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In un centro sociosanitario, il direttore deve organizzare i turni di due tipi di personale: infermieri e operatori socio-sanitari (OSS). Le risorse disponibili e le necessità di assistenza richiedono di rispettare due condizioni che possono essere modellate con un sistema lineare.

https://www.youtube.com/watch?v=oSuclnxECWM

Situazione di partenza:

1. Il numero totale di ore lavorative richieste per ogni giorno è 80 ore (somma delle ore lavorate da infermieri e OSS).

2. Il budget giornaliero disponibile per pagare gli stipendi è 720 euro, sapendo che:

- Gli infermieri guadagnano 12 euro/ora.

- Gli OSS guadagnano 8 euro/ora.

L’obiettivo è calcolare quante ore devono lavorare gli infermieri e gli OSS per soddisfare entrambe le condizioni.

La situazione può essere rappresentata con un sistema lineare.

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Turni, orario e straordinari. Tutto quello che c’è da sapere dal Ccnl Sanità 2019-2021

# data[].attributes.attachment_link.description
Orario di lavoro, straordinario, riposo 11 ore e tempo divisa. Una guida completa sul CCNL Sanità 2019-2021 per sapere tutto sull’orario di lavoro del dipendente pubblico.

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Compito per gli studenti:

1. Formulazione del sistema lineare

Gli studenti devono tradurre il problema in un sistema di equazioni.

Se indichiamo con:

- x : ore lavorate dagli infermieri

- y : ore lavorate dagli OSS

il sistema diventa:

x+y = 80 condizione sul totale ore

12x + 8y = 720 condizione sul budget giornaliero

Soluzione grafica con Geogebra

https://www.geogebra.org/calculator/zywubxtf

X=20

y=60

La soluzione è: gli infermieri lavorano 20 ore e gli OSS lavorano 60 ore.

# data[].attributes.body
Gli studenti discutono il significato della soluzione nel contesto reale:

La distribuzione delle ore soddisfa sia il fabbisogno lavorativo sia il limite di budget.

Gli infermieri, essendo più qualificati e costosi, coprono meno ore rispetto agli OSS, che completano la maggior parte del turno.

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Due farmaci per il diabete hanno effetti lineari sull'efficacia di un trattamento. Gli studenti analizzano il punto in cui i due trattamenti risultano equivalenti impostando un sistema di equazioni lineari in due incognite.

Situazione di partenza

Due pazienti diabetici stanno monitorando i livelli di glicemia dopo un pasto per valutare la risposta ai farmaci. La glicemia è misurata ogni ora per 6 ore, e l'andamento è rappresentato graficamente con due rette, una per ciascun paziente.

- Per il paziente A, il farmaco stabilizza la glicemia più rapidamente.

- Per il paziente B, la glicemia diminuisce più lentamente.

I dati raccolti sono descritti con due equazioni lineari:

1. Paziente A: y = -3x + 150

2. Paziente B: y = -2x + 140

dove

x è il tempo (in ore)

y è la glicemia (in mg/dL).

Gli studenti devono analizzare il tasso di variazione della glicemia (pendenza) e determinare il momento in cui i livelli di glicemia dei due pazienti coincidono (punto di intersezione delle rette).

# data[].attributes.attachment_link.title
Valori glicemia: quali sono i livelli normali e quando va misurata la glicemia

# data[].attributes.body
Compito per gli studenti:

1. Formulazione del sistema lineare e rappresentazione delle rette

Gli studenti devono tradurre il problema in un sistema di equazioni.

Se indichiamo con:

- x : tempo ( in ore)

- y : glicemia (in mg/dL)

Ogni retta rappresenta l'andamento della glicemia di un paziente e il sistema diventa:

y = -3x + 150  Paziente A

y = -2x + 140  Paziente B

Soluzione grafica con Geogebra

https://www.geogebra.org/calculator/zywubxtf

X=10

y=120

La soluzione è: a 10 ore dalla somministrazione del farmaco, i livelli di glicemia dei due pazienti coincidono a 120 mg/dL.

# data[].attributes.body
Gli studenti risolvono il sistema utilizzando uno dei metodi noti (sostituzione, confronto o riduzione):

1. Da

y = -3x + 150

y = -2x + 140

2.Uguagliando le equazioni:

-3x + 150 = -2x + 140

3.Risolvendo:

-3x + 2x = 140 - 150

ovvero: x = 10

4.Sostituendo x = 10 in una delle equazioni:

y = -3(10) + 150 = 120.

Il punto di intersezione è (10, 120) .

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SISTEMI LINEARI metodo di CONFRONTO - la matematica che ci piace, matematica liceo scientifico

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Un team di operatori sociosanitari studia l'effetto dell’attività fisica regolare sulla frequenza cardiaca a riposo analizzando due gruppi di pazienti e modellando le relazioni con un sistema.

Situazione di partenza

1. Gruppo A: pazienti sedentari.

2. Gruppo B: pazienti che praticano attività fisica regolare.

Le relazioni tra l'età dei pazienti x e la frequenza cardiaca a riposo y vengono rappresentate graficamente:

Per il gruppo A, la relazione è descritta dalla retta:

y = -0.5x + 90

Per il gruppo B, la relazione è descritta dalla retta:

y = 2x + 40

Gli studenti analizzano la condizione di perpendicolarità e il punto di intersezione fra le 2 rette.

