# data[].attributes.attachment_link.title
11 клас  Геометрія  Конус.  Розв’язування задач  ЗНО (тема 39)

# data[].attributes.attachment_link.authors[].name
Підготовка до ЗНО

# data[].attributes.attachment_link.title
Конус. Геометрія 11 клас

# data[].attributes.headline
1. Усі утворюють пря

# data[].attributes.body
1. Усі утворюють прямого кругового конуса рівні між собою.
2. При обертанні прямокутного трикутника навколо свого катета на 360° утворюється прямий круговий конус.
3. При обертанні рівнобедреного трикутника навколо своєї осі на 180° утворюється прямий круговий конус.
4. У місці перетину конуса площиною, паралельною до основи конуса, утворюється коло. (Див. Зрізаний конус)
5. Якщо при перетині площина не паралельна основі конуса і не перетинається з основою, то в місці перетину утворюється еліпс
6. Якщо площина перерізу проходить через основу, то у місці перетину утворюється парабола.
7. Якщо площина перерізу проходить через вершину, то у місці перетину утворюється рівнобедрений трикутник (див. осьовий переріз).
8. Центр тяжкості будь-якого конуса знаходиться на четвертій висоти від центру основи.

# data[].attributes.headline
Основні властивості кругового конуса

# data[].attributes.subject
Основні властивості кругового конуса

# data[].attributes.headline
1. Рівняння прямого 

# data[].attributes.body
1. Рівняння прямого кругового конуса в системі декартової координат з координатами (x, y, z):

x²/a² +  y²/ a² - z²/ c2 = 0

2. Рівняння прямого еліптичного конуса в декартовій системі координат з координатами (x, y, z):

x² /a²+  y² / b² =  z²/c²

# data[].attributes.headline
Рівняння конуса

# data[].attributes.subject
Рівняння конуса

# data[].attributes.headline
Об'єм усіченого конуса:

# data[].attributes.subject
Об'єм усіченого конуса:

# data[].attributes.body
V = 1(S₂H - S₁h)/3

де S1 і S2 - площі меншої та більшої основи відповідно, а H і h - відстань від вершини конуса до центру нижньої та верхньої основи відповідно.

# data[].attributes.headline
Усічений конус - це частина конуса, яка знаходиться між основою конуса і площиною перерізу, паралельна основі.

# data[].attributes.subject
Усічений конус - це частина конуса, яка знаходиться між основою конуса і площиною перерізу, паралельна основі.

# data[].attributes.headline
Оскільки ΔPAO∼ΔPA1O1, тоді сторони їх пропорційні:

# data[].attributes.subject
Оскільки ΔPAO∼ΔPA1O1, тоді сторони їх пропорційні:

# data[].attributes.body
PA/PA1=R/r

(l+PA1)/PA1=R/r

r⋅(l+PA1)=R⋅PA1

rl=R⋅PA1−r⋅PA1

PA1⋅(R−r)=rl

PA1=(rl)/(R−r)

Таким чином, отримуємо формулу бічної поверхні зрізаного конуса, яка містить радіуси основ і твірну зрізаного конуса:

Sбіч.=πRl+π⋅PA1⋅(R−r)=((πRl+π⋅rl)/(R−r))⋅(R−r)

Sбіч.=πRl+πrl=πl⋅(R+r)

# data[].attributes.headline
Бічна поверхня визна

# data[].attributes.body
Бічна поверхня визначається, як різниця бічної поверхні даного конуса і відтятого конуса:

Sбіч.=πR⋅PA−πr⋅PA1=πR⋅(PA1+AA1)−πr⋅PA1=
=πR⋅PA1+πR⋅AA1−πr⋅PA1=
=πR⋅l+(πR−πr)⋅PA1

# data[].attributes.headline
OO1 — вісь конус

# data[].attributes.body
OO1 — вісь конуса і висота конуса.

AA1 — твірна конуса.

Кола з центрами O і O1 — основи зрізаного конуса.AO і A1O— радіуси основ конуса.

Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь OO1 конуса.

Осьовий переріз конуса — це рівнобедрена трапеція.
AA1B1B — осьовий переріз конуса.

# data[].attributes.headline
Також зрізаний конус

# data[].attributes.body
Також зрізаний конус можна розглядати, як тіло обертання, яке утворилося в результаті обертання прямокутної трапеції навколо бічної сторони (яка перпендикулярна до основи трапеції) або в результаті обертання рівнобедреної трапеції навколо висоти, проведеної через серединні точки основ трапеції.

# data[].attributes.headline
Якщо провест

# data[].attributes.body
Якщо провести переріз конуса площиною, перпендикулярною осі конуса, тоді ця площина розбиває конус на дві частини, одна з яких — конус, а іншу частину називають зрізаним конусом.

# data[].attributes.headline
Зрізаний конус

# data[].attributes.subject
Зрізаний конус

# data[].attributes.headline
Обсяг будь-якого конуса:

# data[].attributes.subject
Обсяг будь-якого конуса:

# data[].attributes.body
V = (1SH)/3
де S – площа основи, а H – висота конуса.

# data[].attributes.headline
Косий (похилий)

# data[].attributes.subject
Косий (похилий)

# data[].attributes.body
Конус - це конус у якого вісь не перпендикулярна основі. У такого конуса вісь не збігається з висотою.

