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Los exponentes son una forma abreviada que representa la multilpicación de números por sí mismos varias veces, donde el exponente solo se relaciona con el número de la izquierda. Por ejemplo:

2³ = 2*2*2 = 8

Los exponentes también indican el número de veces que pueden ser divididos, y para diferenciar esta operación de la multiplicación el exponente lleva el signo menos (-) delante de sí (es negativo), lo que significa que el exponente está en el denominador de una fracción. Por ejemplo:

2– 4 = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Esto no debe confundirse con el caso en el que la base es negativa, ya que dependerá de si el exponente es par o impar para determinar si la potencia será positiva o negativa. Así se tiene que:

– Si el exponente es par, la potencia será positiva. Por ejemplo:

(-7)² = -7 * -7 = 49.

– Si el exponente es impar, la potencia será negativa. Por ejemplo:

(–2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Existe un caso especial en el cual si el exponente es igual a 0 se tiene que la potencia es igual a 1. También existe la posibilidad de que la base sea 0; en ese caso, dependiendo del exponenete, la potencia será indeterminada o no.

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Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término (si hubiera una suma o una resta sería un binomio), un número llamado coeficiente.¹​ Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales.
Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio, que posee un único término.

Ejemplos de monomios:Pero:no son monomios, porque los exponentes no son naturales.

Elementos de un monomio.

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio:se distinguen los siguientes elementos:²​

coeficiente: también incluye al signo

parte literal (exponente natural):

grado:El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+), y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

La parte literal la constituyen las letras de la expresión.

El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).

Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.

Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

Si alguna parte literal no está presente, pero se requiere, entonces se considera con exponente cero, ya que:

Dada una variable  un número natural  y un número real la expresión:es un monomio.

Si tenemos varias variables: , el número real  y los números naturales el producto correspondiente:

Monomios semejantes.
Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.²​
Ejemplo:
Son semejantes los monomios:
5x²y
ax²y
-7x²y
x²y
pues la parte literal de todos ellos es: x²y

Operaciones con monomios.
Suma y resta de monomios
Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.⁴​
El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes:

Ejemplo:Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.

Producto de monomios

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.
Ejemplo:

Cociente de dos monomios.

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Ejemplos:sí es un monomio porque: es múltiplo de no es un monomio porque: no es múltiplo de y el exponente del factor (del cociente) no es un número natural.

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Es una expresión matemática constituida por una suma finita de productos entre variables (valores no determinados o desconocidos) y constantes (números fijos llamados coeficientes). Las variables pueden tener exponentes de valores definidos naturales incluido el cero y cuyo valor máximo se conocerá como grado del polinomio. En términos más simples, un polinomio es una suma de monomios.Polinomio de grado 7.
Polinomios de una variable.

Para constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a n distinto de cero y entonces un polinomio de grado n en la variable x es un objeto de la forma

Un polinomio no es más que una sucesión matemática finita tal que . También puede considerarse una sucesión infinita entendiendo que a partir de un cierto término podemos considerar para cada Representado como:el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:Las constantes a ₀, …, a n se llaman los coeficientes del polinomio. A a ₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a n, el coeficiente principal (o coeficiente director). Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.

Polinomios de varias variables.
Como ejemplo de polinomios de dos variables, desarrollando los binomios:

(2)

Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.

Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.

Operaciones con polinomios.

Artículo principal: Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Ejemplo:
Sean los polinomios yentonces el producto es:Para poder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios y y el polinomio producto

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que (junto con la operación ) por lo que la expresión puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulo.

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El álgebra es la parte de la matemática que estudia la relación entre números, letras y signos. Por lo tanto, el lenguaje algebraico es aquel que emplea símbolos y letras para representar números.

El lenguaje algebraico se caracteriza por:

Su precisión, ya que es mucho más concreto que el lenguaje numérico. A través de él se pueden expresar enunciados de manera breve. Ejemplo: el conjunto de los múltiplos de 3 es (3, 6, 9, 12…) se expresa 3n en donde n = (1, 2, 3, 4…).

Permite expresar números desconocidos y realizar operaciones matemáticas con ellos. Ejemplo: la suma de dos números se expresa así: a+b.

Admite la expresión de relaciones y propiedades numéricas de carácter general. Ejemplo: la propiedad conmutativa se expresa así: a x b = b x a.

Al escribir utilizando este lenguaje se puede manipular cantidades desconocidas con símbolos sencillos de escribir, permitiendo la simplificación de teoremas, formulación de ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.

El lenguaje algebraico tiene como finalidad, establecer y diseñar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética, donde sólo se emplean los números y sus operaciones matemáticas básicas: suma (+), resta (-), multiplicación (x) y división (/).

Por otra parte, una algebraica es aquella que representa a un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas y se encuentra constituida por coeficientes, exponentes y base. Ejemplo: 7×4.

En donde 7 es el coeficiente, x es la base y 4 es el exponente numérico. El coeficienterepresenta la cantidad numérica o letra que se ubica a la izquierda de la base, indicando la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar, dependiendo del signo que tenga. Ejemplo:

7×4 = x4+x4+x4+x4+x4+x4+x4

El exponente numérico es la cantidad que se ubica arriba a la derecha de la base, indicando el número de veces que la base se toma como producto. Ejemplo: 2×3 = 2 (x) (x) (x).

El valor numérico de una expresión algebraica, es aquel número que se origina, luego de sustituir las letras por números, para continuar, las operaciones que se indican.

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Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es una igualdad que involucra una o más variables a la primera potencia y no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden definirse ecuaciones de primer grado.

En una incógnita

Una ecuación de una variable definida sobre un cuerpo, es decir, con donde x es la variable, admite la siguiente solución:

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:
En dos incógnitas.

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:Donde representa la pendiente y el valor de determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:
Sistemas de ecuaciones lineales.

Los sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamiento matricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de ser real y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseen solución.

Si se consideran n ecuaciones de primer grado linealmente independientes definidas sobre un cuerpo entonces existe solución única para el sistema si se dan las condiciones del teorema de Rouché-Frobenius, que puede ser calculada mediante la regla de Cramer que es aplicable a cualquier cuerpo. Si las ecuaciones no son linealmente independientes o no se dan las condiciones del teorema la situación es más complicada. Si el sistema se plantea sobre un anillo conmutativo que no sea un cuerpo, la existencia de soluciones es también más complejas.

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La gráfica de una ecuación lineal con dos variables es una recta (es por eso que se le llama lineal ).

Si Usted sabe que una ecuación es lineal, puede graficarla al encontrar cualquiera de las dos soluciones

( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ),

graficando esos dos puntos, y dibujando la recta que los une.

Ejemplo :

Grafique la ecuación x + 2 y = 7.

Puede encontrar dos soluciones, correspondientes a la intercepción en x y la intercepción en y de la gráfica, al establecer primero x = 0 y luego y = 0.

Cuando x = 0, obtenemos:

0 + 2 y = 7

y = 3.5

Cuando y = 0, obtenemos:

x + 2(0) = 7

x = 7

Así los dos puntos son (0, 3.5) y (7, 0).

Grafique estos dos puntos y dibuje la recta que los une.
Si la ecuación esta en la forma intercepción-pendiente o de la forma punto-pendiente , puede tambien utilizar la pendiente para ayudarlo a graficar.

Ejemplo :

Grafique la recta y = 3 x + 1.

De la ecuación, sabemos que la intercepción en y es 1, el punto (0, 1) y la pendiente es 3. Grafique el punto (0, 1) y de ahi vaya hacia arriba 3 unidades y a la derecha 1 unidad y grafique un segundo punto. Dibuje la recta que contiene ambos puntos.

Las rectas horizontales y verticales tienen ecuaciones sencillas extra.

