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Un altro modo di studiare le figure geometriche

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Un altro modo di studiare le figure geometriche

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Nei volumi di geometria 1 e 2 ci siamo ampiamente occupati delle caratteristiche delle figure piane e delle formule per calcolarne le misure. Esiste però un altro possibile modo di studiare le figure geometriche, legandole più strettamente a quantità numeriche mediante l’utilizzo del calcolo letterale, delle equazioni e, più in generale, dell’algebra. Questo modo di procedere è oggetto di studio di un nuovo ramo della matematica: la geometria analitica.
Come vedremo, nell’ambito di questa disciplina, sarà possibile esprimere una figura geometrica(ad esempio una retta) mediante un’equazione algebrica. Questo approccio risulta utilissimo in moltissimi campi della scienza e delle attività umane. Naturalmente per i nostri obiettivi didattici, studieremo solo i primi elementi di geometria analitica, rimandando successivi approfondimenti agli studi superiori.
Il padre della geometria analitica fu il grande filosofo e matematico Francese René Descartes (più noto, in Italia, con il nome di Cartesio). Fondamento della disciplina è il sistema di rappresentazione che già conosciamo e che prende appunto il nome di “sistema di coordinate cartesiane”. L’intuizione di Cartesio fu quella di creare una corrispondenza tra i punti disposti sul piano e le coppie di numeri. In tal modo, un insieme di punti (ad esempio quello che compone una linea) può essere associato a una serie di numeri e, se si riesce a esprimere quest’ultima con una formula, si otterrà la corrispondenza tra la linea e la formula stessa. Ma prima di occuparci direttamente delle figure geometriche mediante le regole della geometria analitica, esaminiamo il sistema di cartesiano e le sue regole.

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Il piano cartesiano è un piano in cui sono tracciate due rette perpendicolari orientate, una orizzontale, detta asse delle ascisse o asse delle x, lungo la quale gli spostamenti sono verso destra e verso sinistra, e una verticale, detta asse delle ordinate o asse delle y, su cui è possibile muoversi verso l’alto e verso il basso; il punto d’intersezione dei due assi viene generalmente indicato con la lettera O e prende il nome di origine.
In un piano cartesiano:
▪ a ogni punto P è possibile associare una coppia ordinata di numeri (x; y), il primo preso sull’asse delle ascisse e il secondo sull’asse delle ordinate, che rappresenta le coordinate cartesiane del punto;
▪ una coppia ordinata di numeri (x; y) individua uno ed un solo punto nel piano.
In generale, si possono fare le seguenti considerazioni:

I punti con ascissa positiva (x) e ordinata positiva (y) appartengono al primo quadrante. Esempio: A(4; 6).

I punti con ascissa negativa (x) e ordinata positiva (y) appartengono secondo quadrante. Esempio: B(-2; 5).

I punti con ascissa negativa (x) e ordinata negativa (y) appartengono al terzo quadrante. Esempio: C(-3; -4).

I punti con ascissa positiva (x) e ordinata negativa (y) appartengono al quarto quadrante. Esempio D(5; -3).

I punti con ordinata 0 si trovavano sull’asse delle ascisse. Esempio: E(2; 0).

I punti con ascissa 0 si trovano sull’asse delle ordinate. Esempio: F(0; -6).

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Osservando attentamente la figura possiamo individuare i punti simmetrici rispetto agli assi e all’origine.

i punti con uguale ascissa e ordinata opposta: si dicono simmetrici rispetto all’asse x: ad esempio A(3; 4) e B(3; -4);

i punti con uguale ordinata e ascissa opposta: si dicono simmetrici rispetto all’asse y: ad esempio C(-2; 1) e D(2; 1);

i punti con ascissa e ordinata opposta: si dicono simmetrici rispetto all’asse y: ad esempio E(1; 2) e F (-1; -2).

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall,fai scoppiare il palloncino corrispondente alla risposta che ritieni corretta. https://wordwall.

