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Victoria del Río Méndez (Matesdeplastilina)

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Profesora de Matemáticas de ESO y BACHILLERATO en el IES Los Valles de Camarzana de Tera (Zamora)

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Unidad Didáctica

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EJERCICIOS INTERACTIVOS

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Ejercicios interactivos de tipos de sucesos

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Con los ejercicios interactivos de Superprof aprenderás a distinguir los diferentes tipos de sucesos.

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EJERCICIOS INTERACTIVOS

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Ejercicios interactivos de propiedades de la probabilidad

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Con los ejercicios interactivos de Superprof, aprenderás a resolver problemas de probabilidad.

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EJERCICIOS INTERACTIVOS

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Contesta a las siguientes preguntas, redondeando a dos cifras decimales siempre que sea necesario:

1Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga:

3De una urna que contiene bolas blancas y negras, se extraen bolas al azar, con reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que:

Las dos sean negras.

Las dos sean negras

Una blanca y una negra

4De una urna que contiene bolas blancas y negras, se extraen dos bolas al azar, sin reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que:

Las dos sean negras

Las dos sean negras

Una blanca y una negra

5Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

La probabilidad de que la suma sea .

La probabilidad de que la suma sea .

La suma sea

La suma sea

6De una baraja de cartas se extrae simultáneamente de ellas. Calcular la probabilidad de que:

Marta

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Ejercicios interactivos de ley de Laplace

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Contesta a las siguientes preguntas, redondeando a dos cifras decimales siempre que sea necesario: 1Calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga: 3De una urna que contiene bolas blancas y negras, se extraen bolas al azar, con reemplazamiento. Calcular la probabilidad de que: Las dos sean negras.

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS

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Sean y dos sucesos aleatorios con

Hallar:

1

2

3

4

5

6

7

Solución

Sean y dos sucesos aleatorios con

Hallar:

1

Los sucesos son compatibles porque la intersección es distinta del vacío, , dado que su probabilidad no es nula. Por lo tanto

2

Las probabilidad del suceso contrario de A es igual a 1 (probabilidad total)
menos la probabilidad de A

3

La probabilidad del suceso contrario de B es igual a 1 menos la probabilidad de B

4

Aplicamos las leyes de Morgan y después la probabilidad del suceso contrario

5

Aplicamos las leyes de Morgan y después la probabilidad del suceso contrario

6

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos:
p(A - B) = p(A ∩ B) = p(A) - p(A ∩ B)

7

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos:

Hallar:

1
2
3
4

Sean A y B dos sucesos aleatorios con:

Hallar:

1

Obtenemos P(A) por medio de la probabilidad del suceso contrario

2

A y B son sucesos compatibles porque su intersección es , entonces:

Aplicamos la probabilidad de la unión de sucesos compatibles

3

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos:
p(A - B) = p(A ∩ B) = p(A) - p(A ∩ B)

4

Aplicamos la probabilidad de la diferencia de sucesos

3 Sea amarilla.

4 No sea roja.

5 No sea amarilla.

Casos favorables: 8

Casos favorables: 7

Casos posibles : 20

3 Sea amarilla.

Casos favorables: 5

Casos posibles : 20

4 No sea roja.

Casos posibles : 20

P(no roja) = = 0.6

5 No sea amarilla.

2 Sin reemplazamiento.

Una urna contiene tres bolas rojas y siete blancas. Se extraen dos bolas al azar.
Escribir el espacio muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:

1 Con reemplazamiento.
La extracción de dos bolas con reemplazamiento son sucesos independientes, puesto que la extracción de la primera bola no tiene ningún efecto sobre la segunda

2 Sin reemplazamiento.

La extracción de dos bolas sin reemplazamiento son sucesos dependientes, puesto que la extracción de la primera bola afecta a la segunda, cambiando el número de casos favorables (3 - 1 = 2) y también al de los casos posibles (10 - 1 = 9)

2 Sea mujer morena.

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1 La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
Llamemos p a la probabilidad, como es proporcional a los números de los dados tendremos: p, 2p, 3p,... y cuya suma es p(E) = 1

Resolvemos la ecuación

2 La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

La probabilidad de los tres sucesos que son incompatibles será:

Sustituimos el valor de p:

1 Sea hombre.
Casos favorables: 5 + 10

Casos posibles : 10 + 20 + 5 + 10 = 45

2 Sea mujer morena.

Casos favorables: 20

Casos posibles : 45

3 Sea hombre o mujer.

La suma de hombres y mujeres equivale al suceso seguro (E) cuya probabilidad es 1

3 Sea hombre o mujer.

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1 La probabilidad de que salga el 7.

Casos favorables: 6

Casos posibles : Variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2.

VR 6,2 = 6² = 36

2 La probabilidad de que el número obtenido sea par.

Casos posibles : Variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 2 en 2.

VR 6,2 = 6² = 36

Casos favorables: Suman par, la mitad de los casos posibles.

3 La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres

Casos favorables: 12

Casos posibles : VR 6,2 = 6² = 36

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1 Salga 6 en todos.

Son sucesos independientes, el resultado de un dado no afecta a los otros

2 Los puntos obtenidos sumen 7.

Casos favorables: 15

Casos posibles : Variaciones con repetición de 6 elementos tomados de 3 en 3.

VR 6,3 = 6³ = 216

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

Vemos que son sucesos compatibles porque (6,6) es común, por tanto A ∩ B ≠ ∅

2 Un múltiplo de tres.

3 Mayor que cuatro.

Busca la probabilidad de que al echar un dado al aire, salga:

1 Un número par.

Casos favorables: 3 (2, 4, 6)

Casos posibles : 6

2 Un múltiplo de tres.

Casos favorables: 2 (3, 6)

Casos posibles : 6

3 Mayor que cuatro.

Casos favorables: 2 (5, 6)

Casos posibles : 6

2 Dos cruces.

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1 Dos caras.