Ejemplo :

Recta Horizontal: y = 3

Recta Vertical: x = –2

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Una desigualdad lineal con dos variables divide el plano en dos medios planos . Para graficar la desigualdad, grafique la ecuación del límite. Use una línea continua si el símbolo ≤ o ≥ es usado porque el límite está incluído en la solución. Use una línea punteada si < o > es usado para indicar que el límite no es parte de la solución. Sombree la región apropiada. A menos que esté graficando una línea vertical el signo de la desigualdad le hará saber que medio plano debe sombrear. Si el símbolo ≥ o > es usado, sombree arriba de la línea. Si el símbolo ≤ o < es usado sombree debajo de la línea. Para una línea vertical, las soluciones grandes están a la derecha y las soluciones pequeñas están a la izquierda. Un sistema de dos o más desigualdades lineales pueden dividir el plano en formas más complejas.

Ejemplo:

Grafique y < 2 x + 1
Ejemplo:

Grafique el sistema de desigualdades lineales.

Graficando las tres líneas y sombreando la región encerrada, obtenemos la figura siguiente.

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8. Graficación de desigualdades lineales

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8. Graficación de desigualdades lineales

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Usamos desigualdades cuando existe un rango de posibles soluciones para una situación. "Debo estar ahí en menos de 5 minutos," "Este equipo necesita meter por lo menos un gol para poder ganar," y "Para ir y venir de la ciudad, necesito por lo menos $6.50 para pagar el tren" son todos ejemplos de situaciones donde un límite es especificado, pero un rango de posibilidades existe más allá de ese límite. Eso es en lo que estamos interesados cuando estudiamos desigualdades — posibilidades.

Podemos explorar las posibilidades de una desigualdad usando la recta numérica. Esto es suficiente para situaciones simples, como la desigualdades de una sola variable. Pero en circunstancias más complicadas, como aquellas de dos variables, es más útil añadir otra dimensión, y usamos un eje de coordenadas. En estos casos, usamos desigualdades lineales — desigualdades que pueden escribirse con la forma de una ecuación lineal.

Desigualdades de Una Variable.
Las desigualdades con una variable pueden ser graficadas en la recta numérica, como es el caso de la desigualdad x ≥ -2:Aquí está la misma ecuación pero en una gráfica de coordenadas. Desigualdades de Dos Variables.
Las graficas de x ≥ -2 y y < 3, mostradas arriba no tienen nada de especial. Pudimos haber representado las dos relaciones en una recta numérica, y dependiendo del problema que tratamos de resolver, habría sido más fácil hacerlo.

Las cosas se vuelven más interesantes cuando graficamos desigualdades lineales con dos variables. Empecemos con una desigualdad básica de dos variables: x > y.

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9. Graficación de sistemas de ecuaciones de 2x2.

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9. Graficación de sistemas de ecuaciones de 2x2.

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Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más variables (letras, literales o incógnitas) y consiste en encontrar los valores de las variables que satisfacen dichas ecuaciones. La solución o raíz de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de las variables que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Un sistema de ecuaciones es compatible o posible cuando tiene solución  y es inconsistente, incompatible o imposible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución eindeterminado cuando tiene infinitas soluciones. Las ecuaciones de sistema determinado se llaman independientes.Las ecuaciones de un sistema indeterminado se llaman dependientes.

Cuando las ecuaciones representan condiciones impuestas al mismo tiempo y a las mismas variables, decimos que forman un sistema de ecuaciones simultáneas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen una de la otra, es decir, son múltiplos y/o paralelas.

Procedimiento para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método gráfico.

Si el sistema es:donde `a,d` son los coeficientes de la variable `x` ; `b,e` son los coeficientes de la variable `y`; `c,f` son los términos independientes.

1. Se despeja la incógnita `y` en ambas ecuaciones.

2. Se construye, para cada uno de los dos despejes, la tabla de valores correspondientes. Normalmente para cada una, encuentras los puntos en los cuales cruza a los ejes, es decir, los puntos en donde `x=0` e `y=0`.

3. Se grafican ambas rectas en los ejes coordenados.

4. Existen 3 posibilidades:

1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto donde se intersectan son los valores de las incógnitas `x` e `y`. Sistema compatible determinado.

2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene una infinidad de soluciones. Sistema compatible indeterminado.

3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

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10. Método algebraíco: reducción,igualación,sustitución y regla de Cramer.

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10. Método algebraíco: reducción,igualación,sustitución y regla de Cramer.

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Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta sección resolvemos sistemas (lineales) de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, obtenemos el valor de xsustituyendo el valor de y que ya conocemos.

reducción: consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así obtenemos una ecuación con una sola incógnita.

igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una sola ecuación con una incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

Regla de Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero ( det ( A ) # 0 )

Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas). Consideremos un sistema de Cramer, es decir, un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente: Sean A la matriz del sistema (matriz de los coeficientes), entonces det (A) # 0. Llamaremos matriz asociada a la incógnita x i y la designaremos por A i a la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz del sistema la columna i por la matriz columna de los términos independientes. Es decir: Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema (matriz de los coeficientes de las incógnitas).

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11. Triángulos: clasificación y propiedades.

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11. Triángulos: clasificación y propiedades.

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Los triángulos se pueden clasificar según diferentes criterios:

Por sus lados

Por sus ángulos

Clasificación de triángulos según sus lados.

Triángulo equilátero

Si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden  grados).

Triángulo isósceles
Si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida.

Triángulo escaleno

Si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Triángulo Rectángulo

Si tiene un ángulo interior recto  . A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo

Si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de  ); los otros dos son agudos (menor de  ).

Triángulo acutángulo

Cuando sus tres ángulos son menores a  ; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Triángulo equiángulo
Normalmente se llama Triángulo equilátero y ya se ha comentado anteriormente.

Propiedades de los triángulos

TriángulosEquiláteroIsóscelesEscalenoAcutángulo | | |
Rectángulo |  | |
Obstusángulo |  | | Podemos ver en el esquema anterior que las clasificaciones comentadas en el apartado anterior se pueden combinar de dos a dos (una de cada apartado).

Así, tenemos las siguientes características:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de  cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

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12. Cuadriláteros: clasificación y propiedades.

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12. Cuadriláteros: clasificación y propiedades.

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Cuadriláteros: Qué son

Los cuadriláteros son polígonos, figuras geométricas planas, delimitados por cuatro segmentos de recta (llamados lados) que se interceptan en cuatro puntos no alineados (llamados vértices).

Por lo tanto todos los cuadriláteros tienen cuatro lados, cuatro ángulos interiores, otros cuatro ángulos exteriores, cuatro vértices y dos diagonales (segmentos que unen los vértices opuestos).

1. Propiedades y características de los cuadriláteros

La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero convexo es igual a 360º; A + B + C + D = 360º.

Las diagonales de un cuadrilátero convexo se cortan.

Todo cuadrilátero convexo puede expresarse como la unión de dos triángulos con lado común una de las diagonales.

Si se unen con cuatro segmentos los puntos medios de todos los lados de un cuadrilátero, entonces dichos segmentos forman un paralelogramo.

Si un segmento por la intersección de las diagonales de un cuadrilátero y une dos lados opuestos, determina dos cuadriláteros con un lado común.

Si un cuadrilátero está circunscrito, la suma de sus lados opuestos es igual; AB + CD = BC + DA

Si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, la suma de sus ángulos opuestos es igual a 180º.

Sea ABCD un cuadrilátero inscrito, AB su diámetro, entonces las proyecciones de sus lados AD y BC sobre la recta CD son iguales.

Clasificación de los cuadriláteros: Tipos y figuras

Los cuadriláteros varían en su forma diferenciándose varios tipos y figuras que se pueden clasificar según:

La medida de los ángulos interiores.

El paralelismo entre los lados.

La longitud de los lados.

Al clasificar los cuadriláteros según sus ángulos interiores se distinguen dos tipos:

Cuadriláteros cóncavos (o no convexos): Uno de los ángulos de este tipo de cuadrilátero es mayor de 180º. Esto significa que es posible encontrar dos puntos interiores a un cuadrilátero convexo con un segmento que los una con puntos exteriores a la figura. En algunos manuales también se conocen como deltoides o puntas de flecha.

