# data[].attributes.headline
Файл с расчетами

# data[].attributes.subject
Файл с расчетами

# data[].attributes.body
Числа Фибоначчи в живой природе встречаются, однако количество лепестков ромашки – не всегда число из последовательности Фибоначчи

# data[].attributes.headline
Этап 3. Обработка результатов исследования

# data[].attributes.subject
Этап 3. Обработка результатов исследования

# data[].attributes.attachment_link.readable_text
Чи́сла Фибона́ччи (иногда пишут Фибона́чи) - элементы числовой последовательности

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, ... (последовательность A000045 в OEIS),

в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи).

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задаётся линейным рекуррентным соотношением:

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений , как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы "назад": :

n

...

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

...

...

−55

34

−21

13

−8

5

−3

2

−1

1

0

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

...

Легко заметить, что .

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках ( просодии, другими словами - стихосложении) намного раньше, чем стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n − 1, либо L к образцу длиной n − 2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге " Искусство программирования ".

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде " Liber Abaci " (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что: изначально есть новорождённая пара кроликов (самец и самка); со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов; кролики никогда не умирают. Сколько пар кроликов будет через год?

В начале первого месяца есть только одна новорождённая пара (1).

В конце первого месяца по-прежнему только одна пара кроликов, но уже спарившаяся (1).

В конце второго месяца первая пара рождает новую пару и опять спаривается (2).

В конце третьего месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара только спаривается (3).

В конце четвёртого месяца первая пара рождает ещё одну новую пару и спаривается, вторая пара рождает новую пару и спаривается, третья пара только спаривается (5).

В конце -го месяца количество пар кроликов будет равно количеству пар в предыдущем месяце плюс количество новорождённых пар, которых будет столько же, сколько пар было два месяца назад. Таким образом:

Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от n:

где - золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .

Из формулы Бине следует, что для всех , есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .

Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:

При этом соотношение выполняется для любого комплексного числа z.

И более общие формулы:

Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть
, а также ,

где матрицы имеют размер , и i - мнимая единица.

Как следствие, родсчёт определителей даёт

Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, то есть . Следствия:

делится на тогда и только тогда, когда делится на (за исключением ). В частности, делится на (то есть является чётным) только для ; делится на только для ; делится на только для и т. д.

может быть простым только для простых (с единственным исключением ). Например, число простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример - . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.

Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен имеет корни и .

Отношения являются подходящими дробями золотого сечения и, в частности,

Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
.

В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[4] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
, , , .

Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена

на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[5]

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.

Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:
1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, ... (последовательность A001175 в OEIS)

В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры - с периодом π(1000)=1500, последние четыре - с периодом π(10000)=15000, последние пять - с периодом π(100000)=150000 и т. д.

Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда или является квадратом.[6]

Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[7]

Число Фибоначчи равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних единиц. При этом равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а - начинающихся с единицы.

Произведение любых подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых чисел Фибоначчи.

Число 0,112358132134... (после запятой записаны подряд идущие числа Фибоначчи) является иррациональным.[источник не указан 1981 день ]

Существует мнение, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны - это распространённый миф, который часто оказывается неточной подгонкой под желаемый результат.

Н. Н. Воробьёв. Числа Фибоначчи. - Наука, 1978. - Т. 39. - (Популярные лекции по математике).

А. И. Маркушевич. Возвратные последовательности. - Гос. Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1950. - Т. 1. - (Популярные лекции по математике).

А. Н. Рудаков. Числа Фибоначчи и простота числа 2¹²⁷ − 1 // Математическое Просвещение, третья серия. - 2000. - Т. 4.

Дональд Кнут. Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol. 1. Fundamental Algorithms. - 3-е изд. - М.: "Вильямс", 2006. - С. 720. - ISBN 0-201-89683-4.

Дональд Кнут, Роналд Грэхем, Орен Паташник. Конкретная математика. Основание информатики = Concrete Mathematics. A Foundation for Computer Science. - М.: Мир; Бином. Лаборатория знаний, 2006. - С. 703. - ISBN 5-94774-560-7.

Грант Аракелян. Математика и история золотого сечения. - М.: Логос, 2014. - С. 404. - ISBN 978-5-98704-663-0.

# data[].attributes.attachment_link.title
Числа Фибоначчи

# data[].attributes.attachment_link.description
Чи́сла Фибона́ччи (иногда пишут Фибона́чи) - элементы числовой последовательности 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, ... (последовательность A000045 в OEIS), в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.

# data[].attributes.headline
Этап 1. Изучение теории по числам Фибоначчи

# data[].attributes.subject
Этап 1. Изучение теории по числам Фибоначчи

# data[].attributes.headline
Цель и задачи проекта

# data[].attributes.subject
Цель и задачи проекта

# data[].attributes.body
Цель: доказать, что в природе встречаются числа Фибоначчи

Задачи:

-        познакомиться с понятием чисел Фибоначчи

-        экспериментальным путем доказать, что в природе встречаются числа Фибоначчи

# data[].attributes.headline
Этап 2. Исследование

# data[].attributes.subject
Этап 2. Исследование

# data[].attributes.body
1. Мы собрали 117 ромашек
2. Посчитали количество лепестков (ни одна ромашка не пострадала)

# data[].attributes.body
В книге Ф.Корбалан «Золотое сечение. Математический язык красоты» утверждается, что «количество лепестков ромашки – всегда число из последовательности Фибоначчи». Можно предложить учащимся доказать или опровергнуть это утверждение.