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el uso y aplicaciones en la ingeniería de las distribuciones de probabilidad. 

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el uso y aplicaciones en la ingeniería de las distribuciones de probabilidad. 

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Distribuciones de variable
discreta.
[Se denomina distribución de variable
discreta a aquella cuya función de probabilidad
sólo toma valores positivos en un conjunto de valores
de finito o infinito numerable.
A dicha función se le llama función de masa de
probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad
es la suma de la función de masa, por lo que tenemos
entonces que:]

Y, tal como corresponde a la definición de
distribución de probabilidad, esta expresión
representa la suma de todas las probabilidades
desde hasta el
valor

Distribuciones de variable discreta más
importantes

Las distribuciones de variable discreta más
importantes son las siguientes:

Distribución binomial

Distribución binomial
negativa

Distribución
Poisson

Distribución
geométrica

Distribución
hipergeométrica

Distribución de
Bernoulli

Distribución Rademacher, que toma el
valor 1 con probabilidad ½ y el valor -1 con
probabilidad ½.

Distribución uniforme discreta, donde
todos los elementos de un conjunto finito son
equiprobables.

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4.3.3 Tipos de distribución de probabilidad.

Distribución binomial, distribución geométrica, distribución hipergeométrica, distribución Poisson.

4.3.3.1 Distribución binomial.

Los experimentos binomiales tienen un elemento de "dualidad". Es la que maneja la distribución de la probabilidad de obtener cierta cantidad de éxitos al realizar una cantidad de experimentos con probabilidad de éxito constante y con ensayos independientes.

Requisitos de una distribución binomial

1. El experimento debe tener un número fijo de ensayos.

2. Los ensayos deben ser independientes.

3. Todos los resultados de cada ensayo se deben poder clasificar en dos categorías.

4. Las probabilidades deben mantenerse constantes para cada ensayo.

4.3.3.1.1 Nomenclatura.

E y F (éxito y fracaso) denotan las dos posibles categorías de los resultados; p y q denotan las probabilidades de E y F, respectivamente.

P(E) = p
P(F) = 1 - p = q
P(X) = n! / (n-x)!x! p x q n-x o
P(x) = n C x p x q n-x

Donde:
n = número de ensayos
x = número de éxitos en n ensayos
p = probabilidad de éxito en cualquier ensayo
q = probabilidad de fracaso en cualquier ensayo ( q = 1- p)

Ejemplo:
1. Dado que 10% de la gente es zurda, suponga que nos interesa conocer la probabilidad de obtener exactamente 3 estudiantes zurdos en un grupo de 15.
a) ¿Es éste un experimento binomial?
b) Si se trata de un experimento binomial, identifica los valores n, x, p y q.
c) Calcula la probabilidad.

a)
1. Número de ensayos fijo: 15.
2. Los ensayos son independientes. No afecta la probabilidad, sea diestro o zurdo.
3. Tiene dos categorías: es zurdo o no lo es.
4. La probabilidad 0.10 es constante para los distintos estudiantes.

b)
n = 15
x = 3 éxitos
p = 0.1 probabilidad de tener un zurdo.
q = 1 - 0.1 = 0.9
P(x) = n! / (n-x)!x! p x q n-x = 15! / (15-3)! 3! (0.1) ³ (0.9) ¹⁵⁻³ = 0.129
La probabilidad de que exactamente 3 de los 15 estudiantes sean zurdos es de 0.129.

4.3.3.2 Distribución geométrica.
Es la distribución de la probabilidad de realizar cierto número de experimentos antes de obtener un éxito.

4.3.3.2.1 Nomenclatura.
P( x) = p q x-1 para x = 1, 2, 3, 4,...
x = número de pruebas hasta que se observa el primer éxito.
p = probabilidad de éxito.
q = 1 - p = probabilidad de fracaso.

Ejemplo:
1. Un fabricante utiliza fusibles eléctricos en un sistema electrónico. Los fusibles se compran en lotes grandes y se prueban secuencialmente hasta que se observa el primer fusible defectuoso. Suponga que el lote contiene 10% de fusibles defectuosos.

a) ¿Qué probabilidad hay de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros 5 fusibles probados?

p = 0.1 (probabilidad de que un solo fusible sea defectuoso).
q = 1 - p = 0.9
P( x < o igual 5) = p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5)
= (0.1)(0.9) ¹⁻¹ + (0.1)(0.9) ²⁻¹ + (0.1)(0.9) ³⁻¹ + (0.1)(0.9) ⁴⁻¹ + (0.1)(0.9) ⁵⁻¹ = 0.41

La probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros cinco fusibles es de 0.41.