Cuadriláteros convexos: Todos los ángulos interiores de este tipo de cuadrilátero son menores de 180º. Esto significa que dados dos puntos cualesquiera interiores a un cuadrilátero convexo, el segmento que los une tendrá todos sus puntos dentro de la figura.

Sin embargo, la manera más habitual de clasificar los tipos cuadriláteros en general, y los cuadriláteros convexos en particular, es según el paralelismo de sus lados:

Paralelogramos

Trapecios

Trapezoides

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13. Polígonos en general: clasificación y propiedades.

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13. Polígonos en general: clasificación y propiedades.

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La denominación de polígono — palabra compuesta de poli , del griego: muchos; y gonos del griego: ángulos — se aplica a las figuras geométricas planas, delimitadas por el cruce de tres o más líneas rectas; lo cual conforma una superficie definida por 3 o más lados, los cuales forman entre sí la misma cantidad de ángulos.

Clases de polígonos
Los polígonos se clasifican según tres criterios:

Por la igualdad o desigualdad de lados:

Polígonos regulares — cuando todos los lados son de igual extensión;

Polígonos irregulares — cuando por lo menos alguno de los lados es de extensión distinta. Por la cantidad de lados, aunque por referencia a la igual cantidad de ángulos:

Triángulos — los que tienen 3 lados y 3 ángulos.

Cuadriláteros — los que tienen 4 lados y 4 ángulos.

Pentágonos (del griego: penta: cinco) — los que tienen 5 lados y 5 ángulos.

Exágonos (del griego: exa: seis) — los que tienen 6 lados y 6 ángulos.

Heptágonos (del griego: hepta: siete) — los que tienen 7 lados y 7 ángulos.

Octógonos — los que tienen 8 lados y 8 ángulos.

Encágonos — los que tienen 9 lados y 9 ángulos.

Decágonos — los que tienen 10 lados y 10 ángulos.

Undecágonos — los que tienen 11 lados y 11 ángulos.

Dodecágonos — los que tienen 12 lados y 12 ángulos.Con más de 12 lados, se denominan indicando el número de lados.

Por la existencia de una o más líneas que los dividan en mitades iguales:

Polígonos simétricos — los que tienen uno o más ejes de simetría

Polígonos asimétricos — los que no tienen ningún eje de simetría

El triágulo es el polígono delimitado por tres lados; y que en consecuencia contiene tres ángulos, con sus respectivos vértices.

Clases de triángulos.

|
|  | Los triángulos se clasifican: En consideración a sus lados, en:Triángulos equiláteros — cuando sus tres lados son iguales.Triángulos isósceles — cuando solamente dos de sus lados son iguales.Triángulos escalenos — cuando sus tres lados son desiguales. En consideración a sus ángulos, en:Triángulos acutángulos — cuando sus tres ángulos son agudos.Triángulos rectángulos — cuando tienen un ángulo recto.Triángulos obtusángulos — cuando tienen un ángulo obtuso.

Líneas y puntos en los polígonos.

| En los polígonos regulares, se consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas y puntos:El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma, de todos sus lados.La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no consecutivos.El centro — que es el punto que se encuentra a una misma distancia de todos sus vértices.El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios como ángulos.El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular tiene tantos apotemas como lados.Los ángulos en los polígonos. En los polígonos regulares se distinguen dos tipos de ángulos: |  | Los ángulos interiores — que son los que se forman en el vértice entre los lados. Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como lados. Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360 dividido por la cantidad de lados.Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.Ángulo central del exágono: 360° ÷ 6 = 60°.Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.Polígonos inscriptos y circunscriptos. |  | Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunsferencia.
Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunsferencia.

Construcción de polígonos mediante el compás. Mediante la aplicación de los conceptos referentes a los ángulos de los polígonos, es posible servirse del instrumento de dibujo que es el compás, para construir graficamente diversos polígonos.
El compás es un instrumento básicamente aplicable en el trazado de circunferencias, que delimitan una figura plana que es el círculo; el cual puede ser considerado un tipo especial de polígono regular, en el cual todos sus lados están constituídos solamente por un punto, y cuya dimensión está determinada por la longitud del radio, que es equivalente a la abertura del compás.
El método a utilizar para construir polígonos mediante el uso del compás, se basa en determinar los vértices de los lados del polígono, estableciendo en qué puntos de la circunsferencia deben situarse para que el polígono resulte inscripto en ella.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los valores de los ángulos centrales del polígono que se desea construir.
| Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo, manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia (preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la circunsferencia.Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de los otros dos lados. |  | Para trazar un cuadrado inscripto en un círculo, se traza una recta que pasando por el centro llegue a la circunsferencia en sus extremos (diámetro AB).Con una abertura del compás mayor a la empleada para trazar el círculo, centrando en los puntos extremos del diámetro, se marcan puntos en la circunferencia; lo que determinará dos nuevos puntos (C y D). Uniéndolos mediante una recta, resultará un nuevo diámetro perpendicular al anterior; cuyos puntos de contacto con la circunferencia serán los vértices del cuadrado inscripto.Como el cuadrado inscripto queda en posición transversal, puede trazarse otro con los lados en posición horizontal y vertical, simplemente trazando las medianas del cuadrado anterior, para determinar los vértices A', B', C' y D', de un nuevo cuadrado inscripto en el mismo círculo. |  |

Para trazar un exágono inscripto en un círculo, se fija un punto sobre la circunferencia, y con la misma abertura del compás, se marcan puntos haciendo centro primero en ese punto y luego sucesivamente en los nuevos puntos.Ello determinará que se marquen sobre la circunferencia los seis puntos que corresponden a los vértices del exágono.

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En matemáticas, dos figuras geométricas son congruentes si tienen las mismas dimensiones y la misma forma sin importar su posición u orientación, es decir, si existe una isometría que los relaciona: una transformación que puede ser de traslación, rotación y/o reflexión. Las partes relacionadas entre las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Ángulos congruentes.

Los ángulos opuestos son congruentes debido a que una rotación de 180° sobre su vértice hace coincidir uno y el otro.

Los ángulos y son congruentes y opuestos por el vértice.

Una recta que corta dos paralelas generan ángulos congruentes.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Congruencia de triángulos.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Si dos triángulos y son congruentes, esto se notará como:

Criterios de congruencia.

Criterios para establecer que dos triángulos sean congruentes con un mínimo de condiciones, a veces llamado de forma genérica postulados o teoremas de congruencia ya que aunque triviales se tienen que demostrar. En principio se busca construir triángulos congruentes con el mínimo de información sobre este.

1. Caso AAL o ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos. En un triángulo si conocemos dos de sus ángulos el tercer ángulo queda unívocamente determinado.

ALA

AAL

2. Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados iguales y el mismo ángulo comprendido entre ellos.

LAL

3. Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados iguales.

4. Caso LLA: Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo sobre uno de ellos iguales. Este caso no es de congruencia si no damos más información sobre el triángulo, como la de ser triángulo rectángulo o si tiene o no ángulos obtusos.

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Thales de Mileto.

Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

Los dos teoremas de Thales.
Semicírculo que ilustra el segundo teorema de Tales.

El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa").

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos ("encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos.

Si diversas rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son proporcionales.

Primer teorema.

Una aplicación del teorema de Tales.

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o si sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría, a saber, que:

Teorema primeroSi en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Tales de Mileto

Según parece, Tales descubrió el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario.

Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:

Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.

Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Segundo teorema.

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Teorema segundoSea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro "O", distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo donde <ABC = 90º.
Tales de Mileto

Este teorema (véase fig 2.1 y 2.2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritosdentro de una circunferencia.

Demostración.

fig 2.2 Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto.

fig 2.3 Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

En la circunferencia de centro O y radio r (véase fig 2.3), los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior entre dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

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La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Es la relación de proporción que existe entre las medidas de un mapa con las originales.
Representación.

Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor del plano y el consecuente el valor de la realidad. Por ejemplo, la escala 1:500 significa que 1 cm del plano equivale a 500 cm (5 m) en el original.

