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Flatlandia è un romanzo di divulgazione matematica o critica alla società vittoriana di fine Ottocento? Trama e aspetti geometrici/matematici; contesto del romanzo dal punto di vista storico e di storia della matematica; organizzazione della società del mondo di Flatlandia e parallelo con la società vittoriana; ispirazioni e suggestioni a partire da questo famoso romanzo (una delle prime opere di divulgazione tramite “matematica raccontata”).
→ Collegamenti: storia, inglese, filosofia, letteratura

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Film cortometraggio di animazione italiano di Michele Emmer, 1982

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Articolo su collegamento con età vittoriana inglese: il romanzo come critica della società dell’epoca.

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Abstract

Abstract - This paper proposes an analysis of Edwin Abbott Abbott's Flatland: a Romance of Many Dimensions (1884). In particular, it focuses on the first section of the novel, This World, which is interpreted as a satire of the Victorian society. In fact, the fictional world of Flatland appears to have been built exactly upon the middle class ideological standpoint. This is ironically translated into a series of strategies - both at a territorial and at a relational level - through which this group tries to maintain its hegemonic social position and, at the same time, to distance all those elements that may deviate from its image of respectability. This is investigated with special regard to the characters of the Irregular and of the isosceles triangle, towards which the middle class shows an attitude of closure. Such behaviour is nothing else but the satirical depiction of its ambiguous relationship with Otherness.

Sommario - Questo saggio propone un'analisi di Flatland: a Romance of Many Dimensions (1884) di Edwin Abbott Abbott. Nello specifico, esso si sofferma sulla prima sezione del romanzo, This World, interpretata quale satira della società vittoriana. Difatti, il mondo fantastico di Flatland sembra essere stato costruito proprio sulla base dell'ideologia della middle class, che è ironicamente tradotta in una serie di strategie - su un piano sia territoriale sia relazionale - tramite le quali questo gruppo tenta di mantenere l'egemonia della sua posizione sociale e, al contempo, di allontanare tutti quegli elementi che potrebbero deviare dalla sua immagine di rispettabilità. Ciò è esaminato con particolare riferimento ai personaggi dell'Irregolare e del triangolo isoscele, verso i quali la middle class mostra un atteggiamento di chiusura. Tale comportamento non è altro che la satirica raffigurazione del suo ambiguo rapporto con l'Alterità.

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abbott; victorian society; middle class; otherness; science fiction

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Abstract Abstract - This paper proposes an analysis of Edwin Abbott Abbott's Flatland: a Romance of Many Dimensions (1884). In particular, it focuses on the first section of the novel, This World, which is interpreted as a satire of the Victorian society.

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Libro integrale in inglese

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Partire da Flatlandia, mondo bidimensionale abitato da segmenti, triangoli, quadrati, luogo di gerarchie evidenti e della moralità geometrica; imbattersi nell'unidimensionalità della Linelandia; e infine scoprire lo sconvolgente mondo della tridimensionalità, dialogando con una sfera. Queste le tappe del percorso che un abitante di Flatlandia, un eccellente Quadrato, si troverà ad affrontare, per giungere a rivelazioni che metteranno in dubbio le sue certezze.

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Spiegazione Odifreddi: esistono infinite dimensioni, non solo tre!

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9 - Oltre la terza dimensione - Piergiorgio Odifreddi (La matematica per capire il mondo)

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Emma Castelnuovo è una didattica della matematica innovativa. Storia dello sviluppo della didattica della matematica nella seconda metà del Novecento; un approccio innovativo all’insegnamento della geometria con la “geometria intuitiva” e l’utilizzo di oggetti dinamici; la scuola di matematica romana durante le leggi razziali e la seconda guerra mondiale.
→ Collegamenti: pedagogia, storia.

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CASTELNUOVO, Emma

Nacque a Roma il 12 dicembre 1913, quinta e ultima figlia di Guido e di Elbina Enriques, entrambi di origine ebraica, che abitavano in via Boncompagni 16.

Le fu dato il nome della nonna paterna, Emma Levi, che a Venezia aveva sposato il cugino Enrico Castelnuovo, dall'intelligenza poliedrica. I loro figli, Guido e Bice, alla morte prematura della madre fuono affidati alla nonna Adele Levi Della Vida che, per dare ai nipotini un ambiente educativo valido, nel 1869 aprì a Venezia i primi giardini d'infanzia fröbeliani. Guido ricevette una formazione matematica molto aperta e, diventato professore all'Università di Roma, si interessò attivamente di didattica e di politica scolastica. La moglie era sorella di Federigo Enriques, suo allievo, che in seguito con lui pose le basi per la nuova geometria algebrica, oltre a interessarsi di storia critica della scienza.

Emma Castelnuovo dunque visse dunque fin dalla nascita in un ambiente culturale molto stimolante. I suoi genitori amavano la montagna e andavano in vacanza nelle Alpi, un viaggio impegnativo per l'epoca, dove incontravano amici tra i quali la famiglia Fermi. La passione per il viaggio, per la scoperta di luoghi lontani, l'amore per la montagna, la frequentazione di personaggi di grande levatura, contribuirono alla formazione della bambina, che frequentò la scuola elementare di via Puglie e poi il ginnasio liceo Torquato Tasso.

Guido Castelnuovo e Federigo Enriques abitavano vicini e quasi ogni sera lo 'zio Ghigo' andava a trovare il cognato. Emma ascoltava quelle conversazioni di alta matematica senza comprenderle; finché un giorno, come lei stessa raccontò più volte, capì tutto e decise di dedicarsi alla matematica.

Nel 1936 si laureò. L'Istituto di matematica era stato appena trasferito nella nuova Città universitaria, l'attuale 'La Sapienza' nell'edificio progettato da Giò Ponti; la neolaureata Emma Castelnuovo fu incaricata di occuparsi della biblioteca. Vi rimase due anni catalogando testi antichi e nel consultarli consolidò l'interesse e la passione per la storia della matematica, che avrà grande importanza nella sua vita di ricercatrice e di docente.

Emma desiderava insegnare: nel maggio del 1938 conseguì l'abilitazione per matematica e fisica; subito dopo vinse il concorso a cattedra e alla fine di agosto del 1938 ricevette la nomina dal Ministero per prendere servizio a scuola. Il suo sogno stava per diventare realtà.

Il 5 agosto 1938 il Gran consiglio del fascismo varò le leggi razziali, una serie di provvedimenti in seguito ai quali, come lei ebbe più volte occasione di ricordare, "bambini e ragazzi ebrei non potevano frequentare la scuola "di tutti": non si voleva che quella razza "impura" contaminasse quella "ariana" e persero la cattedra tutti i maestri e i professori ebrei" ( L'università clandestina, 2001, p. 63). Ricevette quindi una nuova lettera, nella quale si diceva che veniva sospesa dall'insegnamento perché ebrea.

Nella cultura ebraica la scuola ha sempre avuto grande importanza e in quel frangente le comunità si organizzarono per permettere a bambini e ragazzi di continuare il percorso formativo: a Roma allestirono la scuola in una palazzina di via Celimontana e chiamarono a insegnare i professori espulsi dalle istituzioni pubbliche, dando così una parvenza di normalità a una situazione fortemente drammatica. Emma insegnò in quella scuola, aperta il 23 novembre 1938, nelle classi del liceo: i colleghi erano professori molto accreditati e come allievi aveva ragazzi poco più giovani di lei. La scuola era riconosciuta dal Ministero: fu scelto un preside 'ariano', Nicola Cimmino che, pur se fascista, fu molto rispettoso verso i professori e gli studenti.

Emma spesso si confondeva con i suoi allievi per la giovane età, l'abbigliamento e gli atteggiamenti rivoluzionari che cominciava a manifestare: una volta si ruppe la caldaia e lei incitò gli studenti allo sciopero.

Quando la palazzina del Celio fu destinata a un reparto di carabinieri, la scuola si trasferì nei locali dell'asilo israelitico al Lungotevere Sanzio 13, proprio accanto al Tribunale speciale.

Lì, in modo clandestino, per due anni Guido Coen come organizzatore, Guido Castelnuovo come professore e Guido Bonzanigo come direttore dell'Institut Tecnique Supérieur di Fribourg, in Svizzera, fecero nascere quella che Emma definì sempre 'l'opera dei tre Guidi': una università per gli ebrei che non potevano frequentare le università pubbliche e i cui esami sarebbero stati riconosciuti dall'istituto svizzero.

In quel periodo Emma scrisse i suoi primi libri di testo; due volumi di geometria per il biennio pubblicati da Garzanti con il falso nome di un maschio ariano, Marcello Puma, un professore allievo di suo padre. Grazie al fratello di Marcello Puma,capo del Commissariato di piazza Bologna, e all'amore di Emma per i gatti, la famiglia Castelnuovo si salvò dalla retata degli ebrei del 16 ottobre 1943. Puma le telefonò il 14 per farle conoscere - disse - il suo nuovo gatto. Lei capì che lo scopo era altro e, saputo dall'amico dell'imminente retata, abbandonò in tempo con la famiglia l'appartamento di via Boncompagni. Come i suoi parenti fu ospitata da amici e in quel lungo periodo di clandestinità dovette spesso cambiare nome e nascondiglio.

La geometria intuitiva

Finita la guerra, insieme ai suoi amici matematici Tullio Viola e Liliana Ragusa, dette vita all'Istituto romano di cultura matematica (IRCM), privo di riconoscimento ufficiale. Fecero un timbro, stamparono la carta intestata e distribuendo in bicicletta i volantini nelle scuole organizzarono incontri per decine e decine di insegnanti tenuti da diversi scienziati, esperti in didattica di altre discipline, pedagogisti, curatori dei programmi scolastici di altri paesi, tra i quali il colonnello Carleton Washburne, a Roma con le truppe alleate e allievo di John Dewey, facente parte del gruppo che stese i nuovi programmi per l'Italia repubblicana.

Emma entrò in contatto con l'ambiente internazionale della ricerca didattica. Era stata reintegrata a scuola, ma vedendo i suoi allievi 'spenti', indagò su modalità e contenuti che li potessero far appassionare alla matematica e gliela rendessero amica. Il professor Attilio Frajese presentò a un incontro dell'IRCM il libro Les Eléments de Géométrie di Alexix Claude Clairot, del 1741. "Quando si inizia lo studio della geometria, si deve partire dal concreto, dalla realtà" ( Insegnare matematica, 2017, 18'18''-18'22''): iniziò così un percorso consolidatosi con altri incontri e letture (Giovanni Comenius, Johann H. Pestalozzi), tutte orientate verso una matematica generata non da definizioni astratte ma dai sensi e dal concreto, come sostengono oggi le neuroscienze. Nel 1948 Emma Castelnuovo scrisse il suo primo libro di testo per la scuola media, Geometria intuitiva per le scuole medie inferiori, edito da Carabba (Lanciano) nel maggio del 1949. La piccola casa editrice fallì e non riuscì neppure a distribuire il libro; Castelnuovo si rivolse a La Nuova Italia (Firenze), che pubblicò una nuova edizione identica alla precedente sempre nel maggio del 1949.

L'uscita di questo testo segnò l'inizio dell'affermazione di uno spirito rivoluzionario nell'insegnamento della geometria in Italia e non solo. Lei stessa lo definì spesso un libro "pazzesco" ( L'officina matematica, 2008, p. 38), perché rovesciava il punto di vista: non si partiva più da enti astratti, punto, retta piano, ma da oggetti matematici concreti in movimento, la cui osservazione avrebbe sollecitato l'intuizione dell'allievo fino a fargli formulare ipotesi e scoprire le proprietà delle figure, stimolando spirito critico e creatività.

Era già una ricercatrice che proponeva alternative ai modelli didattici dell'epoca e le testava sul campo: non abbandonò mai l'insegnamento nella scuola pubblica come impegno culturale di ampio respiro democratico, convinta che quello fosse il luogo privilegiato per una sperimentazione efficace, per il suo lavoro di ascolto e valorizzazione degli allievi, di attenzione ai loro errori ma soprattutto alle loro intuizioni potenti.

I rapporti internazionali

Nella sua vita professionale Emma cercò in modo puntiglioso, oculato e infaticabile incontri e contatti con docenti e ricercatori stranieri. Dopo la pubblicazione di Geometria intuitiva, fu invitata da sola, lei giovane donna, a un convegno a Sèvres, in Francia, organizzato da Francois Gablot. Lì alcuni dei presenti attaccarono il suo punto di vista legato a oggetti e a situazioni concrete, definendo la sua "Une mathématique avec les mains sales" (una matematica con le mani sporche, L'officina matematica, 2008, p. 87). Si era nel pieno della diatriba tra 'matematica pura e assiomatizzata' e 'matematica concreta e legata alla realtà'. La didattica vedeva contrapposti un insegnamento rigido, teorico, basato su regole e definizioni, e un insegnamento secondo il quale dalla trasformazione e dalla manipolazione del materiale si giunge a intuire e a scoprire proprietà degli insiemi numerici e delle figure. Emma Castelnuovo uscì però da quel convegno con un invito all'Ecole Decroly di Bruxelles, dove intorno al geometra Paul Libois, già allievo di Guido Castelnuovo e Federigo Enriques, c'era un gruppo di insegnanti che lavorava sulla stessa linea didattica dei colleghi romani. Per dare una lettura anche di tipo psicologico al suo metodo, Emma Castelnuovo prese contatto, nel 1951, con Jean Piaget, con il quale gli scambi culturali divennero frequenti e duraturi.

Ebbe molti rapporti anche con i paesi dell'America Latina e, come spesso nella sua vita, gli incontri di tipo professionale, se accompagnati da accordo sul valore etico e politico del lavoro a scuola, divennero amicizie solide. Andò più volte in Messico, in Venezuela, in Costarica, a San Salvador. In Argentina il suo legame più forte fu con Silvana Sandri, fuggita dal Friuli con la famiglia antifascista e insegnante nella Escuela de Educación Fisherton, dove negli anni Sessanta lavorava per favorire l'integrazione, educare alla libertà e alla convivenza tra le varie etnie: si conobbero a Rosario, dove Emma si era recata su invito dell'Università.

Quando, nel 1950, nacque la CIEAEM ( Commission internationale pour l'étude et l'amélioration de l'enseignement des mathématiques) per opera di Caleb Gattegno, lui volle Emma tra i fondatori dopo aver letto Geometria intuitiva. Oltre agli studiosi in didattica della matematica, partecipavano ai lavori della commissione anche psicologi, tra i quali Piaget, e logici come Evert W. Beth. Emma chiamò sempre la CIEAEM 'la nostra Commissione', ne divenne vicepresidente e poi presidente dal 1979 al 1981. Quando all'estero conobbe i filmati muti e in bianco e nero di geometria dinamica di Jean Louis Nicolet, li sostenne perché "le figure che si muovono, fanno muovere anche le idee" ( Questioni didattiche. Jean Louis Nicolet, 1966, p. 442).

La divulgazione del metodo

Negli anni Sessanta, in particolare con l'accademico fiorentino Luigi Campedelli, curò azioni editoriali importanti e propulsive in seno alla casa editrice La Nuova Italia, diretta da Sergio Piccioni.

In quel periodo Castelnuovo, che non era sposata, dopo la morte della madre andò a vivere da sola in un attico romano di via Sant'Angela Merici 48. Nel 1963, l'anno della riforma della scuola media, dopo aver pubblicato numerosi articoli su riviste italiane e internazionali scrisse Didattica della Matematica (pubblicato a Firenze appunto da La Nuova Italia), che divenne in breve tempo uno dei più importanti testi di riferimento in Italia e all'estero per l'insegnamento della matematica. Il saggio ottenne un riconoscimento ufficiale nel 1964, quando l'Accademia dei Lincei conferì all'autrice il premio del ministero della Pubblica istruzione con la seguente motivazione: "La tesi dell'Autrice sul piano didattico è l'opportunità dell'acquisizione diretta dei concetti matematici da parte dell'allievo attraverso una sua esperienza attivaaiutata da opportuno materiale didattico non statico, né rigido, con il quale egli possa concretamente operare. In tale metodo si può ravvisare la più spontanea e quindi più opportuna preparazione alla comprensione degli schemi astratti della matematica" ( Una casa editrice tra società cultura e scuola La Nuova Italia 1926-1986, a cura di A. Piccioni, Scandicci 1986, p. 120). Il libro, tradotto in moltissime lingue, anche in russo, divenne un classico su come insegnare una matematica che deve essereper tutti (fu ripubblicato a cura di Ferdinando Arzarello e Maria Giuseppina Bartolini Bussi, grazie a UMI-CIIM nel 2017 a Torino da UTET).

