# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Per la teoria necessaria ad affrontare questi esercizi è possibile consultare l'articolo al seguente link.

Nell'articolo che segue troverai i seguenti esercizi relativi ai fondamenti della goniometria:

1. Semplifica l'espressione goniometrica - primo esercizio;

2. Semplifica l'espressione goniometrica - secondo esercizio;

3. Trasforma l'espressione goniometrica in un'altra che contiene solo il coseno;

4. Verifica l'identità goniometrica proposta - primo esercizio;

5. Verifica l'identità goniometrica proposta - secondo esercizio;

6. Verifica l'identità goniometrica proposta - terzo esercizio;

7. Trasforma l'espressione goniometrica in un'altra che contiene solo il seno;

8. Calcola il valore delle restanti funzioni goniometriche noto il seno;

9. Calcola il valore delle restanti funzioni goniometriche noto il coseno;

10. Calcola il valore delle restanti funzioni goniometriche nota la tangente;

Semplifica la seguente espressione goniometrica Risoluzione:
Nell'articolo di teoria abbiamo introdotto i valori delle funzioni goniometriche descrivendo gli angoli in mentre questo esercizio propone gli angoli in . È possibile passare da radianti a gradi o viceversa attraverso una semplice proporzione, bisogna infatti ricordare che è equivalente a .
Se ad esempio voglio scrivere in radianti, quello che devo fare è impostare la proporzione e risolvere, in questo caso si ottiene che equivale a .

Nell'espressione proposta abbiamo gli angoli , e .
Per passare da radianti a gradi possiamo impostare la proporzione così come abbiamo visto in precedenza oppure possiamo utilizzare un metodo più veloce. Se equivale a allora equivarrà a . Analogamente possiamo fare per gli altri angoli trovando rispettivamente e .

A questo punto sottraiamo 1 e -1 e svolgiamo le divisioni tra frazioni.

Adesso manca un ultimo procedimento per completare l'esercizio, bisogna razionalizzare la frazione ottenuta poichè presenta un numero irrazionale al denominatore. Per farlo moltiplico, in questo caso, numeratore e denominatore per .

L'esercizio è completato ed il risultato è .
Semplifica la seguente espressione goniometrica Risoluzione:
Ricordiamo innanzitutto la definizione della funzione reciproco e la seconda relazione fondamentale della goniometria . Sappiamo poi che vale , quindi:
Trasforma l'espressione goniometrica in un'altra che contiene solo Risoluzione:
Lo scopo dell'esercizio è trasformare tutte le funzioni goniometriche nell'espressione ed effettuare i calcoli per ottenere termini che presentano solo .
Verifica la seguente identità goniometrica Risoluzione:
Scopo dell'esercizio è dimostrare che l'uguaglianza è vera; a tal fine utilizziamo le varie relazioni e definizioni goniometriche per riscrivere i due membri.

Utilizzando ora la prima relazione fondamentale :

L'identità è dunque verificata.
Verifica la seguente identità goniometrica Risoluzione:
Utilizziamo la prima relazione fondamentale della goniometria e una sua conseguenza per riscrivere come:

; abbiamo utilizzato il prodotto notevole

e spezzando il numeratore a destra troviamo infine:

semplifichiamo per ottenere:

.
Verifica la seguente identità goniometrica Risoluzione:
Calcoliamo il minimo comune multiplo a sinistra sia al numeratore che al denominatore:

A questo punto sfruttiamo la prima relazione fondamentale della goniometria:

Sappiamo poi che quindi:
Trasforma l'espressione goniometrica in un'altra che contiene solo Risoluzione:
Sfruttiamo ora la prima relazione fondamentale della goniometria da cui ricaviamo

Sommiamo i termini simili ed otteniamo:
Calcola il valore delle restanti funzioni goniometriche noto il Risoluzione:
Per risolvere questa tipologia di esercizio andremo ad utilizzare le due relazioni fondamentali dalla goniometria.
Dalla prima abbiamo da cui troviamo .
La scelta del segno è dettata dal quadrante in cui si trova il punto individuato dall'angolo ; in questo caso siamo nel terzo quadrante ( Fig. 1), quindi dovremo prendere il coseno negativo, scegliamo il segno "-".

Quindi in definitiva si ha: .

Per trovare sfruttiamo la seconda relazione fondamentale della goniometria, quindi:

Abbiamo trovato infine
Calcola il valore delle restanti funzioni goniometriche noto il Risoluzione:
Dalla prima abbiamo da cui troviamo .
La scelta del segno è dettata dal quadrante in cui si trova il punto individuato dall'angolo ; in questo caso siamo nel secondo quadrante ( Fig. 2), quindi dovremo prendere il seno positivo, scegliamo il segno "+".