Ejemplos: 1:1, 1:10, 1:500, 5:1, 50:1

Si lo que se desea medir del dibujo es una superficie, habrá que tener en cuenta la relación de áreas de figuras semejantes, por ejemplo un cuadrado de 1 cm de lado en el dibujo o plano.

Tipos de escalas.

Existen tres tipos de escalas llamadas:

Escala natural: Es cuando el tamaño físico del objeto representado en el plano coincide con la realidad. Existen varios formatos normalizados de planos para procurar que la mayoría de piezas que se mecanizan estén dibujadas a escala natural; es decir, escala 1:1.

Escala de reducción: Se utiliza cuando el tamaño físico del plano es menor que la realidad. Esta escala se utiliza para representar piezas (E.1:2 o E.1:5), planos de viviendas(E:1:50), mapas físicos de territorios donde la reducción es mucho mayor y pueden ser escalas del orden de E.1:50.000 o E.1:100.000. Para conocer el valor real de una dimensión hay que multiplicar la medida del plano por el valor del denominador.

Escala de ampliación: Se utiliza cuando hay que hacer el plano de piezas muy pequeñas o de detalles de un plano. En este caso el valor del numerador es más alto que el valor del denominador o sea que se deberá dividir por el numerador para conocer el valor real de la pieza. Ejemplos de escalas de ampliación son: E.2:1 o E.10:1.

Normas.

Según la norma UNE EN ISO 5455:1996. "Dibujos técnicos. Escalas" se recomienda utilizar las siguientes escalas normalizadas:

Escalas de ampliación: 100:1, 50:1, 20:1, 10:1, 5:1, 2:1

Escala gráfica, numérica y unidad por unidad.

La escala numérica representa la relación entre el valor de la representación (el número a la izquierda del símbolo ":") y el valor de la realidad (el número a la derecha del símbolo ":") y un ejemplo de ello sería 1:100 000, lo que indica que una unidad cualquiera en el plano representa 100 000 de esas mismas unidades en realidad, dicho de otro modo, dos puntos que en el plano se encuentran a 1 cm y estarán en la realidad a 100 000 cm, si están en el plano a 1 m en la realidad estarán a 100 000 metros, y así con cualquier unidad que tomemos.

La escala unidad por unidad es la igualdad expresa de dos longitudes: la del mapa (a la izquierda del signo "=") y la de la realidad (a la derecha del signo "="). Un ejemplo de ello sería 1 cm = 4 km; 2 cm = 500 m, etc.

La escala gráfica es la representación dibujada de la escala unidad por unidad, donde cada segmento muestra la relación entre la longitud de la representación y el de la realidad. Un ejemplo de ello sería: 1 cm__o__10 km

Fórmula más rápida: N=P/T ¹​
Donde: N: Escala; P: Dimensiones en el papel (cm, m); T: Dimensiones en el terreno (cm, m); ambos deben estar en una misma unidad de medida.

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En matemáticas se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma sin importar los tamaños entre ellos. Por ejemplo, dos mapas con distintas escalas son semejantes, pues la forma del contenido no cambia, pero sí el tamaño.
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos proporcionales.
Ecuación.
Se reúnen estas dos propiedades equivalentes en la siguiente ecuación:

Características.

Todos los triángulos equiláteros son semejantes.

Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales.

Una semejanza es la composición de una isometría con una homotecia. En la semejanza se puede cambiar el tamaño y la orientación de una figura pero no se altera su forma.

Por lo tanto, dos triángulos son semejantes si tienen similar forma.

En el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno.

En la figura, los ángulos correspondientes son A = A', B = B' y C = C'. Para denotar que dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes se escribe ABC ~ A'B'C', donde el orden indica la correspondencia entre los ángulos: A, B y C se corresponden con A', B' y C', respectivamente. Una similitud tiene la propiedad de multiplicar todas las longitudes por un mismo factor. Por lo tanto las razones longitud imagen / longitud origen son todas iguales, lo que da una segunda caracterización de los triángulos semejantes: Dos triángulos son semejantes si las razones de los lados correspondientes son congruentes.

Propiedad reflexiva, refleja o idéntica

Todo triángulo es semejante a sí mismo.

Propiedad idéntica o simétrica

Si un triángulo es semejante a otro, aquel es semejante al primero.

Propiedad transitiva

Si un triángulo es semejante a otro, y éste a su vez es semejante a un tercero, el primero es semejante al tercero.

Estas tres propiedades implican que la relación de semejanza entre dos triángulos es una relación de equivalencia.

Teorema fundamental de la semejanza de triángulos.

Todas las paralelas a un lado de un triángulo que no pase por el vértice opuesto, determina con las rectas a las que pertenecen los otros dos lados, un triángulo semejante al dado.

Hipótesis:

o a su prolongación en

Teorema:

Dando lugar a tres casos:
Primer caso. corta a los lados AB y BC por puntos interiores a ellos:

Haremos una primera consideración, referida a los ángulos, y la llamaremos (1):

por carácter reflejo

por ser

correspondientes entre r || AC, secante AB por ser correspondientes entre r || AC, secante BC

Por otra parte, en virtud del corolario del Teorema de Tales se tiene:

Si por M se traza una paralela al lado AB, esta interseca al lado AC en un punto N, y nuevamente por el corolario del Teorema de Tales tenemos:

Pero dado que AN = LM, por ser lados opuestos del paralelogramo ALMN, reemplazando en {\displaystyle \bigoplus } se obtiene:

De y se obtiene la consideración que llamaremos (2):

Luego de (1) y (2), resulta: por definición de semejanza.

Segundo caso.

corta a las rectas de los lados AB y BC por puntos exteriores a ellos, sobre las semirrectas de origen B que los contienen.

Consideramos BLM como si fuera el triángulo dado, y BAC el triángulo nuevo, y por el caso I de la demostración, es:
por carácter simétrico.

Tercer caso.

Si corta los lados AB y BC en puntos que pertenecen a las semirrectas opuestas a las que sirven de sostén a dichos lados.

Sobre la semirrecta de origen B que contiene al punto A, se construye BN=BL y por el extremo N del segmento construido, una paralela a AC (s) que corta la recta de BC por O.

Quedan entonces por el caso I, semejanza que llamaremos

Teniendo en cuenta los triángulos BNO y BLM, se observa:

BN=BM por construcción

α=α' por ser opuestos por el vértice.

β=β' por ser alternos internos entre r || s, secante LN

Y siendo BNO=BLM es BNO ~ BLM por el primer corolario de la definición.

De y , y por carácter transitivo:

BAC ~ BLM BLM ~ BAC

En conclusión, los triángulos semejantes permiten saber en que clase de espacio nos hallamos, uno euclidiano, o con curvatura positiva (como la esfera), o con curvatura negativa (espacio hiperbólico), y la doble caracterización de los triángulos similares (mismos ángulos y cocientes de los lados iguales) en la geometría usual no es ni anecdótico ni anodino.

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El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos. Es la proposición más conocida entre las que tienen nombre propio en la matemática.¹​

Teorema de PitágorasEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras

Si en un triángulo rectángulo hay catetos de longitud , y la medida de la hipotenusa es , entonces se cumple la siguiente relación:

De esta ecuación se deducen tres corolarios de verificación algebraica y aplicación práctica:

Demostraciones supuestas de Pitágoras.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones da:

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I), así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a, b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro– está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

El otro cuadrado –derecha– lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado grisequivale a la de los cuadrados amarillo y azul habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

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19. Conversiones de unidades de medición.

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19. Conversiones de unidades de medición.

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La conversión de unidades es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza.

Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y/o las tablas de conversión de unidades.

Frecuentemente basta multiplicar por una fracción (factor de una conversión) y el resultado es otra medida equivalente, en la que han cambiado las unidades. Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades, se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.

Por ejemplo, para pasar 8 metros a yardas, sabiendo que un metro equivale a 1,093613  , se multiplica 8 por 1,093613; lo que da por resultado 8,748904 yardas

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20. Áreas y perimetros de polígonos irregulares.

