# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Capítulo 1
Estudo do Sinal de uma Função
1.1 Introdução
Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida
e superﬁcial nos ensinos básico e médio. Daremos aqui uma maior cobertura a este tópico uma vez que se trata de um
pré-requisito fundamental para se aprender o Cálculo Diferencial e Integral. Também introduzimos dois novos tipos
de funções: as funções racionais e as funções algébricas.
1.2 Estudo do sinal de uma função
Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os
intervalos nos quais a função tem imagem positiva.
1.2.1 Estudo do sinal de funções polinomiais
Como toda função polinomial tem como domínio todo o conjunto R e é sempre contínua1, suas imagens só podem
mudar de sinal em suas raízes reais.
Estudo do sinal de funções lineares
Neste caso o estudo de sinal é bastante simples, pois a função apresenta uma única raiz (obviamente real) e portanto
muda de sinal uma única vez.
Exemplo 1.1 A única raiz da função polinomial y = 2x− 6 é x = 3. Assim (Figura 1.1)
* a função é positiva em {x ∈ R |x > 3} (isto signiﬁca que qualquer valor de x maior que 3 resulta em uma
imagem positiva);
* a função é negativa em {x ∈ R |x < 3} (isto signiﬁca que qualquer valor de x menor que 3 resulta em uma
imagem negativa).
Estudo do sinal de uma função quadrática
Inicialmente determinamos as raízes reais (se existirem) do polinômio quadrático. A seguir podemos estudar o sinal
utilizando o gráﬁco da função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O Exemplo a seguir ilustra
tais possibilidades.
Exemplo 1.2 As raízes da função polinomial y = x2 − 3x− 4 são x = −1 e x = 4.
1
Uma discussão detalhada de continuidade depende do conhecimento da teoria de limites (Veja Seção 2.5 e Apêndices B.2 e B.3 de
George F. Simmons, Cálculo com Geometria Analítica - Volume 1, McGraw-Hill, São Paulo, 1987. Grosseiramente falando, uma função é
contínua quando seu gráﬁco não apresenta falhas ou saltos.
1
CAPÍTULO 1. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 2
-
©©
©©
©©
©©
©©
©©
x
3
−
+
Figura 1.1: Estudo de sinal da função y = 2x− 6
(i) Forma gráﬁca: como o coeﬁciente do termo quadrático é positivo, o gráﬁco da função é uma parábola com
concavidade voltada para cima (Figura 1.2).
-
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
..
..
..
..
..
..
.
..
..
.
..
..
.
..
.
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
......
.....
.....
.....
.....
. ...........................
............................
..
..
...
..
...
..
...
...
..
...
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x−1 4
+
−
+
Figura 1.2: Estudo de sinal da função y = x2 − 3x− 4
(ii) Quadro de sinais: escrevemos a função na forma fatorada
y = (x+ 1)(x− 4)
e analisamos os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas raízes de cada fator (Figura 1.3).
−1 4
x+ 1
x− 4
y
− + +
− − +
+ − +
Figura 1.3: Estudo de sinal da função y = x2 − 3x− 4 = (x+ 1)(x− 4)
Temos:
* a função é positiva em {x ∈ R |x < −1 ou x > 4};