Punti di forza del metodo sono: la continuità del movimento, ottenuta con spaghi, elastici e bacchette articolabili; l'uso dei controesempi e dei casi duali; l'esplicitazione dei casi limite in ragionamenti in cui entrano in gioco l'infinito, lo zero, l'uno e gli infinitesimi.

Negli anni Sessanta il gruppo romano, con gli universitari Lucio Lombardo Radice e Bruno de Finetti, con cui Emma Castelnuovo aveva un forte legame di amicizia, e i colleghi Liliana Ragusa Gilli, Lina Mancini Proia, Michele Pellerey, Ugo Pampallona, riuscì a istituire una collaborazione tra scuola e università: introdurre la tesi di laurea in matematica con un tirocinio nelle loro classi osservando le reazioni dei ragazzi, riflettendo sull'origine dei concetti e sul loro sviluppo da un punto di vista sia psicologico sia storico. Tale collaborazione costituiva una situazione unica in Italia, e il direttore generale non diede il suo beneplacito, ma ciò non riuscì a bloccare il progetto innovativo.

I neo laureati entravano da subito a far parte del vivace gruppo di ricercatori della didattica, partecipavano ai 'salotti matematici' che Emma Castelnuovo organizzava a casa sua, con matematici italiani e stranieri; insieme partivano per convegni nazionali e internazionali. Emma manteneva i legami con i laureandi che entravano nelle sue classi così come con molti dei suoi allievi ormai adulti e inseriti nella vita attiva; a loro spesso chiedeva informazioni sui più svariati campi del sapere.

Il 2 giugno 1968 fu insignita dell'onorificenza di ufficiale della Repubblica, firmata dal presidente della Repubblica Giuseppe Saragat e controfirmata da Aldo Moro, presidente del Consiglio.

All'inizio del 1979 fu nominata, con Lombardo Radice, nella Commissione per i nuovi programmi della scuola media.

Ne andavano orgogliosi: "Emma ti rendi conto del successo che abbiamo avuto? - mi dice Lucio l'ultimo giorno dopo una riunione fiume della Commissione dei Programmi - Sono le nostre idee, il nostro pensiero". ( Farei matematica, 1983, p. 23).

Dopo la pubblicazione di Geometria intuitiva, Emma Castelnuovo completò la sua opera con il testo I numeri, sempre edito da La Nuova Italia: anche qui le definizioni e le regole non precedevano la possibilità di interrogarsi, di pensare e fare scoperte da parte dei ragazzi. Dopo il pensionamento, avvenuto nel 1979, chiamò a collaborare alla stesura delle ulteriori edizioni, fino a quella del 2005 con espansione web del 2011, Carla Degli Esposti e Paola Gori laureate con un tirocinio nelle sue classi e insegnanti nella scuola media. Le pareti della sua casa erano tappezzate da librerie con volumi in due, tre file, appoggiati uno sull'altro e anche sull'imponente scrivania che troneggiava nel salotto. Mentre scriveva i testi per la scuola consultava libri d'arte, di medicina, di architettura, di botanica, di storia antica e moderna. In modo del tutto originale chiamava 'problemi' alcuni particolari esercizi, intendendo situazioni problematiche complesse che partivano da un'esperienza concreta, da una trasformazione geometrica per poi aprire lo sguardo sulla realtà attraverso un percorso di ricerca fatto dagli allievi nel corso del triennio. Dedicava attenzione particolare al linguaggio e si rivolgeva direttamente ai ragazzi. Il testo che per anni si è chiamato La via della Matematica segnava un percorso coerente per una matematica fatta con materiale concreto e povero, che ragazzi di tutti i ceti sociali potessero realizzare: una matematica democratica.

I suoi libri furono ripresi e parzialmente tradotti in lingua inglese (J.V. Bruni - E. Castelnuovo, Experiencing Geometry, Belmont 1977) e in spagnolo ( Geometría intuitiva, destinada a los alumnos de la escuela primaria y de enseñanza media elemental Y a la orientación metodológica del profesorado, a Barcelona, Madrid, Buenos Aires, in Mexico, Montevideo, nel 1963). Nel 1984 pubblicò per La Nuova Italia con Daniela Valenti, insegnante al liceo scientifico, e Claudio Gori Giorgi, professore alla facoltà di ingegneria, i testi per le scuole superiori. Anche questi libri avevano un approccio didattico alle tematiche di grande attualità nella ricerca matematica. L'ipotesi curricolare verticale medie-superiori fu presentata con cartelloni illustrativi al 5° convegno ICME ( International Congress on Mathematical Education) di Adelaide.

Le esposizioni di matematica

Dopo l'incontro con i colleghi belgi, Castelnuovo si recò più volte all'Ecole Decroly a Bruxelles per le annuali Esposizioni di matematica, curate da Paul Libois. Da qui l'idea di realizzare con i suoi allievi altre Esposizioni, punto di grande forza della sua didattica, che diedero alla città di Roma e alla scuola italiana un esempio peculiare di coinvolgimento degli studenti, i quali mostravano non solo di aver appreso, ma di essere in grado di far domande e guidare altri, coetanei, adulti e professori, a ragionare sui fatti matematici da loro studiati. Nel 1971 Castelnuovo fu la prima insegnante in Italia a organizzare una esposizione, con i 171 alunni della scuola media Tasso, e ripeté l'iniziativa nuovamente nel 1974. Dalle due esposizioni sono nati i volumi editi da Boringhieri Documenti di un'esposizione di matematica (Torino 1972) con riflessioni didattiche e commenti dei ragazzi, e Matematica nella realtà (Torino 1976) scritto con Mario Barra, con le foto dei cartelloni e del materiale esposto.

Nel 1979, quando con l'amica Lina Mancini Proia del liceo Virgilio andò in pensione, all'Accademia Nazionale dei Lincei fu organizzato un convegno internazionale in loro onore e una mostra che raccoglieva i tabelloni delle loro esposizioni.

Queste esposizioni con allievi, poi con ex allievi ed ex tirocinanti, girarono l'Europa: Belgio, Svizzera, Francia e dopo la fine del franchismo (1975) anche la Spagna libera e desiderosa di scambi culturali. Alla fine degli anni Novanta volle donarle al liceo Enriques Agnoletti di Sesto Fiorentino (Firenze) intitolato a una sua cugina partigiana, trucidata nel 1944.

Tra il 1978 e il 1983 Castelnuovo andò più volte in Niger, uno dei paesi più poveri del mondo, chiamata da Annie Berté, un'amica e collega francese. Invitata dall'IREM ( Institut de recherche sur l'enseignement des mathématiques) e in seguito inviata dall'Unesco, lavorò non solo con insegnanti, ma anche con i ragazzi di Niamey e delle province di quel Paese, in cui le intelligenze erano schiacciate dal metodo astratto imposto dai francesi. Al suo rientro scrisse lettere di denuncia di tutto ciò che aveva osservato e che a suo avviso era molto grave: "non si pensa mai abbastanza che delitto sia non dare spazio e possibilità alle straordinarie intelligenze dei ragazzi africani" ( L'officina Matematica, 2008, p. 157).

Nel 1995 pubblicò per La Nuova Italia il volumetto di divulgazione matematica Pentole, ombre, formiche, dedicato a Sergio Piccioni, al quale aveva promesso un libro che facesse comprendere a tutti l'importanza e la bellezza della matematica, soprattutto a chi ha avuto un impatto difficile con la disciplina, a chi ha rinunciato a capirla, mostrando quante problematiche urgenti della società si possano affrontare con occhi e strumenti matematici. Nel 2017 ne è uscita, grazie a UMI-CIIM, una riedizione curata da Nicoletta Lanciano per UTET.

Nel 2000 il ministro della Pubblica istruzione Tullio De Mauro la nominò nella commissione per formulare nuovi programmi. Nel 2002, pur continuando a fare conferenze in Italia e in Europa, soprattutto in Spagna, convocò un gruppetto di amici per un compito importante: tenere viva la sua scuola didattica. Ebbe inizio da allora L'Officina Matematica di Emma Castelnuovo, un laboratorio residenziale di tre giorni presso la Casa-laboratorio di Cenci (Amelia) gestita da Franco Lorenzoni, maestro elementare, suo ex allievo. Tenne per vari anni una o due conferenze di carattere didattico-storico, pubblicate nel libro L'officina matematica. Ragionare con i materiali: le lezioni della più grande ricercatrice italiana di didattica della matematica (a cura di F. Lorenzoni, Molfetta 2008).

Nella famiglia di Emma Castelnuovo non si usava festeggiare i compleanni, ma nel 2003 per i suoi novanta anni desiderò un grande evento, che si tenne a Roma nella Protomoteca del Campidoglio. Insieme ai suoi allievi Walter Veltroni, sindaco di Roma, e Paolo Mieli sedevano accanto a lei sul palco Clotilde Pontecorvo, Tullio De Mauro, Edoardo Lugarini e Francisco Martìn Casalderrey. In sala i suoi numerosi nipoti, pronipoti, amici, 'antichi' allievi della scuola ebraica, allievi della scuola media Tasso; erano diverse centinaia di persone a brindare per una donna che aveva guidato i loro passi sulla via della libertà attraverso la matematica. Francisco Martìn Casalderrey era stato tra i fondatori della Sociedad madrileña de profesores de matemáticas cui venne dato, nel 1991, il nome 'Emma Castelnuovo': con la sua ironia lei commentò "Devono pensare che sono già morta", come disse in una conferenza romana ( Qualche ricordo, Sala Protomoteca del Campidoglio, 12 dicembre 2003).

La Camera dei deputati, presieduta da Pierferdinando Casini, fece pubblicare per i sessanta anni del voto alle donne il volume fotografico 1946-2006. Testimonianze a sessant'anni dal diritto di voto per le donne italiane (Roma 2006), di Miriam Mafai: tra le donne menzionate e fotografate vi è lei.

Nel 2006, non avendo figli, scrisse una 'lettera ai nipoti', aperta dopo la morte, in cui comunicava la volontà di lasciare tutta la sua biblioteca, che definiva "la più grande di didattica della matematica e di larga pedagogia" al MCE ( Movimento di cooperazione educativa), "un movimento che veramente si occupa degli insegnanti". Sono tremila tra volumi e fascicoli e altrettante riviste, in tutte le lingue, collocati attualmente presso il liceo statale romano Charles Darwin.

Nel 2007 aprì con la sua Lectio magistralis il 1° Festival della Matematica. La sala Sinopoli dell'Auditorium di Roma ascoltò incantata questa donna che raccontava la storia del Novecento italiano attraverso la matematica e attraverso la sua vita.

Il 10 marzo 2009 il presidente della Repubblica Giorgio Napolitano le conferì l'onorificenza di Grand'Ufficiale dell'Ordine al merito della Repubblica italiana "per la passione e l'impegno profusi nel suo lavoro, che le hanno permesso di elaborare proposte didattiche profondamente innovative".

Per i suoi cento anni, nel 2013, l'UMI ( Unione matematica italiana) organizzò un convegno a Salerno dedicato a lei; anche nell'incontro della CIEAEM del 2013 una sessione fu dedicata a tracciare il suo contributo, su cui riflettere ancora. Le fu conferito il premio della Fondazione Nesi di Corea (Livorno) per "aver dedicato la sua vita e la sua intelligenza alla teoria e alla pratica dell'insegnamento della matematica, come componente imprescindibile della formazione culturale del cittadino consapevole".

Nel marzo del 2014 l'ICMI ( International commission on mathematical instruction) decise di istituire la medaglia Emma Castelnuovo, prima donna cui fu intitolato il premio, oltre ad Hans Freudenthal e Felix Klein, da assegnare come riconoscimento per eccezionali traguardi raggiunti nella pratica della didattica della matematica.

Morì a Roma il 13 aprile 2014. Le ceneri furono deposte nella tomba di famiglia al Cimitero monumentale del Verano. Sulla lapide la scritta: "Emma Castelnuovo Maestra di matematica e di didattica della matematica".

Si segnalano Questioni didattiche. Jean Louis Nicolet e i suoi film di geometria,in Periodico di Matematiche, 1966, pp. 438-442; Farei matematica tanto è anche filosofia, in Riforma della scuola,1983, n. 1, p. 21; L'università clandestina a Roma: anni 1941-'42 e 1942-'43,in Bollettino UMI - La Matematica nella società e nella cultura, 2001, pp. 63-77; L'officina matematica. Ragionare con i materiali: le lezioni della più grande ricercatrice italiana di didattica della matematica, a cura di F. Lorenzoni, Molfetta 2008; Insegnare matematica, Lectio magistralis tenuta al Primo festival della matematica di Roma, 15 marzo 2007 (http://www.uninettuno.tv/Video.aspx?v=327, 26 gennaio 2018). La lettera ai nipoti è in possesso della famiglia.

V. Benetti Brunelli, Il primo giardino d'infanzia a Venezia, Milano et al. 1931, p. 24; R. Natalini - M. Mattaliano, Conversazioni con E. C., in Rivista dell'UMI, 2013, aprile, p. 127; S.H. Antonucci - G. Piperno Beer, Sapere e essere nella Roma razzista. Gli ebrei nelle scuole e nell'università (1938-1943),Roma 2015, ad ind.; C. Degli Esposti - N. Lanciano, E. C.,Roma 2016; http://www.mce-fimem.it/pubblicazioni/la-biblioteca-di-emma-castelnuovo. Documenti inediti di Emma Castelnuovo sono in possesso delle autrici.

Foto per cortesia SIMAI - Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale

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CASTELNUOVO, Emma in "Dizionario Biografico"

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La famiglia Nacque a Roma il 12 dicembre 1913, quinta e ultima figlia di Guido e di Elbina Enriques, entrambi di origine ebraica, che abitavano in via Boncompagni 16. Le fu dato il nome della nonna paterna, Emma Levi, che a Venezia aveva sposato il cugino Enrico Castelnuovo, dall'intelligenza poliedrica.

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Imparare la matematica con il fare: la lezione di Emma Castelnuovo

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Quali materiali possono usare gli studenti di geometria?

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Videointervista - Emma Castelnuovo: la geometra dinamica

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La Biblioteca di Emma Castelnuovo - Movimento di Cooperazione Educativa

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Novità sulla Biblioteca di Emma Castelnuovo Il filmato è stato realizzato all’interno di un Progetto triennale Eureka (del Comune di Roma) “SCIENZiatE!”, che The Science Zone ha presentato insieme alla coop. Doc Educational.Parte dei contenuti di SCIENZiatE 2020 (scienziate di Roma) è condivisa con…

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E' morta ieri a Roma, alla veneranda età di 101 anni, Emma Castelnuovo, decana delle matematiche italiane. Una donna destinata, dalla propria storia personale e professionale, a far parte della Storia politica e scientifica del nostro paese, come una sorta di alter ego di Rita Levi Montalcini, scomparsa anch'essa ultracentenaria poco più di un anno fa.

Emma era figlia di Guido Castelnuovo, che fu uno dei personaggi chiave della matematica italiana della prima metà del Novecento, e insieme a Francesco Severi e Federigo Enriques costituì il terzetto di punta della nostra grande scuola di geometria algebrica. Questa scuola gettò tra il 1891 e il 1949 le basi per lo studio delle superfici algebriche complesse, o degli spazi a quattro dimensioni reali, ed è ancor oggi fiorente in Italia. Anche se l'eredità del nostro terzetto è stata in seguito raccolta da un terzetto di geometri algebrici giapponesi (Kunihiko Kodaira, Heisuki Hironaka e Shigefumi Mori), vincitori tutti e tre della medaglia Fields (nel 1954, 1970 e 1990).