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20. Áreas y perimetros de polígonos irregulares.

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El cálculo del área de un polígono irregular requiere de métodos alternativos de cálculo de áreas. El método más común es dividir el polígono en N triángulos (siendo N el número de lados del polígono) y calcular la área como suma de las áreas de los triángulos.

El área del polígono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss:

Triangulación del polígono irregular.

Sea P un polígono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el polígono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en N triángulos y el área del polígono será la suma del área de esos N triángulos.

1. Se divide el polígono en N triángulos (T ₁, T ₂, T ₃,…, T N) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del polígono y que todos confluyen en un mismo punto interior.

1. Se miden las alturas (h ₁, h ₂,…, h N) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del polígono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.

1. Se calculan las áreas de los N triángulos. El área del primer triángulo es:Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros N-1 triángulos.

2. Sumamos las N áreas y obtenemos el área del polígono irregular:Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del polígono: (x ₁,y ₁), (x ₂,y ₂),…, (x N,y N). La fórmula és la siguiente:

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del polígono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavoscomo en los convexos.

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21. Volúmenes de prismas y paralelepípedo. 

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21. Volúmenes de prismas y paralelepípedo. 

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Un prisma es un poliedro con dos caras congruentes paralelas llamadas las bases que son polígonos .

El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (pulg 3 , pies 3 , cm 3 , m 3 , etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular el volumen.

El volumen V de un prisma es el área de la base B por la altura h .

Nota : Un centímetro cúbico (cm 3 ) es un cubo cuyos bordes miden 1 centímetro.

Ejemplo:

Encuentre el volumen del prisma mostrado.

Solución

La fórmula para el volumen de un prisma es V = Bh , donde B es el área de la base y h es la altura.

La base del prisma es un rectángulo. La longitud del rectángulo es de 9 cm y el ancho es de 7 cm.

El área A de un rectángulo con longitud l y ancho w es A = lw .

Así, el área de la base es 9\times;7 o 63 cm 2 .

La altura del prisma es de 13 cm.

Sustituya 63 por B y 13 por h en V = Bh .

V = (63)(13)

Multiplique.

V = 819

Por lo tanto, el volumen del prisma es de 819 centímetros cúbicos.

Paralelepípedo.

Paralelepípedo oblicuo.

Un paralelepípedo (del latín parallelepipĕdum, y este del griego παραλληλεπίπεδον¹​ parallēlepípedon ²​ ‘planos paralelos’) es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices.

Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:

Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.

Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.

Es un prisma cuya base es un paralelogramo.

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides, aquellos poliedros en los que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos

Volumen.

En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta.

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm³.

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

En general, si y son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

La ecuación (4) es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

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22. Volúmenes de conos, esferas y pirámides.

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22. Volúmenes de conos, esferas y pirámides.

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Volumen de un cono.

Un cono es una figura tridimensional con una base circular. Una superficie curvada conecta la base y el vétice.

El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (pulg 3 , pies 3 , cm 3 , m 3 , etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular el volumen.

El volumen V de un cono con radio r es un tercio del área de la base B por la altura h .

Nota : La fórmula para el volumen de un cono oblicuo es la misma que el del cono recto.

Los volumenes de un cono y un cilindro están relacionados en la misma forma que los volumenes de una pirámide y un prisma se relacionan. Si las alturas de un cono y un cilindro son iguales, entonces el volumen del cilindro es tres veces más como el volumen de un cono.

Ejemplo:

Encuentre el volumen del cono mostrado. Redondee a la décima más cercana de un centímetro cúbico.

Solución

De la figura, el radio del cono es de 8 cm y la altura es de 18 cm.

La fórmula para el volumen de un cono es,

Sustituya 8 por r y 18 por h .

Simplifique.

Por lo tanto, el volumen del cono es de alrededor de 1206.4 centímetros cúbicos.

Volumen de una esfera.

Una esfera es un conjunto de puntos en el espacio que están a una distancia dada r del centro.

El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (pulg 3 , pies 3 , cm 3 , m 3 , etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular el volumen.

El volumen V de una esfera es cuatro tercios por pi por el radio al cubo.

El volumen de una hemiesfera es un medio del volumen de esfera relacionada.

Nota : El volumen de una esfera es 2/3 del volumen de un cilindro con el mismo radio, y altura igual al diámetro.

Ejemplo:

Encuentre el volumen de una esfera. Redondee al metro cúbico más cercano.

Solución

La fórmula para el volumen de una esfera es

De la figura, el radio de la esfera es de 8 m.

Sustituya 8 por r en la fórmula.

Simplifique.

Por lo tanto, el volumen de la esfera es de alrededor de 2145 m 3 .

Volumen de una pirámide.Una pirámide es un políedro con una base que es cualquier polígono . Sus otras caras son triángulos.

El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. Las unidades de volumen están dadas en unidades cúbicas (pulg 3 , pies 3 , cm 3 , m 3 , etcétera). Asegúrese de que todas las medidas estén en las mismas unidades antes de calcular el volumen.

El volumen V de una pirámide es un tercio del área de la base B por la altura h .

Ejemplo:

Encuentre el volumen de una pirámide cuadrada regular con lados de base de 10 cm y altitud de 18 cm.

Solución

Dibuje una figura.

La fórmula para el volumen de una pirámide es,

Ya que la base de la pirámide es un cuadrado, el área de la base es 10 2 o 100 cm 2 .

Así, sustituya 100 por B y 18 por h en la fórmula.

Por lo tanto, el volumen de la pirámide cuadrada es de 600 cm 3 .

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Un poliedro se llama regular  cuando cumple las siguientes condiciones:

Sus caras son polígonos regulares

En cada vértice concurren el mismo número de caras.

Solo existen  cinco poliedros regulares:

El tetraedro formado por 4 caras que son triángulos equiláteros iguales.

El hexaedro o cubo formado por 6 caras que son cuadrados iguales.

El octaedro formado por 8 caras que son triángulos equiláteros iguales.

El dodecaedro formado por 12 caras que son pentágonos regulares iguales.

El icosaedro formado por 20 caras que son triángulos equiláteros iguales.

TETRAEDRO y PIRÁMIDES

Un tetraedro regular es un poliedro regular formado por 4 triángulos equiláteros iguales.
Es una pirámide triangular regular.

Los elementos fundamentales de una pirámide o de un tetraedro son caras, aristas, altura, apotema y vértices.

Las caras pueden ser:
Base es un polígono cualquiera en el caso de la pirámide o un triángulo equilátero en el tetraedro.
Caras Laterales son triángulos equiláteros o isósceles.

Las aristas  pueden ser:
Aristas Basicas  son los lados de las bases.
Aristas Laterales son los lados de las caras laterales que no son las                   aristas básicas.

Los vértices pueden ser:
Vértices de la Base son los vértices del polígono de la base.
Vértice o cúspide de la pirámide es el punto donde se encuentran las                 aristas laterales.

La altura es la distancia que hay desde el vértice o cúspide de la pirámide hasta la base.

La apotema es la altura de los triángulos de las caras laterales.

CUBO O HEXAEDRO

Dos prismas importantes son el cubo y el ortoedro.

El cubo es un prisma que tiene seis caras que son cuadrados iguales. Por eso el cubo es un poliedro regular.

El ortoedro es un prisma que tiene las seis caras rectangulares

OCTAEDRO

Un octaedro es un poliedro regular formado por 8 triángulos equiláteros iguales.
Se puede considerar formado por la unión, desde sus bases, de dos pirámides cuadrangulares regulares iguales.

DODECAEDRO

Un dodecaedro regular es un poliedro regular formado por 12 pentágonos regulares iguales.
Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales

ICOSADEDRO

Un icosaedro regular es un poliedro regular formado por 20 triángulos equiláteros iguales

Los poliedros regulares también son conocidos como sólidos platónicos, ya que Platón los utilizaba para representar los elementos de la naturaleza: el tetraedro representaba el fuego; el cubo, la tierra; el octadero el aire, el dodecaedro, el universo y el icosaedro, el agua

De la observación detenida de cada uno podemos inferir que:

Las caras de cada uno de ellos son polígonos regulares.

