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Nella figura sopra è descritta una tassellazione del disco tramite triangoli iperbolici: nonostante appaiano diversi, nella geometria iperbolica questi triangoli sono in realtà tutti congruenti, cioè di eguale grandezza.

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R=raggio della circonferenza

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r=distanza dell'oggetto dal centro

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l=lunghezza di un oggetto che al centro è lungo un'unita di misura.

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l=1-r ²:R ²

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Oltre al modello di Poincaré esistono anche modelli di altri matematici: ad esempio quello di Klein.

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Se un soggetto dentro il disco di Poincaré provasse a raggiungere la circonferenza esterna del disco, impiegherebbe un tempo infinito per raggiungerla. Questo perché ad ogni passo verso il bordo esterno del cerchio, il soggetto risulterebbe sempre più piccolo fino a diventare infinitamente piccolo.
Possiamo trovare una formula che ci permetta di trovare la lunghezza di un oggetto presente nel disco di Poincaré:  l=1-r ²:R ²

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Jules Henri Poincaré (1854–1912) era un matematico, un fisico teorico e un filosofo naturale francese. Poincaré viene considerato un enciclopedico e in matematica l'ultimo universalista, dal momento che eccelse in tutti i campi della disciplina nota ai suoi giorni.

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INTRINSECO: Punto di vista dall'interno di un piano.
ESTRINSECO: Punto di vista dall'esterno di un piano.

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La geometria iperbolica non è l'unica geometria non euclidea; esiste anche la geometria ellittica.

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Neanche Euclide nel III secolo a.C. era sicuro dell'esattezza del V postulato. Per questo motivo cerca di utilizzarlo il meno possibile.

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L'esempio principale della geometria iperbolica è il disco di Poincaré. Il disco di Poincaré consiste in un cerchio privo della sua circonferenza esterna che fa da “piano”. Le “rette” invece sono degli archi di circonferenza che tagliano perpendicolarmente il bordo del cerchio e vengono chiamate circonferenze ortogonali. Queste “rette” hanno una lunghezza infinita, perché la distanza tra due punti si misura in modo diverso dal nostro e decresce esponenzialmente avvicinandosi alla circonferenza esterna (che non esiste perché il disco si estende all'infinito dal punto di vista intrinseco del piano iperbolico).

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È il postulato che si ottiene negando una parte del V postulato di Euclide. Afferma che data una retta ed un punto esterno ad essa, esiste ma non è unica la retta parallela a quella data.

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Data una retta ed un punto esterno ad essa, esiste ed è unica la retta parallela a quella data.

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La geometria iperbolica è una geometria non euclidea, che si ottiene rimpiazzando al postulato delle parallele il postulato iperbolico.