Le vite di Castelnuovo ed Enriques si intersecarono non solo dal punto di vista scientifico, ma anche da quello famigliare: Guido sposò infatti una sorella di Federigo, e uno dei loro cinque figli fu appunto Emma. La quale, seguendo le orme del padre e dello zio, si laureò anch'essa nel 1936 in geometria algebrica. Poi iniziò a lavorare nella Biblioteca di Matematica dell'Università di Roma, che oggi porta il nome del padre. E nel 1938 vinse una cattedra alle medie, ma l'arrivo delle leggi razziali interruppe il suo insegnamento dopo pochi giorni, costringendola a passare a una scuola ebraica.

Il padre era ormai in pensione, e aveva giurato fedeltà al regime nel 1931, come quasi tutti i professori italiani: solo dodici si erano rifiutati di farlo, e uno solo di questi era un matematico, il famoso Vito Volterra. Ma quando nel 1938 le scuole e le università furono precluse agli ebrei, Guido Castelnuovo organizzò una sorta di università illegale privata fino al 1943, quando con la famiglia fu costretto alla clandestinità fino al termine della guerra. Per questi e altri meriti, nel 1949 fu il primo, e per qualche tempo rimase l'unico, senatore a vita della Repubblica italiana: l'altro nominato insieme a lui, il direttore d'orchestra Arturo Toscanini, aveva infatti rifiutato l'onore.

Con il ritorno alla normalità Emma Castelnuovo si dedicò all'insegnamento, e alla ricerca sulla didattica della matematica. Nel 1949 pubblicò un testo di Geometria intuitiva che fece scuola. Come dice già il titolo, si trattava infatti di un approccio anticonvenzionale e informale, ma non per questo meno preciso e rigoroso, all'insegnamento della geometria, che quando viene presentato in maniera convenzionale e formale può marchiare a fuoco lo studente, e lasciargli per sempre un'impressione indelebile di disgusto e di rifiuto della matematica.

Esattamente il contrario succedeva agli studenti di Emma Castelnuovo, che mantenevano per tutta la vita un piacevole ricordo della materia e dell'insegnante. E di questo sono stato testimone in prima persona, quando nel luglio del 2006 l'allora sindaco di Roma Walter Veltroni mi convocò in Campidoglio per propormi di dirigere all'Auditorium un Festival di Matematica. Una proposta singolare da parte di un politico, dal quale un matematico si aspetta in genere, per induzione e non certo per prevenzione, l'analfabetizzazione logica e matematica.

Veltroni mi spiegò però di aver appunto avuto per insegnante alle medie Emma Castelnuovo, e di aver sognato da tempo di poter dedicare un grande evento alla materia che lei gli aveva fatto amare da bambino. Inutile dire che ad aprire le danze del primo Festival, il 15 marzo 2007, di fronte a una platea gremita di ragazzi accorsi da tutta Italia, fu proprio lei: l'indomita novantaquattrenne, che si era rotta una gamba da poco, e ciò nonostante fece lezione in piedi per due ore, con un braccio appoggiato a una stampella, e l'altro libero per muovere i lucidi colorati con cui illustrava alla sua maniera i teoremi della geometria.

I suoi molti allievi la ricorderanno personalmente in quel modo, ma tutti gli altri possono ancora interagire impersonalmente con lei attraverso i suoi molti libri, didattici o di divulgazione: come l'ultimo, Pentole, ombre e formiche. In viaggio con la matematica (La Nuova Italia, 1993), che costituisce il suo testamento spirituale e scientifico.

(Articolo apparso sul cartaceo di oggi.)

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E' morta ieri a Roma, alla veneranda età di 101 anni, Emma Castelnuovo, decana delle matematiche italiane. Una donna destinata, dalla propria storia personale e professionale, a far parte della Storia politica e scientifica del nostro paese, come una s

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Quintogenita di Guido Castelnuovo e di Elbina Enriques, sorella del matematico Federigo Enriques, Emma Castelnuovo nacque il 12 dicembre 1913. Si laureò nel 1936 presso l'Università di Roma - dove dal 1953 l'Istituto di matematica è intitolata al padre famoso studioso di probabilità e fondatore della scuola italiana di geometria algebrica- discutendo una tesi di geometria algebrica.

Nei due anni successivi fu bibliotecaria in quell'Istituto dal quale venne licenziata nel 1938 a causa delle leggi razziali promulgate dalla dittatura fascista. Per la medesima ragione non ottenne la cattedra di insegnante nella scuola secondaria per la quale, nell'agosto del 1938, aveva regolarmente vinto un concorso.

Dal 1939 al 1943 insegnò nella scuole israelitiche frequentate dagli studenti ebrei che erano stati cacciati da quelle pubbliche a seguito della legislazione razziale. Si trattava di istituti secondari particolari concessi dal regime e da questo controllati tramite un Commissario "ariano", nominato direttamente dal Ministero dell'educazione nazionale. Quello di Roma fu organizzato da Guido Coen in meno di due mesi ed articolato in un ginnasio-liceo, un istituto magistrale ed uno tecnico ad indirizzo commerciale.

Nonostante la scuola fosse in un certo qual modo parastatale, gli allievi la frequentavano a rischio della propria incolumità personale costantemente minacciata dalle azioni delle "squadre" fasciste. Come insegnanti vennero reclutati sia quei professori che avevano perso la cattedra e tra questi anche Emma, sia alcuni coraggiosi insegnanti "ariani" solidali con i colleghi ebrei. Sede della scuola, aperta nel dicembre del 1938, fu una palazzina situata in Via Celimontana, vicino al Colosseo. Nel 1940-41 si dovette trasferire nei locali dell'Asilo israelitico ubicato al n. 13 di Lungo Tevere Sanzio, a pochi passi dal tribunale speciale organizzato dal regime per sorvegliare i cittadini.

Allorquando i primi studenti si diplomarono, Emma, tramite l'attività del padre, visse l'esperienza dell'università ebraica clandestina. Terminati gli studi secondari, infatti, non solo era preclusa agli allievi ebrei l'iscrizione alle università pubbliche, ma era pure vietato alla comunità israelitica di istituire corsi universitari per così dire "privati". Guido Castelnuovo non si diede però per vinto e, nell'autunno del 1941, prese accordi tali con l'ingegnere Guido Bonzanigo, direttore dell'Istituto tecnico superiore di Friburgo in Svizzera, da rendere possibile l'iscrizione dei "suoi" studenti senza obbligo di frequenza. Fu così che nel dicembre di quell'anno sotto il nome fittizio di "Corsi integrativi di cultura matematica" aprì una vera e propria università "fuori legge" che, nei due anni successivi, permise a 25 studenti di sostenere esami legalmente riconosciuti dall'Istituto svizzero. Fu Guido Castelnuovo in persona a redigere i programmi dell'università clandestina e a reclutare i professori (R. Lucaroni, G. Bisconcini, B. Cacciapuoti, A. Di Castro, G. Supino, V. Camiz, F. Enriques) fra i quali si segnala la chimica Maria Piazza, insegnante di scienze naturali nella scuola media israelitica e già assistente di mineralogia all'ateneo di Roma.

Nel 1943 l'occupazione tedesca costrinse la famiglia Castelnuovo a dividersi e a nascondersi sotto falso nome. Emma, che nel frattempo aveva pubblicato senza firmarsi alcuni libri di testo per la scuola secondaria in collaborazione con Marcello Puma - un matematico che si era laureato con il padre e che allora dirigeva la scuola "Galileo Ferraris" - , si rifugiò prima da amici e, poi, presso ospedali, istituti religiosi, piccole pensioni, spostandosi frequentemente per ragioni di sicurezza.

Dopo la liberazione di Roma, mentre gli studenti della scuola clandestina furono riammessi all'Università di Roma ed iscritti direttamente al 3° anno grazie alla sollecitudine di Guido De Ruggiero, nuovo Ministro della pubblica istruzione per le zone libere d'Italia, Emma ottenne una cattedra in una scuola media statale dedicandosi da allora in poi, per sua scelta, all'insegnamento.

Nel 1949 pubblicò il libro Geometria intuitiva per il primo ciclo della scuola secondaria, libro che costituisce una sorta di manifesto del suo pensiero didattico. Ripercorrendo le orme del padre, il quale aveva affrontato temi relativi all'insegnamento della matematica fin dai primi del Novecento criticando il sistema didattico dell'epoca a suo dire troppo astratto, teorico e poco incline a cercare agganci con la pratica e le applicazioni, Emma pone l'accento sulla necessità che il processo d'apprendimento vada dal concreto all'astratto. Ciò significa che agli allievi devono essere presentati prima i fatti e poi le teorie che li spiegano, privilegiando un approccio "sperimentale" e "operativo" alla materia che, attraverso il disegno, semplici strumenti matematici e l'esperienza diretta, aiuti a scoprire alcune delle proprietà fondamentali delle figure geometriche e a interrogarsi sulle ragioni della loro esistenza, rendendo più interessante l'apprendimento. Solo in un secondo momento si potranno sostituire alle linee e alle superfici materiali delle figure i simboli astratti della matematica e dedurre da questi ultimi proposizioni meno evidenti. Un simile metodo richiede dunque, per un verso, lo sforzo personale dell'allievo chiamato a svolgere un vero e proprio lavoro creativo; per l'altro, gli fa percepire "progressivamente la necessità di un ragionamento logico" [Castelnuovo, 1949].

Nel settembre del 1949 Emma fu invitata al convegno Les classes nouvelles che si teneva a Sèvres presso Parigi per discutere proprio del cosiddetto "insegnamento attivo". Il suo punto di vista, così lontano dalle rigide idee dei docenti francesi in materia d'istruzione, suscitò una tale opposizione che dovette venirle in aiuto un gruppo di colleghi belgi allievi di Paul Libois, studioso di geometria algebrica, che Emma aveva già conosciuto prima della guerra a Roma, ove era giunto per lavorare con il padre di lei e con lo zio, Federigo Enriques.

La disavventura parigina fu l'occasione per stabilire, a partire dal 1950, una duratura collaborazione con le attività organizzate dall'Ecole Decroly, uno dei centri pedagogici più vivaci dell'Europa di allora, e dall'Università Libera di Bruxelles soprattutto in relazione ad una nuova iniziativa nota con il nome di "esposizioni di matematica", capace di costruire quella visione attiva del processo di apprendimento appena descritta.

Realizzata da parte degli allievi, un'esposizione di matematica consiste nella costruzione di oggetti, panelli, modelli dinamici in grado di evidenziare tanto le proprietà varianti quanto quelle invarianti di una figura e materiale didattico in genere, utilizzati dagli studenti medesimi per esporre l'argomento prescelto.

Sotto questo profilo, si rivelò altresì fondamentale l'aiuto di Jean Piaget, psicologo dell'età dello sviluppo che ha contribuito a modificare l'immagine del fanciullo e dell'educazione nel XX secolo, con il quale Emma lavorò all'interno della International commission for the study and improvement of mathematics teaching, sorta nel 1950 allo scopo di promuovere l'analisi e il miglioramento della didattica della matematica.

Nel 1956 la Commissione organizzò a Madrid un'esposizione nel corso della quale ella, insieme agli alunni del liceo italiano della città, illustrò un metodo didattico per lo studio delle sezioni coniche. In Italia, tuttavia, questo genere di progetto decollò solo alla fine degli anni Sessanta quando Emma avviò, tramite Bruno De Finetti e Lucio Lombardo Radice, professori nell'ateneo di Roma, una cooperazione con alcuni studenti di matematica prossimi alla tesi tanto interessati alla didattica da lavorare nella scuola media "T. Tasso" a stretto contatto con i suoi allievi.

Coadiuvata da questi laureandi, nel 1971 realizzò un'altra esposizione questa volta di lavori dei suoi alunni a Milano presso "L'Opera preparazione professionale insegnati"; due anni dopo si replicò a Roma. Questi eventi diedero vita a due pubblicazioni generali: Documenti di un'esposizione matematica. Da bambini a uomini (1972) e Matematica nella realtà (1976).

Ben presto le esperienze milanese e romana ottennero una visibilità internazionale prima a Bruxelles presso l'Ecole Decroly (settembre 1974), poi al congresso di Karlsruhe dell'International commission mathematics education (ICME) nell'agosto 1976 e, infine, nella sede dell'Association professeurs de mathématiques a Limoges (1977).

Nel 1979 furono introdotti nella scuola media i nuovi programmi in gran parte ispirati da Emma che faceva parte della commissione incaricata della loro stesura. Nello stesso anno furono organizzate due ulteriori esposizioni da De Finetti e Lombardo Radice nel palazzo dell'Accademia dei Lincei per festeggiare il pensionamento di Emma. La sua attività è tuttavia proseguita anche nel corso degli anni Ottanta, grazie ad alcuni incarichi conferitegli dall'UNESCO nelle scuole del Niger. Ha continuato a condurre sperimentazioni nella scuola media; a scrivere libri di divulgazione; a partecipare a convegni come quello organizzato a Torino nel 1990 su temi di logica ed informatica da Elda Valabrega Gibellato, altra figura di spicco nel campo della didattica.

Nel 1994 ha pubblicato il libro di divulgazione Pentole, ombre e formiche. In viaggio con la matematica. E' morta a Roma il 13 aprile del 1914.

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Quintogenita di Guido Castelnuovo e di Elbina Enriques, sorella del matematico Federigo Enriques, Emma Castelnuovo nacque il 12 dicembre 1913. Si laureò nel 1936 presso l’Università di Roma – dove dal 1953 l’Istituto di matematica è intitolata al…

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Benvenute e benvenuti all'interno della mostra interattiva SCIENZiatE! @Roma Facciamo insieme una passeggiata virtuale alla scoperta di sei donne speciali: alcune tra le prime ricercatrici scientifiche della città di Roma. Per navigare all'interno della mostra, usa le freccette

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Emma Castelnuovo nella scuola di ieri e di oggi - Math is in the air

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Continuiamo con la pubblicazione di contributi nel campo della didattica della matematica con l'obiettivo di riscoprire il contributo alcune figure significative di questo settore. In questo articolo si parlerà del fondamentale contributo di Emma Castelnuovo. Autrice dell'articolo è Daniela Valenti, già insegnante di matematica, fisica e informatica presso il Liceo Scientifico Morgagni di Roma, che ha collaborato con Emma Castelnuovo a partire dal 1969.

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→ Collegamenti: antropologia, pedagogia, storia, storia della matematica

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→ Collegamenti: antropologia, pedagogia, storia, storia della matematica

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File introduttivo/riassuntivo da “Etnomatematica” di D’Ambrosio: etimologia del termine “Etnomatematica”, breve descrizione e caratteristiche principali in breve.

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“Introduzione” da libro di Ascher “Etnomatematica” (foto): lo scopo della ricerca in etnomatematica; non esiste solo la matematica occidentale (=quella che si studia a scuola).

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Video intervista a D’Ambrosio (in portoghese, sono da aggiungere i sottotitoli con traduzione automatica in italiano)

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“ETHNOMATHEMATICS VERSUS MULTICULTURAL MATHEMATICS” in “Culturally Situated Design Tools: Ethnocomputing from Field Site to Classroom” di Eglash (pag. 1-3 del file scaricato): sulla differenza tra etnomatematica e matematica etnica.

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Articolo di D’Amore: la figura dell’antropologo in etnomatematica.

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“Che cos’è la matematica” in “Non si può dividere per zero!” di Paenza (brevissima storia dello sviluppo della matematica occidentale, foto)

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Esperienza di insegnamento con etnomatematica

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Crisi della scienza tra Ottocento e Novecento e superamento del positivismo: crisi dei fondamenti della matematica; sviluppo di geometrie non euclidee; teoria della relatività.
→ Collegamenti: arte, filosofia, storia, letteratura, fisica.

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“Insalate di matematica” da pag. 61 a pag. 75

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Filosofia e scienza in Escher - La ricerca

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La poetica di Escher nasce dal dialogo stretto con la filosofia e la scienza contemporanee. Un'introduzione propedeutica a un percorso interdisciplinare.

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Nella geometria iperbolica, le rette parallele generalmente "divergono" e gli angoli interni di un triangolo sono più piccoli che nella geometria euclidea. Questo è quanto accade ad esempio per le geodetiche su una superficie a forma di sella come questa.

Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica. Nella figura è descritta una tassellazione del disco tramite triangoli iperbolici: nonostante appaiano diversi, nella geometria iperbolica questi triangoli sono in realtà tutti congruenti, cioè di eguale grandezza. A partire da tassellazioni di questo tipo Escher ha costruito alcune delle sue famose litografie.