* a função é negativa em {x ∈ R | − 1 < x < 4}.
Estudo do sinal de uma função polinomial qualquer
Neste caso devemos ser capazes de determinar as raízes do polinômio (não se frustre: para polinômios de grau maior
que 2 isto nem sempre é fácil). Se pudermos determinar as raízes reais da função, podemos reescrevê-la na forma
fatorada e então estudarmos seu sinal com o auxílio do quadro de sinais.
Exemplo 1.3 As raízes da função polinomial y = x3−x2− 6x são x = −2, x = 0 e x = 3 (veriﬁque); logo sua forma
fatorada é
y = x(x+ 2)(x− 3).
Analisamos então os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas raízes de cada fator (Figura 1.4).
Temos:
* a função é negativa em {x ∈ R |x < −2 ou 0 < x < 3};
* a função é positiva em {x ∈ R | − 2 < x < 0 ou x > 3}.
CAPÍTULO 1. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 3
−2 0 3
x
x+ 2
x− 3
y
− − + +
− + + +
− − − +
− + − +
Figura 1.4: Estudo de sinal da função y = x3 − x2 − 6x
1.3 Funções Racionais
Funções racionais são dadas por razões de polinômios, ou seja, são funções da forma
f(x) =
P (x)
Q(x)
onde P e Q são polinômios quaisquer. Evidentemente, como não existe divisão por zero, o domínio de uma função
racional são todos os números reais para os quais Q(x) 6= 0. As raízes de uma função racional são as próprias raízes
de P (caso não anulem Q).
Exemplo 1.4 Dada a função y = x−3x−1 , temos:
* domínio: x− 1 6= 0, assim D(f) = {x ∈ R |x 6= 1};
* raiz: x− 3 = 0, assim a função possui uma única raiz x = 3;
* estudo de sinal: utilizamos o quadro de sinais e analisamos os sinais dos fatores nos subintervalos formados
pelas raízes de cada fator (Figura 1.5):
1 3
x− 1
x− 3
y
− + +
− − +
+ − +
Figura 1.5: Estudo de sinal da função y = x−3
x−1
Temos:
� a função é positiva em
{
x ∈ R |x < −1 ou x > 3};
� a função é negativa em
{
x ∈ R | − 1 < x < 3}.
Exemplo 1.5 Dada a função y = x−3x2−9 , temos:
* domínio: x2 − 9 6= 0, assim D(f) = {x ∈ R |x 6= ±3};
* raiz: x − 3 = 0 e neste caso x = 3 seria a provável raiz. Como 3 não está no domínio, esta função não possui
raiz
2
* estudo de sinal: como x = 3 é raiz do numerador e do denominador o fator linear x− 3 poderá ser cancelado
y =
x− 3
x2 − 9 =
x− 3
(x− 3)(x+ 3) =
1
x+ 3
, x 6= 3.
Temos:
2
Cuidado: conforme podemos observar neste Exemplo a primeira providência quando analisamos uma função é determinar seu domínio.
Se você começasse tentando encontrar as raízes poderia cometer um (grave) erro.
CAPÍTULO 1. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 4
� a função é positiva em
{
x ∈ R |x > −3};
� a função é negativa em
{
x ∈ R |x < −3}.
Uma função racional f(x) = P (x)Q(x) se diz própria se o grau do polinômio P é menor que o grau do polinômio Q;
caso contrário a função racional se diz imprópria. Em particular, toda função racional imprópria pode ser reescrita
na forma
f(x) =
P (x)
Q(x)
= q(x) +
r(x)
Q(x)
; (1.1)
onde o polinômio q é o quociente e o polinômio r é o resto da divisão de P por Q.
Exemplo 1.6 Na divisão do polinômio x3 − 3x2 por x− 1 o quociente é x2 − 2x− 2 e o resto é −2. Assim a função
racional