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Nei post precedenti abbiamo studiato che l’equazione y = mx è l’equazione di una retta passante per l’origine. Vediamo di ampliare le nostre conoscenze.
Rappresentiamo nel piano cartesiano le due equazioni y = 3x e y = 3x + 2. Come possiamo notare, anche la funzione y = 3x + 2 (in rosso) è rappresentata da una retta. Confrontando il grafico notiamo che la retta di equazione y = 3x + 2 non passa per l’origine degli assi, e rispetto alla retta y = 3x (in azzurro), mantiene la stessa inclinazione ma risulta traslata e passa per il punto A(0; -2).
Alla luce di queste considerazioni possiamo dire che:
Una retta generica del piano può essere sempre scritta nella forma y = mx + q; in essa:

m rappresenta il coefficiente angolare, cioè la sua inclinazione rispetto all’asse delle ascisse;

q rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse delle ordinate e per tale ragione è detto ordinata all’origine.

Considerando il nostro caso particolare, la retta di equazione y = 3x + 2 ha:

coefficiente angolare uguale a 3;

ordinata all’origine uguale a 2; il punto di intersezione con l’asse delle ordinate ha coordinate A(0; 2).

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La distanza tra due punti A e B del piano è rappresentata dalla misura del segmento AB. Indicate con A(x A; y A) e B(x B; y B) le coordinate dei due punti, si possono presentare tre casi.
Esaminiamoli uno alla volta.

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Consideriamo la retta di equazione y = -2x + 1; vogliamo verificare se il punto P(2; -3) appartiene alla retta. Possiamo procedere in due modi.

1. Graficamente: disegnando sul piano cartesiano la retta e il punto.

2. Algebricamente: sostituendo le coordinate del punto nell’equazione della retta y = -2x +1; -3 = -2 x 2 + 1 da cui -3 = -4 + 1 cioè -3 = -3. Avendo ottenuto una uguaglianza, le coordinate soddisfano l’equazione e il punto P appartiene alla retta y = -2x + 1.

Mettiti alla prova. Verifica quale dei seguenti punti: A(5; 3); B(3; 5); C(0; 3) appartiene alla retta di equazione y = x - 3.

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I due punti A e B hanno la stessa ascissa

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I due punti A e B hanno la stessa ascissa

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Siano A(2; 3) e B(2; -4) i due punti di cui vogliamo calcolare la distanza. Avendo la stessa ascissa il segmento AB è parallelo all’asse delle ordinate e la sua misura è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ordinate. Nel nostro caso:
AB = |y B – y A| = |(-4) - 3| = |-7| = 7

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Rappresentiamo in un piano cartesiano le rette r e s con equazioni rispettivamente y = 2x + 5 (in azzurro) e y = 2x - 3 ( in rosso). Come possiamo facilmente notare dalla figura, le due rette formano con l’asse x due angoli α e β congruenti: esse sono pertanto parallele. Dal punto di vista algebrico tale proprietà comporta l’uguaglianza del coefficiente angolare m delle equazioni delle due rette, che è infatti 2 per entrambe. Se ne deduce che:
“due rette di equazione y = mx + q e y = m’x + q’ sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare, cioè se: m = m’.

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall rispondi alle domande.    https://wordwall.

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Calcolare l’intersezione di una retta con gli assi cartesiani

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Calcolare l’intersezione di una retta con gli assi cartesiani

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Rappresentiamo in un piano cartesiano la retta r di equazione y = -5/2x + 5 e studiamola ponendo in essa due valori particolari: x = 0 e y = 0.
Per x = 0; y = -5/2 x 0 + 5; y = 0 + 5; y = 5
Per y = 0; 0 = -5/2 x + 5; 5/2x = 5; x = 2.
Otteniamo così due punti A(0; 5) e B(2; 0); il punto A, avendo l’ascissa uguale a zero, appartiene all’asse y, il punto B avendo l’ordinata uguale a zero, appartiene all’asse x (vedi figura allegata).
Possiamo pertanto dedurre la seguente regola:
“ le coordinate dei punti di intersezione di una retta di equazione y = mx + q con gli assi cartesiani si ottengono ponendo in essa x = 0 e y = 0 e calcolando i valori corrispondenti dell’ascissa e dell’ordinata dei due punti”.

