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Portafolio de evidencias de Precalculo I 

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Portafolio de evidencias de Precalculo I 

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Universidad de Guadalajara
Preparatoria de Jalisco
Mtro. Ing. Juan José Ávila Barajas.
Alumna: Norma Sigrid Quintana González 5ºC T/M

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1. Definición de Precálculo.
2. Concepto de función.
3. Clasificación de función.
4. Función constante.
5. Función líneal.
6. Función cuadrática.
7. Función racional.
8. Función absoluta.
9. Función polinomica.
10. Dominio de una función.
11. Rango de una función.
12. Codiciones de dominio.
12.1 Condiciones de dominio.
13. Gráficas inyectivas.
14. Gráficas sobreyectivas.
15. Gráficas biyectivas.
16. Desplazamientos de gráficas de una función.
17. Tipos de gráficas líneales.
18. Propiedades de funciónes.
19. Pendiente de una recta.
20. Suma de polinomios.
21. Resta de polinomios.
22. Multiplicación de polinomios.
23. División sintética.
24. Teorema del residuo y del factor.
25. Raíces de un polinomio.
26. Asíntota.
27. Factorización.
28. Función inversa.
29. Multiplicación de fracciones o funciones racionales.
30. Introducción al límite.

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El Precálculo, es una forma avanzada de álgebra escolar. Abarca lo que serían los conocimientos elementales de Aritmética y Álgebra. El precálculo incluye especialmente una revisión de álgebra y trigonometría, así como una introducción a las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, a los números complejos, a las secciones cónicas, a los vectores, y a la geometría analítica. Otorga de esta forma, Conocimientos previos a los estudios de la Matemática universitaria en los cuales podemos nombrar a los cursos de cálculo o análisis matemático, entre otros.
Los cursos universitarios equivalentes son la introducción al análisis, álgebra universitaria, y trigonometría.

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Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito )

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Funciones explícitas e implícitas

Artículos principales: Función implícita y Teorema de la función implícita.

Una función puede venir dada en forma explícita o en forma implícita. Una fórmula explícita tiene la forma:

y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,}

que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de x. Por el contrario una función está en forma implícita si la variable dependiente no está explicitada respecto a la variable independiente, expresándose de la forma:

f ( x , y ) = 0 {\displaystyle f(x,y)=0\;}

Niels Henrik Abel demostró en 1824, que una función algebraica de grado superior a 4 no puede explicitarse, por eso las funciones implícitas son aquellas que no pueden ser expresadas de forma explícita. Por ejemplo la función:

y 5− 2 x y 2+ 1 = 0 {\displaystyle y^{5}-2xy^{2}+1=0\;}

no puede ser expresada de forma explícita:

y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\;}

Una función es implícita si no puede ser expresada de forma explícita.

Una función esta en su forma implícita si la variable dependiente no está despejada respecto a la variable independiente.

Funciones algebraicas

Artículo principal: Función algebraica.

Una función se dice algebraica si en su formulación solo intervienen las operaciones algebraicas de suma, diferencia, multiplicación, división y potenciación, si una función no es algebraica es trascendente.

Las funciones algebraicas incluyen a las:

Funciones polinómicas que son las funciones P(x), donde P es un polinomio en x, es decir una combinación finita de sumas y productos entre escalares (números) y la variable x. Usualmente, los escalares son números reales, pero en ciertos contextos, los coeficientes pueden ser elementos de un campo o un anillo arbitrario (por ejemplo, fracciones, o números complejos)

y = 4 x 3− x {\displaystyle y=4x^{3}-x\;}

Como casos particulares de funciones polinómicas se tienen: Función constante: f(x)= a Función lineal: f(x)= ax + b es un binomio del primer grado.Función cuadrática: F(x)= ax² + bx + c es un trinomio del segundo grado.

Funciones racionales que son cocientes entre dos polinomios, estas funciones se obtienen al dividir una función polinomial por otra, no idénticamente nula, por ejemplo:

y = 3 x 2− 4 x + 1x 2− 1{\displaystyle y={\frac {3x^{2}-4x+1}{x^{2}-1}}}

Funciones radicales

Artículo principal: Función raíz

La función raíz n-ésima (leáse "raíz ene-ésima") es la función inversa de la función elemental de potenciación. Y en tanto que inversa de un tipo de función elemental la función raíz es también una función elemental. Si en una función, la variable independiente está bajo el signo de radicación, sin poder obtener una expresión de esa misma función en la que no esté, esa función es irracional, por ejemplo:

y = x{\displaystyle y={\sqrt {x}}}

Si tenemos la función:

y = x 2+ 2 x + 1{\displaystyle y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}}

la variable independiente, x, está bajo el signo de radicación, pero podemos ver que:

y = x 2+ 2 x + 1→  y = ( x + 1 ) 2→  y = x + 1{\displaystyle y={\sqrt {x^{2}+2x+1}}\rightarrow \quad y={\sqrt {(x+1)^{2}}}\rightarrow \quad y=x+1}

con lo que obtenemos una función no irracional.