La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico.

È stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobačevskij, con il nome di geometria astrale. A 150 anni dalla sua nascita, la geometria iperbolica è ancora un argomento centrale della matematica, ravvivato alla fine degli anni settanta dalle scoperte di William Thurston.

Nikolay Ivanovich Lobachevsky ha contribuito alla nascita e allo sviluppo della geometria iperbolica.

La geometria iperbolica nasce nel XIX secolo come strumento ad hoc per risolvere un problema aperto da secoli e noto già allo stesso Euclide: il V postulato di Euclide è effettivamente indipendente dai precedenti, o può essere dimostrato a partire da questi? La geometria iperbolica, che soddisfa i primi 4 postulati ma non il quinto, ne mostra l'effettiva indipendenza.

La geometria iperbolica però non viene accettata subito come vera e propria geometria, con dignità pari a quella euclidea. Le scoperte di Saccheri, Lambert, Legendre, Gauss, Schweikart, Taurinus, Lobačevskij, Bolyai furono giudicate all'inizio sorprendenti e paradossali e solo nel tempo hanno poi trovato una naturale collocazione ed una rigorosa e logica giustificazione. Lentamente si è scoperto che la geometria iperbolica non è soltanto frutto della negazione del V postulato, ma è una geometria vera e propria con sue proprietà e definizioni, che può essere considerata nuova rispetto a quella euclidea.

La scoperta e lo sviluppo della geometria iperbolica sono quindi un esempio fondamentale di un processo della ricerca matematica che è divenuto usuale negli ultimi due secoli: in matematica può accadere che, modificando un solo assioma, si possa costruire una nuova teoria completa, dove decadono alcune proprietà che sembrano fondamentali, ma si possono scoprire nuovi enti geometrici (come le iperparallele, gli orocicli e le orosfere, etc.) aventi proprietà comunque interessanti.

Due rette nel piano che non si intersecano in nessun punto sono dette parallele. Il V postulato di Euclide (o delle parallele, qui espresso in una delle sue numerose formulazioni equivalenti, dovuta a Playfair) asserisce che, data una retta ed un punto , esiste un'unica retta parallela a passante per .

La geometria iperbolica è la geometria ottenuta modificando questo postulato, nel modo seguente:

La geometria iperbolica è una geometria ottenuta modificando il V postulato in direzione opposta. Uno spazio su cui è costruita una geometria iperbolica è detto spazio iperbolico. I primi 4 assiomi di Euclide sono i seguenti.

1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta.

2. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente.

3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio.

4. Tutti gli angoli retti sono congruenti.

Più precisamente il primo postulato non è del tutto verificato nella geometria sferica: sulla superficie di una sfera esistono infatti dei punti, chiamati punti antipodali, per i quali passano infinite rette. Il secondo postulato non è invece mai verificato nella geometria sferica, perché le rette sono sempre limitate, in quanto curve chiuse.

L'effettiva esistenza di geometrie iperboliche è garantita dalla costruzione di alcuni modelli. In realtà, questi modelli risultano essere tutti equivalenti fra loro: per questo motivo la geometria iperbolica è sostanzialmente unica, come lo sono la geometria euclidea e la geometria ellittica.

Un modello è uno spazio, comprendente le nozioni di punto, retta e angolo, su cui valgono i 5 assiomi della geometria iperbolica. Vi sono quattro modelli comunemente usati per la geometria iperbolica. In ciascuno di questi modelli, la geometria iperbolica può essere introdotta a vari livelli. Nel senso più classico, può essere introdotta definendo punti, linee rette, angoli, e eventualmente distanze.

Dati una retta (qui in blu scuro) e un punto disgiunti, esistono almeno due rette passanti per il punto che non incrociano la retta. In verità ce ne sono infinite: qui ne sono disegnate tre.

Nel modello del disco di Poincaré, lo spazio iperbolico è formato dai punti interni ad un cerchio . Le rette sono archi di circonferenza che intersecano il bordo del cerchio perpendicolarmente. Gli angoli che formano due di queste "rette" quando si intersecano in un punto sono quelli formati dalle rette tangenti nel punto. La distanza fra due punti è definita in modo tale da crescere esponenzialmente quando uno dei due punti è spostato verso il bordo del cerchio.

I 5 assiomi della geometria iperbolica sono soddisfatti da questo modello. Infatti:

1. Dati due punti interni a , esiste effettivamente un unico arco di circonferenza perpendicolare al bordo del cerchio passante per i due punti.

2. Un arco di circonferenza può essere prolungato indefinitamente: il fatto che la distanza tenda a infinito all'avvicinarsi del bordo di implica che tale bordo non è raggiunto mai, e quindi il prolungamento non si interrompe.

3. È possibile disegnare un cerchio con centro e raggio fissato.

4. Gli angoli retti sono congruenti.

5. Dato un punto ed una retta che non lo contiene, esistono almeno due rette passanti per disgiunte da .

Il modello del semipiano è simile al modello del disco. Lo spazio iperbolico è il semipiano del piano cartesiano formato dal I e dal II quadrante: l'asse delle ascisse non è inclusa. Le "rette" sono archi di circonferenza ortogonali all'asse delle ascisse. Gli angoli sono quelli formati dalle rette tangenti.

Il V postulato della geometria iperbolica nel modello di Klein.

Nel modello di Klein lo spazio iperbolico è (come nel modello del disco) l'insieme dei punti interni ad un cerchio . Le rette sono però segmenti veri e propri: la maggiore semplicità nel descrivere le rette viene però pagata nella descrizione degli angoli, che sono distorti rispetto agli angoli euclidei: l'angolo formato da due rette non è quello euclideo, ma dipende da questo tramite una formula opportuna.

Lo spazio iperbolico può essere rappresentato come una delle due "falde" di un iperboloide, ad esempio quella superiore. Le rette sono le intersezioni con i piani passanti per il centro dell'iperboloide.

Modello dell'iperboloide

Nel modello dell'iperboloide lo spazio iperbolico è descritto con l'ausilio dell' algebra lineare o anche detta linearizzata. Lo spazio iperbolico è un iperboloide contenuto nello spazio tridimensionale, e le rette sono le intersezioni dell'iperboloide con un piano passante per il centro dell'iperboloide. La descrizione matematica di questo modello ha forti analogie con lo spaziotempo di Minkowski: la distanza fra due punti è la stessa usata nella relatività speciale.

Questo modello è agevole per effettuare alcuni conti, perché si poggia sugli strumenti dell'algebra lineare. Risulta però meno intuitivo e più difficile da visualizzare, perché contenuto nello spazio tridimensionale anziché nel piano.

Le rette parallele a una data passanti per formano un angolo , detto angolo di parallelismo.

La nozione di parallelismo in geometria iperbolica differisce molto da quella presente nella geometria euclidea.

Il quinto postulato iperbolico asserisce che, data una retta ed un punto disgiunto da , esistono almeno due rette parallele a passanti per . Dal postulato risulta però che tali rette sono infinite: questo segue dai fatti seguenti.

1. Sia il punto di più vicino a . Il segmento è perpendicolare a (si veda la figura). Ogni retta passante per è adesso identificata dall'angolo che forma con il segmento . L'angolo è detto angolo di parallelismo di e .

2. Se due rette e sono parallele a , queste formano angoli diversi e : ogni altra retta con un angolo compreso fra e risulta essere parallela a .

Le rette parallele a passanti per sono tutte e sole le rette con angolo di parallelismo appartenente a un intervallo chiuso . Le rette con angolo di parallelismo e sono dette asintoticamente equivalenti a perché in una direzione queste si avvicinano sempre più a senza mai intersecarla. Due rette parallele che non sono asintoticamente equivalenti sono iperparallele: queste si distanziano in entrambe le direzioni in modo esponenziale.

In geometria iperbolica la nozione di parallelismo è quindi più complessa che nella geometria euclidea: ad esempio, la nozione non è una relazione di equivalenza, perché non vale la proprietà transitiva.

Un quadrato è un poligono con 4 lati di eguale lunghezza e 4 angoli uguali . Nella geometria euclidea deve essere un angolo retto. In quella iperbolica, può essere un qualsiasi angolo acuto.

In geometria iperbolica, la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di (o 180º).

Come nella geometria euclidea, un segmento è una porzione di retta delimitata da due punti (i suoi estremi), ed un poligono è una figura delimitata da una successione di segmenti, tale che due segmenti successivi si intersecano agli estremi.

Le relazioni fra lunghezze dei lati e angoli interni in geometria iperbolica sono però ben diverse da quelle presenti nella geometria euclidea. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è strettamente minore di : questa può assumere qualsiasi valore nell' intervallo aperto . Gli angoli interni nella geometria iperbolica sono più piccoli.

Questo fatto si estende a tutti i poligoni: la somma degli angoli interni di un poligono iperbolico con lati è un numero variabile nell'intervallo . Ad esempio:

Esistono quadrati aventi angoli interni per ogni tale che : un esempio è mostrato in figura.

Per ogni esiste un poligono di lati della stessa lunghezza con angoli tutti retti.

Nella geometria iperbolica è possibile costruire con riga e compasso il segmento avente come angolo di parallelismo un angolo dato.

In alcuni casi è possibile la quadratura del cerchio, contrariamente a quanto accade nella geometria euclidea, dove non è mai possibile determinare con riga e compasso il lato di un quadrato avente la medesima area di un cerchio dato.

Un altro risultato interessante è dato dalle formule della trigonometria della sfera che sono le stesse sia nello spazio iperbolico sia in quello euclideo poiché le proprietà della geometria della sfera derivano dalle proprietà degli angoloidi e dei triedri, le quali sono proprietà di geometria assoluta.

Il discorso vale anche nel piano, dove la trigonometria iperbolica piana non è altro che la trigonometria applicata su una sfera con raggio immaginario.

Un ottaedro iperbolico.

La geometria iperbolica si estende dal piano allo spazio, e anche in dimensioni arbitraria. Ciascuno dei modelli di spazio iperbolico ha infatti una naturale generalizzazione in dimensione qualsiasi. Esiste quindi una geometria solida dello spazio iperbolico tridimensionale , che è oggetto di studio della matematica contemporanea. Di particolare interesse sono i poliedri iperbolici, come l'ottaedro mostrato in figura.

Una formulazione più rigorosa di queste geometrie può essere inquadrata all'interno degli ^ assiomi di Hilbert, che completano quelli di Euclide.

Coxeter, H. S. M. (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto

Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, Translator and Editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.

Milnor, John W. (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 6, Number 1, pp. 9 - 24.

Benedetti Riccardo, Petronio Carlo (1992) Lectures on hyperbolic geometry, Universitext Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-58158-8.

Reynolds, William F. (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442-455.

Maria Dedò (1996): Trasformazioni geometriche. Con una introduzione al modello di Poincaré, Zanichelli - Decibel, ISBN 9788808162601

Stillwell, John. (1996) Sources in Hyperbolic Geometry, volume 10 in AMS/LMS series History of Mathematics.

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Samuels, David. (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.

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La geometria iperbolica, anche chiamata geometria di Bolyai-Lobachevskij, è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele con il cosiddetto postulato iperbolico. È stata inizialmente studiata da Saccheri nel secolo XVIII, che tuttavia l'ha creduta inconsistente, e più tardi da Bolyai, Gauss e Lobačevskij, con il nome di geometria astrale.

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Una tassellatura del disco di Poincaré tramite triangoli iperbolici.

Un'altra tassellatura del disco tramite poligoni. I poligoni con lo stesso numero di lati sono tutti isometrici nella metrica iperbolica.

Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il semispazio di Poincaré.

Il disco di Poincaré è un disco -dimensionale, in cui i segmenti (cioè le geodetiche) sono archi di circonferenza o di rette ortogonali al bordo del disco. La metrica definita sul disco non è quella standard euclidea: è definita in modo differente, così che il bordo del disco appare in verità "all'infinito".

Il disco di Poincaré è la palla -dimensionale

dotata di una geometria diversa da quella euclidea. Tale geometria può essere introdotta in vari modi. La dimensione è arbitraria, ma la più studiata è senza dubbio la dimensione : in questo caso lo spazio è veramente un disco, centrato nell'origine e di raggio unitario.

La definizione moderna della geometria del disco di Poincaré fa uso dei tensori: il disco di Poincaré è una particolare varietà riemanniana, in cui i concetti di distanza, angolo e geodetica sono tutti determinati da un tensore metrico. Una versione semplificata (che non fa uso dei tensori) può essere data definendo direttamente una distanza fra punti.

Il disco di Poincaré è la sfera dotata del tensore metrico

In altre parole, il tensore metrico nel punto è

dove è la delta di Kronecker. Cioè

dove è la matrice identità -dimensionale. Si tratta quindi dell'usuale tensore metrico euclideo, riscalato di un fattore positivo

che dipende dal punto, e che tende a infinito se il punto si avvicina al bordo del disco. Infatti il valore

è positivo esattamente all'interno del disco, e nullo sul bordo.

Il tensore metrico è definito positivo in ogni punto: il disco di Poincaré è quindi una varietà riemanniana di dimensione . Su una varietà riemanniana sono quindi definiti i concetti di distanza, geodetica e angolo.

Il disco di Poincaré è la palla dotata di una distanza definita nel modo seguente.

La distanza fra due punti e del disco è espressa tramite la funzione

dove ||*|| è l'usuale norma euclidea. La distanza è quindi

dove si fa uso della funzione iperbolica settcosh, inversa della funzione coseno iperbolico cosh.

Nel disco di Poincaré le geodetiche sono archi di circonferenza (o retta) ortogonali al bordo. Gli angoli sono quelli formati dalle tangenti. In figura, quattro rette delimitano un quadrilatero con tutti gli angoli uguali.

Il tensore metrico è ottenuto semplicemente per riscalamento dell'usuale tensore euclideo, tramite una costante che dipende dal punto. La metrica del disco è quindi conforme alla metrica euclidea: ne segue che le due metriche danno gli stessi angoli.

Una geodetica completa nel disco di Poincaré è una circonferenza o un segmento , che interseca ortogonalmente il bordo del disco in due punti. Il segmento è quindi un diametro del disco.

Più in generale, una geodetica (non completa) è una porzione di una geodetica completa.

Il disco di Poincaré è un modello di geometria non euclidea. Sono infatti validi tutti gli assiomi di Euclide, tranne il quinto.

In particolare, il disco ha una metrica completa e iperbolica.

Il disco di Poincaré, con la usuale metrica euclidea, non è uno spazio completo. Infatti uno spazio completo in è necessariamente chiuso. In particolare, esistono delle successioni di Cauchy convergenti al bordo del disco.

Il disco di Poincaré con la metrica iperbolica qui introdotta è però completo. Questo è dovuto al fatto che il fattore di riscalamento della metrica tende a infinito quando il punto tende al bordo del disco: conseguentemente, non esistono successioni di Cauchy tendenti al bordo per la metrica iperbolica.

La proprietà di completezza può anche essere verificata dal fatto che le geodetiche complete hanno lunghezza (nella metrica iperbolica) infinita.

La curvatura sezionale della metrica è costantemente pari a , indipendentemente dal punto e dal piano su cui è misurata. Una metrica con queste proprietà è detta iperbolica.

In ogni dimensione esiste a meno di isometrie una sola varietà riemanniana completa con curvatura sezionale costantemente -1, che sia semplicemente connessa. Questa varietà è solitamente chiamata spazio iperbolico e descritta con il simbolo . Il disco di Poincaré è isometrico a : si tratta di uno dei modelli dello spazio iperbolico -dimensionale. Altri modelli sono il semispazio di Poincaré, il modello di Klein, e il modello dell'iperboloide. I modelli descrivono la stessa geometria, ma in modo differente. Ad esempio, il disco ed il semispazio di Poincaré sono gli unici modelli conformi, in cui gli angoli iperbolici ed euclidei coincidono.

Un automorfismo del disco di Poincaré è una isometria dal disco in sé. Si tratta cioè di una funzione biiettiva

che preserva la distanza iperbolica.

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Il disco di Poincaré è un modello di geometria iperbolica, descritto dal matematico francese Jules Henri Poincaré. Un altro modello con caratteristiche simili è il semispazio di Poincaré. Il disco di Poincaré è un disco -dimensionale, in cui i segmenti (cioè le geodetiche) sono archi di circonferenza o di rette ortogonali al bordo del disco.