Quindi in definitiva si ha: .

Per trovare sfruttiamo la seconda relazione fondamentale della goniometria, quindi:

Abbiamo trovato infine
Calcola il valore delle restanti funzioni goniometriche nota Risoluzione:
Anche nel caso in cui dovessimo conoscere possiamo ricavare i valori di e utilizzando le due relazioni fondamentali della goniometria.

A partire dalla seconda relazione:

Questa espressione per il dobbiamo ora sostituirla nella prima relazione fondamentale della goniometria:

Sostituiamo quindi il valore della tangente per ottenere:

Razionalizzando si trova infine:

La scelta del segno dipende ora dal quadrante cui appartiene il punto individuato da , nel nostro caso siamo nel quadrante, quindi avrà valore positivo:

Per trovare sfruttiamo la relazione che abbiamo trovato all'inizio: .

Abbiamo quindi trovato i valori di e .

Era possibile risolvere gli esercizi anche applicando direttamente le formule ricavate nell' articolo di teoria, vediamo come:

, il segno dipende dal punto individuato dall'angolo , in questo caso siamo nel quadrante quindi il coseno è negativo:

Nell'ultimo passaggio abbiamo razionalizzato come già fatto in precedenza.
Per calcolare il seno utilizziamo invece la formula appropriata:

, ed in questo caso prendiamo il segno "+":

Dobbiamo ora razionalizzare:

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Esplora la Goniometria: 10 Esercizi Svolti Essenziali per Iniziare

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Scopri i fondamenti della goniometria con i nostri 10 esercizi svolti essenziali. Questo articolo offre una guida passo-passo per padroneggiare le basi di seno, coseno e tangente. Perfetto per studenti e appassionati di matematica, ogni esercizio è progettato per rafforzare la tua comprensione e applicazione pratica delle funzioni goniometriche.

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Astronomo, astrologo, geografo greco antico

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La trigonometria insieme alla goniometria, è la branca della matematica che studia le funzioni goniometriche e mette in relazione la geometria piana con l'analisi della matematica, fornendo un approccio analitico allo studio della geometria. Trova applicazione, in particolare, in astronomia, meccanica, navigazione aerea e marittima, topografia. "Trigonometria" deriva dal greco
La trigonometria ha lo scopo di studiare i procedimenti di calcolo che permettono di determinare la misura degli elementi di un triangolo(lati e angoli).

trìgonos, che significa "triangolo" e métron, ossia "misura". Lo studio della trigonometria è preceduto da quello della goniometria, ovvero quella parte della matematica che si occupa della misura degli angoli e delle relative funzioni. L'angolo è la parte di piano individuata da due semirette a e b che hanno origine comune V. Il punto V è il vertice dell'angolo e le due semirette a e b sono i lati.

Gli angoli sulla circonferenza si possono misurare in gradi (e un'intera circonferenza nel sistema sessagesimale corrisponde a 360°) oppure in radianti.
Per circonferenza goniometrica goniometrica nel piano cartesiano si intende la circonferenza che ha come centro l'origine O degli assi xy e raggio di lunghezza 1. Grazie a questa figura si possono definire le principali funzioni goniometriche: coseno, seno, tangente.

Considerando la circonferenza goniometrica e l'angolo orientato 𝛂 , e sia B il punto della circonferenza associato ad 𝛂 , si definisce coseno e seno dell'angolo a rispettivamente il valore dell'ascissa e quello dell'ordinata del punto B.

Si definisce invece tangente di 𝛂 la funzione che ad a associa il rapporto, quando esiste, fra l'ordinata e l'ascissa dal punto B .

https://it.video.search.yahoo.com/search/video;_ylt=AwrJS9ULKm1epjUAxIzc5olQ;_ylu=X3oDMTB0ZTgxN3Q0BGNvbG8DaXIyBHBvcwMxBHZ0aWQDBHNlYwNwaXZz?p=funzioni+goniometriche&fr2=piv-web&fr=mcafee#id=6&vid=1c21e1c0d5f75bb74d8c0e1d467583f5&action=view
Le altre funzioni goniometriche sono la secante, la cosecante, la cotangente.