# data[].attributes.headline
Загальна площа поверхні

# data[].attributes.subject
Загальна площа поверхні

# data[].attributes.body
(Sp) прямого кругового конуса через радіус R і довжину утворює L:
Sp = πRL + πR²

# data[].attributes.headline
Площа бічної поверхні

# data[].attributes.subject
Площа бічної поверхні

# data[].attributes.body
(Sb) прямого конуса через радіус R і довжину утворює L:
Sb = πRL

# data[].attributes.headline
Об'єм кругового конуса:

# data[].attributes.subject
Об'єм кругового конуса:

# data[].attributes.body
V =  (1πHR²)/3
де R – радіус основи, а H – висота конуса.

# data[].attributes.headline
Прямий конус - це конус, у якого вісь перпендикулярна основі. У такого конуса вісь збігається з висотою, а всі утворюють рівні між собою.

# data[].attributes.subject
Прямий конус - це конус, у якого вісь перпендикулярна основі. У такого конуса вісь збігається з висотою, а всі утворюють рівні між собою.

# data[].attributes.headline
Конус, що спирається на коло, еліпс, гіперболу або параболу, називається відповідно круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним конусом (останні два мають нескінченний обсяг).

# data[].attributes.subject
Конус, що спирається на коло, еліпс, гіперболу або параболу, називається відповідно круговим, еліптичним, гіперболічним або параболічним конусом (останні два мають нескінченний обсяг).

# data[].attributes.headline
Стосовна площина до конуса - це площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна до осьового перерізу конуса.

# data[].attributes.subject
Стосовна площина до конуса - це площина, що проходить через утворюючу конуса і перпендикулярна до осьового перерізу конуса.

# data[].attributes.headline
Осьовий переріз конуса - це переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені утворюючими, а основа трикутника – це діаметр основи конуса.

# data[].attributes.subject
Осьовий переріз конуса - це переріз конуса площиною, що проходить через вісь конуса. Такий переріз утворює рівнобедрений трикутник, у якого сторони утворені утворюючими, а основа трикутника – це діаметр основи конуса.

# data[].attributes.body
Конусність (С) конуса - це відношення діаметра основи конуса до його висоти. У випадку зрізаного конуса - це відношення різниці діаметрів поперечних перерізів D і d зрізаного конуса до відстані між ними:

C = D/Н      та    C = D - d/h
де C - конусність, D - діаметр основи, d - діаметр меншої основи і h - відстань між основами.

Конусність характеризує гостроту конуса, тобто кут нахилу, що утворює до основи конуса. Чим більша конусність, тим гостріший кут нахилу. кут конуса α буде:
α = (2arctgR)/H
де R – радіус основи, а H – висота конуса.

# data[].attributes.headline
Вісь конуса - це пряма, що проходить через вершину конуса та центр основи конуса.

# data[].attributes.subject
Вісь конуса - це пряма, що проходить через вершину конуса та центр основи конуса.

# data[].attributes.headline
Висота конуса (H) - це відрізок, який виходить із вершини конуса і перпендикулярний до його основи.

# data[].attributes.subject
Висота конуса (H) - це відрізок, який виходить із вершини конуса і перпендикулярний до його основи.

# data[].attributes.headline
Поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи конуса.

# data[].attributes.subject
Поверхня конуса складається з бічної поверхні та основи конуса.

# data[].attributes.headline
Бічна поверхня конуса - це сукупність всіх, що утворюють конуса. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом утворює по напрямній конусу.

# data[].attributes.subject
Бічна поверхня конуса - це сукупність всіх, що утворюють конуса. Тобто, поверхня, яка утворюється рухом утворює по напрямній конусу.

# data[].attributes.headline
Напрямна конуса - це крива, яка описує контур основи конуса.

# data[].attributes.subject
Напрямна конуса - це крива, яка описує контур основи конуса.

# data[].attributes.headline
Таким чином, бічна п

# data[].attributes.body
Таким чином, бічна поверхня конуса є частиною повного кола з радіусом l:

Sбіч.=πl²⋅α/360°

Довжина дуги також є частиною довжини повного кола з радіусом l, але в той же час довжина дуги — це довжина кола основи конуса з радіусом R.
Порівняємо вирази довжини дуги й виразимо
α через R:

2πl⋅α/360°=2πR
α=(2πR⋅360°)/2πl=(R⋅360°)/l

Отримуємо ще одну формулу бічної поверхні конуса, не використовується кут розгортки бічної поверхні:

Sбіч.=(πl2⋅R⋅360°)/(360°⋅l)=πRl

# data[].attributes.body
Радіус сектора — це твірна конуса.

# data[].attributes.headline
Розгорткою бічної по

# data[].attributes.body
Розгорткою бічної поверхні конуса є круговий сектор. Довжина дуги сектора — це довжина кола основи конуса довжиною

2πR, кут розгортки бічної поверхні α.

У конусі не можна позначити кут розгортки.
На розгортці конуса не можна позначити висоту й радіус конуса.

# data[].attributes.body
Трикутник
POA обертається навколо сторони PO.

PO — вісь конуса і висота конуса.

P — вершина конуса.

PA — твірна конуса.
Коло з центром
O — основа конуса.

AO — радіус основи конуса.
Осьовий переріз конуса — це переріз конуса площиною, яка проходить через вісь
PO конуса.
Осьовий переріз конуса — це трикутник.

APB — осьовий переріз конуса.

∡PAO=∡PBO — кути між твірними і основою конуса.

# data[].attributes.headline
КОНУС — тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.

# data[].attributes.subject
КОНУС — тіло обертання, утворене в результаті обертання прямокутного трикутника навколо його катета.