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Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

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Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matematica que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

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Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

|
| F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

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Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio.

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Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica .

La función padre de valor absoluto, escrita como  f (  x ) = |  x |, está definida como

Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de  x y encuentre algunas parejas ordenadas .

Grafique los puntos en una plano coordenado y unálos.

Observe que la gráfica es de la forma V.

(1) El vértice de la gráfica es (0, 0).

(2) El eje de simetria (  x = 0 o eje de las  y ) es la recta que divide la gráfica en dos mitades congruentes.

(3) El dominio es el conjunto de todos los números reales.

4) El rango es el conjunto de todos los números reales mayores que o iguales a 0. .

(5) La intercepción en x y la intercepción en y ambas son 0.

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Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

Ejemplos de funciones polinómicas son:

, la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

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Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial Conjunto final

Dominio Rango o recorrido o conjunto imagen

Cálculo del rango o recorrido

Para calcular el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.

R = − {2}

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Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto {  A ,  B ,  C ,  E }.  D no está en el dominio, ya que la función no está definida para  D .

El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

El dominio de la función

f (  x )  = 1/  x

es todos los números reales excepto el cero (ya que en  x = 0, la función no está definida: la división entre cero no está permitida!).

El rango también es todos los números reales excepto el cero. Puede ver que hay algún punto en la curva para cada valor de  y excepto para  y = 0.

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La notación siguiente muestra que el dominio de la función está restringido al intervalo (–1, 1).

f (  x ) =  x  2 ,     –1  x 1

La gráfica de esta función es como se muestra. Dese cuenta de los círculos abiertos, que muestran que la función no está definida en  x = –1 y  x = 1. Los valores del rango de  y desde 0 hasta el 1 (incluyendo el 0, pero no incluyendo el 1). Así el rango de la función es

0  y < 1.

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La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y.

En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:

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Una función f es sobreyectiva(o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

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Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de funcion sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Teóricamente, una función f es biyectiva si:

Ejemplo de función biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:

Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

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16. Dezplasamientos de graficas de una función 

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16. Dezplasamientos de graficas de una función 

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Toda representación de una función tiene una relación entre sus variables. Al conjunto de características de cada relación le llamamos propiedades de las funciónes.
Estas características repercuten en la representación gráfica de cualquier función.
Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados (x,f,(x))

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La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (de un plano cartesiano), suele estar representada por la letra m{\displaystyle m}, y está definida como la diferencia en el eje Y dividido por la diferencia en el eje X para dos puntos distintos en una recta. En la siguiente ecuación se describe:

m = Δ yΔ x= y 2− y 1x 2− x

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Geometría analítica - Capítulo 3 - Ecuaciones de la recta (playlist): https://www.youtube.com/playlist?list=PLEwR-RTQiRPX0wOAwquOrYWyFsYyLdUvr SUSCRÍBETE: http://bit.ly/VN7586 (NO OLVIDES DAR UN ¨LIKE¨) VISITA: http://math2me.com FB: http://bit.ly/FBmath2me G+: http://google.com/+math2me Twitter: http://bit.ly/14ql1b7 (Video explicado por José Andalón) Help us caption & translate this video! http://amara.org/v/En1s/

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Para hacer las sumas en vertical debemos escribir el primer polinomio ordenado. En el caso de que sea incompleto es conveniente dejar los huecos libres de los términos que falten. Después, escribimos el siguiente polinomio debajo del anterior, de manera que coincida justo debajo el término semejante al de arriba. Después, ya podemos sumar cada columna.

Ejemplo:

Vamos a ver la suma en vertical con los dos polinomios del ejemplo anterior.Fíjate en el primer polinomio. Hay que escribirlo ordenado y ver si está completo. En este caso falta el término de grado 3, entonces debemos dejar el hueco correspondiente o escribir un cero en su lugar.Ahora escribimos el segundo debajo del primero, de manera que coincidan los términos semejantes uno debajo de otro.

Solo queda sumar cada columna, es decir,  sumar los términos semejantes.

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Podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3

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Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 − 3       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x3 − 3x² + 4x) =
= 4x5 − 6x⁴ + 8x3 − 6x³+ 9x2 − 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2

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Se le llama asíntota de la gráfica de una función, a una recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función;​ es decir que la distancia entre las dos tiende a ser cero (0), a medida que se extienden indefinidamente. ... Generalmente, las funciones racionales tienen comportamiento asintótico.

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29. Multiplicación de fracciones o funciones racionales 

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29. Multiplicación de fracciones o funciones racionales 

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La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n{\displaystyle n}. Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a ∞.

Formalmente, se dice que la sucesión a n{\displaystyle a_{n}}tiende hasta su límite L, o que converge o es convergente (a L{\displaystyle L}), y se denota como:

lim n → ∞a n= L{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L}