Todas las caras de cada uno de ellos son iguales.

En cada cara, concurre el mismo número de caras en cada vértice.

Los prefijos Tetra, Hexa, Octa, Dodeca e Icosa que dan nombre a los cinco poliedros regulares indican el número de polígonos (caras) que forman el cuerpo.

Confeccionamos un cuadro con las observaciones realizadas en las figuras:

Poliedros | Forma de las caras | Nro. de caras | Vértices | Aristas
tetraédros | triangulos equilateros | 4 | 4 | 6
hexaedros | cuadrados | 6 | 8 | 12
octoedros | triangulos equilateros | 8 | 6 | 12
dodecaedros | pentagonos | 12 | 20 | 30
icosaedros | triangulos equilateros | 20 | 12 | 30

Entre el número de aristas y el número de caras y vértices existe una curiosa  relación  que se conoce con el nombre de relación de Euler.

La fórmula de Euler establece que, en un poliedro convexo, el número de caras más el números de vértices es igual al número de aristas más dos. Llamando C al número de caras, V al de vértices y A al de aristas se tiene que:

C + V = A + 2

Las consecuencias más importantes del teorema de Euler son:

1) No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro caras y cuatro vértices.

2) Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de igual número de lados y            cuyos ángulos poliedros tengan entre sí el mismo número de aristas y que son: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y dodecaedro.

3) La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como el número de vértices que tiene menos dos.

Piensa en el cubo, ¿se cumple la fórmula?

C      +     V       =     A     +    2             o          C  + V  -  A = 2

caras + vértice =  arista +    2

Ejemplo:

Tetraedro = 4 caras  + 4 vértices  = 6 aristas  +  2

Dodecaedro  =  12 caras  + 20  vértices  = 30 aristas   +  2

Esta relacion se cumple en todos los polígonos regulares e irregulares

POLIEDROS EN LA VIDA COTIDIANA

Los balones de fútbol han estado hechos siempre con 12 pentágonos y 20 hexágonos (icosaedro truncado), aunque hoy día algunos han cambiado por otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño rombicosidodecaedro) que tiene 20 triángulos, 30 cuadrados y 12 pentágonos

El icosaedro truncado es un sólido de Arquímedes que se obtiene truncando cada vértice de un icosaedro

USOS

Las pelotas de fútbol de la FIFA tuvieron esta forma durante muchísimo tiempo. Los gajos de cuero que la formaban eran hexágonos y pentágonos dispuestos en forma de icosaedro truncado. Al ser inflada la pelota tomaba la forma esférica característica.

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Transformaciones geométricas

Coloquialmente, las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. A esta nueva figura se le llama la homóloga de la original. Podemos clasificar dichas transformaciones en dos grandes grupos:

Directa: si la homóloga conserva la orientación de la original.

Inversa: si la homóloga tiene el sentido contrario a la original.

También podemos clasificar las transformaciones geométricas según la forma del homólogo respecto al original. En este caso, tenemos tres grandes grupos:

Isométricas: el homólogo conserva las distancias y los ángulos. A este grupo, también se le llama movimientos en el plano.

Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. Por lo tanto, existe proporcionalidad entre los lados del homólogo y el del original.

Anamórficas: cambia la forma de la figura original. En este tema, estas transformaciones no se van a tratar.

Formalmente, las transformaciones geométricas son las aplicaciones lineales . Sea  una base ortonormal (ortogonal de módulo ) de . Como las transformaciones geométricas son aplicaciones lineales, entonces podemos representarlas mediante un sistema bidimensional de ecuaciones lineales. O sea, sea  un vector cualquiera de  y sea  el vector transformado mediante la transformación geométrica. Entonces, estos dos vectores cumplen la siguiente ecuación:

donde la matriz  es la matriz que representa cómo cambian los vectores de la base respecto de la transformación.

O sea, en la primera columna hay las nuevas componentes del primer vector de la base y en la segunda las componentes del segundo vector básico. Además, el vector  nos dice como cambia el origen de coordenadas mediante la transformación.

Por lo tanto, gracias a esta formulación algebraica de las transformaciones geométricas, podemos reformular las clasificaciones anteriores usando sólo la matriz asociada a la transformación. Recordemos que, en la primera clasificación teníamos que:

Transformación directa: Si conserva la orientación y esto sucederá si y solo si .

Transformación inversa: Si invierte la orientación, que esto sucede si y solo si .

Por lo tanto, mediante el signo del determinante de la matriz asociada a la transformación, podremos saber si esa conserva o no su orientación.

Por otro lado, la segunda clasificación que hacíamos de las transformaciones geométricas, nos decía que:

Isométricass: Conserva los ángulos y las distancias. Este hecho equivale a decir que .

Isomórficas: Conserva los ángulos y su forma, existiendo una razón de proporcionalidad entre los lados del original y del homólogo. Esto equivale a decir que  y, y que las distancias que existían en la figura original se ven multiplicadas por el factor . Por lo tanto,  es la razón de semejanza entre las dos figuras.

Anamórficas: No pueden ser representadas por una matriz dado que no conservan ni los ángulos no las proporciones. Por lo tanto, este tipo de aplicaciones no son lineales.

Ejemplo

Para terminar, vamos a dar un ejemplo de clasificación de transformaciones. Dado el sistema

vamos a clasificarlo en las dos clasificaciones dadas con anterioridad. Primero necesitamos calcular el determinante de la matriz asociada a la transformación. Entonces, , a con lo que vemos que la transformación es directa, dado que su determinante es positivo, y es una transformación isomórfica, dado que el determinante es . Por lo tanto, las figuras que les aplicamos esta transformación se verán multiplicadas por una razón de semejanza igual a 3.

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Únicamente existen 5 poliedros regulares:

1. Tetraedro: que tiene 4 caras en forma de triángulos equiláteros

2. Hexaedro o cubo: que tiene 6 caras en forma de cuadrados.

3. Octaedro: que tiene 8 caras en forma de triángulos equiláteros

4. Dodecaedro: que tiene 12 caras en forma de pentágonos regulares

5. Icosaedro: que tiene 20 caras en forma de triángulos equiláteros.

El resto de poliedros son irregulares y, si no se te ocurre ninguno, en general todas las pirámides y los prismas son poliedros irregulares.

Sección principal

La sección principal de un poliedro regular es una sección por un plano de simetría que nos ofrece la información fundamental sobre el poliedro: dimensión de la arista, de la altura de cara, de la diagonal de cara, de la diagonal del poliedro, de la distancia entre caras paralelas. Veremos la sección principal en cada poliedro. Es fundamental que las aprendas bien porque te pueden resultar muy útiles en cualquier examen. Aunque el examen no vaya de poliedros, siempre pueden aparecer. Verás que, si llegas a entender lo que significan, no te será difícil recordarlas.

Tetraedro

El tetraedro es un poliedro regular limitado por 4 caras en forma de triángulos equiláteros. Una de las cosas que me parecen más fascinantes de los poliedros regulares es poder dibujarlos a partir de un lado. Por ejemplo, dado el lado L de un tetraedro es posible dibujarlo entero. Veamos cómo. Lo dibujaremos en primer lugar apoyado sobre una cara:

1. Dibuja en proyección horizontal un triángulo equilátero ABC, que será la base del tetraedro. Coloca uno de los lados perpendicular a la línea de tierra para facilitarnos la tarea.

2. Encuentra el circuncentro del triángulo equilátero, con la intersección de las mediatrices de sus lados. Es el mismo que el incentro, o intersección de las bisectrices de los ángulos. Une ese centro V con los tres vértices del triángulo y ¡ya tienes la proyección horizontal!

