 5 = 150
L = 150/30
L = 5
5 - 3 = 2

(ENEM) Um ciclista faz um treino para uma prova, em um circuito oval, cujo percurso é de 800 m. Nesse treino, realiza 20 voltas. Ele divide seu treino em 3 etapas.  Na primeira etapa, inicializa seu cronômetro e realiza as cinco primeiras voltas com velocidade média de 4 m/s.  Na segunda etapa, faz mais cinco voltas, mas com velocidade média 25% maior que a da etapa anterior.  Na última etapa, finaliza o treino mantendo a velocidade média da primeira etapa.

Ao final do treino, o cronômetro estará marcando, em segundo:

a) 2 600.
b) 2 800.
c) 3 000.
d) 3 800.
e) 4 000.

- Resolução: 1º etapa) VM1 = 4 m/s

ΔS1 = 5 x 800 m = 4 000m
4 m/s = 4 000 m / ΔT1

ΔT1 = (4 000 / 4) s

ΔT1 = 1 000 s

2º etapa)  25% = 25/100 = 1/4.

VM2 = 4 m/s + (1/4) x 4 m/s

VM2 = 4 m/s + 1 m/s

VM2 = 5 m/s

ΔS2 = 5 x 800 m = 4 000 m
5 m/s = 4 000 m / ΔT2

ΔT2 = (4 000 / 5) s

ΔT2 = 800 s

3º etapa) VM3 = 4 m/s

ΔS3 = 10 x 800 m = 8 000m
4 m/s = 8 000 m / ΔT3

ΔT3 = (8 000 / 4) s

ΔT3 = 2 000 s

ΔT1 + ΔT2 + ΔT3 = 1 000 + 800 + 2 000 = 3 800 s.

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DEFINIÇÃO
A geometria espacial consiste na análise dos sólidos no espaço, ou seja, é a geometria para objetos tridimensionais, diferente da geometria plana, que é o estudo de figuras bidimensionais. Assim como esta, aquela surge com base em conceitos primitivos, sendo eles: ponto, reta, plano e espaço.

Com base nos elementos primitivos, desenvolve-se os sólidos geométricos, sendo os principais os poliedros: paralelepípedo, cubo e demais prismas, além dos conhecidos como sólidos de Platão; e os corpos redondos: cone, cilindro e esfera. Além do reconhecimento desses sólidos, é importante compreender que os cálculos de volume e de área total possuem fórmulas específicas para cada um dos tipos.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTO-RETA E PONTO-PLANO
O ponto pode pertencer ou não à reta, e ele pode pertencer ou não ao plano.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE PONTOS
Conhecendo dois ou mais pontos, eles podem ser colineares ou não, e coplanares ou não. Os pontos são coplanares quando pertencem ao mesmo plano, e colineares quando pertencem a uma mesma reta.

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                                 GEOMETRIA PLANA

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                                 GEOMETRIA PLANA

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DEFINIÇÃO
A geometria plana ou euclidiana é a vertente da matemática que estuda as figuras geométricas que não possuem volume, como triângulos, retângulos, círculos, entre outros.

Criado pelo matemático Euclides de Alexandria, a geometria plana vai explorar as propriedades e tamanho das formas, além de aplicar fórmulas matemáticas para descobrir seu perímetro e área. Esta área apresenta certas propriedades que nos ajudam a compreender as figuras mais complexas, como os conceitos de ponto, linha, plano e ângulo.

PROPRIEDADES PRINCIPAIS

Ponto: Definido como “aquilo que não tem partes”, o ponto não possui dimensão e é o elemento-base para a formação dos outros conceitos da geometria plana.

Reta: Uma linha de comprimento ilimitado, mas sem largura, formada por infinitos pontos é o que chamamos de reta. Ela pode ser horizontal, vertical ou diagonal e, em relação a pontos em comum, pode ser classificada como paralela (quando não possui pontos em comum com outra reta) ou concorrente (quando se cruzam com outra reta por meio de um ponto em comum).

Semirreta: Partindo de um ponto A, a semirreta se diferencia da reta justamente por possuir um início. A partir daí, esta linha segue de forma limitada, formada por infinitos pontos, porém, em um único sentido.

Segmento de reta: Partindo, ainda, do conceito da reta, o segmento também é formado por pontos. No entanto, possui início e fim, demarcado por pontos A e B, por exemplo.

Plano: Além de ser formada por infinitos pontos, a figura do plano também é composta por infinitas retas e possui, ao mesmo tempo, comprimento e largura. Visualmente falando, é um elemento bidimensional que constitui a base das demais figuras geométricas planas.

Área: corresponde ao tamanho da superfície ocupada por uma figura geométrica e pode ser calculada a partir de fórmulas específicas.