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5 Modi per Abbassare subito la Frequenza Cardiaca

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1. Studio della perpendicolarità

- Gli studenti calcolano le pendenze delle due rette:

- Per il gruppo A la pendenza è m_1 = -0.5 .

- Per il gruppo B la pendenza è m_2 = 2 .

- Gli studenti verificano la condizione di perpendicolarità:

m_1 m_2 = (-0.5) * 2 = -1

Questo conferma che le due rette sono perpendicolari, indicando una relazione inversa tra i due gruppi.

2. Rappresentazione grafica

- Gli studenti tracciano le due rette in un piano cartesiano:

Asse x: età dei pazienti (in anni).

Asse y: frequenza cardiaca a riposo (in battiti al minuto).

Il punto di intersezione è (20, 80) .

Soluzione con Geogebra

https://www.geogebra.org/calculator/zywubxtf

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Gli studenti risolvono il sistema con il metodo del confronto.

Calcolo del punto di intersezione

Gli studenti determinano il punto di intersezione risolvendo il sistema lineare:

y = -0.5x + 90

y = 2x + 40

Uguagliando le due equazioni:

-0.5x + 90 = 2x + 40

Risolvendo:

-0.5x - 2x = 40 - 90

ovvero x = 20

Sostituendo x = 20 in una delle equazioni:

y = 2(20) + 40 = 80

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Le rette si intersecano, formando un angolo retto, evidenziando come i due gruppi presentino andamenti opposti tra età e frequenza cardiaca.

A 20 anni, entrambi i gruppi presentano una frequenza cardiaca a riposo di 80 battiti al minuto.

Questo rappresenta un'età in cui l’effetto dell’attività fisica regolare inizia a distinguersi in modo significativo, con il gruppo B che mantiene una frequenza cardiaca più bassa rispetto al gruppo A in età avanzata.

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Calcolo della Frequenza Cardiaca max e uso del Cardiofrequenzimetro e  zone cardio

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Gli studenti risolvono il sistema utilizzando uno dei metodi noti (sostituzione, confronto o riduzione):

1. Da x + y = 80 ricavano y = 80 - x .

2. Sostituiscono y = 80 - x nella seconda equazione:

12x + 8(80 - x) = 720.

Risolvendo:

12x + 640 - 8x = 720

4x = 80

x = 20.

Poi sostituiscono x = 20 nella prima equazione:

20 + y = 80

y = 60.

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Sistemi Lineari : Metodo di Sostituzione e Metodo di Riduzione

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Interpretazione della soluzione se il budget diminuisce

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Interpretazione della soluzione se il budget diminuisce

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Estensione del problema

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema:

- Cosa succede se il budget diminuisce?

Se il budget giornaliero diminuisce (680 euro) a parità di ore il punto di intersezione sarà (10,70) ovvero gli infermieri lavorano 10 ore e gli OSS 70 ore ( gli OSS hanno paga oraria inferiore)

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Gli studenti leggendo il significato di ciascun termine nelle equazioni seguenti traggono le dovute conclusioni:

1. Paziente A: y = -3x + 150

2. Paziente B: y = -2x + 140

Le pendenze -3 e -2 rappresentano la velocità con cui la glicemia diminuisce nel tempo.

Le intercette 150 e 140 indica il livello iniziale di glicemia al tempo x = 0.

Intersezione: A 10 ore dalla somministrazione del farmaco, i livelli di glicemia dei due pazienti coincidono a 120 mg/dL.

Il farmaco del paziente A agisce più rapidamente, ma entrambi i pazienti raggiungono un livello simile dopo 10 ore.

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Problem solving e psicologia: 8 step per risolvere i problemi ed essere efficaci

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Interpretazione della soluzione se il budget aumenta

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Interpretazione della soluzione se il budget aumenta

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Estensione del problema

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema:

- Cosa succede se il budget aumenta?

Se il budget giornaliero aumenta (780 euro) a parità di ore il punto di intersezione sarà (35,45) ovvero gli infermieri lavorano 35 ore e gli OSS 45 ore ( sempre gli OSS lavorano un numero di ore maggiori).

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Interpretazione della soluzione se il numero totale di ore richieste cambia

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Interpretazione della soluzione se il numero totale di ore richieste cambia

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Estensione del problema

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema:

- Cosa accade se il numero totale di ore richieste cambia?

Se le ore richieste diminuiscono a 65, allora la soluzione sarà:

gli infermieri lavorano 50 ore e gli OSS 15 ore (con un budget di 720 euro giornaliero).

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Interpretazione della soluzione se il costo orario cambia

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Interpretazione della soluzione se il costo orario cambia

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Estensione del problema

Gli studenti possono analizzare altre varianti del problema:

- Qual è la soluzione ottimale se il costo orario cambia?

Nell'ipotesi in cui il costo orario diminuisce e precisamente :

Infermieri 11euro/ora

OSS 7 euro/ora

Il punto di intersezione sarebbe (40,40) ovvero lavorerebbero un numero uguale di ore.