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-Walter Alonso Rivera Gaitan

-Janeth Martinez Rodriguez

|`•_•`|-Eddy

Tutor:

ing. ludwing lanzas

fecha:

08/08/2025

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1. Introducción – pág.3

2. Objetivos – pág. 4

3. Desarrollo – pág. 5

3.1 Definición y Propiedades – pág. 6

3.1.2 Area de figuras con producto Cruz.7

3.2 Área y Volumen del Producto Cruz – pág. 8

3.2.1 Volumen Paralelipedo–. 9

3.3 Posición relativa entre rectas – pág. 10

3.4 Distancias entre Puntos, Rectas y Planos– pág. 11

3.5 Distancia punto Plano– pág. 12

3.5.1 Distancia punto Recta– pag 13

1.5.2 Distancia Recta Recta–pag 14

4. Conclusiones – pág. 15

5. Recomendaciones – pág. 16

6. Bibliografía – pág. 17

7. Anexos – pág. 18

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El estudio del producto cruz, también conocido como producto vectorial, es fundamental en el álgebra vectorial y la geometría tridimensional. Se utiliza para determinar vectores perpendiculares, calcular áreas, volúmenes y resolver problemas relacionados con la posición de rectas y planos.

Este trabajo presenta la definición y propiedades del producto cruz, su relación con el cálculo de áreas y volúmenes, la formulación de ecuaciones de plano y la determinación de distancias. El enfoque se apoya en ejemplos prácticos y representaciones gráficas para facilitar la comprensión.

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Objetivo General:

Analizar y aplicar el concepto de producto cruz para la resolución de problemas geométricos y vectoriales en el espacio tridimensional.

Objetivos Específicos:

1. Explicar la definición y propiedades del producto cruz.

2. Calcular áreas y volúmenes mediante el producto cruz y el producto mixto.

3. Determinar ecuaciones de planos usando vectores normales.

4. Estudiar la posición relativa entre rectas y planos.

5. Calcular distancias entre puntos, rectas y planos.

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3.1 Definición y Propiedades

El producto cruz entre dos vectores y en se define como un vector perpendicular a ambos:

Donde:

a y b son las magnitudes.

0 es el ángulo entre los vectores.

ñ es el vector unitario perpendicular a a y b.

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4. Dependencia del ángulo:

La magnitud del producto cruz depende del seno del ángulo entre los vectores

(Ejemplo con determinante y representación gráfica)

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Área del paralelogramo:

El área de un paralelogramo se calcula multiplicando la longitud de su base por su altura. La fórmula es A = b * h, donde "A" es el área, "b" es la longitud de la base y "h" es la altura. La altura es la distancia perpendicular desde la base hasta el lado opuesto.

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3.3 Ecuaciones de Plano

Las ecuaciones de un plano en el espacio tridimensional pueden expresarse de varias formas: vectorial, paramétrica, general (o implícita), y canónica (o segmentaria). Cada una de estas formas proporciona una descripción diferente del plano, pero todas representan el mismo objeto geométrico.

Ecuación general:

ax + by + cz = d

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El volumen de un paralelepípedo es la medida del espacio tridimensional que ocupa. Se puede calcular multiplicando el área de una de sus caras por la altura perpendicular a esa cara. En términos de vectores, el volumen de un paralelepípedo formado por tres vectores a, b y c es el valor absoluto de su producto mixto: |a ⋅ (b x c)|.

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1. Coincidentes

Las rectas son exactamente la misma.

Todos sus puntos se superponen.

Criterio: Tienen el mismo vector director y un punto en común.

2. Paralelas

Las rectas nunca se cruzan y tienen la misma dirección.

Criterio: Vectores directores proporcionales (), pero no comparten puntos.

3. Secantes

Las rectas se cruzan en un solo punto.

Criterio: No son paralelas y existe un punto donde se cumple el sistema de ecuaciones de ambas rectas.

4. Alabeadas

Las rectas no se cruzan y no son paralelas.

Están en planos distintos.

Criterio: Vectores directores no proporcionales y no existe un punto en común.

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Distancias entre Puntos, Rectas y Planos

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Distancias entre Puntos, Rectas y Planos

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La distancia entre dos puntos es simplemente la longitud del segmento que los une. Para calcular la distancia entre un punto y una recta, se traza una perpendicular desde el punto a la recta, y la longitud de ese segmento es la distancia. La distancia entre un punto y un plano se calcula trazando una perpendicular desde el punto al plano, y la longitud de ese segmento es la distancia. Si una recta está contenida en un plano o se interseca con él, la distancia entre ellos es cero. Si la recta es paralela al plano, la distancia se calcula tomando un punto de la recta y hallando su distancia al plano.

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La distancia de un punto a un plano, en matemáticas, es la longitud del segmento perpendicular que une el punto con el plano. En otras palabras, es la menor distancia entre un punto dado y cualquier punto dentro del plano.

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La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular que une el punto con la recta. Es la menor distancia posible entre el punto y cualquier punto de la recta.

Para calcular esta distancia, se puede utilizar la siguiente fórmula, donde la recta se expresa en su forma general (Ax + By + C = 0) y el punto tiene coordenadas (x₀, y₀):

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La distancia recta se refiere a la longitud del camino más corto entre dos puntos, que siempre sigue una línea recta. En otras palabras, es la medida de la línea recta que conecta dos puntos dados.

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El producto cruz es una herramienta esencial en geometría tridimensional, permitiendo resolver problemas de perpendicularidad, cálculo de áreas y volúmenes, y relaciones espaciales entre rectas y planos. Su comprensión facilita el análisis vectorial y su aplicación en ingeniería, física y matemáticas aplicadas.

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Practicar ejercicios con diferentes orientaciones espaciales.

Usar software de geometría 3D para visualizar vectores.

Aplicar el producto cruz en problemas reales como diseño arquitectónico o ingeniería mecánica.

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Stewart, J. (2020). Cálculo de varias variables. Cengage Learning.

Lay, D. C. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones. Pearson.

Khan Academy. (2025). Producto vectorial.https://es.khanacademy.org/math

Larson, R., & Edwards, B. (2019). Cálculo multivariable. McGraw-Hill.

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