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Un sistema di riferimento cartesiano è sistema di riferimento costituito da n rette ortogonali, intersecantesi in un punto detto origine, su ciascuna delle quali viene fissato un orientamento (si parla di assi orientati) ed un’unità di misura, che consente di identificare la posizione di qualsiasi punto nel sistema mediante n numeri reali.

Particolarmente rilevante è il caso in 2 dimensioni, dove il sistema di riferimento viene detto propriamente piano cartesiano, e quello in 3 dimensioni, usato per identificare la posizione di punti nello spazio fisico (spazio euclideo tridimensionale)

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La costruzione del piano segue determinati passaggi:

1. Si definisce sulla retta orizzontale (asse x) il verso positivo, convenzionalmente orientato da destra verso sinistra.

2. Il verso positivo sulla retta verticale (asse y) è orientato dal basso verso l'alto.

3. Sulle due rette viene imposta la stessa unità di misura (u), a partire dall'origine comune.

4. La retta orizzontale è chiamata asse delle x o delle ascisse, mentre la retta verticale è l'asse delle y o delle ordinate.

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Il piano cartesiano è diviso in quattro regioni denominate quadranti, individuate dai 4 angoli retti formati dall'intersezione degli assi, ed indicate mediante numeri romani disposti progressivamente in senso antiorario:

I quadrante: individua i punti aventi ascissa ed ordinata positive;

II quadrante: individua i punti aventi ascissa negativa ed ordinata positiva;

III quadrante: individua punti aventi ascissa ed ordinata negative;

IV quadrante: individua punti aventi ascissa positiva ed ordinata negativa.

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Ogni punto del piano individua una coppia ordinata di numeri reali (x;y) sugli assi cartesiani, definita tracciando i segmenti di perpendicolare del punto sugli assi.

Viceversa ogni coppia ordinata di numeri individua un punto nel piano definendo una corrispondenza biunivoca tra punti e coppie di numeri. Ciascuna coppia rappresenta le coordinate del punto che individua: il primo numero viene detto ascissa e il secondo viene detto ordinata.

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Tractatus de configuratione qualitatum et motuum

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Tractatus de configuratione qualitatum et motuum

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In quest'opera, Oresme presenta il suo metodo di rappresentazione grafica delle variazioni di una grandezza (che definisce "qualità") in relazione a un'altra. Ad esempio, considera un corpo in cui il calore non è uniforme, ma varia in funzione del luogo e della misura. Per rappresentare queste variazioni, immagina una retta tracciata sul corpo, in base alla quale definisce la "longitudino" come la distanza di un punto qualsiasi dalla sua origine fissata arbitrariamente. Per ogni punto di tale retta, traccia poi una perpendicolare la cui altezza ("latitudino") è proporzionale all'intensità del calore nel corrispondente punto del corpo. Ottiene così una figura geometrica che permette di analizzare con maggiore facilità le variazioni di temperatura.

Successivamente, Oresme sviluppa un'analisi matematica delle figure piane risultanti dalle rappresentazioni grafiche delle qualità, eseguendo trasformazioni geometriche semplici e cercando proprietà invarianti, il che lo porta alla classificazione delle curve. Questo segna un primo passo verso la geometria analitica, motivo per cui Oresme è considerato precursore di Cartesio.

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La geometria analitica è una disciplina che esplora gli oggetti e le relazioni geometriche utilizzando metodi algebrici o più in generale analitici, introdotti tramite l'uso delle coordinate. Essa associa ad un ambiente geometrico un insieme numerico e traduce in modo sistematico le problematiche geometriche in termini analitici e viceversa.

Conosciuta anche come geometria cartesiana, essa studia le figure geometriche attraverso il sistema di coordinate cartesiane, che, pur essendo formalizzato in tempi più recenti, era già stato esplorato nel Medioevo da Nicole d’Oresme.

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Nicole Oresme o d'Oresme (Fleury-sur-Orne, 1323 – Lisieux, 11 luglio 1382),

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Nicole Oresme o d'Oresme (Fleury-sur-Orne, 1323 – Lisieux, 11 luglio 1382),

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Proveniente da una famiglia contadina, completò gli studi di arti liberali in tempi brevi, diventando maestro ad un'età così giovane che fu necessaria una dispensa papale per autorizzarne la nomina a Gran Maestro. Le sue capacità intellettuali gli permisero di entrare in contatto con le corti reali, dove molti sovrani lo scelsero come consigliere. La sua opinione era altamente rispettata anche nell'ambito ecclesiastico, dove divenne canonico, poi Arcidiacono e infine vescovo.

D’Oresme fu un intellettuale poliedrico, che si distinse in molteplici discipline. In economia, contribuì a sviluppare le teorie dei filosofi greci, gettando le basi della scienza economica moderna. I suoi studi in fisica furono altrettanto significativi, affrontando temi come la traiettoria dei proiettile e la natura della luce e del colore. Si distinse anche in filosofia naturale, psicologia e musicologia.

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Tommaso d'Aquino (Roccasecca, tra il 1224 e il 1226 – Fossanova, 7 marzo 1274)

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Tommaso d'Aquino (Roccasecca, tra il 1224 e il 1226 – Fossanova, 7 marzo 1274)

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 Traduzione inglese del "Tractatus de configuratione qualitatum et motuum"

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 Traduzione inglese del "Tractatus de configuratione qualitatum et motuum"

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Uno dei momenti cruciali per la ricerca di Cartesio fu l'inverno del 1619, trascorso al seguito dell'esercito bavarese nella Guerra dei 30 anni. Durante questo lungo periodo, egli passava gran parte delle sue giornate a letto, dedicandosi alla risoluzione o formulazione di problemi.