3. Para encontrar la altura abatiremos una de las caras del tetraedro. Sabemos que la cara ABV es en realidad un triángulo equilátero, así que si dibujas un triángulo equilátero cuyo lado sea a-b obtendrás (V) abatido. Esto se hace dibujando dos arcos de circunferencia, ambos con un radio a-b y con centros uno en a y otro en b.

4. La distancia 1-(V) es la altura de la cara, que es la que veremos de perfil en la proyección vertical. Dibuja un arco de circunferencia con centro en a’=b’ y radio 1-(V) que cortará a la perpendicular desde v en v’. ¡Ya tienes la altura del tetraedro!

5. Une v’ con a’ y con c’ y tendrás el dibujo del tetraedro.

Precisamente en esta posición del tetraedro es fácil leer su sección principal. En la sección principal vemos la altura de cara H en la base, la altura de cara H en un lado de la sección y el lado o longitud de la arista L en el otro. Así que a partir de ahora, cuando conozcas el lado de un tetraedro puedes dibujar su sección principal inmediatamente de la siguiente manera. Ahora vamos a ver algunas posiciones especiales del tetraedro. Puesto que ya sabemos hacer giros, eso es lo que haremos. El primero será un giro alrededor de un eje vertical que pasa por el vértice superior V hasta colocar una de las aristas de perfil. Para ello tendrás que girar el vértice a hasta alinearlo con el v y a partir de él dibujar nuevamente el triángulo. Como sabes, el vértice V no se mueve porque pertenece al eje de giro y los otros 3 vértices A, B y C se desplazan en proyección horizontal en paralelo a la línea de tierra. Volvamos a la posición original y hagamos ahora un giro con una recta de punta que pasa por la arista A-B hasta situar la arista C-V como recta horizontal y paralela a ambos planos de proyección. Obtenemos una posición en la que el tetraedro tiene dos aristas horizontales, una apoyada en el plano horizontal y la otra elevada y perpendicular a la anterior. Otra posición interesante es aplicando a la anterior un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa justo por el centro del tetraedro, o, lo que es lo mismo, por el centro del cuadrado en proyección horizontal. Se consigue así una vista en la que el tetraedro queda inscrito en un cubo y las dos proyecciones tienen el contorno perfectamente cuadrado. Se podría decir mucho más del tetraedro pero con esto es suficiente para nivel de bachillerato. Lo más importante es que conozcas cómo construirlo si lo único que conoces es un lado o la sección principal y que conozcas las posiciones características para reconocerlo y poder trabajar fácilmente con ellas.

Octaedro regular

El octaedro regular tiene 8 caras que son todas triángulos equiláteros. Dibujar un octaedro a partir de un lado es algo de lo más sencillo. Una de las posiciones más comunes y sencillas del octaedro es colocarlo apoyado en un vértice, poner una de sus diagonales vertical y 4 aristas paralelas al plano horizontal. Estas 4 aristas se ven como un cuadrado cuyo lado es el lado del octaedro.

Sección principal del octaedro

Al igual que nos pasó con el tetraedro, también es en esta posición como se ve directamente la sección principal del octaedro regular. La sección principal es un rombo, cuyos 4 lados tienen la dimensión de la altura de cara y cuya diagonal menor es el lado del octaedro. La diagonal mayor es la diagonal del octaedro. Si conocemos el lado del octaedro es fácil construir su sección principal. Solo hay que poner un segmento con la dimensión del lado y dibujar dos triángulos, uno a cada lado de este segmento, cuyos lados sean de la dimensión H (altura de cara)

Posiciones características del octaedro

Vamos a encontrar algunas posiciones singulares mediante giros del octaedro. Por ejemplo, si a la posición original que teníamos le hacemos un giro de 45º alrededor de un eje vertical que pasa por los vértices superior F e inferior E obtenemos una posición en la que las dos proyecciones se ven como cuadrados con sus diagonales dibujadas. Esta posición es fácil de dibujar porque el lado de cada cuadrado es el lado del octaedro. Desde la posición original hacemos un giro alrededor de un eje horizontal y de punta que pasa por el vértice E, de tal manera que una de las caras queda apoyada en el plano horizontal y otra queda paralela al plano horizontal. En esta posición vemos la proyección horizontal del octaedro con un contorno en forma de hexágono regular que tiene en su interior dibujados dos triángulos equiláteros que son las caras del octaedro en verdadera magnitud, uno como una cara vista (la superior) y otro como una cara oculta (línea discontinua, la cara inferior). Daremos aún un último giro al octaedro, en este caso alrededor de un eje vertical que puede pasar por cualquier punto, por ejemplo tomo el centro del hexágono. Hacemos un giro de tal manera que dos lados del hexágono queden perpendiculares a la línea de tierra. Así, en proyección horizontal seguimos viendo un hexágono con dos triángulos equiláteros inscritos y, en proyección vertical tenemos un contorno de forma rectangular cuya altura es exactamente la distancia entre caras.

Hexaedro regular o cubo

De entre todos los poliedros, el más conocido y utilizado es sin duda el hexaedro regular o cubo. Tiene 6 caras que son cuadrados y en cada vértice confluyen 3 caras perpendiculares entre sí. Construirlo dado un lado es de lo más sencillo, puesto que solo tenemos que dibujar el cuadrado con ese lado, dibujar perpendiculares desde cada vértice, poner sobre cada una la dimensión del lado y unirlas. Aquí tienes en primer lugar la posición en que el cubo se ve como dos proyecciones cuadradas. Y en la segunda imagen le he aplicado un giro de 45º alrededor de un eje vertical, de manera que en la proyección vertical las caras se ven oblicuas.

Sección principal

La sección principal del cubo es aquella en que este se corta por un plano perpendicular a dos caras que pasa por la diagonal del cubo. En la segunda vista que teníamos en el dibujo anterior podemos ver la sección principaldirectamente. Esta sección principal es un rectángulo con dos lados opuestos iguales que son dos lados L del cubo y los otros dos lados opuestos que son diagonales d de cara. La diagonal de la sección principal es la diagonal D del cubo. Así que, esta sección contiene toda la información importante del cubo. Construir la sección principal a partir del lado del cuadrado es muy fácil. Dibuja el cuadrado completo con un lado de dimensión L. Dibuja una diagonal d del cuadrado. Esta diagonal será el lado de la sección principal, así que lleva esta dimensión con el compás hasta el lado inferior y desde ahí dibuja el rectángulo. Es más fácil de entender con un dibujo. Una de las posiciones más peculiares que tiene el cubo es apoyado sobre un vértice y con la diagonal del cubo en posición vertical. Esto lo podemos conseguir a partir de la posición definida anteriormente. Solo tenemos que aplicar un giro alrededor de un eje de punta que pasa por el vértice inferior B hasta que la diagonal D queda como recta vertical. En esa posición, el punto H se superpone al B. Es característico de esta posición que la proyección horizontal tiene contorno de hexágono regular. La proyección vertical tiene las alturas divididas en 3 tercios y también se puede inscribir en una circunferencia.

