# data[].attributes.attachment_link.title
Budowa i własności trójkąta #1 [ Trójkąty - wprowadzenie ]

# data[].attributes.attachment_link.title
Równoległobok - wprowadzenie #1 [ Wielokąty ]

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wzór na pole kwadratu

Pole kwadratu o boku długości 'a' wyraża się wzorem

Wzór na pole kwadratu, gdy mamy daną przekątną 'd'

Wynika to z faktu że:

Czyli po podstawieniu:

Pole kwadratu - przykłady

Oblicz pole kwadratu o boku 6.

Podstawiamy do wzoru na pole kwadratu i otrzymujemy:

W zadaniu nie było podanej jednoski długości boku kwadratu dlatego zapisaliśmy (j) i czytamy to "jednostek kwadratowych". Pamiętaj, że pole zawsze wyrażone jest w jednostkach kwadratowych np. itd

Oblicz pole kwadratu o boku długości 2,4 cm.

Mamy dany bok kwadratu, więc od razu możemy podstawić do wzoru na pole kwadratu:

Pamiętaj o tym, że jednostka powierzchni (np. cm) też jest mnożona przez siebie i stąd otrzymujemy cm kwadratowy.

Oblicz pole kwadratu, gdy jego przekątna wynosi 6 dm.

W tym wypadku możemy policzyć pole na dwa sposoby.

Pierwszy sposób to wyliczenie długości boku korzystając z zależności na przekątną kwadratu i nastepnie skorzystać z podstawowego wzoru na pole kwadratu.

Drugi sposób, który jest w tym wypadku prostszy to od razu skorzystać z przekształconego wzoru:

Obwód pewnego kwadratu zmniejszono razy. Ile razy zmniejszyło się pole tego kwadratu?

Przeczytaj także:

# data[].attributes.attachment_link.description
Pole kwadratu. Jak je policzyć mając dany bok lub przekątną? Przykłady wraz omówieniem zadań.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wzór na pole prostokąta

Pole prostokąta o bokach wyraża się wzorem

Oblicz pole prostokąta o bokach 3 i 4 cm.

Gdy mamy dane długości obu boków prostokąta to możemy od razu podstawić do wzoru i otrzymamy:

Oblicz pole prostokąta, którego jeden z boków wynosi 5, a drugi jest dłuższy o 40%.

Najpierw musismy obliczyć długość drugiego boku. Z treści zadania wiemy, że:

Teraz możemy już podstawić do wzoru na pole prostokąta:

W pewnym prostokącie różnica między długością boków wynosi . Niech oznacza długość krótszego boku. Funkcja, która opisuje pole tego prostokąta to:

Zobacz rozwiązanie

O ile procent zwiększy się pole prostokąta jeżeli każdy z jego boków wydłużymy o ?

Zobacz rozwiązanie

Stosunek boków pewnego prostokąta wynosi . Jeżeli pole tego prostokąta jest równe to długości boków prostokąta wynoszą:

Zobacz rozwiązanie

Stosunek boków pewnego prostokąta wynosi . Jeżeli pole tego prostokąta jest równe to długości boków prostokąta wynoszą:

Zobacz rozwiązanie

Dany jest prostokąt. Zwiększamy długość krótszego boku o , a długość dłuższego boku zmniejszamy o .

Oblicz:

a) o ile procent zmniejszy się pole prostokąta.

b) początkowe długości boków prostokąta jeżeli wiadomo, że obwód zmniejszonego prostokąta wynosi , a stosunek boków w zmniejszonym prostokącie wynosi .