Non è chiaro se nel 1628 Cartesio avesse già sviluppato pienamente la sua geometria analitica, ma di certo lo fece poco dopo. Nel trattato La géométrie (una delle tre appendici al Discours de la méthode pubblicata nel 1637) ne vengono esposti infatti tutti i principi fondamentali . Tuttavia, va sottolineato che l'intento della geometria cartesiana era più orientato alla "costruzione geometrica" come si legge nelle prime righe del trattato: "Tutti i problemi della Geometria possono facilmente essere riportati a termini tali che poi per costruirli, non c'è da conoscere che la lunghezza di alcune rette". Il suo metodo infatti può essere sintetizzato così: partendo da un problema geometrico, lo traduceva in linguaggio algebrico (un'equazione), e dopo aver semplificato l'equazione, la risolveva geometricamente

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René Descartes (La Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650) 

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René Descartes (La Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650) 

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La vita di Cartesio fu assai diversa da quella di d’Oresme: egli proveniva da una famiglia nobile e fin da piccolo soffrì di salute cagionevole. La sua formazione fu incentrata principalmente sullo studio della filosofia e, più in generale, sulle discipline umanistiche. Tuttavia, fu subito attratto dalla matematica, disciplina che iniziò ad esplorare più a fondo grazie alla sua amicizia con il medico olandese Isaac Beeckman. La sua condizione economica relativamente agiata gli permise di vivere senza dover assumere incarichi ufficiali, dedicandosi interamente agli studi. Viaggiò attraverso l’Europa (Olanda, Francia, Italia e di nuovo in Francia), continuando ad approfondire le sue ricerche in matematica e filosofia.

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Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601 – Castres, 12 gennaio 1665)

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Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 17 agosto 1601 – Castres, 12 gennaio 1665)

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Pierre Fermat nacque nel 1601 a Beaumont-de-Lomagne, Francia, in una famiglia modesta. Figlio di un mercante, studiò giurisprudenza a Tolosa e lavorò come magistrato fino al 1648, anno in cui divenne consigliere del re. Sebbene non fosse un matematico di professione, fornì importanti contributi alla nascita del calcolo infinitesimale e alla geometria analitica. Fu anche l'iniziatore del calcolo della probabilità e della teoria dei numeri.

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L’idea degli assi cartesiani fu sviluppata nel 1637 da Descartes, nei due scritti citati precedentemente, e indipendentemente, da Pierre de Fermat, anche se egli non pubblicò mai la sua scoperta

C’è da notare che per il contemporaneo francese, a differenza di Cartesio, era importante abbozzare soluzioni di equazioni indeterminate invece che di equazioni determinate e, nel suo breve trattato “Ad locos planos et solidos isagoge” , invece di partire come il suo contemporaneo da tre o più rette una delle quali una scelta come asse delle ascisse , Fermat parte dall’equazione lineare e sceglie un sistema di coordinate arbitrario nel quale rappresentarla. Egli fu inoltre il primo a estendere il metodo delle coordinate cartesiane allo spazio tridimensionale

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Explore the x and y coordinates of a point. Discover the meaning of a changing coordinate pair.

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Nella seconda parte dell'opera, quando Oresme applica la dottrina della configurazione allo studio del movimento, emerge la grandezza del suo pensiero. Questa sezione esercitò un'influenza duratura sui suoi contemporanei e lasciò un segno nella storia della fisica classica. Per studiare il moto rettilineo, Oresme rappresentò graficamente la velocità istantanea di un corpo in funzione del tempo. Su una retta orizzontale riportò una scala proporzionale al tempo, tracciando perpendicolari la cui lunghezza era proporzionale alla velocità del corpo nell'istante corrispondente.

La sua analisi si concentrava sull'area sottesa da queste perpendicolari. Esaminando casi semplici e generalizzando i risultati, giunse alla conclusione che l'area formata da esse era proporzionale alla distanza percorsa dal corpo durante l'intervallo di tempo. Questo principio costituì la base delle sue scoperte sul moto accelerato e lo portò ad asserire che, in un moto rettilineo uniformemente accelerato, l'aumento della velocità del corpo è proporzionale al tempo in cui esso avviene.

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La comparsa di quelli che saranno detti assi cartesiani (inizialmente obliqui fra loro, anche se col tempo Descartes sarà più esplicito sulla maggiore semplicità che deriva dal considerarli ortogonali) testimonia la differenza tra la geometria analitica cartesiana dalle tecniche degli Antichi.

Mentre per questi ultimi tutti i segmenti che compaiono nella figura sono pensati allo stesso modo, per Descartes la considerazione di alcune rette come date e altre incognite e la riduzione a queste ultime dei segmenti considerati, porta all'equazione della curva che descrive il luogo geometrico cercato.

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La géométrie di Cartesio si distingue notevolmente dalla geometria analitica come la intendiamo oggi. In particolare:

Non viene utilizzato sistematicamente un sistema di coordinate ortogonali.

Non vengono presentate formule per calcolare la distanza o l'inclinazione.

Non appare alcuna curva nuova tracciata direttamente a partire dalla sua equazione.

Non si fa uso di ascisse negative

La simbologia moderna relativa alla geometria analitica, infatti, è un contributo di Isaac Newton.

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Video esplicativo sulla biografia di Descartes

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Video esplicativo sulla biografia di Descartes