Dodecaedro

El dodecaedro es un poliedro regular compuesto por 12 caras que son pentágonos regulares. Este empieza a ser más complejo que los poliedros anteriores, pero te enseñaré cómo dibujarlo de una manera sencilla. Consideraremos para nuestra comodidad que el dodecaedro está apoyado en una cara. Dibuja un pentágono regular ABCDE con lado igual al lado del dodecaedro, de manera que este pentágono sea la cara del dodecaedro apoyada en el plano horizontal. Para mayor facilidad dibuja uno de los lados AB perpendicular a la línea de tierra. Para dibujar las caras adyacentes utilizaremos el desabatimiento: dibujaremos las caras abatidas sobre el plano horizontal de proyección y en el movimiento de desabatimiento de ambas encontraremos la posición de un nuevo vértice. Las caras que comparten lado con AB y AE tienen un vértice común, que es el vértice (F) abatido. Si desplazamos este vértice en perpendicular a su correspondiente charnela AB y AE encontraremos la posición del vértice f en proyección horizontal Para encontrar su proyección vertical tendremos que hacer un giro de la arista A-F hasta ponerla como frontal de plano a-f1 (recta a-f en posición girada). Con un arco de circunferencia de radio L con centro en a’ obtendremos la posición de f1’. El giro se deshace en proyección vertical con una recta paralela a la línea de tierra. Tendremos otros 4 vértices G, H, I, J del dodecaedro a esta misma altura que f’. En proyección horizontal se encuentran en una circunferencia con centro en O y radio O-f y los puedes encontrar uniendo el centro O con los vértices b, c, d y e. El nivel superior de vértices lo podemos deducir a partir del desabatimiento de la cara ABFGK. Esta cara se encuentra en un plano proyectante, así podemos encontrar la posición de k’ como prolongación de la arista a’-f’ y trazando el arco de circunferencia del desabatimiento. Para encontrar el punto L de este segundo nivel superior solo tienes que prolongar la recta O-e y l se encuentra en su intersección con la circunferencia de radio O-f.  El punto m se encuentra en la prolongación de la recta O-a y así sucesivamente. Todos estos puntos l, m, n, p tienen su proyección vertical en una recta paralela a la línea de tierra a la altura de k’. Por último solo queda dibujar los vértices de la cara superior, que es también paralela al plano horizontal de proyección. Se trata de un pentágono simétrico al dibujado originalmente, que tiene sus vértices en la circunferencia de radio O-a y en las rectas que pasan por el punto medio de cada lado de ABCDE. Por ejemplo el punto q se encuentra en la mediatriz del lado a-b, o lo que es lo mismo, en la prolongación de la recta O-d. En cuanto a la proyección vertical, la distancia H desde la base inferior hasta la primera altura de vértices (F, G, H, I, J) es la misma que desde la base superior hasta la segunda altura de vértices (K, L, M, N, P). ¿Cómo dibujar el dodecaedro?Puedes empezar dibujando el contorno en proyección horizontal, que es todo visto: f-k-g-l-h-m-i-n-j-p. Seguidamente puedes dibujar la cara superior formada por los vértices q-r-s-t-u, ya que sabemos que será vista. Por último puedes unir cada uno de estos vértices con el que se encuentra en la prolongación de su radio: q-k, r-l, s-m, t-n, u-p. El resto serán aristas ocultas. En proyección vertical, tendremos muchas aristas que se superponen, gracias a que hemos colocado una de las caras como plano proyectante vertical. Todas las aristas ocultas quedan tapadas por las vistas, así que, aparte del contorno existen pocas líneas en el interior que haya que remarcar. Ve siguiendo con detenimiento la sucesión de puntos en las caras de la proyección horizontal para unirlas en proyección vertical. Y así queda terminado el dodecaedro. Es cierto que la elaboración es tediosa, pero en realidad el concepto es sencillo. Fíjate que en proyección horizontal se trata solo de dos circunferencias divididas en 10 partes. La interior contiene dos pentágonos simétricos inscritos y la exterior un decágono regular.

Sección principal

En la posición que hemos dibujado el dodecaedro se puede ver la sección principal en verdadera magnitud. La sección principal pasa por dos aristas opuestas y corta 4 caras por el punto medio, así que la sección es un hexágono irregular formado por 2 alturas de cara a, 1 lado L y nuevamente 2 alturas de cara a y un lado L. Se puede ver también la distancia H entre caras paralelas y las distancias h entre los diferentes niveles de vértices.

Icosaedro regular

Vamos con el último de los poliedros regulares. El icosaedro es un poliedro regular formado por 20 caras que son todas triángulos equiláteros. En cada uno de sus vértices concurren 5 aristas y 5 caras. El conjunto forma un total de 30 aristas y 12 vértices. Para construir el icosaedro a partir de la dimensión de una arista lo consideraremos apoyado en uno de sus vértices, con la diagonal que sale desde ese vértice en diagonal. Visto en esta posición, el icosaedro se puede entender como una parte una pirámide superior de base un pentágono regular, una franja intermedia formada por 10 caras y otra pirámide inferior pentagonal. La proyección horizontal es sencilla de conseguir: dibuja un pentágono regular cuyo lado sea la dimensión L de la arista y une cada uno de sus vértices con el centro. Esta será la pirámide superior. Ahora dibuja otro pentágono inscrito en la misma circunferencia (es decir, de las mismas dimensiones y con el mismo centro) cuyos vértices estén en las mediatrices de los lados del primer pentágono. Esta será la pirámide inferior y, por tanto, tendrás que dibujarla en discontinua. La proyección horizontal se completa uniendo los vértices de ambos pentágonos, de manera que el contorno es un decágono. Como puedes ver, la altura H1 de la primera línea de vértices (los vértices situados en la base de la pirámide inferior) se encuentra trazando un arco de radio L desde el vértice inferior 1. Para ello es necesario que una de las aristas (la arista 1-2 en este caso) esté en posición frontal, es decir, con la proyección horizontal paralela a la línea de tierra. Para encontrar la segunda altura H2 utilizaremos nuevamente una recta frontal de plano, en este caso la arista 3-4. Traza desde el vértice 3’ un arco de circunferencia de radio L que cortará a la recta de proyección del punto 4 en 4’. La altura de la pirámide superior es igual a la de la inferior con lo que ya puedes completar el icosaedro. En esta posición del icosaedro se reconoce directamente la sección principal. La altura a del triángulo equilátero la puedes obtener abatiendo una de sus caras. Para mayor facilidad, toma como charnela para el abatimiento una recta horizontal. Quizá la posición en que hemos dibujado el icosaedro no sea muy reconocible porque tiene las aristas posteriores ocultas por las que se encuentran delante. Si aplicamos un pequeño giro alrededor de un eje vertical de manera que una arista de la pirámide superior quede como de perfil obtendremos una imagen que posiblemente te resulte más familiar.

Poliedros conjugados

Para terminar debes conocer esta propiedad de los poliedros regulares: se dice que dos poliedros son conjugados cuando los vértices de uno de ellos coincide con los centros de las caras del otro. Así:

El tetraedro es conjugado de sí mismo

El cubo es conjugado del octaedro y a la inversa

El dodecaedro es conjugado del icosaedro y a la inversa.

En principio esto es todo lo que debes saber de poliedros regulares. Este ha sido un artículo largo, pero en realidad es sencillo de entender porque todo es muy lógico, basta con que lo razones para llegar a entenderlo. Como te decía al principio, este tema es muy importante porque puede salir en cualquier examen, aunque no lo esperes.

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26. Área superficial de sólidos y desarrollo de planos.

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26. Área superficial de sólidos y desarrollo de planos.

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Un prisma recto es un poliedro que tiene dos caras poligonales congruentes y paralelas (son las bases del prisma) y las restantes caras son rectángulos.

El principal objetivo de esta página es mostrar cómo un prisma recto puede desarrollarse en un plano y obtener lo que llamamos el desarrollo de un prisma. Si tenemos esta imagen espacial, luego es sencillo calcular el área lateral de cualquier prisma recto.

Hay un sólido platónico que es un prisma, el cubo. Este es el desarrollo plano de un cubo:

La superficie lateral de un prisma es la suma de las áreas de los rectángulos que forman las caras que no son bases del prisma. Podemos calcular el área lateral de un prisma recto (p es el perímetro de una de las bases y h es la altura del prisma):

Hasta ahora hemos visto ejemplos de prismas cuyas bases son polígonos regulares. Podemos considerar prismas que tengan bases que no sean polígonos regulares. En el siguiente mathlet los prismas tienen bases no regulares (aunque todas pueden inscribirse en una circunferencia y podríanos considerar polígonos más generales, por ejemplo, cóncavos). Cada vez que cambiamos el número de lados del polígono de la base se genera un nuevo prisma de un modo aleatorio:

Un prisma hexagonal no regular:

Este es su desarrollo plano:

Otro ejemplo, un desarrollo plano de un prisma triangular no regular:

La fórumula para calcular la superficie lateral es la misma que antes.