Mettiti alla prova. Quali sono le coordinate dei punti di intersezione della retta r: y = -2x + 4 con gli assi cartesiani?

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Perché studiare le funzioni nel piano cartesiano

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Perché studiare le funzioni nel piano cartesiano

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Rifletti e rispondi.
In vista della verifica di geografia sulle regioni italiane, Francesca e Maksim hanno creato un gioco simile alla battaglia navale per allenarsi a vicenda.
“Allora Maksim, la regione che ho in mente ha una latitudine tra 43 N e 44 N e una longitudine tra 12 E e 14 E”. Dice Francesca a Maksim, il quale annuisce e pensa alla risposta.
Quale regione ha in mente Francesca?
Le coordinate geografiche sono utili per indicare la posizione di un luogo. Si suddivide il planisfero con delle linee immaginarie orizzontali (paralleli) e verticali (meridiani). La latitudine di un luogo indica l’angolo tra l’Equatore e il parallelo che passa per quel luogo, mentre la longitudine indica l’angolo tra il meridiano di riferimento di Greenwich e quello che passa per quel luogo. Scrivi ora la regione indicata da Francesca …………….
Identifica le regioni utilizzando le coordinate fornite:
Latitudine             Longitudine        Regione
tra 39 N e 41 N    tra 8 E e 10 E      …………
tra 38 N e 49 E    tra 16 E e 17 E    ………….
tra 44 N e 45 N    tra 9 E e 13 E     ………….
Le coordinate geografiche sul planisfero sono un’applicazione del piano cartesiano. Quest’ultimo è uno strumento utilissimo per analizzare situazioni in modo sintetico e visivo. Per esempio per confrontare le tariffe telefoniche.
Guarda il video e scopri di più.

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Lo scorso anno abbiamo visto che la funzione y = k/x è detta funzione di proporzionalità inversa e il valore di k è chiamato coefficiente di proporzionalità inversa.
“Due variabili x e y si dicono inversamente proporzionali se il loro prodotto rimane costante, cioè: x x y = k che equivale a
y = k/x con k ≠ 0.
Riprendiamo questo concetto considerando ora l’equazione y = 6/x, e costruiamo la tabella dei valori che si ottengono attribuendo alla variabile x anche valori negativi.
x  -6  -3  -2    -1   1    2   3   6
y  -1   -2  -3   -6   6   3   2   1
Segniamo nel piano cartesiano i punti:
A(-6; -1), B(-3; -2), C(-2; -3), D(-1; -6), E(1; 6), F(2; 3), G(3; 2), H(6; 1), e tracciamo la curva che passa per tali punti; il grafico che ne risulta è una curva detta iperbole equilatera formata da due parti distinte dette rami dell’iperbole.
Osservando la forma del grafico puoi notare che:

la curva non interseca gli assi cartesiani ma si avvicina ad essi senza mai toccarli; per tale ragione i due assi cartesiani vengono chiamati asintoti dell’iperbole;

l’iperbole è simmetrica rispetto all’origine degli assi;

l’iperbole presenta due assi di simmetria: le bisettrici dei quadranti.

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I due punti A e B hanno la stessa ordinata

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I due punti A e B hanno la stessa ordinata

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Siano A(-2; 2) e B(4; 2) i due punti di cui vogliamo calcolare la distanza. Avendo la stessa ordinata il segmento AB è parallelo all’asse delle ascisse e la sua misura è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ascisse . Nel nostro caso:
AB = |x B – x A| = |4 - (-2) +2| = |4 + 2| = |+6| = 6

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Rappresentiamo nel piano cartesiano la retta di equazione y = 3. Tutti i suoi punti hanno ordinata uguale a 3; se rappresentiamo la retta nel piano cartesiano notiamo che tale retta è parallela all’asse x e interseca l’asse y nel punto di ordinata 3. Generalizzando possiamo dire che:
“l’equazione di una retta parallela all’asse delle x è y = k.