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Epistemologia contemporanea - 02 - Le geometrie non euclidee

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da pag. 198 a pag. 201

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Su Euclide e quinto postulato, poi altre lezioni avanti a quel video.

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Per geometria euclidea si intende la geometria che deriva più o meno direttamente dal compendio di matematica Gli Elementi composto da Euclide intornoal 300 a.c. ad Alessandria d'Egitto. La geometria presente nel trattato di Euclide tratta esclusivamente quella geometria che è possibile graficamente costruire con riga e compasso, benché già in epoca classica fossero note anche le così dette sezioni coniche http://slideplayer.it/slide/555581/1/images/4/La+costruzione+secondo+Menecmo.jpg delle quali si occupo anche Euclide in un'opera andata perduta. Euclide nella sua opera pose a fondamento della geometria cinque postulati e cinque nozioni comuni, non dimostrabili e da assumere intuitivamente come vere dalle quali far derivare tutte le dimostrazioni e i teoremi all'epoca conosciuti, per secoli questi postulati furono ritenuti veri e su di essi si fondò lo sviluppo della geometria nei secoli.
-si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi a un punto qualsiasi; - si possa prolungare indefinitamente una linea retta; - si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi è un raggio qualsiasi; - tutti gli angoli retti siano uguali; - se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli interni inferiori a due angoli retti, le due rette se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due angoli retti.
Quest'ultimo oggi è conosciuto da tutti gli studenti nella versione formulata da John Playfair (1748-1819), nota come assioma di playfair del 1795, che afferma:
dati una qualsiasi retta e un punto non appartenente a essa, è possibile tracciare per una e una sola retta parallela alla retta data. https://image.isu.pub/131009165429-56b9c3e59627c66daf3ef872e4363511/jpg/page_53.jpg
Tuttavia i greci non si erano limitati a sviluppare la geometria di Euclide essi si cimentarono anche con la geometria sferica. Ciò nasceva dalla necessità di rispondere a problemi di tipo geografico e astronomico. I greci sapevano che la terra era sferica e addirittura Eratostene ne aveva misurata la grandezza con un piccolissimo errore rispetto alle dimension i effettive. Le motivazioni che li avevano condotti a ritenere la sferica la terra erano molteplici, per esempio che delle navi all'orizzonte si vedono prima gli alberi dello scafo https://4.bp.blogspot.com/-l3uwXDsn80k/WKqpRXemoDI/AAAAAAAACNs/JmZ_pItWe2QM-jV36hs-Lk2pMOcM74kUACK4B/s1600/3.png (che rimane sotto la line dell'orizzonte), sapevano che se si spostavano dalla Grecia all'alto Egitto (cioè cambiavano latitudine) mutavano le costellazioni visibili in cielo e ancora avevano notato che quando c'era un'eclissi parziale di luna l'ombra della terra proiettata sul nostro satellite era una curva. Oltre alla terra sferica, gli antichi affermavano che anche il cosmo, l'universo, fosse sferico e immaginavano che i corpi celesti si muovessero su delle sfere matematiche o fisiche che fossero. Fu questo che spinse gli antichi a costruire una "geometria sferica" che gli permettesse di descrivere la geografia terrestre e la fisica celeste.

Il primo a fare progressi significativi nel campo della geometria sferica fu Menelao (70-140 d.c.) del quale ci è rimasta l'opera gli Sphaerica tra le alte cose per esempio individuo sulla superficie della sfera il corrispettivo del segmento sul piano euclideo.

Rispetto alla geometria del piano euclideo individuarono diverse peculiarità in relazione agli assiomi euclidei, infatti, rispetto al primo postulato si vede chiaramente in una sfera che per due punti passano infinite rette e non una sola retta. Per quanto riguarda il secondo postulato sulla superfice di una sfera i segmenti non possono essere estesi all'infinito come sul piano ma per così dire hanno un limite che è quello che corrisponde al cerchio massimo. Per quello che riguarda il terzo postulato esso trova corrispondenza nelle due geometrie e rispetto alla geometria sferica individua quelli che noi chiamiamo paralleli. Il quarto postulato è anch'esso invariante. Il quinto postulato si vede chiaramente che non è valido sulla superfice di una sfera perché tutte le "rette" si incontrano in almeno d ue punti e non esistono pertanto rete parallele.

Malgrado questi studi in epoca antica non si considerò questa una vera e propria geometria, ma una tecnica per risolvere particolari problemi, così come si era fatto a proposito delle sezioni coniche.

A partire dalla rivoluzione scientifica si iniziò a studiare, sempre più approfonditamente la natura delle curve che non si costruivano con il compasso. Va ricordato che proprio nei primi anni del '600 Keplero aveva mostrato che le orbite planetarie erano delle ellissi e non dei cerchi. Il primo a cimentarsi nell'analisi matematica delle curve prodotte dalle coniche fu Cartesio con la sua geometria analitica e a seguire Newton (per onor del vero questi sono solo quelli più famosi). Da questi studi nacque lo studio di figure particolari come la pseudo sfera che a differenza della sfera si costruisce a partire dalla trattrice, curva che rimanda all'iperbole, intorno al suo asintoto. Rispetto a figure come queste i matematici si chiedevano se si potesse usare la geometria euclidea oppure quella sferica con cui aveva alcune cose in comune ma non tutte a partire della curvatura, infatti, mentre la curvatura di una sfera e positiva ovvero concava quella della pseudo sfera e negativa ovvero convessa.

Tuttavia la storia della genesi delle geometrie non euclidee non trova i suoi veri fondamenti in questi studi, ma dai dubbi riguardo la legittimità del quinto postulato euclideo. Euclide stesso aveva mostrato diffidenza verso questo postulato che sembra più un teorema che non una verità intuitiva, tuttavia era stato costretto ad inserirlo nella sua opera perché fondamentale nella dimostrazione di numerosi teoremi in primis il celebre Teorema di Pitagora. Fin dall'opera di Euclide diversi matematici si cimentarono nel tentativo di ricavare per via dimostrativa il quinto postulato dagli altri quattro senza però riuscirvi.

Malgrado gli insuccessi alcuni di questi tentativi furono determinanti per lo sviluppo delle geometrie non euclidee. Di particolare rilevanza sono gli studi del gesuita Girolamo Saccheri (1667-1733) e quelli di Johann Heinrich Lambert (1728-1777).

Saccheri, matematico dell'università di Pavia, scrisse un trattato Euclide ab omni naevo vindicatus (Euclide liberato da ogni macchia), dove tentò di dimostrare il quinto postulato avvalendosi della dimostrazione per assurdo.

Da principio costruì una figura. Parti da un segmento AB e tracciò due perpendicolari ai suoi estremi AD e BC (perpendicolari dunque formando angoli retti di 90° con il segamento AB), tracciò poi il segmento che univa le due perpendicolari e si chiese se i due angoli che ne risultavano fo ssero essi stessi retti, cioè di 90°. Come si evince dalla figura le possibilità che possiamo prendere in esame a proposito degli angoli che abbiamo ricavato congiungendo i due segmenti sono solo tre, la prima è che essi siano come gli angoli della base di 90° cioè retti, la seconda che siano acuti ovvero minori <90° la terza è che siano ottusi ovvero maggiori >90°.

Per quanto riguarda l'ipotesi degli angoli ottusi Saccheri la confutò assumendo per vero che una retta dovesse avere per forza lunghezza infinita, cosa che però abbiamo visto non vale nella geometria sferica, per quanti riguarda l'ipotesi degli angoli acuti egli derivò di versi teoremi ma non riuscì a trovare una contraddizione matematica che la inficiasse dunque attraverso un ragionamento, filosofico più che matematico, sentenziò che l'ipotesi dell'angolo acuto è assolutamente falsa; essa ripugna alla natura della linea retta. Affermata l'impossibilità di due delle tre opzioni, non rimaneva che sostenere quella che vuole i due angoli che abbiamo formato essere retti ovvero uguali a 90° il che dimostrerebbe il quinto postulato di Euclide. Per onor del vero Saccheri stesso era ben consapevole del fallimento della sua opera che infatti vide la luce solo l'anno della sua morte, e non avendo mai riconosciuto la validità dei teoremi che scaturivano dall'ipotesi dell'angolo acuto non gli poté essere riconosciuto nemmeno postumo il merito di aver avviato gli studi di geometria iperbolica.

Diversamente Lambert https://www.orthotes.com/wp-content/uploads/2017/02/jhlambert.jpg in Die Theorie der Parallellinien , pur non riuscendo come Saccheri ha dimostrare il quinto postulato, non negò del tutto la possibilità dell'esistenza di una geometria coerente non euclidea. Egli affermo nella sua opera:

Mi sembra notevole che l'ipotesi dell'angolo ottuso sia valida se invece di un tringolo piano consideriamo un triangolo sferico, poiché la somma dei suoi angoli è maggiore di 180°

Riprendendo il lavoro di Menelao sulla geometria sferica. Poi Lambert immaginò che l'ipotesi dell'angolo acuto poteva corrispondere a una geometria su una superficie di tipo nuovo, come quella di una sfera di raggio immaginario. Questa è una considerazione molto complessa da immaginare perché infatti è necessario operare su una sfera con uno pseudoraggio cioè un raggio che sia la radice quadrata di un numero negativo, così facendo però avviò gli studi sulla curvatura negativa (che poi sarebbe quella che oggi chiamiamo geometria iperbolica). Questo lo portò a creare alcuni dei primissimi teoremi di geometria iperbolica in particolare quello che permette di ricavare l'area di un triangolo su una superficie a curvatura negativa conoscendo l'ampiezza dei suoi angoli π-(α+β+γ)=CΔ. https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn%3AANd9GcQwCDxY_TUhIlZwA5rSW4H6jZ9L6ydHqFlqBavyYuUL36teykwU&usqp=CAU Anche se Lambert non viene riconosciuto come l'inventore della geometria iperbolica sappiamo per certo che fu una lettura determinante per gli autori delle geometrie non euclidee.

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Storia delle idee - L'origine delle geometrie non euclidee

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Per geometria euclidea si intende la geometria che deriva più o meno direttamente dal compendio di matematica Gli Elementi composto da Euclide intornoal 300 a.c. ad Alessandria d'Egitto. La geometria presente nel trattato di Euclide tratta esclusivamente quella geometria che è possibile graficamente costruire con riga e compasso, benché già in epoca classica fossero note anche le così dette sezioni coniche http://slideplayer.it/slide/555581/1/images/4/La+costruzione+secondo+Menecmo.jpg delle quali si occupo anche Euclide in un'opera andata perduta.

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Epistemologia contemporanea - 01 - Il Positivisimo

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Epistemologia contemporanea - 03 - La crisi dei fondamenti di logica e matematica

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Paradossi di Russell e crisi dei fondamenti della logica da “I paradossi di Bertrand Russell” in “Non si può dividere per zero!” di Paenza.

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8 - Geometrie non Euclidee - Piergiorgio Odifreddi (La matematica per capire il mondo)

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10 - La matematica degli artisti - Piergiorgio Odifreddi (La matematica per capire il mondo)

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Una soluzione controintuitiva e inaspettata. Aspetti matematici: la probabilità condizionata. Probabilità: sviluppo storico di una nuova branca della matematica (oggi di fondamentale importanza!) nelle circostanze più umili e inaspettate.
→ Collegamenti: scienze umane (ludopatia, studio dei media nell’intrattenimento, psicologia, storia della matematica

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“Il problema di Monty Hall” (+ “Soluzione del problema di Monty Hall”) 

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Video di spiegazione, in inglese con sottotitoli in italiano da aggiungere

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Monty Hall Problem (extended math version)

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Video spiegazione tratto dalla serie “Numb3rs”

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Numb3rs: probabilità condizionata e  Problema di Monty Hall

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 Video di spiegazione, interessante anche dal punto di vista grafico

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Il paradosso di MONTY HALL spiegato dalla SCIENZA

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Pascal e Fermat su problema simile, a vignette.

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Le improbabili avventure di Blaise e Pierre

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Play the Game: Monty Knows Version
In this original version of the Let's Make a Deal game, it is assumed that Monty Hall knows which door the car is behind and will not reveal the location of the car until after the contestant has had the opportunity to switch doors.

Play the Game: Monty Does Not Know Version
In this new version of the Let's Make a Deal game, it is assumed that Monty Hall does not know which door the car is behind and may accidentally reveal the location of the car before the contestant has had the opportunity to switch doors. If this happens, the game is forfeited or annulled and the contestant is asked to play the game again.

An Explanation of the Game
After playing both games, see this section for an explanation of the results you see and the fundamental differences between the two versions of the Let's Make a Deal game.

Play Sudoku
The game that everyone seems to be playing these days. Use this applet to create and/or solve any sudoku puzzle.

[
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Play the Game: Monty Knows Version In this original version of the Let's Make a Deal game, it is assumed that Monty Hall knows which door the car is behind and will not reveal the location of the car until after the contestant has had the opportunity to switch doors.

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[HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa]
(variante con 3 possibili strategie)
Un particolare ringraziamento a Pighin, per aver proposto questo problema e a Sprmnt21, Andrea, Becucci, Ivan D'Avanzo, Enrico Delfini, Philomatematicus, Dario, Massimiliano Bez, Ottavio Romano per aver contribuito a rendere pi chiara la soluzione.

1. Il dilemma di Monty Hall
Ci sono tre contenitori A, B, C e in uno solo di essi il gestore del gioco pone un oggetto.
Chiede ad uno dei presenti di provare ad indovinare dove sta l'oggetto.
Sia data ad esempio la seguente situazione iniziale:

Il giocatore sceglie ad esempio A, ma non lo apre
Il gestore apre il rimanente contenitore vuoto C e lo mostra al giocatore

A questo punto il gestore propone tre metodi per proseguire:

a) il giocatore mantiene sempre la scelta fatta inizialmente;
b) il giocatore cambia sempre la scelta ed indica il rimanente contenitore chiuso;
c) il giocatore sceglie nuovamente a caso uno fra i due contenitori rimasti.
Quale la probabilit di indovinare con la strategia a)?Quale la probabilit di indovinare con la strategia b)?Quale la probabilit di indovinare con la strategia c)?
Nota storica
Questo quesito noto come il dilemma di "Monty Hall" perch fu proposto agli ospiti di un celebre gioco a premi televisivo americano "Let's make a deal", il cui conduttore era appunto Monty Hall, e suscit una accesa controversia sulla rivista "Parade" nel 1990.
In realt si tratta di una variante del Paradosso delle tre carte di Warren Weaver (1950) il quale, a sua volta, deriva dal Paradosso delle tra scatole proposto per la prima volta dal matematico francese Joseph Bertrand nel 1889.
Fonte: Nicholas Falletta, Il libro dei paradossi, Tea Scienze, 2001.
Paul Hoffman, nel suo libro The man who loved only numbers, afferma, nel capitolo 6 che questo problema cre qualche incomprensione anche al grande matematico Paul Erdos.

2. Il paradosso delle tre carte
Giochiamo con tre carte. Una bianca su entrambi i lati, una rossa su entrambi i lati e una bianca da un lato e rossa dall'altro. Ogni carta nascosta in una scatoletta nera.
Il giocatore sceglie una delle tre scatolette, estrae la carta e la posa sul tavolo in modo che sia visibile un solo lato.
Supponiamo che il lato che si vede sia bianco.
Il conduttore propone al giocatore di scommettere alla pari che bianco anche l'altro lato della carta (se bianco vince il conduttore, se rosso vince il giocatore).
Conviene al giocatore accettare la scommessa? Perch?
Warren Weaver, 1950

3. Il paradosso delle tre scatoleCi sono tre scatole identiche. Una contiene due monete d'oro, l'altra due monete d'argento e la terza una moneta d'oro e una d'argento.
Il giocatore sceglie una scatola. Qual la probabilit che sia la scatola con due monete diverse? E' 1/3.
Supponiamo che il giocatore prenda una moneta a caso dalla scatola scelta e che questa moneta sia d'oro. Dopo aver avuto questa informazione, qual la probabilit che quella sia la scatola con due monete diverse?
Siccome le possibilit per la seconda moneta sono solo 2 (oro o argento), la probabilit sembra essere passata da 1/3 a 1/2.
Dov' l'errore nel ragionamento?
J. Bertrand. Calcul des Probabilits. Gauthier-Villars, Paris, 1889. Chap. I, art. 2, pp. 2-3.