# data[].attributes.attachment_link.description
Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 1.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e superﬁcial nos ensinos básico e médio. Daremos aqui uma maior cobertura a este tópico uma vez que se trata de um pré-requisito fundamental para se aprender o Cálculo Diferencial e Integral.

# data[].attributes.attachment_link.title
📌Figura de linguagem: Hipérbole [Prof. Alda]

# data[].attributes.attachment_link.title
Funções Racionais - Aula 19 - Pré Cálculo

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal.

Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios. É possível também multiplicar dois polinômios por meio da propriedade distributiva. Já a divisão é realizada pelo método de chaves.
Leia também: Equação polinomial - equação caracterizada por ter um polinômio igual a 0

Polinômios são expressões algébricas com monômios separados por adição ou subtração.

O que são monômios?

Para compreender-se o que é um polinômio, é importante que se compreenda antes o significado de um monômio. Uma expressão algébrica é conhecida como monômio quando ela possui números e letras e seus expoentes separados apenas por multiplicação. O número é conhecido como coeficiente, e as letras e seus expoentes são conhecidos como parte literal.

Exemplos:

2x² → 2 é o coeficiente; x² é a parte literal.

√5ax → √5 é o coeficiente; ax é a parte literal.

b³yz² → 1 é o coeficiente; b³yz² é a parte literal.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O que é um polinômio?

Um polinômio nada mais é que a soma algébrica de monômios, ou seja, são mais monômios separados por adição ou subtração entre si.

Exemplos:
Veja também: Quais são as classes de polinômios?
De forma geral, um polinômio pode ter vários termos, ele é representado algebricamente por:

Grau de um polinômio

Para encontrar o grau do polinômio, vamos separar em dois casos, quando ele possui uma única variável e quando ele possui mais variáveis. O grau do polinômio é dado pelo grau do maior de seus monômios nos dois casos.

É bastante comum o trabalho com o polinômio que possui somente uma variável. Quando isso ocorre, o monômio de maior grau que indica o grau do polinômio é igual ao maior expoente da variável:

Exemplos:

Polinômios de única variável

a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → note que a variável é x, e o maior expoente que ela tem é 3, então, esse é um polinômio de grau 3.

b) 2y ⁵ + 4y² - 2y + 8 → a variável é y, e o maior expoente é 5, então, esse é um polinômio de grau 5.

Quando o polinômio possui mais de uma variável em um monômio, para encontrar-se o grau desse termo, é necessário somar-se o grau os expoentes de cada uma das variáveis. Sendo assim, o grau do polinômio, nesse caso, continua sendo igual ao grau do maior monômio, mas é necessário ter-se o cuidado de realizar a soma dos expoentes das variáveis de cada monômio.

Exemplos:

a) 2xy + 4x²y³ - 5y ⁴

Analisando a parte literal de cada termo, temos que:

xy → grau 2 (1 + 1)

x²y³ → grau 5 (2 + 3)

y³ → grau 3

Note que o maior termo tem grau 5, então esse é um polinômio de grau 5.

b) 8a²b - ab + 2a²b²

Analisando-se a parte literal de cada monômio:

a²b → grau 3 (2 + 1)

ab² → grau 2 (1 + 1)

a²b² → grau 4 (2 + 2)

Dessa forma, o polinômio possui grau 4.

Adição de polinômios

Para a adição entre dois polinômios, vamos realizar a redução dos monômios semelhantes. Dois monômios são semelhantes se eles possuem partes literais iguais. Quando isso acontece, é possível simplificar o polinômio.

Exemplo:

Seja P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² - 2x + 4. Calcule o valor de P(x) + Q(x).

2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4

Encontrando termos semelhantes (que possuem partes literais iguais):

Agora vamos somar os monômios semelhantes:

6x² + 2x +7

Subtração de polinômios

A subtração não é muito diferente da adição. O detalhe importante é que primeiro precisamos escrever o polinômio oposto antes de realizarmos a simplificação dos termos semelhantes.

Exemplo:

Dados: P(x) = 2x² + 4x + 3 e Q(x) = 4x² - 2x + 4. Calcule P(x) - Q(x).

O polinômio -Q(x) é o oposto de Q(x), para encontrar o oposto de Q(x), basta inverter o sinal de cada um dos seus termos, então temos que:

-Q(x) = -4x² +2x - 4

Então calcularemos:

P(x) + (-Q(x))

2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4

Simplificando os termos semelhantes, temos:

(2 - 4)x² + (4 + 2)x + (3 - 4)

-2x² + 6x + (-1)

-2x² + 6x - 1

Multiplicação de polinômios

Para realizar a multiplicação de dois polinômios, utilizamos a conhecida propriedade distributiva entre os dois polinômios, operando a multiplicação dos monômios do primeiro polinômio pelos do segundo.

Exemplo:

Seja P(x) = 2a² + b e Q(x) = a³ + 3ab + 4b². Calcule P(x) · Q(x).