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Siano r e s due rette di equazione rispettivamente y = -3x + 3 (in rosso) e y = x - 5 (in azzurro). Verifichiamo innanzitutto che i coefficienti angolari non siano uguali e che quindi le due rette non siano parallele. Nel nostro caso m₁ = -3; m₂= 1; pertanto le rette r e s non sono parallele.

Per determinare il loro punto di intersezione esistono due metodi.
Metodi grafico.

Costruiamo le tabelle per la rappresentazione grafica e rappresentiamo in un piano cartesiano le due rette (vedi figura allegata).

r: y = -3x + 3             s: y = x - 5
x       y                      x      y
-2      9                    -2     -7
0      3                      0     -5
Dopo aver prolungato opportunamente le rette possiamo individuare le coordinate del punto di intersezione P(2; -3).
Per essere sicuri che il risultato sia corretto possiamo verificare che il punto soddisfa entrambe le equazioni. Sostituendo le coordinate del punto nelle due rette otteniamo:

Retta y = -3x + 3 da cui -3 = -3 x (2) + 3;  -3 = -6 + 3 cioè -3 = -3. Il punto P soddisfa l’equazione r e appartiene alla retta.

Retta y = x - 5 da cui -3 = (2) - 5; -3 = -3. Il punto P soddisfa l’equazione di s e appartiene alla retta.

Metodo algebrico.
Il punto P che stiamo cercando deve appartenere ad entrambe le rette; per tale ragione le coordinate di P devono soddisfare le due equazioni cioè lo stesso valore di y deve corrispondere al medesimo valore di x. Dovendo avere lo stesso valore di y, che è il primo membro delle due equazioni, possiamo uguagliare anche i due secondi membri delle due equazioni:
-3x + 3 = x - 5; -3x - x = -3 -5; -4x = -8; x = 2.
La soluzione che abbiamo trovato ci dice che l’ascissa del punto di intersezione è x = 2.
Per calcolare il valore dell’ordinata sostituiamo il valore dell’ascissa nell’equazione di una qualsiasi delle due rette; utilizziamo la prima:
y = -3x + 3; y = -3 x (2) + 3; y = -6 +3; y = -3.
In definitiva, le coordinate del punto di intersezione P sono la coppia ordinata (2; -3) e questo risultato coincide ovviamente con quello trovato con il metodo grafico.

Mettiti alla prova. Determina le coordinate del punto di intersezione delle seguenti rette; r: y = -x + 1 e s: y = 2x -2.

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Riproponiamo la definizione sulla proporzionalità diretta già studiata lo scorso anno:
“due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiano, triplicando, dimezzando ……. l’una, raddoppia, triplica, si dimezza …… anche l’altra”.
Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta y =3x il cui coefficiente angolare è 3. Assegniamo valori particolari alla x (anche eventualmente negativi) e calcoliamo i corrispondenti valori della y.
Per x = -1; y = 3 x (-1) = -3; A(-1; -3)
Per x = 0;  y = 3 x 0 = 0; O(0; 0)
Per x = 1; y = 3 x 1 = 3; B(1; 3)

Rappresentiamo sul piano cartesiano i punti corrispondenti e congiungiamoli tra loro; notiamo che il diagramma della funzione y = 3x rappresenta una retta passante per l’origine degli assi. Alla luce di queste considerazioni possiamo dare la seguente
“la funzione di proporzionalità diretta è rappresentata nel piano cartesiano da una retta passante per l’origine”.

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Il Padlet è abbinato ai corsi MAT 360° e Archimede di Bruno Artuso e Roberto Vacca. La matematica chiara, rigorosa e calata nella realtà.

Coordinamento: Silvia Gadda

Redazione: Mario Scalvini, Federico Rossi, Giulia Baccanelli.

