# data[].attributes.attachment_link.readable_text
24.6 Velocità cosmiche

24.6.1 Tipi di orbite
Dalla legge di gravitazione universale si può ricavare, ma non lo facciamo perché troppo complicato, che l'orbita di un satellite è sempre una sezione conica, vale a dire un'ellisse, una parabola o una iperbole. Il tipo della traiettoria dipende dalle condizioni iniziali del moto, cioè dalla sua posizione di lancio e dalla velocità di lancio.

Osservazione 24.1 L'energia potenziale è sempre negativa, l'energia cinetica è sempre positiva. L'energia totale è la somma delle due e può essere positiva o negativa. Se l'energia totale è negativa il satellite descrive un'orbita ellittica (il sistema si dice legato) se è positiva descrive un'orbita aperta, cioè una parabola o un'iperbole. Per vedere se una cometa tornerà a passare vicino alla terra si calcola la sua energia totale. Se è negativa la cometa tornerà in futuro, se è positiva la cometa non tornerà mai più.

Vediamo ora due velocità caratteristiche con le quali un satellite può essere lanciato dalla superficie di un pianeta. Immaginiamo di lanciare un satellite dalla superficie della Terra trascurando l'attrito con l'aria.

E' necessario mettere in evidenza che queste velocità si riferiscono al caso in cui il satellite venga sparato dalla superficie della Terra e poi prosegua senza ausilio di motori o altro. In pratica come un proiettile.

24.6.2 Prima velocità cosmica - Orbita circolare radente la superficie terrestre
E' la velocità per un'ipotetica orbita circolare radente la superficie terrestre. La velocità si ricava dall'equazione velocità per orbita circolare

$v_1$

$=sqrt((GM)/R)$

$=sqrt( (6.67259*10^-11*5.98*10^24) / (6.38*10^6))$

$=7908.4\, uum//uus=7.9\, uukm//uus$

il tempo necessario per fare il giro del pianeta è

$T$

$={2piR}/{v_1} $

$={2pi*6.38*10^6}/{7908.4}$

$=5069\, uus = 84\, uumn =1\, uuh:24\, uumn$

24.6.3 Seconda velocità cosmica - Velocità di fuga dalla Terra
Il satellite non torna più indietro quando la sua velocità si annulla a distanza infinita dalla Terra. Vediamo quale deve essere la velocità con cui il satellite deve essere sparato dalla superficie terrestre.

Ricordiamo che l'energia potenziale gravitazionale per definizione si annulla a distanza infinita dove si annulla anche l'energia cinetica perché il satellite si ferma. In totale a distanza infinita la somma delle due, cioè l'energia meccanica, vale zero. Durante il viaggio l'energia meccanica rimane costante quindi deve valere zero anche alla partenza dalla superficie terrestre e cioè:

$E_m=1/2 m v_2^2 - G(mM)/R =0 $

da cui

$v_2=sqrt(2GM//R)=v_1sqrt(2)=11.2\,uukm//uus$ (24.11)

In conclusione a distanza infinita tutta l'energia cinetica si è trasformata in energia potenziale quindi se il satellite è lanciato con una velocità superiore a $v_2$ si allontana per sempre dalla Terra. Per questo motivo è dettavelocità di fuga. In conclusione si possono presentare le seguenti possibilità:

$v$ di lancio in $uukm//uus$

orbita

$0<v<=v_1=7.9$

ellisse

$v=v_1=7.9$

cerchio

$v_1=7.9 < v <= v_2=11.2 $

ellisse

$v=v_2=11.2 $

parabola

$v>v_2=11.2 $

iperbole

Come già visto la velocità di fuga si ricava da considerazioni energetiche vale a dire da grandezze scalari. Questo significa chenon ha nessuna importanza la direzione di lancio, se il modulo del vettore velocità supera $11.2\, uukm//uus$ il satellite non entrerà in orbita ma si allontanerà per sempre dalla Terra. In realtà rimarrà comunque legato al sistema solare se la sua velocità è minore di quella di fuga dal Sole calcolata nel punto in cui si trova.

Esempio 24.30 Calcolare la velocità di fuga di un satellite che si trova in orbita intorno alla terra a $2000\, uukm$ dalla superficie terrestre.