1. Il dilemma di Monty Hall
Ho preparato un programma in Javascript che simula fino ad un massimo di 100.000 partite di questo gioco.
Ma chi le farebbe mai?
Potete utilizzarlo per fare i vostri esperimenti.
N.B. Il programma gira anche off-line, basta salvare questa pagina.

Le risposte corrette sono:
Probabilit di indovinare con la strategia a)? 1/3
Probabilit di indovinare con la strategia b)? 2/3
Probabilit di indovinare con la strategia c)? 1/2

Il problema non difficile e pu essere risolto applicando la definizione classica di probabilit:
Probabilit di un evento = Num. casi favorevoli / Num. casi possibili
P = Nf / Np

Ma come? Ecco le spiegazioni.

Probabilit di indovinare con la strategia a)? 1/3
Non dobbiamo farci fuorviare dal fatto che il gestore, DOPO LA SCELTA DEL GIOCATORE, apre una scatola.
Di fatto una scatola su tre contiene l'oggetto, il giocatore ha scelto una scatola e quindi la probabilit 1/3.

Probabilit di indovinare con la strategia b)? 2/3
Attenzione! Con questa strategia il giocatore NON RISCEGLIE A CASO fra le due scatole rimanenti ma CAMBIA SEMPRE LA SCATOLA.
Se abbiamo capito il caso a), facile capire anche questo. La probabilit che l'oggetto sia in una delle due scatole NON scelte 2/3.
Visto che il gestore rivela quale delle due vuota, la probabilit che l'oggetto sia nell'altra per l'appunto 2/3.
Cambiando scatola come se il giocatore avvesse scelto DUE scatole, anzich UNA.

Probabilit di indovinare con la strategia c)? 1/2
Dopo che il gestore ha mostrato una scatola vuota evidente che l'oggetto si trova in una delle altre due.
Dunque RISCEGLIEDONE una a caso, la probabilit di indovinare 1/2.

Enrico Delfini
Massimo Piattelli Palmarini (direttore Dip. Scienza Cognitive Ist. S.Raffaele-MI) docente al M.I.T. eccetera, nel suo"L'illusione di sapere" (Mondadori 1993) affronta esaurientemente il problema o paradosso delle tre scatole (o di Monty Hall), come esempio di difficolt-impossibilit di accettare le dimostrazioni che appaiono contro-intuitive (a noi). Riporta il caso di premi Nobel che "non si sono convinti".
Esamina poi la variante pi antica del problema, quella "DEI TRE PRIGIONIERI".
Nel braccio della morte, tre prigionieri aspettano l'alba della fucilazione. In onore del compleanno del re, si sa che uno dei tre sar graziato, e il guardiano sa chi dei tre avr salva la vita, ma non lo vuole svelare.
Uno dei tre (chiamiamolo A), attanagliato dall'angoscia, gli dice: "Dato che uno solo dei tre sar graziato, certamente uno degli altri due (B e C) dovr morire. Se mi dici il nome di uno fra B e C, destinato a morire domani all'alba, ti regalo il mio orologio d'oro. Tu non tradisci il segreto, perch non sveli il graziato, e io avr un po' meno angoscia. "Il guardiano si fa convincere e svela: "B morir".
A dona il suo orologio alla guardia e si sente sollevato: Aveva il 33% di chance di salvarsi, ora restano solo lui e C, quindi le sua possibilit sono cresciute al 50%.
E' corretto il suo ragionamento?
La risposta (non ovviamente) che no, le sue chance restano al 33%; sono quelle di C che balzano al 67%!
Oltre ai ragionamenti "classici", Massimo P. Palmarini espone anche questa minidimostrazione per assurdo.
La risposta del guardiano, non ha alcuna influenza sul ragionamento di A; potrebbe aver risposto C invece di B e il ragionamento sarebbe proseguito uguale. Se ne deduce che A avrebbe potuto "fingere" di fare la domanda, darsi una risposta "virtuale", tenersi l'orologio, e arrivare alla stessa stima del 50% di salvezza. Ma, ohib, lo stesso ragionamento, potevano farlo anche B e C, col risultato di tre persone col 50% di farcela!
Aveva proprio ragione Martin Gardner a definire questo indovinello "Wonderfully confusing"!

Philomatematicus
Il problema pu forse chiarirsi se invece di tre scatole supponiamo che ce ne siano cento.
Il gestore, una volta che il giocatore ne ha scelta una, ne apre novantotto: a questo punto cosa sceglie il giocatore? Mantiene la scelta fatta o passa all'altra rimasta chiusa?
Generalizzando, di n scatole 1/n la scelta del giocatore, n-2/n la "liberazione del gestore".
Per mantenere la propria scelta, il giocatore dovrebbe confidare che la 1/n probabilit scelta inizialmente sia proprio quella buona.
Su ci si veda P. M. Higgins, "Divertirsi con la matematica". Bari, Ed. Dedalo, 1999. p. 134-138.

Ivana Niccolai e Dino
Dino ed io abbiamo letto il libro "Lo strano caso del cane ucciso a mezzanotte" di Mark Haddon, Einaudi, dove l'io narrante un ragazzo di 15 anni, di nome Christofer, affetto dalla sindrome di Asperger (una forma di autismo), che ama particolarmente la matematica e che riuscir a superare un esame, proprio di matematica, particolarmente difficile per la sua et e per la "drammatica" situazione familiare, che gli causa ulteriore "disagio"...
Consigliamo la lettura di tale libro, perch offre spunti di rilessione; interessante constatare la logica ferrea e ammirevole, con cui il protagonista esprime il proprio pensiero...
Fa riflettere la situazione in cui il gruppo H, di cui fa parte, viene trattato con intenti canzonatori dagli "altri" ragazzi, perch , comunque, un gruppo a s, non integrato nella societ...
Si nota l'uso sporadico di un turpiloquio, ma determinate espressioni sono talmente entrate nella "quotidianit", da rendere arduo il compito di educare i ragazzi alla scelta di un linguaggio di "buon gusto"...
Nelle pagine 78, 79 e 80 il protagonista riporta quanto segue: "In una rivista americana che si chiamava "Parade" una volta c'era una rubrica fissa dal titolo "Chiedi a Marilyn". Era diretta da una certa Marilyn von Savant che si diceva avesse il pi alto Quoziente d'Intelligenza al mondo...
Nel settembre del 1990 il signor Craig F. Whitaker di Columbia, Maryland, le sped questo quesito...:
Un uomo partecipa a un quiz televisivo. Pu vincere un'auto: Il presentatore gli mostra tre porte. Dice che dietro a una delle porte c' l'auto in palio, mentre dietro alle altre due ci sono delle capre. Gli chiede di sceglierne una.
Quella che ha indicato non viene aperta: Il presentatore invece apre una delle porte che il concorrente non ha scelto e mostra una capra...A quel punto gli domanda se vuole cambiare idea e scegliere una delle porte ancora chiuse.
Che cosa gli suggerisce di fare?
Marylin von Savant rispose che bisognava sempre cambiare..."

Christofer risolve il problema di Monty Hall sia attraverso il procedimento matematico, sia attraverso ci che lui chiama "disegno" e che in realt un semplicissimo diagramma a blocchi, con cui si visualizza chiaramente come sia opportuno "cambiare" e scegliere una delle porte ancora chiuse, perch "cambiando" ci sono due possibilit su tre di vincere l'auto, mentre rifiutando di "cambiare" c' soltanto una possibilit su tre di vincere l'auto.
So che hai dedicato una pagina web al dilemma di Monty Hall, per cui ci sembrato opportuno inviarti in allegato il semplicissimo e chiaro diagramma ad albero...

2. Il paradosso delle tre carte
La scommessa non equilibrata, ma a favore del conduttore.
Indico con B il bianco e con R il rosso.
Le carte sono:
carta 1: B1-B2
carta 2: B3-R1
carta 3: R2-R3
Il lato bianco che si vede potrebbe essere uno dei tre lati bianchi e potrebbe appartenere alla carta 1 oppure alla carta 2.
Dunque i casi possibili per il lato visibile sono 3:
B1, B2, B3.
I casi favorevoli all'evento che anche l'altro lato sia bianco sono 2:
B2, B1
Dunque la probabilit che anche l'altro sia bianco :
P = 2/3

3. Il paradosso delle tre scatoleIl giocatore sceglie una scatola e successivamente estrae una moneta, la quale d'oro.
Qual la probabilit che l'altra sia d'argento?
La risposta sempre 1/3.
Il fatto di aver pescato una moneta d'oro non cambia la probabilit della scelta della scatola effettuata in precedenza.
Comunque, indico con O l'oro e con A l'argento.
Le scatole contengono (ad esempio):
scatola 1: O1-O2
scatola 2: O3-A1
scatola 3: A2-A3
La moneta d'oro estratta potrebbe essere una delle tre O1, O2, O3 e potrebbe essere contenuta nella scatola 1 oppure nella scatola 2.
Dunque i casi possibili per la moneta d'oro sono 3:
O1, O2, O3.
I casi favorevoli all'evento che l'altra moneta sia d'argento sono soltanto 1:
A1
Dunque la probabilit che l'altra moneta sia d'argento :
P = 1/3

Sito Web realizzato da Gianfranco Bo

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HOME - BASE Cinque - Appunti di Matematica ricreativa ] (variante con 3 possibili strategie) Un particolare ringraziamento a Pighin, per aver proposto questo problema e a Sprmnt21, Andrea, Becucci, Ivan D'Avanzo, Enrico Delfini, Philomatematicus, Dario, Massimiliano Bez, Ottavio Romano per aver contribuito a rendere pi chiara la soluzione. 1.

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Capitolo 24 + capitolo 26.2 (probabilità condizionata) + capitoli 27-28 in generale l’idea delle risposte alle domande dei titoli dei capitoli.

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Problema del conduttore del quiz televisivo

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Alcuni dadi a sei facce, spesso utilizzati per spiegare il calcolo delle probabilità.

Il concetto di probabilità, utilizzato a partire dal XVII secolo, è diventato con il passare del tempo la base di diverse discipline scientifiche rimanendo tuttavia non univoco. In particolare su di esso si basa una branca della statistica (la statistica inferenziale), cui fanno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali.

Blaise Pascal

Pierre de Fermat

I primi studi che portarono successivamente a concetti legati alla probabilità possono essere trovati a metà del XVI secolo in Liber de ludo aleæ di Cardano (scritto nel 1526, ma pubblicato solo un secolo e mezzo dopo, nel 1663) e in Sulla scoperta dei dadi di Galilei (pubblicato nel 1656). In particolare, Galileo spiegò come mai, lanciando tre dadi, la probabilità di uscita delle somme 10 e 11 sia più probabile dell'uscita del 9 e del 12, nonostante entrambi i risultati si ottengano da un uguale numero di combinazioni.

Il problema della ripartizione della posta in gioco nel caso che un gioco d'azzardo debba essere interrotto venne affrontato da Pacioli nella Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (pubblicata nel 1494) e successivamente da Tartaglia, per poi essere risolto da Pascal e Fermat.

La nascita del concetto moderno di probabilità viene attribuita a Pascal e Fermat. Il Cavalier de Méré (un accanito giocatore) aveva calcolato che ottenere almeno un 6 in 4 lanci di un dado non truccato era equivalente ad ottenere almeno un doppio 6 in 24 lanci, sempre di un dado non truccato. Tuttavia, giocando secondo tale convinzione, invece di vincere perdeva e scrisse a Pascal lamentando che la matematica falliva di fronte all'evidenza empirica. Da ciò scaturì una corrispondenza tra Pascal e Fermat in cui iniziò a delinearsi il concetto di probabilità nell'accezione frequentista.

Pascal annunciò nel 1654 all' Accademia di Parigi che stava lavorando sul problema della ripartizione della messa in gioco. E in una lettera del 29 luglio dello stesso anno a Fermat propose la soluzione del problema, affrontato con il metodo per ricorrenza, mentre Fermat utilizzava metodi basati sulle combinazioni.

Nel 1657 Huygens scrisse un Libellus de ratiociniis in ludo aleæ,, il primo trattato sul calcolo delle probabilità, nel quale introduceva il concetto di valore atteso.

I suoi lavori influenzarono tra l'altro Montmort, che scrisse nel 1708 un Essai d'analyse sur le jeux de hasard, ma anche Jakob Bernoulli e de Moivre.

Nel 1713 viene pubblicato postumo Ars conjectandi di Jakob Bernoulli, dove veniva dimostrato il teorema che porta il suo nome, noto anche come legge dei grandi numeri. Successivamente, de Moivre pervenne a una prima formulazione, poi generalizzata da Laplace, del teorema centrale del limite. La teoria delle probabilità raggiunse così basi matematicamente solide e, con esse, il rango di nuova disciplina.

In essa esercita un ruolo centrale il rapporto tra casi favorevoli e casi possibili e la probabilità è un numero intrinsecamente legato ad un evento. Negli anni centrali del XX secolo, tuttavia, prima de Finetti e poi Savage hanno elaborato una concezione soggettiva della probabilità, secondo cui essa è il grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell'evento.

Nello stesso periodo, Kolmogorov ha dato inizio alla moderna teoria assiomatica ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, 1933), ispirandosi alla teoria della misura. Si è così affermata una teoria della probabilità puramente matematica, che generalizza il patrimonio matematico comune alle diverse impostazioni.

In probabilità si considera un fenomeno osservabile esclusivamente dal punto di vista della possibilità o meno del suo verificarsi, prescindendo dalla sua natura. Tra due estremi, detti evento certo (ad esempio: lanciando un dado a sei facce si ottiene un numero compreso tra 1 e 6) ed evento impossibile (ottenere 1 come somma dal lancio di due dadi), si collocano eventi più o meno probabili (aleatori).

Si usa il linguaggio della teoria degli insiemi: un insieme non vuoto (detto spazio delle alternative) ha come elementi tutti i risultati possibili di un esperimento; l'evento che risulta verificato da un unico risultato (un unico elemento di ) viene detto evento elementare; altri eventi sono sottoinsiemi di costituiti da più risultati.[4]

Gli eventi vengono normalmente indicati con lettere maiuscole. Dati due eventi e , si indica con la loro unione, ovvero l'evento costituito dal verificarsi dell'evento oppure dell'evento . Si indica con la loro intersezione, ovvero l'evento costituito dal verificarsi sia dell'evento che dell'evento .[5] Se i due eventi e vengono detti incompatibili (non possono verificarsi simultaneamente). Il complemento di un evento rispetto a , , è detto negazione di e indica il suo non verificarsi (ovvero il verificarsi dell'evento complementare).

Secondo la prima definizione di probabilità, per questo detta "classica", la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili.

Indicando con l'insieme di casi possibili e con la sua cardinalità, con un evento e con la sua cardinalità, ovvero il numero dei casi favorevoli ad (ad esempio, nel lancio di un dado , , "esce un numero pari", ), la probabilità di , indicata con , è pari a:

Dalla definizione seguono tre regole:

1. la probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra e ;

2. la probabilità dell'evento certo è pari a , la probabilità dell'evento impossibile è pari a : ad es. se "esce un numero compreso tra 1 e 6", e , se invece "esce un numero maggiore di 6", e .

3. la probabilità del verificarsi di uno di due eventi incompatibili, ossia di due eventi che non possono verificarsi simultaneamente, è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi; ad esempio se "esce un numero pari", con , e "esce il numero 3", con , la probabilità che tirando un dado si ottenga un numero pari oppure un 3 è:

.

Frequenza dell'evento

Come elemento propedeutico alla successiva definizione frequentista Introduciamo, appunto, il concetto di frequenza. Nell'esempio del lancio del dado con evento "numero pari", indichiamo come successi ( ) il numero di volte che otteniamo un numero pari ed ( ) il totale dei lanci effettuati, la frequenza è uguale a . Il rapporto indica la frequenza dell'evento favorevole "uscita numero pari". Inoltre per la legge dei grandi numeri con un numero elevatissimo di lanci il valore di tende a quello di che è interpretata, dalla definizione frequentista della probabilità descritta di seguito, come limite a cui tende .