Il Padlet e tutti i suoi contenuti sono di proprietà dell’Istituto Italiano Edizioni Atlas e pubblicati sotto licenza CC BY-NC-SA (uso con obbligo di citazione, fini didattici non commerciali, condividi allo stesso modo).

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Il valore di k determina la posizione dell’iperbole nel piano cartesiano. Osservando la figura è facile verificare che:

se k > 0, le coordinate dei punti P(x, y) che le ap-partengono sono entrambe positive oppure entrambe negative e il grafico appartiene quindi al 1° e al 3° quadrante;

se k < 0, le coordinate dei punti P(x, y) che le ap- partengono sono discordi e il grafico appartiene al 2° e 4° quadrante.

Mettiti alla prova. Dopo aver completato la seguente tabella, rappresenta nel piano cartesiano la funzione di proporzionalità inversa di  equazione y = 12/x
x  -4   -3   -1    1     3    4
y   ….   ….   ….  ….  ….   ….

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I due punti A e B hanno ascisse e ordinate diverse

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I due punti A e B hanno ascisse e ordinate diverse

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Siano A(1; -2) e B(4; 2) i due punti di cui vogliamo calcolare la distanza. In questo caso il segmento AB non è parallelo ad alcun asse cartesiano; per calcolare la sua lunghezza possiamo però considerarlo come ipotenusa  del triangolo rettangolo ABC ottenuto tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x e y. Il punto C vertice dell’angolo retto ha la stessa ascissa del punto B e la stessa ordinata del punto A; ha dunque coordinate C(xB; yA) cioè (4; -2). Per calcolare la lunghezza del segmento AB applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC:
AB = √AC² + BC² = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5.
“la distanza di due punti A e B si calcola determinando la misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento AB sugli assi cartesiani; in simboli:
AB = √(x B – x A)² + (y B – y A)²

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Rappresentiamo nel piano cartesiano la retta di equazione x = 4. Tutti i suoi punti hanno ascissa uguale a 4; se rappresentiamo la retta nel piano cartesiano notiamo che tale retta è parallela all’asse y e interseca l’asse x nel punto di ascissa 4.
Generalizzando possiamo dire che:
“l’equazione di una retta parallela all’asse delle y è x = h.

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Calcolare l’equazione di una retta conoscendo le coordinate di un suo punto e il suo coefficiente angolare

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Calcolare l’equazione di una retta conoscendo le coordinate di un suo punto e il suo coefficiente angolare

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Calcola l’equazione della retta che ha coefficiente angolare m = 2 e passa per il punto P(-1; 3).
L’informazione m = 2 ci permette di dire che l’equazione della retta è del tipo: y = 2x + q .
Per determinare il valore di q, sfruttiamo il fatto che il punto P(-1; 3) appartiene alla retta quindi le sue coordinate devono soddisfare la sua equazione; sostituiamo -1 a x e 3 a y:
3 = 2 x (-1) + q.
Abbiamo ottenuto un’ equazione di primo grado nell’incognita q; risolviamola
3 = -2 + q; 3 + 2 = q; q = 5.
L’equazione della retta è quindi y = 2x + 5.
Senza ripetere tutti i passaggi algebrici (che non riportiamo), possiamo generalizzare la procedura che abbiamo seguito per lo svolgimento di questo problema e considerare un generico punto P di coordinate (x ₀; y ₀).
L’equazione di una retta avente coefficiente angolare m passante per un punto P(x ₀; y ₀) è: (y – y ₀) m x (x – x ₀).

Mettiti alla prova. Determina l’equazione della retta di coefficiente angolare m= -2 passante per il punto A(1; 1).