Soluzione

$v_2$

$=sqrt((2GM)/R)$

$=sqrt( (2*(6.67259*10^-11)*(5.98*10^24))/( (6.38+2)*10^6 ) )$

$= 9759\, uum//uus$

Conclusione 24.4 Le velocità cosmiche dipendono solo dalle dimensioni e dalla massa del corpo che è origine del sistema di forza centrale.

Esempio 24.31 Calcolare le velocità cosmiche per la Luna

Soluzione. La massa della Luna è $M=7.35*10^22\, uukg$ e il raggio è $R=1736\, uukm$

$v_1$

$=sqrt((GM)/R) $

$=sqrt( (6.67259*10^-11*7.35*10^22) / (1.736*10^6) )$

$=1681\, uum//uus = 1.7\, uukm//uus$

$v_2$

$ =v_1 sqrt(2)$

$=2377\, uum//uus=2.4\, uukm//uus$

La Terra possiede un'atmosfera perché i gas che compongono l'aria possiedono una velocità di agitazione termica minore della velocità di fuga e quindi rimangonolegati alla Terra.
La Luna ha una velocità di fuga più bassa quindi i gas sono fuggiti lasciando la Luna praticamente priva di atmosfera.

Esempio 24.32 Calcolare le velocità cosmiche per il Sole

Soluzione. La massa del Sole è $M=1.99*10^30\, uukg$ e il raggio è $R=6.960*10^5\, uukm$

$v_1$

$= sqrt( (GM)/R)$

$= sqrt( (6.67*10^(11) xx 1.99*10^(30))/(6.96*10^8) )$

$= 436702 uum//uus = 437 uukm//uus $

$v_2$

$ =v_1 sqrt(2)$

$= 617590\, uum//uus = 618\, uukm//uus $

Questa è la velocità con cui un oggetto dovrebbe lasciare la superfice del Sole per non farvi più ritorno, cioè uscire dal sistema solare.

24.6.4 Terza velocità cosmica - Velocità di fuga dal Sole
Prima di procedere sottolineiamo il fatto che le velocità cosmiche fanno riferimento ad un proiettile che viene sparato e quindi dopo la partenza non c'è più nessuna propulsione ed esso procede per inerzia in moto dettobalistico . Naturalmente se il proiettile è un'astronave che può accendere con continuità i motori allora essa si può allontanare dal pianeta a qualsiasi velocità, cioè sia inferiore che superiore alla seconda velocità cosmica, è sufficiente che la spinta dei motori sia superiore al peso dell'astronave nel posto in cui essa si trova.

Indichiamo con letteramaiuscola le velocità relative al Sole e con letteraminuscola quelle relative alla Terra.

Sappiamo che la velocità con cui la Terra orbita intorno al Sole in orbita praticamente circolare vale $V_1 = 29.77\, uukm//uus$. Questa per definizione è la prima velocità cosmica di un oggetto che ruota intorno al Sole ad una distanza di una unità astronomica cioè di 149.6 milioni di chilometri da esso.

Possiamo ricavare $V_1$ anche in altro modo

$V_{1}=\sqrt{\frac{GM_{s}}{d}}=\sqrt{\frac{(6.67259\cdot 10^{-11})\cdot (1.99\cdot 10^{30})}{149600\cdot 10^{6}}}= 2.\, 979\times 10^{4}\unit{m}/\unit{s}$

La seconda velocità cosmica cioè quella di fuga dal sistema Solare misurata rispetto al Sole:

$V_2 = V_1 sqrt(2)=29.77sqrt(2) = 42.10\, uukm//uus$

e se non viene raggiunta il proiettile (l'astronave) è sí fuggito dalla Terra ma non dal Sole quindi rimane in una qualche orbita ellittica intorno al Sole potendo anche finire col caderci.

Di conseguenza è sufficiente aumentare la velocità del proiettile relativamente alla Terra di (velocità di Hill):

$v_H = V_2-V_1 =42.10-29.77=12.33\, uukm//uus$

per far sí che esso raggiunga la velocità di fuga dal sistema solare fermandosi a distanza infinita dal Sole (e dalla Terra).