Son sucesos independientes

2 Dos cruces.

Son sucesos independientes

3 Una cara y una cruz.

La probabilidad de sacar una cara y una cruz sería la probabilidad de cx o de xc:

P(c ∩ x) ∪ P(x ∩ c)

Los estudiantes A y B tienen respectivamente probabilidades 1/2 y 1/5 de suspender un examen. La probabilidad de que suspendan el examen simultáneamente es de 1/10. Determinar la probabilidad de que al menos uno de los dos estudiantes suspenda el examen.

Son sucesos compatibles porque A ∩ B ≠∅

Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza, ¿cuál es la probabilidad de que la maten?

Son sucesos compatibles porque A ∩ B ≠∅

Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

Son sucesos compatibles

Si todavía necesitas ayuda, en Superprof te conseguimos las mejores clases de matematicas secundaria.

La probabilidad de que un hombre viva 20 años es ¼ y la de que su mujer viva 20 años es 1/3. Se pide calcular la probabilidad:

1 De que ambos vivan 20 años.

Son sucesos independientes

2 De que el hombre viva 20 años y su mujer no.

La diferencia de sucesos, H − M, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

3 De que ambos mueran antes de los 20 años.

No dudes en ponerte en contacto con nosotros, Superprof y aquí te ayudamos a encontrar tus clases particulares matematicas madrid.

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# data[].attributes.attachment_link.description
Sean y dos sucesos aleatorios con Hallar: 1 2 3 4 5 6 7 Solución Sean y dos sucesos aleatorios con Hallar: 1 Los sucesos son compatibles porque la intersección es distinta del vacío, , dado que su probabilidad no es nula.

# data[].attributes.attachment_link.title
Probabilidad LEY DE MORGAN BACHILLERATO selectividad

# data[].attributes.body
TEOREMA DE BAYES

# data[].attributes.attachment_link.title
Teorema de BAYES BACHILLERATO matematicas probabilidad total y condicionada

# data[].attributes.body
EBAU MADRID 2018

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS

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Ejercicios de probabilidad condicionada

1 Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

b

c

d

e

Solución

Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

Son sucesos dependientes

b

Son sucesos dependientes

c

Son sucesos compatibles

d

Son sucesos dependientes

En el numerador aplicamos las leyes de Morgan

En el denominador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

En el numerador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

e

Son sucesos dependientes

En el numerador aplicamos las leyes de Morgan

En el denominador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

En el numerador aplicamos la probabilidad del suceso contrario

2 Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

b

c

d

e

f

Solución

Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

Determinar:

a

Son sucesos dependientes

b

Son sucesos dependientes

c

Son sucesos compatibles

d

e

f

Problemas de probabilidad condicionada

3 En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el

de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El

de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el

.

Eligiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

Solución

En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el . Eligiendo un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

4 De una baraja de cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

a Las dos sean copas

b Al menos una sea copas

c Una sea copa y la otra espada

Solución

De una baraja de cartas se extrae simultáneamente dos de ellas.

Calcular la probabilidad de que:

a Las dos sean copas

Son sucesos dependientes

b Al menos una sea copas

c Una sea copa y la otra espada

Puede salir primero copa y después espada o primero espada y después copa

5 Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado

de los

temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo.

Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Solución

Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado de los temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

6 Una clase está formada por chicos y chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

Solución

Una clase está formada por chicos y chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

b ¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

7 Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde

c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos

d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana

Solución

Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores

b Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

c Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

d Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

8 Una clase consta de

niñas y

niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

a Seleccionar tres niños

b Seleccionar exactamente dos niños y una niña

c Seleccionar por lo menos un niño

d Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

Solución

Una clase consta de niñas y niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

a Seleccionar tres niños

b Seleccionar exactamente dos niños y una niña

c Seleccionar por lo menos un niño

d Seleccionar exactamente dos niñas y un niño

9 Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de

. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

Solución

Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de . Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

11 En una clase en la que todos practican algún deporte, el de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el practica ambos deportes. Si además hay un que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a Juegue sólo al fútbol
b Juegue sólo al baloncesto
c Practique uno solo de los deportes
d No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

Solución

En una clase en la que todos practican algún deporte, el de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el practica ambos deportes. Si además hay un que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

a Juegue sólo al fútbol

b Juegue sólo al baloncesto

c Practique uno solo de los deportes

d No juegue ni al fútbol ni al baloncesto

12 En una ciudad, el de la población tiene cabellos castaños, el tiene ojos castaños y el tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?
b Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?
c ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Solución

En una ciudad, el de la población tiene cabellos castaños, el tiene ojos castaños y el tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

a Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

b Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

c ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

13 En un aula hay

alumnos, de los cuales:

son hombres,

usan gafas, y

son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

a ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

b Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

14 Disponemos de dos urnas: la urna

contiene

bolas rojas y

bolas blancas, la urna

contiene

bolas rojas y

bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que

; nos vamos a la urna

; si el resultado es

ó más, nos vamos a la urna

. A continuación extraemos una bola. Se pide:

a Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna

b Probabilidad de que la bola sea blanca

18 En una casa hay tres llaveros y ; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

a ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?
b ¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?
c Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero ?

Solución

En una casa hay tres llaveros y ; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

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Ejercicios y problemas de probabilidad condicionada

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1 Sean y dos sucesos aleatorios con , , . Determinar: a b c d e Solución Sean y dos sucesos aleatorios con , , .

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EJERCICIOS RESUELTOS

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EJERCICIOS RESUELTOS EBAUs 2018

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EBAU 2017