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Stabilire se un punto appartiene a una retta

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Stabilire se un punto appartiene a una retta

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È possibile stabilire se un punto appartiene ad una retta in due modi:

algebricamente si sostituiscono le coordinate del punto nell’equazione della retta;

1. sostituendo le coordinate del punto P(2; 6) nell’equazione y = 3x, otteniamo l’uguaglianza 6 = 3 x (2) , cioè 6 = 6 e possiamo dire che il punto P appartiene alla retta y = 3x;

2. se invece sostituiamo le coordinate del punto Q(2; 1) otteniamo la relazione 1 = 3 x (2) cioè 1 = 6 che è falsa e possiamo affermare che il punto Q non appartiene alla retta;

graficamente: si disegnano i punti e la retta. Nella figura abbiamo riportato il grafico della retta y = 3x e disegnato i punti P e Q.

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- La lezione permette di acquisire e rinforzare conoscenze e competenze fondamentali sulle funzioni nel piano cartesiano.
- Il percorso offre la possibilità di approcciare attraverso strumenti multimediali: video, audio, slide, esercizi interattivi in formato Google Moduli, pdf scaricabili e software gratuiti.
- La lezione segue il metodo induttivo: a partire da una situazione reale lo studente e la studentessa imparano a  utilizzare le funzioni nel piano cartesiano per operare nella realtà.

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Consideriamo due variabili x e y tali che il loro legame possa essere scritto mediante la relazione: y = 2x². Possiamo rappresentare questa relazione matematica in un piano cartesiano andando a calcolare i valori assunti dalla variabile y per alcuni valori particolari di x. Costruiamo quindi la tabella:
x   0   -1    1    -2    2
y.  0    2    2     8    8
È facile verificare che il rapporto tra un qualsiasi elemento y
(≠0) e il quadrato del suo corrispondente valore di x (≠0) è costante. Nel nostro caso:
y/x² = 2/(-1)² = 2/12 = 8/(-2)2 = 8/2² = 2
“ la variabile y è direttamente proporzionale al quadrato della variabile x se l’equazione che lega le due variabili può essere scritta nella forma:  y /x ²= a che equivale a: y = ax ² con a ≠ 0.
La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di coefficiente di proporzionalità quadratica.
Rappresentiamo nel piano cartesiano i punti che soddisfano la relazione e che abbiamo individuato mediante la tabella precedente: O(0; 0), A(-2; 8), B(-1; 2), C(1; 2), D(2; 8).
Congiungendoli nell’ordine dato otteniamo una curva detta parabola.
Osservando la forma del grafico puoi notare che :

la curva è simmetrica rispetto all’asse y e per tale ragione l’asse delle ordinate è detto asse della parabola;

l’origine degli assi appartiene alla curva ed è detto vertice della parabola.

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Breve test sulla distanza fra due punti nel piano cartesiano 

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Breve test sulla distanza fra due punti nel piano cartesiano 

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Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall, rispondi alle domande sulla distanza fra due punti e controlla il risultato cliccando sul tasto flip.  https://wordwall.

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Verifica quello che hai imparato sulle funzioni nel piano cartesiano collegandoti al seguente sito e rispondendo alle domande di questo test di riepilogo.
https://docs.google.

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Rappresentiamo nel piano cartesiano le rette r e s di equazioni rispettivamente y = 1/3x + 2 (in rosso) e y = -3x - 4 (in azzurro).
Come possiamo facilmente verificare dalla figura, le due rette si intersecano nel punto A e formano quattro angoli retti: sono pertanto perpendicolari.
Dal punto di vista algebrico tale proprietà comporta che i coefficienti angolari delle due rette siano uno l’opposto e il reciproco dell’altro (per la prima retta m = 1/3; per la seconda m = -3). Se ne deduce che:
“due rette di equazione rispettivamente y = mx + q e y = m’ x + q’ sono perpendicolari se il coefficiente angolare della prima è l’opposto e il reciproco dell’altro, cioè se:
m = -1/m’. Ovvero m x m’ = -1.