4.3.3.3 Distribución hipergeométrica.

Es similar a la binomial, pero con un tamaño de muestra grande en relación con el tamaño de la población.

Características

1. El experimento consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de un conjunto de N elementos, r de los cuales son S (éxitos) y ( N-r) de los cuales son F (fracasos).

2. El tamaño de la muestra n es grande en comparación con el número N de elementos de la población, es decir, n/N > 0.05.

3. La variable aleatoria hipergeométrica x es el número de resultados S en la muestra de n elementos.

4.3.3.3.1 Nomenclatura.

P( x) = {[ r! / x! ( r-x)!] [( N-r) / ( N-r-n+ x)!( n-x)!] } / { N! / n! ( N-n)!}

donde:

N = número total de elementos.
r = número de éxitos, en los N elementos.
n = número de elementos extraídos.
x = número de éxitos en los n elementos.

Ejemplo:
1. Se realiza un experimento para seleccionar un catalizador apropiado para la producción comercial de etillendiamina (EDA), un producto que se utiliza en jabones. Suponga que un ingeniero químico selecciona al azar tres catalizadores para probarlos de entre un grupo de 10 catalizadores, seis de los cuales tienen baja acidez y cuatro son muy ácidos.

a) Calcula la probabilidad de que no se escogiera un catalizador muy ácido.

b) Calcula la probabilidad de que se escoja exactamente un catalizador muy ácido.

N = 10
n = 3
r = 4

a) Para x = 0
P(0) = {[4! / 0!(4-0)!][(10-4)! / (10-4-3 +0)!(3-0)!] } / {10!/ 3!(10-3)!}
P(0) = 20 / 120 = 1/6
La probabilidad de no escoger un catalizador muy ácido es de 1/6.
b) Para x = 1
P(1) = {[4! / 1!(4-1)!][(10-4)! / (10-4-3 +1)!(3-1)!] } / {10!/ 3!(10-3)!}
P(1) = 60 /120 = 1/2

La probabilidad de escoger un catalizador muy ácido es de 1/2.

4.3.3.4 Distribución de Poisson.

Es la distribución de probabilidad de que aplica a ocurrencias de algún evento dentro de un intervalo especificado. La variable aleatoria x es el número de ocurrencias del evento en un intervalo. El intervalo puede ser tiempo, distancia, área, volumen o alguna unidad similar.

Requisitos:

1. La variable aleatoria x es el número de ocurrencias de un evento durante cierto intervalo.
2. Las ocurrencias deben ser aleatorias.
3. Las ocurrencias deben ser independientes.
4. Las ocurrencias deben estar uniformemente distribuidas dentro del intervalo empleado.

4.3.3.4.1 Nomenclatura.

P( x) = ( M x e -M) / x!
P( x) = La probabilidad de que el suceso ocurra x veces dentro del intervalo.
M = media
e = logaritmo neperiano = 2.71828.
x = variable aleatoria.

Ejemplo:

1. Al analizar los blancos de las bombas a reacción no guiadas V1 durante la 2a Guerra Mundial, el sur de Londres se subdividió en 576 regiones, cada una con una área de 0.25 km2. En total, 535 bombas cayeron en el área combinada de las 576 regiones. Si se selecciona al azar una región, calcule la probabilidad de que haya sido blanco de exactamente dos bombas.

M = 535 / 576 = 0.929 (número de bombas caídas por región medio).
x = 2
P(2) = (o.929) ² (2.71828)-0.929 / 2! = 0.170
P(2) = 0.170
La probabilidad de que caigan dos bombas en una región de Londres es de 17%.

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Tema 4.3.3 Tipos de distribución de probabilidad - Metodología Estadística - Instituto Consorcio Clavijero

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4.3.3 Tipos de distribución de probabilidad.

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*Distribución Binomial

Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

*Función de densidad:

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada

Rango de una variable aleatoria

Se llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, a la imagen o rango de la función , es decir, al conjunto de los valores reales que ésta puede tomar, según la aplicación X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es el recorrido de la función por la que ésta queda definida.