Ângulo: Quando duas semirretas partem de uma mesma origem, ou um vértice, a abertura formada entre esses dois elementos é chamada de ângulo que, por sua vez, é representado pela unidade de medida “grau”. Abaixo, vamos listar as diferentes classificações, de acordo com o grau de abertura, que os ângulos podem ter no estudo da geometria plana.

1. nulo, em que as semirretas partem na mesma direção e se sobrepõem, não havendo abertura e apresentando uma medida igual a 0o;

2. agudo, com uma abertura que varia entre 0o e 90o;

3. reto, que possui exatamente 90o;

4. obtuso, com uma medida maior que 90o, mas inferior a 180o;

5. raso, em que as semirretas partem em direções opostas, formando um ângulo exato de 180o ou, metade de uma circunferência.

FÓRMULAS PRINCIPAIS
Triângulo: é um polígono de 3 lados e 3 ângulos, podendo ser classificado com relação aos seus lados em equilátero (todos os lados congruentes); isósceles (dois lados congruentes); e escaleno (todos os lados com medidas distintas). Além disso, um triângulo pode ser classificado quanto aos ângulos em retângulo (possui um ângulo reto); acutângulo (possui todos os ângulos agudos); e obtusângulo (possui um ângulo obtuso).

Condição de existência do triângulo: dados três segmentos de reta, nem sempre eles podem formar um triângulo. Para que formem um triângulo a soma de dois lados deve ser sempre menor que o terceiro lado.

Em um triângulo, segundo a condição de existência, temos que: a + b > c; b + c > a; a + c > b.

Teorema de Pitágoras:   a²  =  c² + b²

Área de um triângulo retângulo: A = (b × h)/2

Área de um triângulo equilátero: A = (l³ × √3)/4

Área de um quadrado/retângulo:  A = B . H

Área de um trapézio: A = (B + b)  ×  h/2

Área de um losango: A = (D   ×  d)/2

Área de um círculo:  A = π . R²

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DEFINIÇÃO
A trigonometria é uma área da geometria plana euclidiana que analisa a relação existente entre os ângulos de um triângulo e o comprimento dos seus lados. Ela auxiliou o avanço da ciência, sendo aplicada no estudo de movimentos da Física, no estudo dos astros e em navegações.

PROPRIEDADES PRINCIPAIS
Ângulos notáveis: Além de conhecer as razões trigonométricas, existe também os conhecidos ângulos notáveis. Esses ângulos são os que mais comuns de aparecerem na resolução de problemas em provas e vestibulares. Eles são os ângulos de 30º, 45º e 60º.

Círculo trigonométrico: Avançando mais, foi desenvolvida também a trigonometria no círculo trigonométrico, que é conhecido também como ciclo trigonométrico. A partir disso, se tornou possível encontrar o valor do seno, cosseno e tangente de vários ângulos. O círculo é construído no plano cartesiano e seu raio vale 1. No eixo vertical, encontramos o valor que se refere ao seno do ângulo e, no eixo horizontal, o valor do cosseno. O eixo paralelo ao eixo vertical é o eixo da tangente.

Funções trigonométricas: O trabalho com variáveis é de fundamental importância para a Matemática. Pensando nas principais razões trigonométricas, a função seno e a função cosseno são as mais lembradas. Essas funções são bastante comuns no estudo das engenharias, como, mecânica, na construção civil e também em estudos aprofundados na Matemática. Elas auxiliam na análise a variação do ângulo e o seu comportamento.

FÓRMULAS PRINCIPAIS
Seno: cateto oposto/ hipotenusa

Cosseno: cateto adjacente/ hipotenusa

Tangente: seno/cosseno

Relação fundamental: sen²(x) + cos²(x) = 1

CoTg(x): cos(x)/sen(x)

Sec(x): 1/cos(x)

CoSec(x): 1/sen(x)

Relações derivadas:  1 + tg ²(x) = sec ²(x);   1 + cotg²(x) = cosec²(x)

Soma e subtração de arco:  Sen(a + b) = Sen(a) . Cos(b) ± Sen(b) . Cos(a);   Cos(a + b) = Cos(a) . Cos(b) ± Sen(a) . Sen(b)

Arco duplo:  Sen(2x) = 2 . Sen(x) . Cos(x);   Cos(2x) = sen2x - cos2x

Equação trigonométrica:   A + B.Sen( C.X + D);   A + B.Cos( C.X + D);   A + B.Tg( C.X + D)

Lei do seno:   sen(a)/a = sen(b)/b = sen(c)/c

Lei do cosseno:  A² = B² + C² - 2.A.B.Cos(A)

Função seno:  f(x) = sen(x)

Função cosseno:  f(x) = cos(x)

Função tangente:  f(x) = tg(x)

Identidades relacionadas à simetria:  sen( -x) = - sen(x);  cos(- x) = cos(x);  tg(-x) = - tg(x)