In altre parole se non esistesse il campo gravitazionale terrrestre sarebbe sufficiente sparare dalla Terra il proiettile alla velocità $v_H$. In realtà è necessario sparare il proiettile ad una velocità maggiore, $v_3$, perché si deve liberare anche dell'attrazione terrestre.

ll proiettile man mano che si allontana dalla Terra perde velocità perché attratto dalla Terra stessa e dal Sole. A distanza abbastanza grande dalla Terra (il raggio di Hill per la Terra è di circa 0.01 ua) l'energia potenziale gravitazionale terrestre si è ridotta quasi a zero (cioè la forza di attrazione gravitazionale terrestre è trascurabile) e la velocità rispetto alla Terra si è ridotta da $v_3$ incognita a $v_H=12.33\, uukm//uus$. Il proiettile va sempre rallentando e teoricamente si ferma a distanza infinita dal Sole (e dalla Terra).

Per trovare $v_3$ applicando il teorema di conservazione dell'energia meccanica

$E_m = 1/2 m v_3^2 -G(Mm)/r = 1/2 m v_H^2$

da cui $ v_3^2 = v_H^2 + 2GM//r $ e ricordando che $ v_2^2 = 2GM//r $ si ha che la minima velocità di lancio necessaria per lasciare il sistema solare partendo dalla Terra è

$v_3=sqrt(v_H^2 + v_2^2) = sqrt( 12.33^2 + 11.2^2) = 16.66\, uukm//uus $

Se il proiettile viene sparato in direzione opposta otteniamo

$v_H = V_2+V_1 = 42.10+29.77=71.87\, uukm//uus$

quindi la minima velocità di partenza diventa

$v_3=sqrt(v_H^2 + v_2^2) = sqrt( 71.87^2 + 11.2^2) = 72.74\, uukm//uus $

Possiamo generalizzare il risultato indicando con $theta$ l'angolo tra i vettori $V_1$ e $V_2$ ed applicando il teorema di Carnot al relativo triangolo troviamo che l'intensità vale:

$v_H = sqrt( V_1^2 + V_2^2 - 2 V_1 V_2 cos(theta) )$

Con $theta=0$ otteniamo il valore minimo di $v_H = V_2 - V_1$ e con $theta=pi$ il valore massimo $v_H = V_2 + V_1$.

Velocità cosmiche
rispetto alla Terra

$v_1 approx 7.9\, uukm//uus$
Orbita radente

$v_2 approx 11.2\, uukm//uus$
Fuga dalla Terra

$v_3 approx 16.66\, uukm//uus$
Fuga dal Sole

24.6.5 Il buco nero - Raggio di Schwarzschild
Indichiamo con $c=300\,000\, uukm//uus$ la velocità della luce che è la massima raggiungibile. Quando la velocità di fuga da un corpo celeste raggiunge o supera la velocità della luce tutti i corpi, compresa la luce, non possono più lasciare il corpo celeste che quindi prende il nome di buco nero .

Calcoliamo il raggio massimo $r$ che una massa $M$ deve avere per essere un buco nero.

Si deve verificare che la velocità di fuga sia maggiore o uguale alla velocità della luce, cioè

$\sqrt{\frac{2GM}{r}}\geq c$

da cui (Raggio diSchwarzschild astronomo tedesco 1873-1916)

$r\leq \frac{2GM}{c^{2}}$

Esempio 24.33 Calcolare il raggio massimo che dovrebbero avere il Sole, la Terra e la Luna per diventare dei buchi neri

$c=300\,000\,000\, uum//uus$

Sole

Il sole ha una massa $M=1.99 \times 10^{30}\, uukg$ ed raggio dovrebbe diminuire da $696\,000 \, uukm$ a

$r=(2GM)/c^2= 2950\, uum approx 3\, uukm$

Terra

Ia Terra ha una massa $M=5.99\times 10^{24}\, uukg$ ed raggio dovrebbe diminuire da $6378\, uukm$ a

$r=(2GM)/c^2= 8.9*10^(-3)\, uum approx 8.9\, uumm$

Luna

Ia Luna ha una massa $M=6.7\times 10^{22}\, uukg$ ed raggio dovrebbe diminuire da $1737\, uukm$ a

$r=(2GM)/c^2= 1*10^(-4)\, uum approx 0.1\, uumm$

© Prof.ssa Anna Pellegrini - Ing. Luciano Pirri

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