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Calcolare l’equazione di una retta conoscendo le coordinate di due suoi punti

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Calcolare l’equazione di una retta conoscendo le coordinate di due suoi punti

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Calcola l’equazione della retta r passante per i punti A(2; 3) e B(6; 5). Dopo aver disegnato su un piano cartesiano i due punti A e B e tracciato la retta di cui vogliamo calcolare l’equazione, consideriamo un punto qualsiasi P della retta r di coordinate (x; y).
Consideriamo ora i due triangoli simili BQA e PRA (sono triangoli rettangoli con l’angolo retto rispettivamente in Q e R e hanno l’angolo in A in comune); possiamo pertanto scrivere la proporzione: PR : BQ = RA : QA che possiamo scrivere nella forma equivalente PR/BQ = RA/QA.
Sostituiamo in questa uguaglianza le misure corrispondenti:
PR = y - 3; BQ = 5 - 3 = 2; RA = x - 2; QA = 6 - 2 = 4.
Otteniamo in questo modo:
(y - 3)/2 = (x - 2)/4 da cui  2y - 6 = x - 2; y = x/2 + 2.
Per verificare che la retta che abbiamo individuato passa effettivamente dai punti A e B puoi sostituire le coordinate dei due punti nell’equazione.
Anche per questo tipo di problemi possiamo giungere ad una regola generale considerando due generici punti A(x₁; y₁) e B(x₂; y₂).
“l’equazione di una retta, non parallela agli assi cartesiani, passante per due punti è:

(y – y ₁)/(y ₂ – y ₁) = (x – x ₁)/(x ₂ – x ₁).

Mettiti alla prova. Determina l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A(2; 1).

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Rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le rette di equazioni y = 1/2x e y = 3x. Come possiamo notare le due due rette passano per l’origine degli assi; in particolare la retta y = 1/2x (in rosso) appartiene al 1⁰ e 3⁰ quadrante e forma con l’asse x un angolo acuto α; la retta y = 3x (in azzurro) appartiene sempre al 1⁰ e 30 quadrante ma forma con l’asse x un angolo acuto β. Ciò è dovuto al fatto che il coefficiente di proporzionalità diretta ha un importante significato geometrico perché ha un’implicazione sull’ampiezza dell’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse; per tale ragione viene chiamato coefficiente angolare e indicato con m. Osserviamo che la prima retta ha coefficiente angolare (m = 1/2) e forma con l’asse x un angolo acuto α che è minore dell’angolo acuto β che la retta avente coefficiente angolare (m = 3) forma sempre con l’asse x.
“Aumentando il valore del coefficiente angolare di una retta aumenta anche l’ampiezza dell’angolo che questa forma con il semiasse positivo delle ascisse”.

Mettiti alla prova. Rappresenta nel piano cartesiano le rette di equazione y = x e y = - x; misura l’angolo che tali rette formano con l’asse delle x, che cosa noti?
Alla luce di quanto hai studiato a proposito degli angoli, come si chiamano queste rette?

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Conoscenze: conoscere il piano cartesiano; conoscere la funzione di proporzionalità diretta e la sua rappresentazione; descrivere la rappresentazione cartesiana di una retta nella sua forma generica; conoscere la funzione di proporzionalità inversa e la sua rappresentazione; conoscere la funzione di proporzionalità quadratica e la sua rappresentazione.
Abilità: applicare le principali formule del piano cartesiano; individuare e rappresentare nel piano cartesiano una funzione di proporzionalità diretta; individuare e rappresentare nel piano cartesiano una retta nella sua forma generica; individuare e rappresentare nel piano cartesiano una funzione di proporzionalità inversa; individuare e rappresentare nel piano cartesiano la proporzionalità quadratica.
Competenze: utilizzare e interpretare il linguaggio matematico (piano cartesiano, equazioni) e ne coglie il rapporto con il linguaggio naturale.
Competenze digitali: utilizzare i mezzi informatici per cercare di elaborare informazioni; lavorare in gruppo, anche a distanza, condividendo materiali ed elaborati; comprendere e produrre elaborati digitali.

