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Os elementos de uma matriz podem ser definidos como números reais, números complexos, expressões matemáticas e mesmo outras matrizes

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Tipo especial de matriz que possui o mesmo número de linhas e o mesmo de colunas. 

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Tipo especial de matriz que possui o mesmo número de linhas e o mesmo de colunas. 

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https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/matriz-quadrada.htm#:~:text=Matriz%20quadrada%20%C3%A9%20um%20tipo,somente%20se%2C%20n%20%3D%20m.

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Os elementos da matriz são, obviamente, os números que estão dentro da matriz. Normalmente, utilizamos a notacão "a"
para nos referirmos a um determinado elemento da matriz.

Por exemplo, quanto aos elementos de
AA, temos:
a
a11=5

a
a12=6

a
a13=7

a
a14=8

a
a21=4

a
a22=3

a
a23=2

a
a24=1

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A transposta de uma matriz A é uma matriz que apresenta os mesmos elementos de A, só que colocados em uma posição diferente. Ela é obtida transportando-se ordenadamente os elementos das linhas de A para as colunas da transposta.

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Auxiliar os cálculos das equações matriciais é chamada de matriz identidade ou unidade.

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Toda e qualquer matriz tem o formato representado por m x n (leia-se: m por n), em que “m” é o número de linhas e “n” o número de colunas de cada uma delas. Considerando que uma matriz A = [aij] m x n, sendo esta uma operação qualquer de matriz, chama-se de transposta de A a matriz At = [aij] n x m, em que At é obtida a partir de “A”, uma matriz principal fazendo a troca das linhas pelas colunas.

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A matriz identidade ou chamada também de matriz unidade é uma matriz quadrada de ordem n sendo que n ≥ 2, onde os elementos que pertencem à diagonal principal são sempre iguais a 1 e os outros elementos que não pertencem à diagonal principal são iguais a zero.

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As matrizes organizam os elementos de maneira lógica para facilitar a consulta das informações.

Uma matriz qualquer, representada por m x n, é composta por elementos aij, em que i representa o número da linha e j o número da coluna que localizam o valor.

Exemplo: Elementos da matriz de venda da confeitaria.

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Como é obtida a matriz transposta?

Dada uma matriz Am x n, conhecemos como a matriz transposta de A a matriz At n x m. Para encontrar a matriz transposta, basta trocar a posição das linhas e colunas da matriz A. O que for a primeira linha da matriz A será a primeira coluna da matriz transposta At, a segunda linha da matriz A será a segunda coluna da matriz At, e assim sucessivamente.

De forma algébrica, seja M = (mij)m x n , a matriz transposta de M é Mt = (mji) n x m.

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usamos matriz no nosso cotidiano em diversas atividades como:

construção de tabelas com dados de fontes diferentes (exemplo: turma e nota média por matéria)

na informática, na construção de cálculos complexos

na engenharia civil, para realizar a distribuição de metragem e de material

na economia, para realizar análise de gráficos populacionais

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Matriz quadrada é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas. Matriz retangular é uma matriz na qual m≠n. Diagonal principal : numa matriz quadrada, os elementos em que i=j constituem a diagonal principal.

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Diferenças entre uma matriz quadrada qualquer é uma matriz identidade

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Diferenças entre uma matriz quadrada qualquer é uma matriz identidade

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A matriz identidade é uma matriz quadrada e também é uma matriz diagonal. Uma matriz é diagonal quando os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos. E uma matriz é quadrada quando o número de linhas e colunas são iguais.

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Propriedades da matriz transposta

Propriedades da matriz transposta

1ª propriedade: a transposta de uma matriz transposta é igual à própria matriz:

(Mt)t = M

2ª propriedade: a transposta da soma entre as matrizes é igual à soma da transposta de cada uma das matrizes:

(M + N)t = Mt + Nt

3ª propriedade: a transposta da multiplicação entre duas matrizes é igual à multiplicação da transposta de cada uma das matrizes:

(M · N)t = Mt · Nt

4ª propriedade: o determinante da matriz é igual ao determinante da matriz transposta:

det(M) = det(Mt)

5ª propriedade: a transposta da matriz vezes a constante é igual à matriz transposta vezes a constante:

(kA)t = kAt

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Encontre a matriz transposta da matriz:

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Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Em uma matriz quadrada, definimos a diagonal principal e a diagonal secundária, a principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

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Na informática temos os exemplos clássicos de matrizes, em programas onde elas aparecem no auxilio dos cálculos matemáticos, editores de imagem, o próprio teclado onde sua configuração é realizada por um sistema de matrizes, entre outros tantos.

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Augusto
Os elementos de uma matriz podem ser números reais, números complexos, expressões matemáticas ou até mesmo outras matrizes.

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A matriz transposta da matriz identidade é a própria matriz identidade.

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Usamos matriz no nosso cotidiano em diversas atividades como:
Construção de tabelas com dados de fontes diferentes (exemplo: turma e nota média por matéria)
Na informática, na construção de cálculos complexos
Na engenharia civil, para realizar a distribuição de metragem e de material
Na economia, para realizar análise de gráficos populacionais.