La definizione classica consente di calcolare effettivamente la probabilità in molte situazioni. Inoltre, è una definizione operativa e fornisce quindi un metodo per il calcolo. Presenta tuttavia diversi aspetti negativi non irrilevanti:

dal punto di vista formale, è una definizione circolare: richiede che i casi possiedano tutti la medesima probabilità, che è però ciò che si vuole definire;

non definisce la probabilità in caso di eventi non equiprobabili;

presuppone un numero finito di risultati possibili e di conseguenza non è utilizzabile nel continuo.

Per superare tali difficoltà, von Mises propose di definire la probabilità di un evento come il limite cui tende la frequenza relativa dell'evento al crescere del numero degli esperimenti:

La definizione frequentista si applica ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili, ma assume che l'esperimento sia ripetibile più volte, idealmente infinite, sotto le stesse condizioni.

Anche tale definizione consente di calcolare la probabilità di molti eventi e da essa si ricavano le stesse tre regole che seguono dalla definizione classica. È sufficiente, infatti, sostituire il rapporto tra numero dei casi favorevoli e numero dei casi possibili con il limite del rapporto per tendente all'infinito.

Tuttavia:

il "limite" delle frequenze relative non è paragonabile all'analogo concetto matematico; ad esempio, data una successione , si dice che è il suo limite se per ogni esiste un numero naturale tale che per ogni , e, comunque dato , è sempre possibile calcolare ; nella definizione frequentista, invece, non è sempre calcolabile;

non tutti gli esperimenti sono ripetibili; ad esempio, ha sicuramente senso chiedersi quale sia la probabilità che vi sia vita su Marte o che tra 50 anni il tasso di natalità in Africa diventi la metà di quello attuale, ma in casi simili non è possibile immaginare esperimenti ripetibili all'infinito.

Bruno de Finetti

De Finetti e Savage hanno proposto una definizione di probabilità applicabile ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non siano ritenuti ugualmente possibili e che non siano necessariamente ripetibili più volte sotto le stesse condizioni: la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica.

Al fine di rendere concretamente applicabile la definizione, si aggiunge un criterio di coerenza: le probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo tale che non sia possibile ottenere una vincita o una perdita certa.

In tal modo è possibile ricavare dalla definizione soggettiva le stesse tre regole già viste.

1. : infatti se fosse si avrebbe un guadagno certo, viceversa se fosse si avrebbe una perdita certa;

2. : se l'evento è certo, si riceverà sicuramente 1, ma se fosse si avrebbe un guadagno certo, pari a , se invece fosse si avrebbe una perdita certa;

3. se . Si osserva preliminarmente che se gli n eventi sono incompatibili (non possono presentarsi insieme) e necessari (uno di loro deve necessariamente verificarsi), allora si ha : infatti si paga per ciascun evento , quindi se la somma fosse inferiore a 1 si avrebbe un guadagno certo, se fosse superiore si avrebbe una perdita certa. Si considerano poi gli eventi incompatibili e e l'evento complemento della loro unione; i tre eventi sono incompatibili e necessari e si ha:

Sono però incompatibili anche l'unione di e ed il suo complemento:

Dalle due uguaglianze segue:
se , allora

La definizione soggettiva consente quindi di calcolare la probabilità di eventi anche quando gli eventi elementari non sono equiprobabili e quando l'esperimento non può essere ripetuto. Rimane fondata, tuttavia, sull'opinione di singoli individui, che potrebbero presentare diverse propensioni al rischio. Basta pensare che molti sarebbero disposti a giocare 1 euro per vincerne 1000, ma pochi giocherebbero un milione di euro per vincerne un miliardo.

Andrey Kolmogorov

L'impostazione assiomatica della probabilità venne proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933 in Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ( Concetti fondamentali del calcolo delle probabilità), sviluppando la ricerca che era ormai cristallizzata sul dibattito fra quanti consideravano la probabilità come limiti di frequenze relative (cfr. impostazione frequentista) e quanti cercavano un fondamento logico della stessa.

Va notato che la definizione assiomatica non è una definizione operativa e non fornisce indicazioni su come calcolare la probabilità. È quindi una definizione utilizzabile sia nell'ambito di un approccio oggettivista che nell'ambito di un approccio soggettivista.

Il nome deriva dal procedimento per "assiomatizzazione" quindi nell'individuare i concetti primitivi, da questi nell'individuare i postulati da cui poi si passava a definire i teoremi.

L'impostazione assiomatica muove dal concetto di σ-algebra, o classe additiva. Dato un qualsiasi esperimento casuale, i suoi possibili risultati costituiscono gli elementi di un insieme non vuoto , detto spazio campionario, e ciascun evento è un sottoinsieme di . La probabilità viene vista, in prima approssimazione, come una misura, cioè come una funzione che associa a ciascun sottoinsieme di un numero reale non negativo tale che la somma delle probabilità di tutti gli eventi sia pari a .

Se ha cardinalità finita o infinita numerabile, l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, detto insieme delle parti, ha, rispettivamente, cardinalità o la cardinalità del continuo. Tuttavia, se ha la cardinalità del continuo, il suo insieme delle parti ha cardinalità superiore e risulta "troppo grande" perché si possa definire su di esso una misura. Si considerano pertanto i soli sottoinsiemi di che costituiscono una classe additiva , ovvero un insieme non vuoto tale che

se un evento appartiene ad , vi appartiene anche il suo complemento:

se un'infinità numerabile di eventi, , appartiene ad , vi appartiene anche l'evento costituito dalla loro unione:

Una classe additiva è quindi un sottoinsieme delle insieme delle parti di che risulta chiuso rispetto alle operazioni di complemento e di unione numerabile.

Si può aggiungere che una classe additiva è chiusa anche rispetto all'intersezione, finita o numerabile, in quanto per le leggi di De Morgan si ha:

dove il secondo membro dell'uguaglianza appartiene alla classe in quanto complemento di un'unione numerabile dei complementi di insiemi che vi appartengono.

Si pongono i seguenti assiomi (che includono le tre regole ricavabili dalle definizioni precedenti):

1. Gli eventi sono sottoinsiemi di uno spazio e formano una classe additiva .

2. Ad ogni evento è assegnato un numero reale non negativo , detto probabilità di .

3. , ossia la probabilità dell'evento certo è uguale a .

4. Se l'intersezione tra due eventi e è vuota, allora .

5. Se è una successione decrescente di eventi e al tendere di n all'infinito l'intersezione degli tende all'insieme vuoto, allora tende a zero:[8]

La funzione viene detta funzione di probabilità, o anche distribuzione di probabilità. La terna viene detta spazio di probabilità.

Dagli assiomi si ricavano immediatamente alcune proprietà elementari della probabilità:

Se è la probabilità di un evento , la probabilità dell'evento complementare è . Infatti, poiché l'intersezione di e del suo complemento è vuota e la loro unione è , dagli assiomi 3 e 4 si ricava:

La probabilità dell'evento impossibile è pari a zero. Infatti l'insieme vuoto è il complemento di e si ha:

La probabilità di un evento è minore o uguale a . Infatti, dovendo la probabilità essere non negativa per il secondo assioma, si ha:

Se un evento è incluso in un evento , allora la sua probabilità è minore o uguale a quella di . Infatti, se include può essere espresso come unione di insiemi disgiunti e si ha:

Dai suddetti assiomi derivano alcuni teoremi e concetti fondamentali.

Il teorema della probabilità totale consente di calcolare la probabilità dell'unione di due o più eventi, ovvero la probabilità che si verifichi almeno uno di essi. Essa è la somma delle probabilità dei singoli eventi se sono a due a due incompatibili; in caso contrario, alla somma va sottratta la somma delle probabilità delle intersezioni due a due, poi aggiunta la somma delle probabilità delle intersezioni a tre a tre e così via. Ad esempio, nel caso di tre eventi:

Si dice probabilità condizionata di dato , e si scrive , la probabilità che l'evento ha di verificarsi quando si sa che si è verificato:

Attraverso tale concetto si perviene al teorema della probabilità composta, che consente di calcolare la probabilità dell'intersezione di due o più eventi, ovvero la probabilità che essi si verifichino tutti. Nel caso di due eventi (che può essere generalizzato), si ha:

Se , i due eventi e vengono definiti indipendenti stocasticamente (o probabilisticamente) e dalla stessa definizione segue una diversa formulazione della probabilità composta, caso particolare del precedente: .

Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità a posteriori di un evento , quando si sappia che si è verificato un evento . Se appartiene ad un insieme finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili, e se si verifica allora si verifica necessariamente uno degli eventi di tale insieme (ed uno solo, dato che sono incompatibili), allora, conoscendo le probabilità a priori degli eventi e le probabilità condizionate e sapendo che si è verificato , si può calcolare la probabilità a posteriori di un particolare :

Più discorsivamente: se si conoscono sia le probabilità a priori delle diverse possibili "cause" di (ma non si sa per effetto di quale di esse si è verificato), sia le probabilità condizionate di data ciascuna delle cause, è possibile calcolare la probabilità che si sia verificato per effetto di una particolare causa.

Difficoltà nell'utilizzo delle probabilità

Quante insidie vi siano nei ragionamenti sulle probabilità - al di là delle difficoltà nella comprensione di cosa possa essere la probabilità - viene messo in evidenza da alcuni cosiddetti paradossi, dove in realtà si tratta di domande con risposte controintuitive:

nel paradosso delle tre carte l'errore consiste solitamente nel non avere identificato correttamente quali siano gli eventi: i lati delle carte e non le carte stesse;

nel paradosso dei due bambini l'errore consiste solitamente nel non distinguere eventi diversi, ossia nel considerare un unico evento quelli che in realtà sono due;

nel problema di Monty Hall la difficoltà consiste anzitutto nell'accettare l'idea che una nuova informazione può modificare le probabilità di eventi, senza che il mondo reale cambi, l'altro errore consiste nel non analizzare completamente e dunque valutare correttamente la nuova informazione acquisita.

Un'ulteriore fonte di confusione può essere data dal presupporre (sbagliando) che il fatto che un evento abbia probabilità implica che esso avvenga sempre (invece che quasi certamente).

1. Il 9 si ottiene con le sei combinazioni ^ , il 10 con le sei combinazioni , l'11 con e il 12 con . Tuttavia, mentre una combinazione di tre numeri uguali può presentarsi in un solo modo, una con due numeri uguali può presentarsi in tre modi diversi, una con tre numeri diversi in sei modi diversi. Si può quindi ottenere il 10 e l'11 in 27 modi , il 9 e il 12 in 25 modi .

2. Secondo il Cavaliere, essendo ^ la probabilità del 6 con un dado, in quattro lanci la probabilità sarebbe ; la probabilità del doppio 6 in due lanci è invece e, per arrivare a , occorrono 24 lanci: . In realtà la probabilità di ottenere almeno un 6 si calcola meglio a partire dall'evento complementare, "nessun 6 in quattro lanci", che è , e sottraendo questa da , ottenendo il ; nello stesso modo si calcola che la probabilità di almeno un doppio 6 in 24 lanci è .

3. La ristampa della traduzione inglese è disponibile in ^ http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf Archiviato il 31 ottobre 2014 in Internet Archive..

4. Ad esempio, nel lancio di un dado l'insieme ^ è costituito dai sei risultati ; l'evento "esce il 3" è rappresentato dall'insieme , l'evento "esce un numero pari" è rappresentato dall'insieme .

5. Ad esempio, restando al lancio di un dado, se ^ e , l'evento è , ovvero "esce un numero pari". Se invece "esce un numero pari" e "esce un numero minore o uguale a 3", .

6. (^ EN) IUPAC Gold Book, "probability"

7. L'impostazione soggettiva era stata anticipata da ^ Ramsey nel 1926.

8. Una successione di insiemi è detta decrescente se ciascun insieme include il successivo. Vedere ^ limite insiemistico.

Remo Cacciafesta, Lezioni di calcolo delle probabilità, Roma, Veschi, 1983, ISBN 978-88-41-33523-9.

Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Bologna, Zanichelli, 2003, ISBN 978-88-08-17676-9.

Domenico Piccolo, Statistica, Bologna, Il Mulino, 1998, ISBN 978-88-15-13902-3. Parte Seconda, Cap. VIII, pp. 215-291

Keith Devlin, La lettera di Pascal. Storia dell'equazione che ha fondato la teoria della probabilità, Segrate, Rizzoli, 2008, ISBN 978-88-17-02592-8.

Giancarlo Rota e Joseph P.S. Kung, Enciclopedia del Novecento, 1980. Probabilità Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani

Eugenio Regazzini, Enciclopedia della Scienza e della Tecnica, 2007. Probabilità Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani

probabilità , in Dizionario di filosofia, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2009.

(EN) Probability and Statistics EBook , su wiki.stat.ucla.edu.

(FR) Journal sur l'histoire des probabilités et des statistiques et site associé (articles, bibliographie, biographies)

Bruno de Finetti, Probabilità e induzione , Bologna, CLUEB, 1993, ISBN 88-8091-176-7.

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Il concetto di probabilità, utilizzato a partire dal XVII secolo, è diventato con il passare del tempo la base di diverse discipline scientifiche rimanendo tuttavia non univoco. In particolare su di esso si basa una branca della statistica (la statistica inferenziale), cui fanno ricorso numerose scienze sia naturali che sociali.

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Articolo sullo sviluppo del concetto di probabilità dal punto di vista storico.

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Georges de La Tour - Giocatori di dadi, 1650-1651, olio su tela

Un dilemma al tavolo da gioco. Fu così che il Cavalier de Méré, abile con i dadi, si rivolse a Pascal. E nacque la teoria della probabilità

Libero pensatore, moralista, giansenista, di nobile famiglia, frequentatore dei salotti buoni, famoso per l'eleganza e le buone maniere ma soprattutto scommettitore e giocatore d'azzardo. In effetti il Cavalier de Méré (1607-1684) alla storia c'è passato più ancora che per i suoi scritti per aver chiesto a Blaise Pascal di sciogliere un dilemma che il cavaliere aveva l'onestà di riconoscere che non sarebbe mai stato capace di sciogliere da solo. La risposta di Pascal spalanca le porte a calcolo e teoria della probabilità, di cui lo stesso Pascal gettò le fondamenta in una famosa corrispondenza intervenuta tra lui e Fermat nel 1654 e rintracciabile nelle Opere di Fermat (1904).

La teoria della probabilità è in effetti originata da dispute tra giocatori più o meno professionisti, giocatori d'azzardo, scommettitori. Carte e soprattutto dadi ne sono all'origine. Il Cavalier de Méré era un giocatore di dadi, scommetteva alla pari sull'uscita di almeno un 6 in quattro successivi lanci di un dado. Ora, e lo vedremo alla fine parlando della soluzione che ne diede Pascal, con questa scommessa il cavaliere si assicurava 51,77 probabilità su 100 di vincere. Su 1.000 scommesse poteva dunque sperare di vincerne 518 e perderne 482, con una differenza a suo favore di 36 poste ogni 1.000 scommesse. Ho detto "sperare" perché la probabilità non è la certezza ed è tanto più aderente alla teoria (e la teoria dice, appunto, 51,77 probabilità di vittoria su 100) quanto più i numeri sono grandi, ovvero, nella fattispecie, quanto maggiore era il numero delle scommesse che il cavaliere riusciva a incamerare. Su 1.000 scommesse, infatti, egli era pressoché sicuro di vincere, sempre in base alle leggi della probabilità, da un minimo di 515 a un massimo di 521 volte. Dunque, guadagni assicurati.

Ma il cavaliere era un empirico, non un matematico della probabilità - come, del resto, ai suoi tempi ancora non ce n'erano. Difficile dire qual era il ragionamento che stava alla base della sua scommessa, su cosa si basava il suo intuito di scommettitore. Su innumerevoli serie di quattro lanci di un dado da lui stesso esperite in solitudine, è del tutto lecito pensare, semmai incrementate da quelle che facevano parte delle scommesse vere e proprie. Su queste innumerevoli serie di quattro lanci egli doveva aver colto quella discrepanza tra le circa 52 volte in cui in quelle serie si manifestava almeno un 6 contro le circa 48 volte in cui in quelle serie non si manifestava alcun 6. E aver deciso conseguentemente di proporre la sua scommessa alla pari negli ambienti - ambienti alti e danarosi - che bazzicava abitualmente. Ambienti adusi a giocare e scommettere. Non c'erano ancora roulette e poker, in Francia come altrove, che arriveranno nel 1800, ma i dadi esistevano si può ben dire da sempre, essendo apparsi già nell'antico Egitto, mentre le carte da gioco, apparse in Cina attorno al Mille e in Europa poco dopo, al tempo del Cavalier de Méré e di Pascal e Fermat hanno già qualche secolo d'intensa vita e vicissitudini, abbastanza per il fiorire, anche qui, di giochi e scommesse sui giochi di carte.

