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FACTORIZACIÓN Y FACTORES

Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión.

Los factores o divisores de una expresión algebraica, son los términos, ya sean  números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Así, por ejemplo, si multiplicamos a por a + b podemos ver qué

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MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorización por factor común

En este método se identifican aquellos factores que son comunes; es decir, aquellos que están repetidos en los términos de la expresión. Luego se aplica la propiedad distributiva, se saca el máximo común divisor y se completa la factorización.

En otras palabras, se identifica el factor común de la expresión y se divide cada término entre este; los términos resultantes serán multiplicados por el máximo común divisor para expresar la factorización.

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MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN

Factorización por agrupamiento

Como no en todos los casos el máximo común divisor de un polinomio se encuentra claramente expresado, es necesario hacer otros pasos para poder reescribir el polinomio y así factorizar.

Uno de esos pasos consiste en agrupar los términos del polinomio en varios grupos, para luego usar el método del factor común.

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PRODUCTO NOTABLE

Existen casos en los que, para factorizar completamente los polinomios con los métodos anteriores, se convierte en un proceso muy largo.

Es por eso que una expresión puede ser desarrollada con las fórmulas de los productos notables y así el proceso se hace más simple. Entre los productos notables más usados están:

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ECUACIÓN
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita x para que se cumpla la igualdad. Podemos comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la incógnita x por la solución. Como regla general, una ecuación de primer grado tiene una única solución.

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TIPO DE ECUACIÓN

Ecuaciones algebraicas o polinómicas
Las funciones algebraicas o funciones polinómicas son las ecuaciones que introducen polinomios dentro de sus expresiones. Podemos encontrar diferentes tipos de funciones polinómicas según el grado de la ecuación. El grado de la ecuación se determina por el mayor exponente.

Ecuaciones lineales o de primer grado
Las ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, se definen como las expresiones con una o más incógnitas elevadas a la primera potencia. Se denominan lineales porque representan una línea en el eje cartesiano. Aprende a encontrar la solución de estas ecuaciones con los ejercicios de ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado
La ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas, son aquellas cuyo mayor grado es 2. Puedes aprender a resolver ecuaciones de este tipo con los ejercicios de ecuaciones de segundo grado.

Ecuaciones de tercer grado
Se denominan ecuaciones de tercer grado todas las ecuaciones cuyo mayor grado es 3. Sucesivamente, según el grado que posean las ecuaciones se consideran 'ecuaciones de grado n' donde n es el mayor exponente de la ecuación. De forma que si en una ecuación n=7, se denomina ecuación de grado 7.

Ecuaciones bicuadradas
La ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuación de cuarto grado que no posee términos impares. La fórmula de las ecuaciones bicuadradas es: ax4+bx2+c=0

Ecuaciones irracionales
Las ecuaciones irracionales también poseen el nombre de ecuaciones radicales. Estas ecuaciones se caracterizan por tener la incógnita dentro de un radical y existe un procedimiento para resolverlas de forma correcta.

Ecuaciones no algebraicas
Este tipo de ecuaciones vienen determinadas por otros tipos de operaciones que no se corresponden con el álgebra lineal.

Ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales, son aquellas que vienen determinadas por las derivadas de una o más funciones. Según el número de variables independientes, pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias, o ecuaciones derivadas parciales.

Ecuaciones integrales
En las ecuaciones integrales, vemos que la función incógnita se encuentra dentro de una operación integral. Este tipo de ecuaciones se leen como 'integral de f(x)' o 'diferencial de x'. Las ecuaciones integrales y diferenciales están estrechamente relacionadas, y se pueden utilizar las dos para plantear algunos problemas matemáticos.

Ecuaciones trigonométricas
Las ecuaciones trigonométricas son las ecuaciones cuya incógnita se encuentran afectada por una función trigonométrica. Podemos encontrar resultados infinitos, debido a que estas funciones son periódicas.

Ecuaciones logarítmicas
Llamamos ecuaciones logarítmicas a aquellas ecuaciones, donde la incógnita se ve afectada por algún logaritmo. Para resolverlas debemos aplicar las diferentes propiedades que de los logaritmos.

Ecuaciones exponenciales
La incógnita de las ecuaciones potenciales se sitúa en el exponente de cada una de las potencias. Es posible que encontremos la incógnita en uno de los componentes de la ecuación, o en cada uno de los elementos que aparecen. Es muy importante conocer las propiedades  de las potencias para poder resolverlas.

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PROPIEDADES DE LA ECUACIÓN

Propiedad 1 : Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 2 :  Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 3 :  Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 4 :  Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos , lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos .

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SUCESIÓN DE NÚMEROS REALES

Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,....
Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que ocupan en la sucesión: a1, a2, a3, ...
Por ejemplo, son sucesiones las siguientes listas de números:
1, 2, 3, 4, 5, ...                        2, 4, 8, 16, 32, ...                        -3, 3, -3, 3, -3, ...

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SUCESIÓN INFINITA

Se presenta cuando el dominio de la función es el conjunto de los números enteros positivos, es decir cuando el dominio es infinito. En este caso los términos a hallar no se limitan a unos cuantos si no a todo el conjunto de números enteros positivos hasta el infinito.

Como es dispendioso encontrar todos los términos de una sucesión infinita, hallamos en orden algunos de los primeros términos e indicamos con puntos suspensivos que la sucesión continua

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SUCESIÓN FINITA

Se presenta cuando el dominio de la función es un subconjunto finito de un número entero positivo . Esto significa que se limita el número de términos que se deben hallar a una cantidad finita.

Para encontrar los términos de una sucesión finita, hallamos los términos de la sucesión hasta el número n que se indique.

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PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente sumando una cantidad fija, llamada diferencia de la progresión (d).

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TERMINO ENÉSIMO

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SUMA DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

la suma de N términos de una progresión aritmética es el semiproducto del número de términos por la suma de los extremos

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Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.

F(x). se denota por F:x

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Limite de una función

El  limite de una función en un punto  es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.

Lim f(x):=L

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Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a

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Un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes

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La función  y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a

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Cuando F(x) tiende a un punto

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Cuando F(x) tiende a más o menos infinito

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Asintotas y Continuidad