Ipparco di Nicea, noto anche come Ipparco di Rodi o semplicemente Ipparco (in greco antico: Ἵππαρχος, Hípparchos; Nicea, 200 a.C.circa - Rodi, 120 a.C.), è stato un astronomo, astrologo e geografo greco antico, noto principalmente per la scoperta della precessione degli equinozi e per molte altre scoperte. Infatti, è stato proprio lui l'ideatore della scienza della trigonometria insieme a Claudio Tolomeo, un grande astronomo, matematico e geografo dell'antichità.

Nessuna delle sue opere, almeno quattordici, si è conservata, eccetto un commentario su un poema di argomento astronomico di Arato di Soli.

Poche notizie sulla vita e le opere di Ipparco sono note e la maggior parte di esse provengono dall'Almagesto di Tolomeo (II secolo), da riferimenti minori in Pappo e Teone (IV secolo) nei loro rispettivi commentari all'Almagesto, nella Naturalis Historia di Plinio il vecchio e nella Geografia di Strabone. Ipparco nacque a Nicea (l'odierna Iznik in Bitinia, Turchia), un centro culturale dove probabilmente ricevette l'istruzione di base; probabilmente in giovane età si spostò a Rodi dove successivamente compì la maggior parte delle osservazioni astronomiche. Tolomeo gli attribuisce osservazioni dal 147 a.C. al 127 a.C.; anche osservazioni più antiche, a partire dal 162 a.C., possono essere attribuite a lui. La data della sua nascita (190 circa) è stata calcolata da Delambre proprio in base al lavoro di Ipparco. Allo stesso modo, dall'esistenza di pubblicazioni sulle analisi delle sue ultime osservazioni si suppone che Ipparco deve essere vissuto oltre il 127 a.C., Per il suo lavoro sappiamo anche che ottenne informazioni da Alessandria e dalla Babilonia, ma non è noto se e quando ne abbia visitato i luoghi. Non se ne conosce l'aspetto in quanto non esistono suoi ritratti. Sebbene venga raffigurato su monete coniate in suo onore, queste appartengono a un'epoca ben successiva, tra il II e III secolo. Si presume che sia morto nell'isola di Rodi, dove trascorse gran parte della sua vita matura: Tolomeo gli attribuisce infatti osservazioni da Rodi nel periodo che corre tra il 141 e il 127 a.C.

Famoso è anche il suo catalogo di stelle che conteneva circa 850 voci. Forse fu proprio attraverso l' instancabile lavoro svolto per la sua compilazione che Ipparco giunse alla sua maggiore scoperta. Egli probabilmente iniziò la catalogazione avendo il sospetto che le stelle "fisse" potessero avere dei moti relativi. Ciò lo avrebbe indotto ad intraprendere l'opera di costruire un catalogo di stelle per confrontarne le sue posizioni con quelle di un precedente catalogo compilato circa 160 prima da Aristillo e Timocari. Plinio, nella sua Storia naturale, dice inoltre che grande importanza ebbe per Ipparco l'apparizione in cielo di una stella mai vista fino a quel momento, una nova stella (oggi ancora chiamate novae, sono esplosioni violentissime di stelle). Da ciò l'indagine del grande astronomo per appurare se le stelle nascono e muoiono, se variano di luminosità, e se si muovono le une rispetto alle altre, ecc. Ipparco fornisce un ottimo esempio di vero scienziato che, puntando alla ricerca della verità, non si cura di staccarsi dai dogmi aristotelici e platonici, uno dei quali riguardava appunto la inviolabilità della perfezione dei cieli.

Si occupò inoltre della misurazione della distanza e della grandezza della Luna, determinandole con l'approssimazione, notevole per l'epoca, di 1/10.

Ebbe anche parte decisiva nell'evoluzione delle teorie astronomiche, poiché fu in gran parte per la sua influenza che gli astronomi abbandonarono i vari schemi eliocentrici come quello di Aristarco, o semieliocentrici, per tornare al concetto della Terra come centro dell'universo: a lui si deve lo schema geometrico degli eccentrici e dei deferenti per rappresentare le apparenze della volta celeste, che, ampliato e perfezionato poi da altri, costituì la base del cosiddetto sistema tolemaico.

-Libro di testo "Matematica Azzurro"

Elena Maria Ida Quarato, IIB

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STORIA DELLA GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA: IPPARCO DI NICEA

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GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA La trigonometria insieme alla goniometria, è la branca della matematica che studia le funzioni goniometrich...

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Le funzioni goniometriche sono utilizzate in vari campi come la fisica, l'ingegneria, la computer grafica, la musica, l'astronomia, la navigazione aerea e marittima, la topografia.

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App grafico delle funzioni goniometriche

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App grafico delle funzioni goniometriche

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