Zobacz rozwiązanie

Pole prostokąta wynosi:

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

# data[].attributes.attachment_link.description
Wzór na pole prostokąta. Przykłady zadań wraz z omówieniem.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wzór na pole trójkąta

Najbardziej podstawowy i najczęściej używany wzór to

gdzie:

a - bok trójkąta,
h - wysokość trójkąta opuszczona na bok a

Inne wzory na pole trójkąta to:

gdzie:

a, b - boki trójkąta leżące przy tym samym kącie
- kąt pomiędzy bokami a i b

Wzór na pole trójkąta wpisanego w okrąg

gdzie:

a, b, c - boki trójkąta
- Promień okręgu

gdzie:

- kąty w trójkącie
- Promień okręgu

Wzór na pole trójkąta opisanego na okręgu (okrąg wpisany w trójkąt)

gdzie:

a, b, c - boki trójkąta
- połowa obwodu trójkąta:

Wzór na pole trójkąta gdy znamy wszystkie boki

gdzie:

r - promień okręgu wpisanego w trójkąt
- połowa obwodu trójkąta:

Ile wynosi pole powyższego trójkąta, jeżeli wiadomo, że i ?

Zobacz rozwiązanie

Kąty pewnego trójkąta mają się do siebie jak . Na tym trójkącie opisano okrąg o promieniu . Oblicz pole trójkąta.

Zobacz rozwiązanie

Kąty pewnego trójkąta mają się do siebie jak . Na tym trójkącie opisano okrąg o promieniu . Oblicz pole trójkąta.

Zobacz rozwiązanie

Oblicz pole trójkąta .

Zobacz rozwiązanie

Wykaż, że pole trójkąta i pole trójkąta są równe.

Zobacz rozwiązanie

Oblicz pole zacieniowanej figury.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

# data[].attributes.attachment_link.description
Pole trójkąta. Wszystkie wzory na pole trójkąta wraz z przykładami. Kiedy z którego skorzystać? Wyjaśniamy

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wzór na pole rombu

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Pole rombu o bokach długości , wysokości i przekątnych wyraża się wzorami

Pole rombu - wzór 1: Iloczyn długości boku i długości wysokości.

Pole rombu - wzór 2: Iloczyn długości przekątnych dwukrotnie zmniejszony.

Pole rombu - wzór 3: Iloczyn długości boku i długości promienia okręgu wpisanego w romb dwukrotnie zwiększony.

Pole rombu - wzór 4: Iloczyn kwadratu długości boku i sinusa kąta ostrego rombu

Oblicz pole rombu o boku 4 cm i wysokości opuszczonej na ten bok równej 3 cm.

Korzystamy z pierwszego wzoru na pole rombu i obliczamy:

Pole rombu wynosi 12 cm kwadratowych.

Oblicz pole rombu o przekątnych 4 i 5 cm.

W tym przypadku korzystamy z drugiego wzoru na pole rombu (iloczyn przekątnych podzielony przez 2)

Pole rombu wynosi 10 cm kwadratowych.

Kąt ostry rombu ma miarę , a długość jego boku wynosi . Oblicz pole tego rombu.

Ile wynosi pole rombu na powyższym rysunku?

# data[].attributes.attachment_link.description
Jak obliczyć pole rombu? Jaki jest wzór? Przykłady i zadania z rozwiązaniami krok po kroku.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wzór na pole równoległoboku

Pole równoległoboku możemy obliczyć korzystając z kilku wzorów w zależności od tego jakimi danymi dysponujemy.

Przyjmijmy oznaczenia jak poniżej:

Pole równoległoboku o bokach , wysokości i przekątnych wyraża się wzorami

Pole równoległoboku - wzór 1

Iloczyn długości boku i długości wysokości opadającej na ten bok

Pole równoległoboku - wzór 2

Iloczyn długości boków i sinusa kąta ostrego równoległoboku (lub prostego, jeżeli rozpatrujemy przypadek szczególny gdy równoległobok to prostokąt lub kwadrat )

Pole równoległoboku - wzór 3

Iloczyn długości przekątnych i sinusa kąta ostrego między nimi (lub prostego) dwukrotnie zmniejszona

Oblicz pole równoległoboku, którego dłuższa podstawa ma długość 6cm, a wysokość opuszczona na tę podstawę wynosi 4 cm.

W tym wypadku możemy skorzystać z pierwszego wzoru na pole równoległoboku bo mamy zarówno podany bok jak i wysokość.