La scommessa, l'azzardo aguzzano l'ingegno, sollecitano calcoli e ragionamenti, spingono ad affinare l'attenzione, a osservare con acume. Chi giocava allora d'azzardo lo faceva o, almeno, ci provava. Segnava i risultati, cercava di trarne deduzioni e conclusioni. Non si scommette così, all'impronta. O meglio, lo si può anche fare, specialmente se si hanno soldi da buttare, ma normalmente si scommette in base a qualche ragionamento o convinzione: o perché si sa di avere una ragionevole possibilità di vincere o perché pur conoscendo che quella possibilità non è così ragionevole si accetta il rischio contro una ricompensa, in caso di vittoria, ch'è di molte volte superiore alla posta che abbiamo arrischiato. In un caso come nell'altro occorre avere o almeno provarsi a prendere qualche confidenza con i concetti di casi possibili, ovvero tutti quelli che si hanno in un gioco, e casi favorevoli, ovvero quei soli casi che quando si presentano ci procurano una vittoria. Semplice a dirsi, a volte spaventosamente difficile a farsi. Sovente del tutto impossibile, senza ricorrere alla teoria della probabilità. Che però non c'era quando il Cavaliere de Méré pose il suo quesito a Pascal attorno alla metà del XVII secolo.

Anche con i dadi, ben meno complessi delle carte, il problema è assai semplice se ci si ferma al lancio di un dado: si lancia un dado, i casi possibili sono 6, tanti quanti le facce (e i punteggi) del dado, e di questi se ne verifica uno soltanto: dunque se scommettiamo su una determinata faccia, il nostro caso favorevole, abbiamo una possibilità su 6 di vincere. Se scommettiamo su due facce e non su una soltanto le nostre speranze di vittoria raddoppiano da una a 2 su 6, essendo 2 i casi favorevoli su un numero invariato di casi possibili. Inutile dire che però più la scommessa si fa facile, aumentando la proporzione dei casi favorevoli sui casi possibili, e meno riceveremo come corrispettivo in caso di vittoria. Si può anche decidere di comprare, per Natale, tutti i numeri della lotteria del bar sotto casa, rastrellando primo, secondo e terzo premio, ma non si vede dove sia la convenienza, essendo pacifico che il nostro barista avrà fatto in modo da lucrare un guadagno dalla vendita dei biglietti, ovverosia che il costo dei biglietti è decisamente superiore al valore dei premi. Più giochi pensando di annullare l'azzardo, ovvero andando sul sicuro, e meno guadagni. D'altro canto la strategia opposta rischia di prosciugarti il portafoglio in un amen. L'azzardo non è essere stupidi, e neppure sciocchi. Teoricamente almeno, anzi, è tutto l'opposto.

L'azzardo implica conoscenza. Azzardo se so cos'è che rischio, quanto rischio e qual è il livello di rischio che sono disposto a correre. Si è sempre giocato, d'azzardo, dai tempi dei tempi, tutto l'insieme degli eventi cosiddetti di fortuna è stato creato per il divertimento e il piacere dell'uomo. Il fatto che possa trasformarsi in amarezza e sconforto non cambia la questione: la casualità, il fato, la dea bendata, la fortuna che si annidano nei giochi, che fanno i giochi, nel senso che danno loro sostanza, fanno parte della vita. E infatti si è sempre giocato e scommesso, si è sempre azzardato. Sempre. Ma naturalmente è vero che più soldi ci sono in circolazione, e più persone hanno soldi, e più lievitano giochi e scommesse. Che oggi si giochi e si scommetta assai di più che, mettiamo, ai tempi di Gesù è pacifico: oggi siamo immensamente più ricchi, mediamente parlando, di allora. Anche se c'è chi proprio non riesce a realizzare che il bue e l'asinello rappresentavano allora pur sempre una forma di riscaldamento, quello procurato dagli animali, completato da un po' di legna da ardere e da un po' di escrementi essiccati coi quali soffocare più ancora che riscaldarsi.

Ma insomma, il Cavaliere de Méré si trovava bene con la sua scommessa e pensò, per differenziare l'offerta, di offrirne una variante che presumeva gli desse le stesse soddisfazioni, ovvero le stesse vincite. Salvo accorgersi che non era così. Ampliare l'offerta era buona cosa, indispensabile per mantenere e anzi allargare la platea dei suoi scommettitori, ma la variante dimostrò di non funzionare e, non capendo perché, il Cavalier de Méré si rivolse all'allora suo amico poco più che trentenne e già affermato matematico, malmesso dal punto di vista della salute come lo fu in tutti i suoi 39 anni di vita, Blaise Pascal. Fosse rimasto fermo alla sua prima scommessa, non avesse inteso risultare più stuzzicante e invogliante, non avesse provato a innovare - una vera e propria innovazione di prodotto - il Cavaliere non avrebbe messo in moto il genio matematico di Pascal e la storia, nella fattispecie quella della probabilità, non sarebbe stata la stessa. La variante consisteva nello scommettere, sempre alla pari, che sarebbe uscita una coppia di 6 in 24 lanci di due dadi. Il Cavaliere la riteneva perfettamente uguale all'originaria scommessa sull'uscita di almeno un 6 su 4 lanci. Infatti, ragionava, 4, numero di lanci, moltiplicato per 1/6 (rapporto tra casi favorevoli - l'uscita del 6 - e casi possibili nel lancio di un dado) dà per risultato 4/6, ovvero 2/3, due terzi, esattamente come dà per risultato 2/3 la moltiplicazione tra 24 lanci e 1/36 (rapporto tra casi favorevoli - l'uscita di una coppia di 6 - e casi possibili nel lancio di due dadi, dove i casi possibili sono 36 potendo ogni faccia di un dado presentarsi assieme a ogni faccia dell'altro dado).

Pascal dette un fondamento teorico inoppugnabile alla "saggezza" della prima scommessa del Cavalier de Méré, così come dimostrò, con lo stesso procedimento, la "non saggezza" della seconda scommessa del Cavaliere. Egli, Pascal, invertì completamente il ragionamento che facevano allora tutti i giocatori d'azzardo: quello di pensare in base alle possibilità che avevano di vincere. Partì, intuendo subito che altrimenti non sarebbe arrivato da nessuna parte, dalla probabilità di perdere, ovvero da quella che il 6 non apparisse nemmeno una volta nei quattro lanci consecutivi di un dado. La probabilità che il 6 non esca nel lancio di un dado è ovviamente 5/6, 5 diviso 6, essendo 5 su 6 le facce del dado che non sono 6 (il lettore si provi a seguire il procedimento che diremo utilizzando la probabilità di 1/6 di vincere, vedrà come non ci sia modo di andare avanti, se non approdando a risultati contrari alla logica). Poiché i lanci di un dado sono eventi indipendenti l'uno dall'altro, la probabilità di nessun 6 in quattro lanci è: (5/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = (5/6)4, ovvero 5/6 elevato alla quarta, ovvero 625/1296. La probabilità di almeno un 6, evento contrario e complementare, sarà pertanto data semplicemente da 1 - 625/1296 = 671/1296 = 0,51774, meglio leggibile se lo moltiplichiamo per 100, così da concludere che in una serie di 4 lanci il 6 (come un qualsiasi altro punteggio del dado) ha una probabilità pari al 51,77 per cento di presentarsi almeno una volta. Il Cavalier de Méré aveva pensato bene la sua scommessa.

Ma reiterando il procedimento Pascal scoprì che il Cavaliere non aveva pensato altrettanto bene la sua seconda scommessa, quella che giudicava nient'altro che una variane della prima, e che invece non lo era, era a tutti gli effetti un'altra scommessa che non gli era invece favorevole, in quanto la probabilità di non avere una coppia di 6 nel lancio di due dadi è 35/36, essendo 36 i risultati possibili nel lancio di due dadi, mentre quella di non avere alcuna coppia di 6 in 24 lanci di due dadi sarà data da 24 volte la moltiplicazione di 35/36, ovvero da (35/36)24, 35/36 elevato alla 24esima potenza, e quella di avere almeno una coppia di 6, evento contrario e complementare, sarà data da 1 - (35/36)24, che dà come risultato 0,4914. La probabilità di ottenere almeno una coppia di 6 in 24 lanci di una coppia di dadi è pari al 49,14 per cento. In 1.000 lanci di due dadi il Cavaliere de Méré poteva sperare di vincere 491 volte e perdere 509: non aveva pensato bene la sua variante, anzi la sua seconda scommessa. Risparmio al lettore l'errore, concettuale, che faceva il Cavaliere e annoto piuttosto come oggi con Excel sia un gioco da ragazzi calcolare la 24esima potenza di 35 e la 24esima potenza di 36 e quindi rapportare la prima alla seconda per arrivare al risultato nel giro di una manciata di secondi. Ma il buon Pascal, che soffriva tra le altre cose di insonnia e mal di denti, procedendo rigorosamente a mano deve avercene impiegato di tempo, e di attenzione, per arrivare a due risultati di 37 cifre ciascuno da dividere tra di loro.

La "matematica" della probabilità che per la prima volta Pascal applicava in tutta la sua potenza, interviene quando cerchiamo un metodo per enumerare tutti i casi possibili senza doverli contare realmente. I casi possibili lanciando 24 volte una coppia di dadi sono un'enormità, data 36 moltiplicato per sé stesso la bellezza di 24 volte, giacché ogni volta che tiriamo una coppia di dadi possiamo avere 36 diversi risultati ciascuno dei quali può combinarsi con ciascuno dei 36 risultati di un altro lancio dando luogo a 1.296 risultati possibili che possono combinarsi con ciascuno dei 36 risultati di un altro lancio ancora dando luogo a 46.656 risultati possibili che possono... e via così per 24 volte. Non c'è modo di enumerarli, tutti questi casi possibili, uno a uno. Ma neppure ce n'è bisogno, avendo la formula che ci permette con qualche moltiplicazione di conoscerne il numero. E analogamente con i casi favorevoli, che sono, of course, sempre inferiori ai casi possibili.

Ed ecco, dunque che teoria e calcolo delle probabilità sono ormai lanciati, lanciatissimi. Nel 1657 il matematico olandese Christiaan Huygens dà alle stampe il primo volume mai stampato sulla probabilità - De ratiociniis in ludo aleae - mentre forse il punto più alto dello sviluppo delle teorie probabilistiche, Ars Conjectandi, dello svizzero Jakob Bernoulli, è del 1713 e contiene molte delle complesse implicazioni filosofiche che caratterizzano l'argomento al giorno d'oggi.

Non solo implicazioni filosofiche, indubbiamente, hanno costellato il cammino della probabilità: dallo sterminato campo delle assicurazioni alle teorie fisiche più moderne, dalla genetica alla scienza sperimentale: tutto, a ben guardare, si è sviluppato nel segno della probabilità. Eppure le origini della probabilità sono le più umili che mai si siano date per un ramo, e per giunta così decisivo, della scienza: le scommesse nei giochi d'azzardo. Se non si fosse scommesso, e non ci fossero stati scommettitori del tipo del Cavalier de Méré, la probabilità avrebbe atteso, a sorgere. E chissà quanto. Con danni formidabili per il progresso e il benessere dell'uomo e dell'umanità. Giù il cappello, allora, di fronte a quei giocatori d'azzardo.

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Un dilemma al tavolo da gioco. Fu così che il Cavalier de Méré, abile con i dadi, si rivolse a Pascal. E nacque la teoria della probabilità Libero pensatore, moralista, giansenista, di nobile famiglia, frequentatore dei salotti buoni, famoso per l'eleganza e le buone maniere ma soprattutto scommettitore e giocatore d'azzardo.

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Negli ultimi cento anni le teorie della probabilità si sono messe al centro dello studio dei sistemi complessi. La disciplina è relativamente giovane, almeno se parliamo di una sua prima formalizzazione matematica. Si fa risalere il suo inizio al 1654 quando Antoine Gomabud cavaliere de Méré, scrittore ed accanito giocatore d'azzardo, invia una lettera al filosofo e matematico francese Blaise Pascal con il seguente problema:
La probabilità che esca almeno un 6 lanciando 4 volte un dado è la stessa che esca almeno una coppia di 6 lanciando 24 volte due dadi?
De Méré cerca una risposta per migliorare le sue vincite al gioco dei dadi. Lui è convinto che la risposta sia positiva e ne propone il ragionamento. Sia \(A\) l'evento "uscita di almeno un 6 da 4 lanci di un dado" e \(B\) "uscita di almeno una coppia di 6 da 24 lanci di due dadi". Per il primo evento, la probabilità che esca un 6 dal lancio di un dado è \(1/6\). De Méré decide di sommare per quattro volte questa probabilità, ottenendo:

\[P(A)=4\cdot 1/6=2/3.\]

Per il secondo evento, la probabilità di uscita di una coppia di 6 dal lancio di 2 dadi è \(1/36\), essendo 36 tutti i possibili esiti. Ancora una volta, de Méré conclude che

\[P(B)=24\cdot 1/36=2/3.\]

Per de Méré le due probabilità coincidono, quindi è perfettamente equivalente scommettere su uno dei due eventi.

Le perdite di danaro sembrano contraddire questo ragionamento. Ed infatti Blaise Pascal, assieme ad un altro matematico francese, Pierre de Fermat, rivela a de Méré che il secondo evento ha minori probabilità di realizzarsi rispetto al primo. Per fare questo, i due matematici utilizzano la proprietà che assegnato un evento \(A\) con probabilità \(P(A)\), l'evento complementare \(A'\) ha probabilità

\[P(A')=1-P(A).\]

Partiamo dal primo evento \(A\), ossia "ottenere almeno un 6 lanciando 4 volte un dado". L'evento complementare \(A'\) è "nessun 6 lanciando 4 volte un dato". Per ogni lancio, la probabilità che non si abbia il 6 è \(5/6\), quindi, essendo gli eventi indipendenti a ogni lancio, per cui la probabilità del loro avvenire simultaneamente è uguale al prodotto delle loro probabilità, la probabilità che su 4 lanci non si abbia mai un 6 è \((5/6)^4\). Utilizzando lo schema dell'evento complementare, si ha:

\[P(A)=1-P(A')=1-(5/6)^4=0,5177.\]

Analogamente per il secondo evento \(B\). In questo caso l'evento complementare \(B'\) è "nessun doppio 6 lanciando 24 volte una coppia di dadi". Per ogni lancio della coppia, la probabilità di non ottenere un doppio 6 è \(35/36\), quindi su 24 lanci \(P(B')=(35/36)^{24}\). Come nel caso precedente, l'evento di partenza ha probabilità

\[P(B)=1-P(B')=1-(35/36)^24=0,4914<P(A).\]

Dove sbaglia il Cavaliere de Méré? Nel sommare le probabilità. Per il primo evento considera la probabilità di uscita di un 6, pari ad \(1/6\), e traduce l' almeno in somma dei singoli eventi. Facendo così, lui tratta gli eventi come incompatibili tra loro, mentre nessuno vieta che possa uscire un 6 al primo lancio e uno al terzo, per esempio. Il passaggio all'evento complementare, spesso utilizzato anche nella probabilità moderna, gli avrebbe potuto evitare una brutta figura e qualche perdita di troppo ai tavoli d'azzardo.
[Illustrazione di Luca Manzo]

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Negli ultimi cento anni le teorie della probabilità si sono messe al centro dello studio dei sistemi complessi. La disciplina è relativamente giovane, almeno se parliamo di una sua prima formalizzazione matematica. Si fa risalere il suo inizio al 1654 quando Antoine Gomabud cavaliere de Méré, scrittore ed accanito giocatore d'azzardo, invia una lettera al [...]

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Questo breve video spiega alcune tecniche efficaci per scrivere un testo umoristico.