P(x) · Q(x)

(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)

Aplicando a propriedade distributiva, teremos:

2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²

2a ⁵ + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² +4b³

Agora, caso existam, podemos simplificar os termos semelhantes:

Note que os únicos monômios semelhantes estão destacados em laranja, realizando a simplificação entre eles, teremos o seguinte polinômio como resposta:
Acesse também: Como fazer a multiplicação de fração algébrica?
2a ⁵ + (6+1)a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

2a ⁵ + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³

Divisão de polinômios

Realizar a divisão de polinômios pode ser bastante trabalhoso, utilizamos o que se chama de método de chaves, mas existem vários métodos para tanto. A divisão de dois polinômios só é possível se o grau do divisor for menor. Ao dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x), estamos buscando um polinômio Q(x), tal que:

Assim, pelo algoritmo da divisão, temos que: P(x) = D(x) · Q(x) + R(x).

P(x) → dividendo

D(x) → divisor

Q(x) → quociente

R(x) → resto

Ao operar-se a divisão, o polinômio P(x) é divisível pelo polinômio D(x) se o resto for zero.

Exemplo:

Vamos operar a divisão do polinômio P(x) = 15x² +11x + 2 pelo polinômio D(x) = 3x + 1.

Queremos dividir:

(15x² + 11x + 2) : (3x + 1)

1 º passo: dividimos o primeiro monômio do dividendo com o primeiro do divisor:

15x² : 3x = 5x

2º passo: multiplicamos 5x · (3x+1) = 15x² + 5x, e subtraímos o resultado de P(x). Para realizar a subtração, é necessário invertermos os sinais do resultado da multiplicação, encontrando o polinômio:

3º passo: realizamos a divisão do primeiro termo do resultado da subtração pelo primeiro termo do divisor:

6x : 3x = 2

4º passo: então, temos que (15x² + 11x + 2) : (3x + 1) = 5x + 2.
Leia também: Dispositivo prático de Briot-Ruffini - divisão de polinômios
Sendo assim, temos que:

Q(x) = 5x + 2

R(x) = 0

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Qual deve ser o valor de m, para que o polinômio P(x) = (m² - 9)x³ + (m + 3)x² + 5x + m tenha grau 2?

A) 3
Resolução
B) -3

C) ±3

D) 9

E) -9

Alternativa A

Para que P(x) tenha grau 2, o coeficiente de x³ tem que ser igual a zero, e o coeficiente de x² tem que ser diferente de zero.

Então faremos:

m² - 9 = 0

m² = 9

m = ±√9

m = ±3

Por outro lado, temos que m + 3 ≠ 0.

Então, m ≠ -3.

Dessa forma, temos como solução da primeira equação que m = 3 ou m= -3, porém, pela segunda, temos que m ≠ -3, então, a única solução que faz com que P(x) tenha grau 2 é: m = 3.

Questão 2 - (IFMA 2017) O perímetro da figura pode ser escrito pelo polinômio:

A) 8x + 5
Resolução
B) 8x + 3

C) 12 + 5

D) 12x + 10

E) 12x + 8

Alternativa D

Pela imagem, ao analisarmos o comprimento e a largura dados, sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados. Como o comprimento e a altura são os mesmos, basta multiplicarmos a soma dos polinômios dados por 2.

2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

# data[].attributes.attachment_link.title
Polinômios: o que são, como resolver, exemplos - Brasil Escola

# data[].attributes.attachment_link.description
Conhecemos como polinômio uma expressão que indica a soma algébrica de monômios que não sejam semelhantes, ou seja, polinômio é uma expressão algébrica entre monômios. Monômio é um termo algébrico que possui coeficiente e parte literal. Quando existem termos semelhantes entre os polinômios, é possível realizar-se a redução de seus termos na adição e ou subtração de dois polinômios.

# data[].attributes.attachment_link.title
#CALCULO 0015 | FUNÇÕES: O QUE SÃO FUNÇÕES ALGÉBRICAS?