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Il valore di a determina la posizione della parabola nel piano cartesiano. Osservando la figura è facile verificare che:

se a > 0 la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto;

se a < 0 la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

Se vuoi approfondire le tue conoscenze sulle coniche (ovvero le figure che si ottengono dall’intersezione di un cono con un piano) leggi l’approfondimento di pagina 304 del testo di algebra della collana Archimede.

Mettiti alla prova. Scrivi le equazioni delle parabole aventi come asse di simmetria l’asse y, come vertici l’origine degli assi e in cui i valori di a sono : 2 e -2. Rappresenta le equazioni nel piano cartesiano; che cosa noti?

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Consideriamo il segmento AB della figura. L’ascissa e l’ordinata del punto medio M sono date rispettivamente dalla semisomma delle ascisse e dalla semisomma delle ordinate dei punti A(1; -2) e B(4; 3). In particolare quindi:
x M = (1+4)/2 = 5/2; y M = (-2+3)/2 = 1/2.
“le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalla semisomma delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento; in simboli: M[(x A+x B)/2; (y A+y B)/2].

Mettiti alla prova. Dopo esserti collegato al sito wordwall, rispondi alle domande e controlla il risultato sul calcolo del punto medio di un segmento cliccando sul tasto flip.      https://wordwall.

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Nelle situazioni reali capita spesso di dover stabilire il tipo di legame che intercorre tra due grandezze così da poter prendere decisioni adeguate. Analizziamo i seguenti esempi. La temperatura esterna durante una giornata fa scattare il timer per l’accensione dei termosifoni di un appartamento; la quantità di polveri sottili durante una stagione, se non controllata, porta un aumento delle sostanze inquinanti le quali provocano, a loro volta, maggiori allergie e, più in generale, malattie a carico dell’apparato respiratorio; un aumento anche minimo del costo del pacchetto di sigarette permette allo Stato (che ne ha il monopolio) un incremento di entrate, ma potrebbe causare allo stesso tempo una diminuzione del numero di fumatori, che a sua volta influenza, in tempi più o meno lunghi, il numero di persone potenzialmente ammalate di tumori ai polmoni.
Gli esempi forniti ci mostrano come nel campo delle decisioni si debbano considerare e analizzare attentamente tutte le componenti che potrebbero influenzare l’andamento della grandezza che si sta studiando.Un problema ulteriore è quello di come rappresentare le grandezze in modo che un osservatore non particolarmente competente della materia possa capire i risultati ottenuti. Più in generale il problema si riconduce a individuare la posizione iniziale di un punto in un piano e valutarne i suoi movimenti.
Consideriamo ad esempio la seguente situazione reale: dobbiamo dare a un robot che si trova inizialmente fermo delle indicazioni per spostarsi di 3,6 cm in una certa direzione. Per un problema di questo tipo abbiamo a disposizione due possibili soluzioni:

1. fissiamo due direzioni particolari (per comodità si scelgono due rette perpendicolari) e si dice al robot di muoversi di 3 cm verso destra, quindi di ruotare di 900 e spostarsi di 2 cm nella seconda direzione. In pratica si risolve il problema costruendo un triangolo rettangolo sul quale si applica il teorema di Pitagora;

2. fissiamo una direzione particolare (per comodità si sceglie una retta orizzontale) e si dice al robot di ruotare di 330 e muoversi di 3,6 cm.

Le due soluzioni hanno portato alla nascita di due diverse rappresentazioni nel piano; la prima prende il nome di rappresentazione cartesiana (dal suo scopritore René Descartes) e l’abbiamo già utilizzata negli anni passati; la seconda ha dato origine alle coordinate polari.
Per i nostri scopi e per capire come varia una grandezza in relazione a un’altra si è dimostrata più efficiente la prima soluzione ed è la strada che seguiremo in questa Padlet. Potrai approfondire l’utilizzo delle coordinate polari nei prossimo anni di scuola.

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Verifica quello che hai imparato sulle funzioni nel piano cartesiano collegandoti al seguente sito e rispondendo alle domande di questo test di riepilogo.
https://docs.google.