Po podstawieniu otrzymujemy:

Odpowiedź: Pole równoległoboku wynosi

W równoległoboku jeden z boków ma długość 5 cm, a drugi jest od niego dłuższy o 20%. Kąt pomiędzy bokami wynosi 30 stopni. Jakie jest pole równoległoboku?

Najpierw musimy ustalić z którego z wzorów napole równoległoboku możemy skorzystać mając powyższe dane. W treści zadania podana jest długość obu boków równoległoboku (dokładną długość drugiego musimy wyliczyć) i kąt ostry pomiędzy nimi. W takim wypadku skorzystamy ze wzoru:

Obliczmy zatem długość drugiego boku równoległoboku:

Teraz w tablicach trygonometrycznych sprawdzamy wartość dla

Gdy mamy już wszystkie potrzebne wartości obliczamy pole równoległoboku:

Odpowiedź: Pole rownoległoboku wynosi 15 cm kwadratowych.

W pewnym równoległoboku obwód i pole mają taką samą wartość. Wiadomo, że jedna z wysokości tego równoległoboku ma długość . Oblicz długość drugiej wysokości tego równoległoboku.

W pewnym równoległoboku obwód i pole mają taką samą wartość. Wiadomo, że jedna z wysokości tego równoległoboku ma długość . Oblicz długość drugiej wysokości tego równoległoboku.

Przeczytaj także:

# data[].attributes.attachment_link.description
Jak policzyć pole równoległoboku. Wszystkie wzory wraz z przykładami i wyjaśnieniem. Liczenie pola równoległoboku krok po kroku.

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Wzór na pole trapezu

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku poniżej:
Pole trapezu - wzór 1
Pole trapezu o podstawach długości , wysokości możemy wyrazić wzorem:
Pole trapezu - wzór 2
Można udowodnić, że linia środkowa trapezu jest połową długości odcinka będącego sumą podstaw trapezu. Stąd pole możemy obliczyć korzystając z powyższego wzoru.
Pole trapezu - wzór 3 - przypadek szczególny
Gdy nasz trapez jest trapezem równoramiennym to dodatkowo jego pole możemy obliczyć korzystając z sinusa kąta przy podstawie.

Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości odpowiednio 5 i 7 cm, a wysokość wynosi 3 cm.

Mając w zadaniu wszystkie potrzebne dane możemy od razu podstawić je do pierwszego wzoru:

Odpowiedź: Pole trapezu wynosi 18 cm kwadratowych.

Oblicz pole trapezu na powyższym rysunku, jeżeli:

Zobacz rozwiązanie

Oblicz wysokość i pole trapezu równoramiennego . wiedząc, że .

Zobacz rozwiązanie

Oblicze pole trapezu równoramiennego .

Zobacz rozwiązanie

Stosunek długości boków pewnego trapezu wynosi . Oblicz pole tego trapezu jeżeli jego wysokość ma długość .

Zobacz rozwiązanie

Oblicz pole trapezu .

Zobacz rozwiązanie

Uzasadnij, że czworokąt przedstawiony na rysunku jest trapezem prostokątnym, a następnie oblicz jego pole.

Zobacz rozwiązanie

Przeczytaj także:

# data[].attributes.attachment_link.description
Jak obliczyć pole trapezu. Wzór na pole trapezu wraz z przykładami i rozwiązaniami krok po kroku.

# data[].attributes.body
Definicja : Suma długości wszystkich boków kwadratu to jego obwód.

Obw. = a + a + a + a

# data[].attributes.body
Definicja: Suma długości wszystkich boków prostokąta to jego obwód.

Obw. = a + a + b + b

# data[].attributes.body
Definicja : Suma długości wszystkich boków trójkąta to jego obwód.

Obw. = a + b + c

# data[].attributes.body
Definicja : Suma długości wszystkich boków rombu to jego obwód.

Obw. = a + a + a + a

# data[].attributes.body
Definicja : Suma długości wszystkich boków równoległoboku to jego obwód.

Obw. = a + a + b + b

# data[].attributes.body
Definicja : Suma długości wszystkich boków trapezu to jego obwód.

Obw. = a + b + c + d